Bài giảng nhập môn đại số tuyến tính (đại học thủy lợi)

2 TUẦN 1 Mở đầu Đại số tuyến tính Cũng như môn Giải tích, môn Đại số tuyến tính có lịch sử phát triển từ việc giải các hệ phương trình tuyến tính với nhiều phương trình và nhiều ẩn, m

1

BÀI GIẢNG MÔN TOÁN 3 Nhập môn Đại số tuyến tính

PGS.TS NGUYỄN HỮU BẢO

Bộ môn Đại số & Xác suất thống kê

2

TUẦN 1

Mở đầu Đại số tuyến tính

Cũng như môn Giải tích, môn Đại số tuyến tính có lịch sử phát triển từ việc giải các hệ phương trình tuyến tính với nhiều phương trình và nhiều

ẩn, một bài toán cơ bản nhất phổ biến nhất trong ứng dụng toán học vào thực tiễn Để nghiên cứu cấu trúc các tập nghiệm, các khái niệm tổng quát hơn, trừu tượng hơn (như khái niệm véc tơ, không gian véc tơ, ma trận, định thức, các phép biến đổi tuyến tính v.v…) xuất hiện và có thể nói, Đại số tuyến tính là môn học vẽ các phép toán tuyến tính, cấu trúc tuyến tính của Toán học

Ngày nay, Đại số tuyến tính có ứng dụng sâu rộng trong toàn bộ các lĩnh vực khoa học công nghệ và đặc biệt là các lĩnh vực nghiên cứu Thủy Lợi, nó đã trở thành 1 môn học cơ bản và bắt buộc cho sinh viên tất cả các trường Đại học công nghệ, trong đó có trường Đại học Thủy Lợi

3

CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU VÉC TƠ

VÀ VIỆC GIẢI HỆ CÁC PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

I.1 Giới thiệu véc tơ

I.1.1 Véc tơ hình học:

Khái niệm đã biết từ chương trình phổ thông trung học về 1 đoạn thẳng được định hướng và 1 điểm cố định là điểm gốc của véc tơ Ký hiệu ar và độ dài của véc tơ ar ký hiệu là ar

* Trừ 2 véc tơ a b

r r

− được hiểu là a ( b)

r r

−

* Nhân véc tơ ar với 1 đại lượng vô hướng (số thực) x là 1 véc tơ có độ

dài bằng x ar , cùng hướng với ar nếu x > 0, ngược hướng nếu x < 0

5

* Tổ hợp tuyến tính của các véc tơ ar1 ,ar2 , ,arn là véc tơ

n

n a x a

x a

x

vr= 1 r1 + 2r2 + + r với các x i là các số thực nào đó

Chú ý :

Khi ar ≠ 0 thì tập các véc tơ x ar (∀x ∈R1 lấp đầy 1 đường thẳng)

Khi và ar1 và ar2 không cùng phương thì tập hợp các tổ hợp tuyến tính

a x

a

x1r1 + 2r (với x1, x2 bất kỳ thuộc R1) sẽ lấp đầy 1 mặt phẳng

Khi ar1,ar2,ar3 là các véc tơ không cùng 1 mặt phẳng thì tập hợp các tổ hợp tuyến tính của chúng x1ar1 + x2ar + x3ar3 sẽ lấp đầy không gian

* Tích vô hướng 2 véc tơ: a a ⋅b = a ⋅ b ⋅ cos α

r r r

r

(trong đó α là góc hợp bởi 2 véc tơ ar và b

6

I.1.3 Biểu diễn hình học của các véc tơ dưới dạng tọa độ

* Trong R2 với các véc tơ đơn vị ir, jr, véc tơ ar bất kỳ được biểu diễn dưới dạng ar = x +ir y.rj Cặp (x,y) được gọi là tọa độ của ar Trong giáo trình này, chúng ta sẽ đồng nhất 1 véc tơ ar với cặp tọa độ của chúng, viết dưới dạng 1 cột 2 hàng: (được gọi là 1 véc tơ cột) 

x x

x

av

Chú ý :

• Ký hiệu (x1,x2, x3) là các tọa độ của ar chứ không phải là 1 véc tơ

• Các phép toán của véc tơ 2 chiều được mở rộng tương tự cho m chiều

7

I.2 Giải các phương trình tuyến tính

I.2.1 Bài toán giải hệ 3 phương trình tuyến tính (bậc nhất) 3 ẩn

200 ,

0 1

4 ,

1 1

4 ,

1 1

2

3 2

a

r r

r r

Bài toán giải hệ (1) chính là: Hãy tìm các số thực x,y,z để sao cho

b a

z a y a

x

r r

r

r

= +

+

3 1

8

I.2.2: Bài toán tổng quát:

Cho ar1 ,ar2 , ,arn và véc tơ b

r

là các véc tơ trong không gian R m(m tọa độ) Hãy tìm n số thực x1, x2, , x n để sao cho ta có:

r r

r r

= +

+

+ 2

1 1 Nếu ký hiệu các véc tơ cột

          =           = =           = n m ni i i i x x x x b b b b n i a a a a 2 1 2 1 2 1 , ), ,

2 , 1 ( r r r thì bài toán của chúng ta trở thành: hãy tìm véc tơ xr để thỏa mãn 1 hệ m phương trình n ẩn sau:

b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a n mn m m n n n n = + + + = + + + = + + +

2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 (2)

9

Hệ (2) là hệ phương trình tuyến tính tổng quát mà ta sẽ gặp trong tất cả các chương của môn học này vì việc giải hệ (2) là nhiệm vụ trọng tâm của giáo trình Đại số tuyến tính này

* ảnh hàng và ảnh cột của 1 hệ phương trình tuyến tính 3 phương trình, 3 ẩn:

Ví dụ: giải hệ: x + 2y + 3z = 6

2x + 5y + 2z = 4 (3) 6x - 3y + z = 2

Tức là tìm 1 điểm (x,y,z) trong không gian R3 để thỏa mãn cả 3 phương trình trong hệ trên Đó là 1 điểm chung 3 mặt phẳng trong R3 tương ứng với 3 phương trình của hệ mặt khác, như trên đã nói, hãy tìm các hệ số x, y, z để véc tơ cột

2

; 6 2

z y

1 2 3

11

I 2.3 Phương pháp khử Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính

• ý tưởng của phương pháp khử Gauss

Dùng các phép biến đổi sơ cấp (nhân 2 vế của 1 phương trình với 1 số khác không, đổi chỗ 2 phương trình, cộng hoặc trừ 1 phương trình này với phương trình khác) để được các phương trình tương đương và đưa hệ về dạng tam giác trên:

12

- Nhân phương trình 1 với

2

1

(gọi là số nhân, ký hiệu là l12, ở đây hệ số 2

của x ≠ 0 gọi là trụ) rồi trừ vào hàng 2 và l13 =

- Thế z = 7 vào phương trình 2, tìm được y = 28

- Thế z = 7, y = 28 vào phương trình đầu ta tìm được x = 30

13

Chú ý :

Không phải lúc nào cũng giải được bằng khử Gauss

* Có thể phương trình vô nghiệm (không thực hiện được hoàn toàn)

* Không có điểm trụ nhưng sau khi hoán vị 2 phương trình thì lại có điểm trụ (không thực hiện được tạm thời)

* Có thể có vô số nghiệm nếu đưa đến phương trình cuối cùng có dạng 0z

= 0 → đúng với mọi z bất kỳ gọi là biến tự do)

14

I.2.4 Dạng ma trận của hệ phương trình

* Ma trận hệ số: Trở lại hệ (1), nếu ghép 3 véc tơ cột ar1,ar2,ar3 lại với

nhau ta có 1 ma trận A gồm 3 hàng, 3 cột như sau:

1 1

1

4 4

=

0 1 1

1 1

1

4 4

2

z y x

15

Chú ý :

Phương pháp khử Gauss chính là các biến đổi đưa ma trận A về dạng

ma trận tam giác trên, tức là:

Khái niệm ma trận và phép toán ma trận sẽ đề cập chi tiết hơn ở bài giảng tuần 2 tiếp theo

16

TÓM TẮT CÁC Ý CHÍNH

1 Khái niệm véc tơ và các phép toán véc tơ

2 Tổ hợp tuyến tính các véc tơ

3 Hệ phương trình tuyến tính m phương trình n ẩn

4 Dạng véc tơ của hệ phương trình tuyến tính

5 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử Gauss

6 Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính

Tuần 2 Chương II ma trận vμ định thức

II.1 Khái niệm ma trận

II.1.1 Định nghĩa ma trận cấp mxn: Ký hiệu Amxn lμ bảng

m

n n

a a a

a a a

a a a

2 1

2 22 21

1 12 11

Các phần tử aij lμ phần tử nằm ở hμng i, cột j của ma trận A

Đôi khi còn ký hiệu Amxn lμ (aij)mxn Các phần tử aij được gọi lμ các phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận A

II.1.2 Các định nghĩa

• Khi m = n, ma trận Anxn gọi lμ ma trận vuông cấp n

• Ma trận vuông cấp n chỉ gồm các số 1 nằm trên đường chéo chính vμ các phần tử còn lại đều lμ số 0 được gọi

lμ ma trận đơn vị (hoặc ma trận đồng nhất) vμ ký hiệu lμ

In

• Ma trận U chỉ có các phần tử từ đường chéo chính trở lên

*

* 0000

*

*

*

(Tương tự, ta có định nghĩa L lμ ma trận tam giác dưới)

• Ma trận vuông A được gọi lμ đối xứng nếu các phần tử

đối xứng nhau qua đường chéo chính đều bằng nhau

• Ma trận "không" cấp mxn nếu có m hμng, n cột vμ các phần tử đều bằng không

• Ma trận đối của ma trận A = (aij)mxn lμ ma trận

- A = (-aij)mxn

• Ma trận chuyển vị của 1 ma trận A ký hiệu lμ A T , đó lμ một ma trận có được từ ma trận A nhưng tất cả các hμng đều chuyển thμnh các cột

• Ma trận cột: lμ ma trận chỉ gồm 1 cột Đó chính lμ 1 véc tơ cột được định nghĩa ở tuần 1 Vì thế, kể từ đây, các véc tơ cột được hiểu lμ 1 ma trận cột nên ký hiệu véc tơ

a không cần có mũi tên ở trên (a ≡ a) mμ không sợ bị

hiểu lầm.

II.1.3 Các qui tắc của phép toán ma trận:

• Phép cộng 2 ma trận có cùng cấp: (aij) + (bij) = (aij + bij) (lμ 1 ma trận có các phần tử lμ tổng các phần tử cùng vị trí của 2 ma trận đã cho)

m

in i

i

n

a a

a

a a a

a a

2 1

1 12 11

pi j

p j i

b n

b b

b b b

ip ij i

p i

c c

c c c

c c c

.

1 12 1

Trong đó, phân tử Cij được xác định bằng cách lấy hμng thứ i của ma trận A nhân với cột j của ma trận B theo qui tắc nhân vô hướng

Ví dụ:

⎢

⎣

⎡ 3

1

⎢

⎣

⎡ 1

Trong đó C11 = 2 x 1 + 3 x 1 = 5, C12 = 2 x 0 + (-1) x 0 = 0

II.1.4 Một số ma trận của phép biến đổi sơ cấp

• Ma trận đổi chỗ 2 hμng: Ký hiệu Pij lμ ma trận vuông khi nhân trái với một ma trận vuông A thì sẽ lμm đổi chỗ 2 hμng i vμ hμng j của A

Ví dụ: P23 = (đổi chỗ hμng 2 vμ hμng 3 của

1 0 0

P23 khi nhân với A = cho ta ma trận

6 0 4

0 6 4

• Ma trận khử: Eij lμ một ma trận vuông thiết lập từ ma trận đơn vị cùng cấp nh−ng ở vị trí hμng i cột j hμng

lμ số nhân - l để sao cho khi nhân trái với A (cùng cấp) sẽ lμm cho hμng j nhân với l rồi khử vμo hμng i của ma trận A

0 1 0

Khi nh©n víi b = sÏ thμnh E.b =

4) NÕu mét ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt Ax = 0 cã 1 nghiÖm

x kh¸c kh«ng th× ma trËn A kh«ng thÓ kh¶ nghÞch

5) Một ma trận chéo (ma trận vuông chỉ có các phần tử trên đường chéo chính khác không) sẽ có nghịch đảo

(Xem như bμi tập, hãy chứng minh kết luận trên)

II.2.2 Nghich đảo của 1 tích 2 ma trận

• Quy tắc: Nếu A vμ B đều khả nghịch vμ tồn tại tích AB Khi đó AB cũng khả nghịch vμ nghịch đảo của 1 tích = tích các nghịch đảo nhưng theo thứ tự ngược lại

(AB)-1 = B-1A-1(Điều nμy có thể mở rộng cho nghịch đảo của 1 tích n ma trận)

0 1 0

0

1 21

0 1 0

(Bây giờ lμ nhân 5 lần hμng 1 cộng vμo hμng 2)

II.2.3 Cách tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp khử Gauss - Jordan

Nội dung: Ghép thêm 1 ma trận đơn vị cùng cấp với A

để có 1 ma trận mở rộng [A⎥I] rồi dùng biến đổi sơ cấp

1 4 1

ư ⎥⎥

⎥

⎦

⎤ 0 4 1

1 4 1

ư 0 4

1

3 1 1

ư

ư 1

2 / 1 0

0 x (-2) x (-1)

+ +

2 2 1

ư 1 2 1

ư

x (

1 2 1

ư

ư

0 1 0

0 1 1

1 1

1

3 1 1

ư

ư 1

2 / 1 0

0 1 0

1 0

0

→ A

3 2 2

ư 1

2 / 1

2 / 1

0

-1 =

1

2 / 1

2 / 1

4 Khái niệm khả nghịch vμ cách tình ma trận nghịch đảo bằng phương pháp khử Gauss - Jordan

BÀI GIẢNG MÔN TOÁN 3 Nhập môn Đại số tuyến tính

PGS.TS NGUYỄN HỮU BẢO

Bộ môn Đại số & Xác suất thống kê.o

TUẦN 3

II.3 Định thức II.3.1 Định thức cấp 2

Nhắc lại việc giải hệ tuyến tính: ax + by = e

cx + dy = f

→ ∆ =

db

b

e

, ∆y =

fc

ea

là các định thức cấp 2 của ẩn x và ẩn y tương ứng

II.3.2 Mở rộng cho định thức cấp cao hơn

Việc mở rộng hoàn toàn tự nhiên:

1 định thức cấp 3 sẽ có dạng:

33 32

31

23 22

21

13 12

11

aa

a

aa

a

aa

II.3.3 Các tính chất của định thức

1 Định thức của ma trận đơn vị (mọi cấp) đều = 1

2 Định thức bị đổi dấu khi đổi ch 2 hàng của nó cho nhau

3 Định thức là 1 hàm tuyến tính của mỗi hàng tách biệt

de

tb

ta

= t

de

b

a

;

dc

'bb'a

=

dc

b

a

+

dc

'b'a

4 Nếu A (vuông) có 2 hàng bằng nhau thì detA = 0

6 Nếu có một hàng toàn số không thì định thức sẽ bằng 0

7 Nếu A là ma trận tam giác trên thì detA = tích các phần tử trên đường chéo chính

II.4 Cách tính định thức cấp cao II.4.1 Ba phương pháp để tính định thức

1 Phương pháp trụ: các phép biến đổi sơ cấp (không kể phép tráo đổi hàng đã biến A thành ma trận tam giác trên U )

1 3

2 0

0 1 2

1 3

2 0

0 1 2

1 0 01

2 1 0

1 2 1

0 1 2

4

vì thế det A = 2

9

163

4.32

=

110

320

654

→ det A = (det P) 4.2.6

23 22

21

13 12

11

aa

a

aa

a

aa

Chú ý:

Các chỉ số cột của ma trận A cấp (3 × 3) sẽ có thể là: (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (3, 2, 1) đây là 6 hoán vị của các số (1, 2, 3), trong đó 3 hoán vị cuối có số lẻ vị trí đổi chỗ

Mở rộng: detA = tổng của n ! định thức đơn giản Gọi α, β,…w là một hoán

vị nào đó của 1, 2, …, n Công nhận công thức sau (xem thêm trong giáo trình):

Công thức quan trọng: detA = ∑∑∑ (det P) a1αα a2ββββ … anw

Trong đó P là ma trận hoán vị hàng nói ở buổi 2

n 1

n

n 2 22

21

n 1 12

11

a

aa

aa

a

aa

Định nghĩa: Phần phụ đại số của phần tử aij (ký hiệu là Cij) được tính theo công thức: Cij = ( − 1 )i+ j det Mij

Trong đó Mij là một ma trận cấp n-1 suy ra từ ma trận A sau khi loại bỏ hàng i cột j của ma trận A

012

→ C11 = (-1)1+1

21

1

2

= 3 , C32 = (-1)3+2

11

02

= -2…

Công thức phần phụ đại số: det A = ai1Ci1 + ai2Ci2 + + ainCin (theo hàng i)

hoặc det A = a1jC1j + a2jC2 j + + anjCnj (theo cột j)

Định nghĩa:

ma trận

nn n

n

n n

C C

C

C C

C

C C

C C

2 22

21

1 12

11

= được gọi là ma trận phần phụ đại số

* Ma trận chuyển vị của C: CT được gọi là ma trận phụ hợp

II.4.2 Công thức tìm ma trận nghịch đảo bằng phần phụ đại số

Một cách tìm ma trận nghịch đảo A−1 bằng phương pháp mới Đó là dùng ma trận phụ hợp Công thức tìm A−1 như sau (xem giải thích trong giáo trình):

101

310

→

6 2

5 det

x

x

x x

x

5

1 1

II.4.3 Quy tắc Cramer để giải hệ đại số tuyến tính

Quy tắc sau đây được mở rộng cách giải hệ 2 phương trình tuyến tính đã được học ở phổ thông trung học

4 4

2

1 1

1

A → tính detA = …

0 1 2

4 4

200

1 1

65 det 1

−

=

0 2

1

4 200 2

1 65

1 det B2 = = …

Từ đó

A

B x

det

det 3

3 = = …

Chú ý: có thể dùng qui tắc Cramer để biện luận các trường hợp của hệ ĐSTT

II.4.4 Các ứng dụng của định thức trong R31 Tính diện tích 1 tam giác (tự đọc trong giáo trình trang 318).2 Tính thể tích hình hộp, bình hành (tự đọc trong giáo trình trang 320

4 Quy tắc Cramer để giải hệ đại số tuyến tính (cách dùng quy tắc Cramer để biện luận hệ đại số tuyến tính)

19

Tuần 4

Chương III:

Không gian véc tơ và không gian con

III.1 Không gian véc tơ

III.1.1 Khái niệm không gian gồm các véc tơ

Từ các phép toán số học, liên quan đến tập hợp các số thực, số nguyên,

số tự nhiên, trong ba tuần qua, chúng ta đ" làm quen với phép toán các véc tơ và thậm chí các ma trận m hàng n cột Chắc chắn là cần mở rộng tập hợp các số thực lên các không gian R2, R3 (2 chiều và 3 chiều), thậm chí các không gian mà mỗi phần tử cuả nó là 1 ma trận m hàng n cột hoặc trừu tượng hơn nữa

Trước hết, không gian Rn là 1 sự mở rộng rất cụ thể của R2, R3, đó là

định nghĩa sau:

Định nghĩa: Không gian Rn là tập hợp tất cả các véc tơ n thành phần

Chú ý: Trong Rn ta có thể cộng (trừ) 2 véc tơ với nhau và có thể nhân 1 véc tơ với 1 số

Các phép toán cộng véc tơ ∝ + β và nhân với vô hướng c∝ của Rn có 8 tính chất sau đây:

(1) ∝ + β = β + ∝

(2) ∝ (β + γ) = (∝ + β) + γ

(3) Tồn tại duy nhất "véc tơ không" sao cho α + 0 = 0 với mọi ∝

(4) §èi víi mâi ∝ tån t¹i duy nhÊt vÐc t¬ -∝ sao cho ∝ + (-∝) = 0 (5) 1 nh©n víi ∝ b»ng ∝

(6) (c1c2) ∝ = c1(c2∝)

(7) c(∝ + β) = c∝ + cβ

(8) (c1 + c2) β

III.1.2 Më réng kh¸i niÖm kh«ngv gian vÐc t¬

XÐt c¸c tËp hîp (theo nghÜa më réng) sau ®©y:

M: Kh«ng gian bao gåm tÊt c¶ c¸c ma trËn thùc, vu«ng, cÊp 2 F: Kh«ng gian bao gåm tÊt c¶ c¸c hµm thùc f(x)

Z: Kh«ng gian chØ chøa duy nhÊt 1 vÐc t¬ kh«ng

Ta nhận thấy các phép toán ma trận và cộng 2 hàm số thông thường cũng đều thoả m"n 8 điều kiện nói trên

Định nghĩa: Tập hợp (không trống) V được gọi là một không gian véc tơ (tiến trường số thực) nếu trên V được trang bị 2 phép toán

• Phép cộng hai véc tơ trên V cho ta một véc tơ cũng thuộc k hông gian V

và phép toán cộng véc tơ thoả m"n các điều kiện (1) - (4)

• Phép nhân 1 véc tơ trong không gian V với 1 số thực (đại lượng vô hướng) ssao cho kết quả cũng là 1 véc tơ trong không gian V và phép nhân này thoả m"n các tính chất (5) - (6)

III.2 Kh«ng gian con

III.2.1 §Þnh nghÜa:

Kh«ng gian con cña mét kh«ng gian vÐc t¬ lµ 1 tËp con c¸c vÐc t¬ (bao gåm c¶ vÐc t¬ kh«ng) tho¶ m"n hai ®iÒu kiÖn sau: NÕu V vµ W lµ hai vÐc t¬ trong tËp con nµy vµ ∝ lµ mét sè bÊt kú th×:

(i): V + W vÉn lµ mét vÐc t¬ thuéc tËp con Êy

(ii): ∝V vÉn lµ mét vÐc t¬ thuéc tËp con Êy

* Chó ý 1: Trong kh«ng gian vÐc t¬ R3 cã c¸c kh«ng gian con:

• ChÝnh kh«ng gian R3