Hệ thống tuyến tính 1

Ví dụ: Tín hiệu điện: Điện áp và dòng điện trong một mạch Tín hiệu cơ: Vận tốc của ô tô theo thời gian Tín hiệu vào: Tín hiệu vào một hệ thống từ nguồn bên ngoài.. Ví dụ: tín hiệu điện á

BÀI GIẢNG HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH I

Phần I: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN

TÍN HIỆU & HỆ THỐNG

Xét bộ lò xo giảm xóc của ô tô

Mô hình đơn giản của bộ lò

xo giảm xóc của ô tô trên một bánh:

GIỚI THIỆU MÔN HỌC

TÁC DỤNG VÀ THÔNG SỐ CỦA CÁC BỘ PHẬN

Tác dụng chung của bộ lò xo giảm xóc: triệt tiêu lực tác động của

mặt đường lên bánh xe.

Khối lượng ô tô:

1 2

dt

dx dt

dx B dt

dx B t f dt

2

M

 s BsX  s sX  s KX  s X  s K X  s F s X

M

K Bs

s

1 2

K Bs s

F K K Bs s

M

s

2 1 2

2

1 2

1 2

3 1 2 1 1

K Bs s

CÁC BƯỚC THỰC HIỆN

Bước 5: Khảo sát đặc tính động học của mô hình

Công cụ: Dùng biểu đồ Bode – Matlab

• Tín hiệu không liên tục

• Giới thiệu và Matlab và Simulink

VÍ DỤ TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG

Hệ thống: ô tô Các thành phần của hệ thống: thân xe, bánh xe, lốp, lò xo và bộ

giảm xóc

Tín hiệu: vị trí theo chiều thẳng đứng và vận tốc của các thành phần

của hệ thống, đó là hàm của quãng đường đi

x : độ dài quãng đường đi: chiều cao của đường = tín hiệu vào: độ cao của trục xe = tín hiệu nội: độ cao của người = tín hiệu ra

TÍN HIỆU LÀ GÌ

Tín hiệu là những đại lượng đo được và là hàm của một hoặc

nhiều biến và mang thông tin.

Ví dụ:

Tín hiệu điện: Điện áp và dòng điện trong một mạch

Tín hiệu cơ: Vận tốc của ô tô theo thời gian

Tín hiệu vào: Tín hiệu vào một hệ thống từ nguồn bên ngoài.

Tín hiệu ra: Tín hiệu do hệ thống tạo ra tương ứng với tín hiệu vào.

Tín hiệu nội: Tín hiệu xuất hiện bên trong hệ thống mà không phải

là tín hiệu vào lẫn tín hiệu ra

TÍN HIỆU LIÊN TỤC THEO THỜI GIAN

Tín hiệu liên tục có giá trị xác định ở mọi điểm trong thời gian.

Ví dụ: tín hiệu điện áp, vận tốc, nhiệt độ

TÍN HIỆU RỜI RẠC THEO THỜI GIAN

Một tín hiệu rời rạc có giá trị xác định ở từng thời điểm rời

rạc và nó không được xác định giữa các điểm này.

Ví dụ: giá hàng hoá hàng ngày (hay bất cứ cái gì mà máy tính số

Hệ thống cũng có thể được định nghĩa là một nhóm các thành phần vật lý tập hợp lại để thực hiện một chức năng xác định Nó có thể là kết hợp của các hệ thống điện, cơ, thuỷ lực, nhiệt…

Ví dụ:

- Một mạch có tụ điện có thể được xem thành một hệ thống biến đổi một điện áp nguồn (tín hiệu) tới điện áp (tín hiệu) trên tụ điện.

- Một đầu CD nhận tín hiệu trên CD và biến đổi nó thành tín hiệu gửi tới loa.

- Một hệ thống thông tin thông thường gồm ba hệ thống con: bộ phát, kênh

MÔ TẢ TOÁN HỌC

Mục đích: Dự đoán các đặc tính hoạt động của một hệ thống

trong những điều kiện môi trường xác định

Để hiểu và điều khiển các hệ thống phức tạp

 xây dựng mô hình toán học của hệ thống.

Mô hình toán học là một tập các phương trình vi phân mô tả

hoạt động của hệ thống

VÍ DỤ Tìm mô tả toán học của Hệ thống chiếu sáng 3 đèn

GIẢI:

Tín hiệu vào: điện áp v(t).

Tín hiệu ra: dòng điện của hệ thống

- Chia theo thời gian

- Đảo ngược thời gian

- Dịch thời gian

Chia theo thời gian

Chia tỉ lệ theo thời gian mở rộng hoặc nén một tín hiệu dọc

theo trục thời gian

Ví dụ: truyền dữ liệu từ vệ tinh về trái đất Dữ liệu lấy mẫu

được tập hợp và lưu giữ theo toàn bộ quỹ đạo vệ tinh Chúng

được truyền trong một khoảng rất nhỏ của quỹ đạo khi vệ tinh

gần nhất với trạm thu tín hiệu Tín hiệu được nén trong thời

gian bằng cách sử dụng truyền một khoảng trống lấy mẫu nhỏ

hơn nhiều so với khoảng trống lấy mẫu dữ liệu thu thập

Đảo ngược thời gian (Time reversal)

Phép toán này đảo ngược tín hiệu tại t = 0 và sau đó đảo tín hiệu trên trục thời gian

y(t) = x (-t)

Dịch thời gian (Time Shift)

Dịch thời gian của tín hiệu dọc theo trục thời gian

ĐẶC TÍNH CỦA TÍN HIỆU

Tín hiệu tiền định:

Là tín hiệu mà mỗi giá trị của nó đều cố định và có thể được mô

tả bằng một hàm toán học, hoặc quy tắc hoặc bảng

Ví dụ:

ĐẶC TÍNH CỦA TÍN HIỆU

Tín hiệu xác định đơn giản và tín hiệu xác định từng phần:

- Tín hiệu xác định đơn giản: được mô tả bởi một phương

trình

- Tín hiệu xác định từng phần: được mô tả bởi một tập

các phương trình

Tín hiệu được lượng tử hoá:

Tín hiệu lượng tử hoá liên tục với khoảng cách lượng tử bằng 2

ĐẶC TÍNH CỦA TÍN HIỆU

Tín hiệu tuần hoàn và tín hiệu không tuần hoàn:

- Tín hiệu tuần hoàn: (chu kỳ) lặp lại trên trục thời gian

ĐẶC TÍNH CỦA HỆ THỐNG

Hệ thống nhớ

• Hệ thống nhớ nghĩa là nó có khả năng lưu giữ thông tin đầu

vào quá khứ

• Hệ thống nhớ có tín hiệu ra ở thời điểm phụ thuộc vào giá

trị tín hiệu vào tương ứng với các thời điểm

Hệ thống không nhớ:

• Hệ thống không nhớ có giá trị tín hiệu ra ở thời điểm chỉ

phụ thuộc vào giá trị tín hiệu đầu vào tương ứng chỉ tại thời

điểm

• Hệ thống không nhớ không chứa thành phần tích trữ năng

lượng như tụ điện, điệm cảm

• Các phương trình hệ thống của nó không chứa phần tử đạo

Một hệ thống nhân quả có giá trị tín hiệu ra ở thời điểm t1chỉ phụ

thuộc vào giá trị của tín hiệu vào ở các thời điểm

ĐẶC TÍNH CỦA HỆ THỐNG

Bậc của hệ thống

Bậc của một hệ thống một đầu vào, một đầu ra là bậc tương ứng

của các phương trình vi phân, sai phân của hệ thống

Ví dụ: Cho các phương trình hệ thống:

         

t x dt t dx t y dt t dy dt

Một hệ thống tuyến tính nếu với A, B, và , đầu vào

tạo ra đầu ra khi đầu vào và tạo ra đầu ra tương ứng là

Hệ thống dừng theo thời gian:

Một hệ thống dừng theo thời gian nếu đầu ra chỉ dịch một khoảng

thời gian ∆t khi đầu vào dịch một khoảng thời gian ∆t

Phần II: MÔ TẢ TÍN HIỆU LIÊN TỤC TRONG MIỀN THỜI GIAN

PHẦN II: MÔ TẢ TÍN HIỆU LIÊN TỤC TRONG MIỀN THỜI GIAN

Những vấn đề được đề cập:

- Tín hiệu điều hoà và tín hiệu hàm mũ phức

- Tín hiệu hàm mũ

- Tín hiệu kỳ dị

- Năng lượng và công suất của tín hiệu

- Biểu diễn tín hiệu bằng chuỗi Fourier tổng quát hoá

TÍN HIỆU ĐIỀU HOÀ (TÍN HIỆU SIN)

Ví dụ: Tín hiệu điện áp, dòng điện…

2 sin

Viết phasor quay thành:

trong đó:X là số phức bằng với giá trị phasor quay ở t=0 Độ lớn

của X là biên độ A và góc của X là pha  của tín hiệu x(t).

X là biểu diễn phasor của x(t).

0 0

VÍ DỤ: VÍ DỤ 3.4

Biết và

Hãy xác định và vẽ đồ thị các tín hiệu

và

1 ( )  3 (  0.5), 2 ( )   0.5 (  2), 3 ( )  4 (  1), 4 ( )   1.5 (  0.5)

3 khi 0 2 ( ) 3 12 khi 2 4

Năng lượng và công suất của tín hiệu

Năng lượng tín hiệu của tín hiệu x(t):

Công suất tín hiệu của tín hiệu x(t):

Chú ý:

Năng lượng của tín hiệu không phải là năng lượng thực vì nó chỉ phụ thuộc vào tín hiệu mà không phụ thuộc vào thành phần hệ thống liên quan tới tín hiệu

VÍ DỤ 3.8

Ví dụ 3.8

Tín hiệu năng lượng và tín hiệu công suất

Tín hiệu năng lượng:

Một tín hiệu năng lượng có năng lượng tín hiệu xác định Nghĩa

là x(t) là một tín hiệu năng lượng nếu:

Tín hiệu công suất

Một tín hiệu công suất có công suất tín hiệu xác định Nghĩa là

 Một tụ điện phóng điện qua điện trở nối

trên các đầu cực của nó tại t = 0 Điện áp

trên các đầu cực đo được là

limlim

0 6

0

6

6 2

T

t T

v

e dt

e

dt t u e dt

t u e

E

P v = 0 do E v hữu hạn Tín hiệu v(t) là tín hiệu năng lượng do E vhữu hạn.

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU BẰNG CHUỖI FOURIER

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU BẰNG CHUỖI FOURIER

TỔNG QUÁT HOÁ

Các tiêu chuẩn đánh giá:

Biên độ nhỏ nhất

Diện tích sai lệch biên độ nhỏ nhất

Diện tích bình phương sai lệch là nhỏ nhất

   

 max x ˆ t  x t  min

1

ˆ min

t

t

dt t x t x

t

t

dt t x t x

VÍ DỤ 3.13

Tín hiệu điện áp x(t) trên cơ sở hai tín hiệu cơ bản 1(t) và 2(t) như hình vẽ Tìm hằng số X n sao cho chuỗi xấp xỉ x(t) trong khoảng 0 < t < 2 với sai số bình phương tích phân nhỏ nhất Thực hiện với N = 1 và N = 2

2 2 1

1 X t  dt X  X 



03/28

2 2

0 3 / 28

4

2 2 2



03/28

2 2 2 1

2 X X t t  dt X  X  X  X 



0 3 / 8 ) 3 / 4 ( và 0 3 / 28

dX

 ở ví dụ 13.3: giá trị của X1thay đổi khi thêm thành phần thứ 2

ở ví dụ 13.4: giá trị của X1không thay đổi khi thêm thành phần

thứ 2

 tập tín hiệu cơ bản trong ví dụ 13.4 có tính chất: trực giao với

nhau.

Tín hiệu trực giao

Các tín hiệu cơ bản trực giao với nhau trong khoảng thời

gian t1< t < t2nếu và chỉ nếu:

Chọn các tín hiệu làm các tín hiệu cơ bản

Chọn các hệ số ứng với một tập các tín hiệu cơ bản sao cho tích phân sai lệch bình phương là nhỏ nhất:

n

X

BÀI GIẢNG KT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

Phần IV: PHÂN TÍCH HỆ THỐNG LIÊN TỤC TRONG MIỀN THỜI GIAN

CHƯƠNG IV: PHÂN TÍCH HỆ THỐNG LIÊN TỤC

TRONG MIỀN THỜI GIAN

Mục đích:Xác định biểu diễn trong miền thời gian của tín hiệu ra của một hệthống từ biểu diễn trong miền thời gian của tín hiệu vào của hệthống

Chỉ xem xét các hệ thống tuyến tính bất biến.

 Một số khái niệm cơ bản:

 * Phương trình hệ thống: Mô hình toán học biểu diễn quan hệ

vào - ra của một hệ thống liên tục được gọi là phương trình hệ

thống

 * Mục đích: Xác định đáp ứng của hệ thống với một đầu vào

xác định ở và có điều kiện đầu xác định tại

 * Với hệ thống tuyến tính, đáp ứng là tổng của đáp ứng với

4.1 GiẢI PHƯƠNG TRÌNH HỆ THỐNG

(Phương pháp trực tiếp)

 VÍ DỤ 4.1

 Tìm tín hiệu đầu ra y(t), với tương ứng với đầu vào ,

khi năng lượng tích lũy trong tụ tại thời điểm là

dy t

RC y t x t

dt  

( ) ( ) 0

dy t

RC y t

dt  

0 ( 1) 0

4.1 GiẢI PHƯƠNG TRÌNH HỆ THỐNG

(Phương pháp trực tiếp)

 Giải:

 Phương trình hệ thống:

 Thànhphần đầu tiên là đáp ứng trạng thái không

 Thànhphần thứ hai là đáp ứng đầu vào không

đáp ứng tại trạng thái 0 với đầu vào là hàm xung đơn vị tại thời điểm t = 0.

 Phương pháp trực tiếp để tìm đáp ứng xung của hệ thống là giải phương trình hệ thống với đầu vào là hàm xung đơn vị và các điều kiện đầu bằng không

 Phương pháp khác: Sử dụng phép biến đổi Laplace

( ) ( )

x t  t y t( ) h t( )

4.2 ĐÁP ỨNG XUNG CỦA HỆ THỐNG

 Ví dụ 4.2

 Tìmđáp ứng xung cho bộ lọc RC đơn giản được

phân tích trong vídụ 4.1 và biểu diễn trong hình 4.2

 Cách 3: hàm xung là đạo hàm của hàm bước nhảy

 Do đó, tính đáp ứng bước nhảy của hệ thống

 Đạo hàm kết quả tìm đc

4.3 ĐÁP ỨNG TRẠNG THÁI 0 CỦA HỆ THỐNG

 Mục đích: dùng đáp ứng xung h(t), tín hiệu đầu vào x(t) và

một mô hình số nguyên chồng để tìm đáp ứng trạng thái 0 của

4.3 ĐÁP ỨNG TRẠNG THÁI 0 CỦA HỆ THỐNG

 Hệ thống nhân quả

Đầu ra:

Hệ thống nhân quả tuyến tính bất biến khi và chỉ khi

 Đáp ứng của hệ thống với tín hiệu hình cos là một tín hiệu

hình cos có cùng tần số chỉ khác nhau về biên độ và pha Vì

vậy, chỉ cần xác định hai tham số làH f( )1  và

 Tích chập liên tục của hai hàm và là

 Trong đó α là một biến độc lập và β là một biến hình thứcđược sử dụng trong tích phân này

 Tính toán tích chập liên tục

• Bước 3: Tính tích chập này cho tất cả các giá trị của biến độclập α

sự thay đổi nhiệt độ điều khiển từ giá trị hiện tại, là sự

thay đổi nhiệt độ được tạo ra và t được đo bằng phút Tìm: sự

thay đổi nhiệt độ tạo ra bởi hệ thống khi hệ số khuêch đại là0.5 và sự thay đổi bước tại thời điểm t = 4 min

 Bước 3: tính các tích phân này để tìm sự thay đổi nhiệt độ

được tạo ra với mọi t.

4.4 TÍCH CHẬP

 VÍ DỤ 3:

 Bước 3: tính các tích phân này để tìm sự thay đổi nhiệt độ

được tạo ra với mọi t.

 Trường hợp 2: t 4

0.5( ) 0.5( 4) 4

t t





t t

5 ( os(2 )+2sin(2 )) 3

5 6

os(2t) 5

t t

t t

t

e c e

Bài tập Bai tap

BÀI GIẢNG KT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

Phần V: BIỂU DIỄN TRONG MIỀN TẦN SỐ CỦA TÍN HIỆU LIÊN TỤC

CHƯƠNG V: BIỂU DIỄN TRONG MIỀN TẦN SỐ

CỦA TÍN HIỆU LIÊN TỤC

Các vấn đề thảo luận

 Phổ và dải thông của tín hiệu liên tục theo thời gian

 Biểu diễn Fourier của tín hiệu (dạng mũ phức) (TH riêng: tínhiệu tuần hoàn)

 Phổ biên độ và phổ pha của tín hiệu tuần hoàn

 Biến đổi Fourier và phổ của tín hiệu năng lượng không tuầnhoàn

 Biến đổi Fourier và phổ của tín hiệu không năng lượng

5 MÔ TẢ TÍN HIỆU LIÊN TỤC TRONG

MIỀN TẦN SỐ

 Xét tín hiệu điên áp

 Đặc trưng bởi biên độ là 2 và 0.75, các pha là -π/4 rad và -π/3

rad, tại các tần số f1= 1 Hz và f2= 2 Hz Sáu con số này mô

tả biên độ và pha của tín hiệu bằng các hàm theo tần số

5.1 Phổ tần và dải thông của tín hiệu liên tục

theo thời gian

 Định nghĩa: Biên độ và pha của tín hiệu được biểu diễn thành

hàm của tần số gọi là phổ biên độ và phổ pha của tín hiệu

 Xét tín hiệu cosine:

 biên độ A x  A(f): phổ biên độ

 góc pha x  Ph(f): phổ pha (rad).

 Nó được gọi là các phổ tần số một chiều, vì nó có giá trị tại

x t A  f t

5.1 Phổ tần và dải thông của tín hiệu liên tục

theo thời gian

 VÍ DỤ:Xét tín hiệu cosine:

 Đặc trưng của tín hiệu: biên độ: 3 góc pha: -π/3 tại f =10

x t    t  

5.1 Phổ tần và dải thông của tín hiệu liên tục

theo thời gian

Các loại phổ:

 Phổ một phía: Phổ chỉ có giá trị ứng với các tần số dương

 Phổ hai phía: Phổ có giá trị ứng với cả tần số dương và âmDo

Biểu diễn tín hiệu cosine x(t) thành tổng của hai phasor quay

Các vector pha quay tròn này có độ lớn là các số phức liên hợp

và quay được vòng mỗi giây

cos sin cos sin  cos

5.1 Phổ tần và dải thông của tín hiệu liên tục

theo thời gian

5.1 Phổ tần và dải thông của tín hiệu liên tục

theo thời gian

 Việc sử dụng phổ tần số hai chiều làm cho việc phân tích các

hệ thống trở nên thuận tiện và dễ dàng hơn

5.1 Phổ tần và dải thông của tín hiệu liên tục

theo thời gian

 VÍ DỤ: Biểu diễn tín hiệu cosine

( ) x t  3cos[2 (10) ]  t  cos[2 (15) t( / 4)]   2cos[2 (20) t( / 3)]

5.1 Phổ tần và dải thông của tín hiệu liên tục

theo thời gian

 VÍ DỤ: Biểu diễn tín hiệu cosine

Bài tập

Xác định dải thông với

5.1 Phổ tần và dải thông của tín hiệu liên tục

theo thời gian

 Định nghĩa :

 Độ rộng dải thông của tín hiệu liên tục theo thời gian, B, là độ

rộng của miền tần số tính từ tần số dương nhỏ nhất đến tần số

dương lớn nhất mà trong miền tần số đó phổ biên độ lớn

hơn hoặc bằng lần giá trị phổ biên độ lớn nhất, , với

5.1 Phổ tần và dải thông của tín hiệu liên tục

theo thời gian

5.1 Phổ tần và dải thông của tín hiệu liên tục

theo thời gian

 VÍ DỤ: Phổ biên độ của tín hiệu cho thấy tín hiệu chứa tần số

trong dải từ 10 Hz tới 20 Hz

  dải thông tần số của tín hiệu hay dải thông của tín hiệu là

Bx= 20 – 10 = 10 Hz

 Mục đích: khi thiết kế phải xác định độ rộng dải thông trong

hệ thống để không có tín hiệu nào bị mất khi truyền hoặc điều

khiển tín hiệu

5.1 Phổ tần và dải thông của tín hiệu liên tục

theo thời gian

( ) ( ) j nf t

n n



 

 

5.1 Phổ tần và dải thông của tín hiệu liên tục

theo thời gian

 Nhận xét: Phổ 2 phía của một tín hiệu cosine có thể được biểu

diễn thành tổng của hàm mũ phức liên hợp

 * Ý tưởng:

 Để tìm phổ của một tín hiệu ta có thể tìm cách biểu diễn tín

hiệu thành chuỗi Fourier tổng quát hoá xây dựng từ các tín

hiệu cơ bản là các tín hiệu mũ phức

 Đáp ứng của một tín hiệu vào là tín hiệu mũ phức cũng là một

tín hiệu mũ phức đấy nhân với một hằng số

  đáp ứng hệ thống của một tổng các hàm mũ phức là một

tổng chứa cùng các hàm mũ phức như vậy nhưng được nhân

với một hằng số

Biểu diễn tín hiệu trong một khoảng thời

gian bằng chuỗi Fourier

 Biểu diễn Fourier của x(t) khai triển trong khoảng

1

2

n1

Biểu diễn tín hiệu trong một khoảng thời

gian bằng chuỗi Fourier

1) Các tín hiệu có số mũ phức cơ bản là trực giao với nhau

trong khoảng biểu diễn

2) Chuỗi Fourier tuần hoàn với chu kì T1.

3) Tần số này gọi là tần số cơ sở của

  tập các tín hiệu này cũng có thể là một tập đủ

 Năng lượng của tín hiệu sai lệch sẽ tiến về không

trong khoảng biểu diễn khi

Biểu diễn tín hiệu trong một khoảng thời

gian bằng chuỗi Fourier

 Như vậy

 tuần hoàn với chu kì là

 trong khoảng đang xét và lặp lại ngoài khoảng đó

1

2ˆ