Điểm bất động chung đối với các ánh xạ co yếu trong không gin bd metric sắp thứ tự và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LITNA AMPHONEPADID ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ CO YẾU SẮP THỪ TỰ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020...

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LITNA AMPHONEPADID

ĐIỂM BẤT ĐỘNG

CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ CO YẾU

SẮP THỪ TỰ VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2020

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LITNA AMPHONEPADID

ĐIỂM BẤT ĐỘNG

CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ CO YẾU

SẮP THỪ TỰ VÀ ỨNG DỤNG

Ngành: Toán Giải tích

Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Hương dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN - 2020

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sựhướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Các tài liệu trong luận văn là trungthực Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luậnvăn Thạc sĩ của các tác giả khác

Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này

đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõnguồn gốc

Tác gia

Litna AMPHONEPADID

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp nàytôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trongquá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủnhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học TháiNguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy vàtạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậyrất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn họcviên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôitrong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tháng 11 năm 2020

Tác gia

Litna AMPHONEPADID

d

d

d

b - d

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2

1.1 Không gian b - metric 2

1.2 Không gian b - metric 5

1.3 Tôpô trên không gian b - metric 8

CHƯƠNG 2: ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ CO YẾU TRONG KHÔNG GIAN b - METRIC SẮP THỨ TỰ 13

2.1 Nguyên lí ánh xạ co Banach trong không gian b-metric 13

2.2 Điểm bất động chung của các ánh xạ trong không gian b - metric 14

2.3 Điểm bất động chung đối với các ánh xạ co yếu trong không gian metric sắp thứ tự 19

2.4 Sự tồn tại nghiệm chung của hệ các phương trình tích phân 36

KẾT LUẬN 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

Nguyên lí ánh xạ co Banach là một trong những kết quả đơn giản nhưng

có nhiều ứng dụng của lí thuyết điểm bất động metric Nó là một công cụ phổbiến để chứng minh sự tồn tại của nghiệm của các bài toán trong các lĩnh vựckhác nhau của toán học Nguyên lý ánh xạ co Banach đã được mở rộng theohai hướng Hướng thứ nhất là mở rộng nguyên lí ánh xạ co Banach cho cácloại ánh xạ khác nhau như ánh xạ co yếu, ánh xạ dãn, ánh xạ tương thích yếu,ánh xạ tương thích,… Hướng thứ hai là thiết lập nguyên lí ánh xạ co Banachcho

các không gian kiểu metric: chẳng hạn các không gian 2-metric, D-metric, b

metric, b2 - metric, G - metric,… Năm 2000, Hitzler và Seda đã giới thiệukhái niệm d - metric và d - tôpô và thiết lập định lí điểm bất động trongkhông gian d - metric đầy đủ Năm 2013, N Hussain, J.R Roshan, V.Parvaneh và M.Abbas đã giới thiệu khái niệm b - metric và thiết lập định lí

-về điểm bất động chung đối với các ánh xạ co yếu trong không gian b

-metric Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi chọn đề tài: “Điểm bất động chung đối

Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoàinước quan tâm nghiên cứu

Nội dung luận văn được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [3], [6] và [8],gồm 40 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận

và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1: Giới thiệu khái niệm và một vài tính chất của không gian b metric và không gian b d - metric

-Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày lại các kết quảnghiên cứu gần đây của N Hussain, J.R Roshan, V Parvaneh và M.Abbas vềđiểm bất động chung đối với các ánh xạ co yếu trong không gian b - metric

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

1.1 Không gian b - metric

Cặp (E ,d) được gọi là không gian b - metric

Chú ý rằng lớp các không gian b - metric rộng hơn lớp các không gian

metric

Thật vậy, một b - metric là một metric khi và chỉ khi l = 1

Ví dụ 1.1.2 Không gian l (0 <

ìïï

với hàm số d : l ´ l ® ¡ p p + , xác định bởi

p p

n n d(u,v) = (

,

trong đó u = (u ),v = (v ) Î l là một không gian b -metric với l = 2 n n p 1/ p

Ví dụ 1.1.3 Cho (E,d) là một không gian metric và p(u, v)

đẳng thức

a ) hội tụ nếu và chỉ nếu tồn tại u Î E sao cho d(u n , u) ® 0, khi n ® ¥ .

Trong trường hợp này, ta viết lim u

x ® ¥ n = u

b) dãy Cauchy khi và chỉ khi d(u ) ® 0, khi m,n ® + ¥ .

Mệnh đề 1.1.5 Trong một không gian b - metric (E ,d)

đây được thỏa mãn:

các khẳng định sau

i)

ii)

iii)

một dãy hội tụ có giới hạn duy nhất,

mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy,

nói chung, một b - metric là không liên tục.

Định nghĩa 1.1.6 Không gian b - metric (E ,d)

dãy Cauchy trong E đều hội tụ

được gọi là đầy đủ nếu mọi

Nói chung, một hàm b - metric d với l > 1 không liên tục theo cả hai biến.Sau đây là ví dụ về một b - metric không liên tục

nếu m, n là các số chẵn hoặc m.n = ¥

m n

với 0 < q < 1 / l và mỗi n Î ¥ Khi đó {v n } là dãy Cauchy trong E

Bổ đề 1.1.11 Cho (E ,d) là không gian b - metric với l ³ 1 Giả sử rằng

{u } và {v n } là b - hội tụ đến u và v tương ứng Khi đó ta có:

1

d(u, v) £

l 2 n ® ¥ n n lim inf d(u ) £ lim sup d(u ) £

n ® ¥ n n l 2d(u, v).

x ® ¥ n n 0, hơn nữa với mỗi w Î E ta có

Định nghĩa 1.1.12 Cho (E ,d) là một không gian b - metric Một cặp ánh xạ

{f , g} được gọi là tương thích nếu và chỉ nếu lim

E Nếu w = fu = gu với u Î E , thì u được gọi là điểm trùng của f và g ,

trong đó w được gọi là điểm trùng nhau của f và g

Định nghĩa 1.1.14 Cho f và g là hai tự ánh xạ xác định trên tập E Khi đó

f và g được gọi là tương thích yếu nếu chúng giao hoán tại mỗi điểm trùng

1.2 Không gian b - metric

Định nghĩa 1.2.1 Cho E là tập không rỗng Ánh xạ

gọi là d l - metric nếu thoả mãn điều kiện sau với mọi u,v,w Î E :

(i) Nếu d (u, v) = 0 thì u = v ;

Cặp (E ,d )được gọi là không gian d - metric

Chú ý rằng khi u = v , d (u, v)có thể không bằng 0

Định nghĩa 1.2.3 Dãy {u } trong không gian d - metric được gọi là:

(1) dãy Cauchy nếu với e > 0, tồn tại $n 0 Î ¥ sao cho với" n, m ³ n , ta có

d (u , u ) < e l m n hoặc lim d (u ,u ) = 0

n,m ® ¥ l m n

trên E .

Định nghĩa 1.2.5 Cho (E,° ) là tập được sắp thứ tự bộ phận Khi đó u,v Î E

gọi là so sánh được nếu u ° v hoặc v ° u

Định nghĩa 1.2.6 Cho (E,° ) là tập được sắp thứ tự bộ phận Tự ánh xạ f trên

Ví dụ 1.2.7 Cho E = [0,1] được trang bị thứ tự thông thường và

Định nghĩa 1.2.8 Cho (E,° ) là tập được sắp thứ tự bộ phận Tự ánh xạ f

trên

E được gọi là bị trội nếu fu ° u với mỗi u Î E

Ví dụ 1.2.9 Cho E = [0,1] được trang bị thứ tự thông thường và

f

: E ® E

được xác định bởi fu = u n

f là ánh xạ bị trội

Định nghĩa 1.2.10 Cho E là tập không rỗng Ánh xạ d : E ´ E ® [0,¥ )

được gọi là b d - metric nếu các điều kiện sau thoả mãn với mọi u,v,w Î E và

l ³ 1:

(b d 1) nếu b (u, v) = 0 d thì u = v ; (b ) b (u, v) = b (v, u) ; d 2 d d

Cặp (E,b d ) được gọi là không gian b d - metric.

Chú ý rằng lớp các không gian b - d lmetric rộng hơn lớp các không gian d

-metric, vì b - d lmetric là d - metric khi l = 1.

Sau đây là một ví dụ chỉ ra rằng nói chung

Ví dụ 1.2.11 Cho (E ,d ) l l d llà không gian d - metric và b (u,v) = (d (u,v)) p

trong đó p > 1 Ta sẽ chỉ ra b d là một b - metric với l = 2 p- 1

thiết là không gian d l - metric Chẳng hạn, nếu E = ¡ là tập hợp các số thực,

thì d (u,v)= | u | + | v | là d - metric và b (u, v) = (| u | + | v |) là b

-metric trên ¡ với l = 2 nhưng không phải d - metric trên ¡

1.3 Tôpô trên không gian b - metric

Sarma và Kumari [9] đã thiết lập sự tồn tại của tôpô cảm sinh bởi d

-metric mà nó -metric hóa được với họ các tập hợp {B(u, e) È {u} : u

Chú ý rằng giới hạn của lưới trong (E ,b )là duy nhất.

Với A Í E , ta viết D(A) = {u Î E : u là giới hạn của lưới trong(A,b )}

Mệnh đề 1.3.2 [9] Nếu A, B Í E , thì

(i) D(A) = Æ nếu A = Æ,

(ii) D(A) Í D(B ) nếu A Í B ,

(iii) D(A È B) = D(A) È D(B) ,

(iv)

D(D(A)) Í D(A)

chứng minh tương tự với các kết quả được đưa ra trong [9].

Mệnh đề 1.3.6 Cho A Í E Khi đó u Î D(A) nếu với mọi d > 0, (u) Ç A ¹ Æ.

Hệ qua 1.3.7 u Î A Û u Î A hoặc B (u) Ç A ¹ Æ, " d > 0

Hệ qua 1.3.8 Tập A Í E là mở trong (E,b , t d b

d ) Û với mọi u Î A , tồn tại

Mệnh đề 1.3.9 Nếu u Î E và d > 0, thì {u} È B d (u) mở trong (E,b , t ) d b

Dựa theo Mệnh đề 3.2 trong [2], ta có mệnh đề sau.

Mệnh đề 1.3.12 Cho (E,b d ) là không gian b d - metric Khi đó các điều kiện

sau là tương đương:

(ii) d là b - metric.

(iii) Với mọi u Î E và mọi r > 0, ta có B r (u) ¹ Æ.

Định nghĩa 1.3.13 Dãy {u } n trong không gian b - metric (E ,b ) hội tụ đối

d , u)

d hội tụ đến 0 khi n ® ¥ .

d d d n

Trong trường hợp hày, u được gọi là giới hạn của {u } và ta viết u ® u .

Mệnh đề 1.3.14 Giới hạn của dãy hội tụ trong không gian

{u } trong không gian b - metric (E ,b )được gọi là

d d

dãy b - d dCauchy trong E đều b - hội tụ

Ví dụ sau đây chỉ ra rằng nói chung b - metric không liên tục

Ví dụ 1.3.18 Lấy E = ¥ È {¥ } và b : E ´ E ® ¡ được xác định bởi

=

1 +

1 nếu m,n chẵn hoặc mn = ¥

d m n

b (m,n )= 5 nếu m và n lẻ và m ¹ n

b (m,n )= 2 trong các trường hợp còn lại

Khi đó, dễ thấy rằng với mọi m,n, p Î E , ta có

Bổ đề sau về dãy b - hội tụ sẽ cần thiết trong chứng minh kết quả chính

d

d

n ® ¥ d n n

n ® ¥ d n n d

1

b (u,w) £ lim inf b

(u ,w) £ lim supb (u ,w) £ l b (u,w)

l d n ® ¥ d n n ® ¥ d n d

Nói riêng, nếu b (u, w) = 0 d n ® ¥ d n d , thì lim b (u , w) = 0 = b (u, w)

Khẳng định cuối cùng được chứng minh tương tự, nhờ sử dụng bất đẳng thứctam giác

Định nghĩa 1.3.20 Cho (E ,b )là không gian b - metric Khi đó cặp (f , g)

được gọi là tương thích khi và chỉ khi lim b (fgu , gfu )

=

0 , với mọi dãy

{u } Ì E n n ® ¥sao cho lim fu = lim n n ® ¥ n gu = t với t Î E nào đó.

CHƯƠNG 2 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ CO YẾU

2.1 Nguyên lí ánh xa co Banach trong không gian b-metric

Định lý 2.1.1 Cho (E ,d) là không gian b - metric đầy đủ,

Nếu w là điểm bất động khác của f , thì ta có

d(w, w ) = d(fw, fw ) £ qd(w, w ) 1 1 1 Điều này chỉ có thể xảy ra khi w = 1 W

Định lý 2.1.2 Cho (E ,d) là không gian b - metric đầy đủ,

f

: E ® E là

l Vì q ® 0 khi n ® ¥ , nên tồn tại

n Î ¥ 0 nsao cho q < q với mỗi n ³ n Khi đó

0với mọi u,v Î E khi n ³

Nói cách khác, với m ³ tùy ý, g = f m

2.2 Điểm bất động chung của các ánh xa trong không gian b - metric

Định lý 2.2.1 Giả sử f , g, S ,T là các ánh xạ từ không gian b - metric đầy

đủ (E ,d) vào chính nó sao cho f (E )

2n 2n + 1

) )

ý),

Tương tự

2n 2n + 1 l 3 2n - 1 2n

l 2 l 4

l (d(Sv, v) + d(fv, v))}

=2

s d(fv, v).

Suy ra (1 - s)d(fv,v) £ 0 Vì 0 < s < 1, nên bất đẳng thức chỉ có thể xảy ra

khi d(fv, v) = 0 Do đó fv = v .

Cuối cùng, từ điều kiện (2.1), và Sv = T v = fv = v , suy ra

Định lý 2.3.1 Cho (E ,b , ° ) là không gian b - metric đầy đủ được sắp thứ

mọi cặp u,v Î E so sánh được với nhau, bất đẳng thức

£

d l l

được thỏa mãn, trong đó

b (Su,T v),b (fu, Su),b (gv,T v),üï

y Î Y và j Î F Nếu với mỗi dãy không tăng {u n } và dãy {v } với v °

(a ) (f , S ) tương thích, f hoặc S liên tục và (g,T

)

tương thích yếu, hoặc

(a ) (g,T ) tương thích, g hoặc T liên tục và (f , S ) tương thích yếu ,

thì f , g,S và T có điểm bất động chung Ngoài ra, tập điểm bất động chung của f , g,S và T được sắp thứ tự tốt

Giả sử b (v ,vd 2n 2n + 1 ) > 0 với mỗi n Nếu không thì đối với một số k nào đó

2k + 1 2k + 2

d 2k ))

= y (2l 4b (fu ,

gu 2k + 1

£ y (L l (u 2k ,u 2k + 1))- j (L l (u 2k ,u 2k + 1)), (2.7)

= max ï 0, 0,b (v , v

) ), d 2 k 2 k + 2 d 2 k + 1 2 k + 1

0, do đó v = v , điều này kéo theo

Bây gờ, lấy b (v ,v

n ) > 0 với mỗi n Vì u và u

n

so sánh được với

d 2n 2n + 1 2n 2n + 1

nhau, nên từ (2.6) ta có

L b (v ,v )

Kết hợp với (2.9) ta được

l (u 2n ,u 2n + 1)= d 2n + 1 2n + 2

d d

l k ® ¥ d m k n k

-2 -2 ) ( 2 1 2 1 )ï

nên lấy giới hạn trên khi k ® ¥ và từ (2.12) và (2.16), ta nhận được

Bây giờ, ta chỉ ra rằng v là điểm bất động chung của f , g,S và T

Giả sử (a ) xảy ra và S liên tục Khi đó

£ y (L l (Su 2n + 2 , u 2n +

1))

-ìï

(Su 2n + 2 , u 2n + 1 ) 2 2

max ï l b v , v ) (S v , v ) + l b (S

( , ), 0, 0, ï

( )

n ® ¥

n ® ¥ l

Suy ra lim inf

L (u 2n ,v)= 0 , do đó v = gv Như vậy ta được

fv = gv = Sv = T v = v .Chứng minh tương tự khi f liên tục

Trường hợp nếu (a ) xảy ra, thì kết quả cũng được chứng minh tương tự.

Bây giờ, giả sử tập hợp điểm bất động chung của f , g,S và T được sắp thứ tựtốt Ta sẽ chỉ ra rằng chúng có một điểm bất động chung duy nhất Giả sử

ra rằng f , g, Svà T có một điểm bất động chung trên E .

Định lý 2.3.2 Cho (E,b d ,° ) là không gian b d - metric đầy đủ sắp thứ tự, và

f , g, S và T là các tự ánh xạ trên E sao cho (f , g) và (S ,T ) là các ánh xạ bị

cho v = T u và

ï üïïì

max b (f n, v),

1

í d 2 dï

d d d

£ max {b (f n, v), 2l 2b (f n,

d d

Ví dụ 2.3.3 Cho E = [0, ¥ ) được trang bị b - metric

trên E Hiển nhiên, (E,b d ,£ ) là không gian b d - metric đầy đủ được sắp thứ

æ ÷ö æ u ÷ö

f (u) = ln

çè1 +

f (E ) = g(E ) = S (E ) = T (E ) = [0, ¥ ) .Ngoài ra, cặp (g,T ) là tương thích, g là liên tục và (f , S ) là tương thích yếu

Lấy các hàm y ,

j : [0, ¥ ) ® [0, ¥ ) được xác định bởi y (t ) = bt và

j (t ) = (b - 1)t , với mọi t Î [0, ¥ ) , ở đó 1 < b £ 25 Với u,v Î

Hệ qua 2.3.4 Cho (E,b d ,° ) là không gian b d - metric đầy đủ sắp thứ tự và

y Î Y và j Î F Nếu với mọi dãy không tăng {u n } và dãy {v } với v °

minh được suy ra từ Định lý 2.3.2

Hệ qua 2.3.5 Cho (E,b d ,° ) là không gian b d - metric đầy đủ sắp thứ tự và

u,v Î E tùy ý,

2l

d l l