Bài giảng cơ học cơ sở ii động lực học (đại học thủy lợi)

• Nghiên cứu chuyển động cong của chất điểm khi sử dụng các hệ tọa độ khác nhau.. • Trình bày cách phân tích sự phụ thuộc chuyển động tuyệt đối giữa hai chất điểm và nguyên lý về mối qua

BÀI GIẢNG CƠ HỌC KỸ THUẬT

CƠ HỌC CƠ SỞ II – ĐỘNG LỰC HỌC

Biên soạn: PGS.TS Nguyễn Đình Chiều

Bộ môn: Cơ học kỹ thuật – Khoa Cơ khí ĐH Thủy lợi

Hà nội 2008

CHƯƠNG 7 ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM

Với khoảng cách

chuyển động của

những chiếc máy bay

có thể coi mỗi máy bay

như một chất điểm,

mặc dù mỗi chiếc máy

bay này khá lớn

Mục tiêu của chương

• Trình bày các khái niệm: Vị trí, di chuyển, vận tốc và gia tốc

• Nghiên cứu chuyển động thẳng của chất điểm

• Nghiên cứu chuyển động cong của chất điểm khi sử dụng các hệ tọa độ khác nhau

• Trình bày cách phân tích sự phụ thuộc chuyển động tuyệt đối giữa hai chất điểm và nguyên lý về mối quan hệ chuyển động của hai chất điểm khi sử dụng hệ trục tọa độ tịnh tiến

Nội dung

§7.1 Chuyển động thẳng liên tục của chất điểm

d dt

s

a = (7-2)

Hình 7-1

Khử dt trong (7-1) và (7-2), thu được:

a ds v dv = (7-3)

• Xét các trường hợp: Gia tốc không đổi a = a C :

a) Vận tốc là hàm của thời gian: v v = +0 a tC (7-4)

b) Vị trí là hàm của thời gian: 2

1

2 C

s s = + v t + a t (7-5) c) Vận tốc là hàm của vị trí: v2 = v02 + 2 ( a s sC − 0) (7-6)

• Các ví dụ áp dụng:

Sinh viên đọc kỹ: Các điểm quan trọng và trình tự phân tích giải các bài toán trong giáo trình

Ví dụ 7-1 Ôtô như hình 7-2 chuyển động trên đường thẳng trong

khoảng thời gian ngắn, vận tốc của nó được xác định bởi công thức

v = (3t2 + 2t) ft/s, ở đây t được tính bằng giây Xác định vị trí và gia tốc của ôtô khi t = 3s Biết rằng khi t = 0 , s = 0

Hình 7-2

Bài giải

Hệ tọa độ Tọa độ vị trí kéo dài từ gốc O cố định đến ôtô, chiều

dương hướng sang phải

Vị trí Do v = f(t), vị trí của ôtô có thể được xác định từ v = ds/dt,

vì phương trình này liên quan đến v, s và t Chú ý s = 0 khi t = 0, ta

s = + t t => s t = +3 t2

Khi t = 3 s, s = (3)3 + (3)2 = 36 ft

Gia tốc Biết v = f(t), gia tốc được xác định từ a = dv /dt, vì

phương trình này liên quan đến a, v và t

giải bài tập này, bởi vì trong bài tập này gia tốc là hàm của thời gian

Ví dụ 7-2 Một viên đạn nhỏ được

bắn theo phương thẳng đứng xuống

dưới vào trong môi trường chất lỏng

với vận tốc ban đầu là 60 m/s Do cản

Hệ tọa độ Vì chuyển động đi xuống, nên tọa độ vị trí hướng xuống

là dương, với gốc tại O, hình 7- 3

Vận tốc Ở đây a = f(v) vì thế ta phải xác định vận tốc như là hàm

của thời gian, sử dụng a = dv/dt, vì công thức này liên quan đến v,

a và t (Tại sao không sử dụng công thức v = v0 + aCt ?) Tách biến

và lấy tích phân, với v0 = 60 m/s khi t = 0 ta có:

v

2 60

= t - 0 -0.4 -2 v

1

0.8 60

Ở đây lấy căn dương, vì viên đạn chuyển động xuống dưới

Khi t = 4s, v = 0.559 m/s ↓

Vị trí Biết v = f(t), ta có thể thu được vị trí của viên đạn từ công

thức v = ds /dt, vì công thức này liên quan đến s, v và t Sử dụng điều kiện đầu s = 0, khi t = 0, ta có:

-1/2 2

Ví dụ 7-3 Trong khi kiểm tra tên lửa

được phóng thẳng đứng với vận tốc

75 m/s, và khi nó đạt đến độ cao 40 m so

với mặt đất thì động cơ của nó hỏng Xác

định độ cao lớn nhất sB mà tên lửa đạt

được và vận tốc của tên lửa ngay trước

khi nó chạm đất Trong khi chuyển động

tên lửa chịu gia tốc trọng trường không

đổi hướng xuống dưới 9.81 m/s2 Bỏ qua

ảnh hưởng của sự cản không khí

Bài giải

Hệ tọa độ Gốc O của tọa độ s lấy ở mặt

đất với chiều dương hướng lên trên, hình

7-4

Hình 7-4

Chiều cao lớn nhất Vì tên lửa chuyển động hướng lên trên,

vA = + 75m/s khi t = 0 Tại độ cao nhất s = sB thì vận tốc vB = 0

Trong quá trình chuyển động, gia tốc aC = -9.81 m/s2 (âm vì nó tác

dụng ngược với hướng dương của vận tốc hoặc chiều dương của độ

di chuyển) Vì aC là hằng số nên vị trí của tên lửa có thể liên quan

đến vận tốc của tên lửa tại hai điểm A và B trên đường đi bằng cách

Vận tốc Để thu được vận tốc của tên lửa ngay trước khi tên lửa

chạm đất, chúng ta có thể áp dụng phương trình (7-6) giữa điểm B

và C, hình 7-4

(+ ) ↑ vC2 = vB2 + 2 ( a sC C − sB) = 0 + 2(– 9.81 m/s

2)(0 – 327 m)

vC = – 80.1 m/s = 80.1 m/s ↓

Nghiệm âm được chọn vì tên lửa chuyển động xuống dưới Tương

tự, phương trình (7-6) có thể được áp dụng giữa điểm A và điểm C (+ ) ↑ C2 = A2 + 2 (C C − A)= (75 m/s)2 + 2(– 9.81 m/s2)(0 – 40m)

vC = – 80.1 m/s = 80.1 m/s ↓

động biến đổi đều với gia tốc 9.81 m/s2, và sau đó từ B đến C vận tốc tăng nhanh hơn Hơn thế nữa, thậm chí tên lửa ngay lập tức đạt đến trạng thái đứng yên ở vị trí B (vB = 0), gia tốc tại B là 9.81m/s2hướng xuống dưới

§7.2 Chuyển động cong liên tục của chất điểm

Người đi xe ô tô đang

di chuyển trên giao lộ

tuyến của gia tốc xuất

hiện khi tốc độ của xe

tăng hoặc giảm

7.2.1 Chuyển động cong tổng quát

dt

=

và (7-8)

d dt

7.2.2 Chuyển động cong: Các thành phần chữ nhật (vuông góc)

* Các ví dụ áp dụng:

Sinh viên đọc kỹ: Những điểm quan trọng và các bước phân tích giải bài toán (Mục 12.6 trong giáo trình)

Ví dụ 7-4 Tại thời điểm bất kỳ, vị trí

theo phương ngang của khí cầu thời tiết

trong hình 7-7a được xác định bởi phương

trình x = (8 ) t ft, trong đ

x

ó t tính theo giây

Nếu phương trình của quỹ đạo là

y ãy xác định (a) khoảng cách

từ khí cầu đến ga A khi t 2

2 /10

s

= , (b) độ lớn

và phương chiều của vận tốc khi t = 2 s,

) độ lớn và phương chiều của gia tốc khi t 2 s

v v

2 2

(2 /10) 2( ) /10 2 ( ) /10 2(8) /10 2(16)(0) /10 12.8 /

2, sau đó tính các đạo hàm đối với thời gian

Ví dụ 7-5 Trong hình 7-8,

một bao tải trượt khỏi một

đoạn đường dốc với vận tốc

theo phương ngang

Nếu độ cao tính từ sàn của

Hệ trục toạ độ Điểm gốc của hệ trục được thiết lập tại vị trí bắt

đầu của quỹ đạo chuyển động, điểm A, hình 7-8 Vận tốc ban đầu của bao tải có các thành phần ( ) 12 vA x = m/s và ( ) vA y = 0 Ngoài ra, gia tốc giữa hai điểm A và B là 9.81 m/s2

Chuyển động theo phương đứng Khoảng cách theo phương

đứng từ A và B là đã biết, vì thế ta có thể nhận được nghiệm trực tiếp của tAB bằng cách sử dụng phương trình

Chuyển động theo phương ngang Vì đã được tính, t R được tính như sau:

trạng thái đứng yên tại A thì nó cũng cần chừng ấy thời gian để chạm tới nền nhà ở C, hình 7-8

Ví dụ 7-6 Đường đua cho một cuộc

đua được thiết kế sao cho người lái bay

khỏi đường dốc , từ độ cao

Trong một cuộc đua, người ta quan sát

được rằng người lái như trong hình

7-9a bay trong không khí

1.5 s Hãy xác định vận tốc khi anh ta bay khỏi đường dốc, khoảng cách mà anh ta

đi được theo phương ngang trước khi chạm vào mặt đất, và độ cao lớn nhất anh ta đạt được Bỏ qua kích thước của xe và người

Hệ trục toạ độ Như trong hình 7-9b,

gốc toạ độ được thiết lập tại A Giữa

hai đầu của quỹ đạo AB có ba ẩn cần

tìm đó là vận tốc ban đầu vA, khoảng

cách R, và thành phần vận tốc theo

phương đứng vB

Chuyển động theo phương đứng

Vì thời gian bay và khoảng cách theo

phương đứng giữa hai điểm đầu của quỹ đạo chuyển động là đã biết, ta có thể tính vA

7-đại ( ) vC y = 0, và vì đã biết vA, ta có thể tính trực tiếp mà không cần quan tâm đến

hAC

t bằng cách sử dụng phương trình sau ( ) vC y2 = ( ) vA y2 + 2 [( ) a sc C y − ( ) sA y]

7.2.3 Chuyển động cong: Các thành phần pháp tuyến và tiếp tuyến

7.2.3a Hệ tọa độ (Hình 7-10a)

* Giả sử quĩ đạo chuyển động của

chất điểm là đã biết Ta thiết lập hệ

tọa độ n và t có gốc “cố định” trùng

với chất điểm ở thời điểm khảo sát

* Hướng dương trục tiếp tuyến (t)

theo phương chuyển động, còn trục

pháp tuyến (n) hướng vào tâm cong

của quĩ đạo

7.2.3b Vận tốc (Hình 7-10b)

Vận tốc của chất điểm luôn luôn tiếp

tuyến với quỹ đạo

Gia tốc tiếp tuyến: Biểu thị sự thay đổi

theo thời gian độ lớn của vận tốc, cùng Hình 7-10

(b)

(c)

phương vận tốc, cùng hay ngược chiều vận tốc tùy theo tốc độ tăng hay giảm Mối quan hệ giữa at, v, s như sau:

a vt = & ; a ds vdvt = (7-15) Nếu at không đổi: at = ( at)c , thì:

( ) 2( ) ( )

Gia tốc pháp tuyến: Biểu thị sự thay đổi phương vận tốc chuyển

động của chất điểm Nó luôn luôn hướng vào tâm cong của quỹ đạo, nghĩa là dọc theo hướng dương của trục pháp tuyến n Độ lớn của nó:

2 2

1 ( dy dx / )

d y dx

* Các ví dụ áp dụng: Sinh viên tự xem kỹ các bước phân tích giải bài toán trong giáo trình

Ví dụ 7-7 Xe đua đang chạy vòng quanh trên đường đua hình

tròn nằm ngang có bán kính

C

300 ft, hình 7-11 Nếu xe tăng tốc với tốc độ tăng không đổi từ trạng thái đứng yên, hãy xác định thời gian cần thiết để nó đạt đến gia tốc Tại thời điểm đó vận tốc của xe là bao nhiêu?

Bài giải

Hệ trục toạ độ Gốc của các trục và trùng với xe tại thời điểm

khảo sát Trục cùng chiều với chuyển động, và chiều dương trục hướng về tâm của đường tròn Ta chọn hệ trục toạ độ này vì quỹ đạo chuyển động là đã biết

n

ρ

Vì thế, thời gian cần để gia tốc đạt đến 8 / ft s2 là

Ví dụ 7-8 Các hộp trong hình 7-12a di chuyển trên một băng

chuyền công nghiệp Nếu một hộp như trong hình 7-12b bắt đầu chuyển động từ trạng thái đứng yên ở A và tăng tốc với gia tốc

, trong đó tính theo giây, hãy xác định độ lớn gia tốc của nó khi nó đến điểm

Bài giải

Hệ trục toạ độ Sử dụng toạ độ vị trí hay toạ độ cong s, vị trí của hộp tại thời điểm bất kỳ được xác định từ điểm cố định A, hình 7-12b Cần phải xác định gia tốc tại B, nên gốc của các trục , nằm tại điểm đó

n t

Gia tốc Để xác định các thành phần gia tốc a vt = & và an = v2 / ρ, trước hết cần thiết lập công thức và sao cho chúng tính được cho điểm

Thời gian cần để hộp đến điểm B có thể xác định khi thấy rằng vị trí điểm B là sB = + π 3 2 (2) / 4 6.142 = m, hình 7-12b, và vì sA = 0 khi

7.2.4 Chuyển động cong: Các thành phần tọa độ trụ

7.4.2a Hệ tọa độ

Một số bài toán thường giải thuận lợi

khi biểu diễn quỹ đạo chuyển động của

Hệ tọa độ cực được thiết lập có gốc tại

điểm cố định, tia hướng kính r đi qua chất điểm Sự thay đổi của tính theo chiều ngược chiều kim đồng hồ của tia hướng kính đối với đường quy chiếu cố định

θ

Chú ý rằng, khi cần lấy đạo hàm r = f ( θ ) theo thời gian thì sử dụng phương pháp tính dây chuyền

* Các ví dụ áp dụng

Ví dụ 7-9 Trong hình 7-14a, thanh

đang quay trong mặt phẳng nằm

trường hợp tính theo giây, hãy xác

định vận tốc và gia tốc của vòng khi

Bài giải

Hệ toạ độ Vì các phương trình quỹ đạo chuyển động được cho

dưới dạng tham số đối với thời gian, ta không cần phải thiết lập quan hệ giữa và r θ

Vận tốc và gia tốc Xác định các đạo hàm đối với thời gian và tính

mm s

θ

θ θ

§7.3 Phân tích sự phụ thuộc chuyển động tuyệt đối và mối liên hệ chuyển động giữa hai chất điểm

7.3.1 Phân tích sự phụ thuộc chuyển động tuyệt đối giữa hai chất điểm

Trong một số bài toán, chuyển động của một

chất điểm phụ thuộc vào chuyển động của

chất điểm khác tương ứng Sự phụ thuộc này

xuất hiện nếu các chất điểm chịu ràng buộc bởi

các dây không giãn vắt qua các puli (xem ảnh

minh họa) Để giải các bài tập này, sinh viên tự

nghiên cứu kỹ mục 12-9 và các ví dụ kèm theo

trong giáo trình

7.3.2 Phân tích mối quan hệ chuyển động của hai chất điểm khi sử dụng các trục tịnh tiến (Hình 7-15 a, b, c)

Hình 7-15a

v r và vA = d rA / dt được gọi là vận tốc tuyệt

đối, vì được quan sát từ hệ quy chiếu cố định;

B A = d B A dt

v r được gọi là vận tốc tương đối, vì

được quan sát từ hệ quy chiếu chuyển động tịnh tiến

Hình 7-15b

Hình 7-15c

Gia tốc: aB = + aA aB A/ (7-26)

* Các ví dụ áp dụng

Ví dụ 7-10 Tại thời điểm như trong

Vận tốc tương đối được tính từ

v

θ= = => θ= 21.70

2 2 2 / (2.440) (4.732) 5.32 /

/

( ) 4.732 tan

( ) 2.440

B A y

B A x

a a

0

62.7 φ=

1

12-199