Bài giảng cơ học cơ sở ii động lực học đại học thủy lợi

Chương 8: ĐỘNG HỌC CỦA VẬT RẮN CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG Tua bin gió quay quanh một trục cố định với chuyển động góc biến đổi... • Khảo sát vật rắn chuyển động tịnh tiến và làm sáng tỏ chuyển độ

Chương 8: ĐỘNG HỌC CỦA VẬT RẮN CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG

Tua bin gió quay quanh

một trục cố định với

chuyển động góc biến đổi

Mục đích của chương

• Phân loại các dạng khác nhau của chuyển động phẳng của vật rắn

• Khảo sát vật rắn chuyển động tịnh tiến và làm sáng tỏ chuyển động của vật rắn quay quanh trục cố định

• Nghiên cứu chuyển động phẳng tổng quát của vật rắn

a Phân tích mối quan hệ chuyển động: Vận tốc và gia tốc khi

sử dụng hệ quy chiếu quay

b Chứng tỏ làm thế nào để xác định tâm vận tốc tức thời, cũng

như xác định vận tốc của điểm trên vật rắn khi sử dụng phương pháp này

§8.1 Các dạng chuyển động phẳng của vật rắn

Khi tất cả các chất điểm của vật rắn chuyển động theo các quỹ đạo cách đều một mặt phẳng cố định thì vật rắn thực hiện chuyển động phẳng Có ba dạng chuyển động phẳng của vật rắn:

1 Chuyển động tịnh tiến

Một đoạn thẳng thuộc vật rắn luôn

giữ song song với phương ban đầu

trong quá trình chuyển động Đặc

biệt, vật rắn có hai dạng chuyển động

tịnh tiến:

Hình 8-1a

a Tịnh tiến thẳng (Hình 8.1a)

Hình 8-1c

b Tịnh tiến cong (Hình 8-1b)

Hình 8-1b

2 Chuyển động quay quanh trục cố định (Hình 8-1c)

Tất cả các chất điểm thuộc vật rắn trừ các điểm nằm trên trục quay, chuyển động dọc theo các quỹ đạo tròn

3 Chuyển động phẳng tổng quát (Hình 8-1d)

Vật thực hiện đồng thời tịnh tiến và quay

Hình 8-1d

§8.2 Chuyển động tịnh tiến của vật rắn (Hình 8-2)

Vị trí: rB = rA + rB A/

Vận tốc: vB = vA

Gia tốc: aB = aA

Hình 8-2

Tất cả các chất điểm thuộc vật rắn thực hiện chuyển động tịnh tiến thẳng hay cong đều chuyển động với cùng vận tốc và gia tốc Do đó

để mô tả chuyển động của vật rắn tịnh tiến, ta có thể sử dụng các kết quả động học chất điểm

Các hành khách trên một thiết

bị giải trí chịu chuyển động tịnh

tiến cong vì phương tiện di

chuyển theo quỹ đạo cong

nhưng luôn luôn giữ ở vị trí

thắng đứng

§8.3 Vật rắn chuyển động quay quanh trục cố định

Các bánh răng được sử dụng trong chuyển

động của một cần trục đều quay quanh một

trục cố định, các kỹ sư phải tính toán các

chuyển động quay để đảm bảo thiết kế chính

xác hệ thống bánh răng này

Khi vật rắn chuyển động quay quanh trục cố định, điểm P bất kì thuộc vật chuyển động dọc theo quỹ đạo tròn Việc nghiên cứu chuyển động này của vật rắn, trước hết mô tả chuyển động góc (chuyển động quay) của vật mà ta sẽ đưa vào ba đại lượng cơ bản: Góc định vị (θ), vận tốc góc (ω) và gia tốc góc (ε )

Hình 8-3a

ω có độ lớn đo bằng rad/s; phương chiều qui

ước?

* Gia tốc góc: là sự thay đổi vận tốc góc

theo thời gian Độ lớn của véctơ này bằng:

=

=

ω α

θ α

(8-2)

α có độ lớn bằng rad/s2; phương chiều? (cùng

hoặc ngựợc chiều tùy theo tăng hay

giảm theo thời gian)

Nếu khử dt từ (8-1) và (8-2) ta được quan hệ giữa gia tốc góc, vận tốc góc và di chuyển góc, đó là:

8.3.2 Chuyển động của điểm P

Hình 8-3c

Khi vật rắn chuyển động quay quanh trục cố

định, điểm P bất kỳ chuyển động theo đường

tròn bán kính r, tâm tại O Chuyển động của P

sẽ được mô tả bằng vị trí, vận tốc và gia tốc

Vị trí: Được xác đinh bởi véctơ định vị r, nối

v = ω r (8-5)

- Phương của vận tốc tiếp tuyến với quỹ

đạo tròn, hướng theo chiều quay ω của vật

(Hình 8-3c, d)

Hình 8-3d

Nếu gọi rp là véctơ nối trực tiếp từ điểm

bất kỳ trên trục quay tới điểm P, thì cả độ

lớn và hướng của vận tốc của điểm P có thể

được biểu diễn:

P

= ×

v ω r (8-6) Lưu ý rằng: trật tự các véctơ trong tích hữu hướng rất quan trọng vì tích hữu hướng không có tính chất giao hoán

Trong trường hợp đặc biệt, có thể chọn vectơ r nằm trong mặt phẳng chuyển động của điểm P thay cho , khi đó: rP

v = × ω r (8-7)

Gia tốc: Gia tốc của điểm P có thể biểu diễn theo các thành phần

gia tốc pháp tuyến và gia tốc tiếp tuyến Vì at = dv d / t và an = v2 / ρ

- Thành phần tiếp tuyến của gia tốc , biểu

thị sự thay đổi độ lớn của vận tốc (hình

8-3e,f) Nếu tốc độ của điểm P tăng thì có

hướng v và ngược lại; Nếu tốc độ không đổi

- Thành phần pháp tuyến của gia tốc biểu

thị sự thay đổi phương của vận tốc, luôn

luôn hướng vào tâm đường cong quỹ đạo O

Lưu ý rằng: từ (8-6), có thể biểu diễn gia tốc của điểm dưới dạng các thành phần vectơ tích hữu hướng, đó là:

Ví dụ 8-1 Một môtơ cho trong ảnh được dùng để quay

máy quạt gió trong nhà Thiết kế chi tiết được trình bày

trên hình vẽ 8-4a Nếu Puli A được gắn liền với mô tơ

bắt đầu quay từ trạng thái đứng yên với gia tốc góc

A = ra d s

: động góc: Đầu tiên ta phải đổi 1 vòng ra rad, vì

nh độ lớn vận tốc và gia tốc điểm P trên bánh B sau khi bánh B quay

được một vòng, sử dụng truyền động đai với

giả thiết không có sự trượt trên Puli và bánh B

Chúng ta có thể xác định vận tốc góc của Puli A, đầu tiên ta xác định góc quay của nó Vì đai không trượt nên cả Puli và bánh B phải quấn được chiều dài s trong cùng thời gian Do đó:

đó, aP = (0.3)2 + (3.77)2 = 3.78 / m s2

Hình 8-4b

Do

§8.4 Chuyển động phẳng tổng quát của vật rắn

ật rắn thực hiện chuyển động phẳng tổng

và quay Nếu vật được biểu diễn bởi tấm

Để làm điều đó, thường sử dụng các cách sau:

V

quát có thể mô tả như đồng thời tịnh tiến

mỏng, thì nó tịnh tiến trong mặt phẳng

tấm và quay quanh trục vuông góc với mặt

phẳng tấm Như đã biết trong hai phần

trên, chuyển động của vật trong chuyển

động này sẽ được xác định hoàn toàn khi

khảo sát chuyển động góc (quay) của đo

chuyển động của điểm bất kỳ trên vật

ạn thẳng thuộc vật và

- Phân tích chuyển động tuyệt đối: Sinh viên tự nghiên cứu, thảo luận mục 16.4, giáo trình

- Chứng tỏ việc tồn tại cũng như cách xác định tâm tức thời có vận tốc bằng không (gọi tắt: tâm vận tốc tức thời) và cách xác định vận tốc theo phương pháp này

- Phân tích mối liên hệ chuyển động: Vận tốc và gia tốc và mối liên

hệ chuyển động khi dung hệ trục chuyển động quay

ệ chuyển động: Vận tốc

c) 8.4.1 Phân tích sự liên h

8.4.1a Hệ tọa độ, vị trí, di chuyển (Hình 8-5a, b,

* Hệ tọa độ: Đưa vào hai hệ tọa độ,

b) hệ tọa độ x’, y’ có gốc gắn vào

điểm cơ sở (điểm cực) A, nói chung đã

biết chuy

Hình 8-5a

Vị trí: r = r + r

Di chuyển: drB = drA+ drB/A

drB: Gây ra tịnh tiến và quay

nh ti cùng A

drB/A: Gây ra quay quanh A

drA: Gây ra tị ến

8.4.1b Vận tốc: (Hình 8-5d, e, f, g)

Hình 8-5d Hình 8-5e Hình 8-5f

• Để xác định sự liên hệ vận tốc giữa hai

điểm A và B ta phải lấy đạo hàm theo thời

gian phương trình liên hệ vị trí hoặc đơn

giản hơn là chia phương trình liên hệ di

v v biểu thị vận tốc tuyệt đối của

ác điểm A, B vì được tính đối với hệ trục cố định x, y

c

- Số hạng thứ ba được hiểu như vận tốc tư

ận tốc của điểm B đối với điểm cơ sở (điể

át đứng yên trên hệ trục tịnh tiến x’y’ N

ơng đối vB/A, vì biểu thị

c đường tròn bán kính rB/A; nghĩa là vật rắn như đang chuyển động quay quanh trục z’ đi qua A với vận tốc góc ω Hệ quả là: vB/A có độ l n vB/A = ωrB/A và có phương vuông

góc với r , Do đó, ta có:

ủa vật ở thời điểm khảo sát; do vật rắn tu

hỉ thấy B chuyển động trên

(*) Các ví dụ áp dụng:

Sinh viên tự đọc phần trình tự phân tích giải bài tập trong giáo trình

í dụ 8-2 Khối trụ trong hình 8-6a lăn

không trượt trên mặt một băng tải di

Sơ đồ động học Do khối trụ không trượt

ên điểm B trên khối trụ có cùng vận tốc

ới băng tải, hình 8-6b Hơn nữa, ta đã Hình 8-6

biết vận tốc góc của khối trụ nên ta có thể áp dụng phương trình vận

tốc cho điểm B, điểm cơ sở (điểm cực) và điểm A để xác định v

A)x = 2 + 7.50 = 9.50 ft/s (v )

Bài giải II (Phân tích vô hướng)

Như một biện pháp loại trừ, các thành

phần vô hướng của v A = v B + vA/B có thể

tính được trực tiếp Từ sơ đồ động học

biểu diễn chuyển động qua tương đối

Đồng nhất các thành phần x và y cho ta kết quả như trên, cụ thể là

Ví dụ 8.3 Vòng đệm C trong hình 8-7a

tại thời điểm như hình vẽ

ơ đồ động học C chuyển động xuống

ưới làm B chuyển động sang phải Và do

ó, CB và AB quay ngược chiều kim đồng hồ

ể giải được bài toán này, ta sẽ viết phương

rình động học thích hợp cho từng thanh nối

Phương trình vận tốc: Thanh CB (chuyển

Bài ả gi i II (Phân tích vô hướng)

Kết quả này giống như kết quả ta đã thu

trình 1 và 2

hông (Tâm vận tốc tức

8.4.2a Tâm vận tốc tức thời

Phần trên chỉ ra: Vận tốc điểm bất kỳ B trên vật rắn được xác định bởi phương trình (8-13) Nếu bằ ọn điểm cơ sở A

Ví dụ: Bánh xe lăn không trượt trên

đường cố định, điểm tiếp xúc với mặt

Hình 8-8

(*) Các ví dụ áp dụng:

inh viên tự đọc trình tự phân tích để giải các bài tập

ốc góc của thanh BD và AB tại thời điểm như trong hình vẽ

S

Ví dụ 8.4: Khối D trong hình 8-9a chuyển động với vận tốc 3 m/s Xác định vận t

Hình 8-9a

Bài giải

hi D chuyển

iều kim đồng hồ quanh điểm A Do đó, v vuông góc với

AB Tâm quay tức thời có vận tốc bằng

không của thanh BD là giao điểm của các

đoạn thẳng vuông góc với vB và vD Hình

8-9b Từ

0

0.4 cos 45

m

= 0.566 m

Vì đã biết độ lớn của vD, vận tốc góc của Hình 8-9b, c

Từ hình 8-9c, ta thu được vận tốc góc của AB như sau:

ωAB =

/

2.12 / 0.4

8.4.3 Phân tích mối liên hệ chuyển động:

• Phương trình liên hệ gia tốc của hai điể

chuyển động phẳng tổng quát có thể được

hàm theo thời gian phương trình vận tốc

Gia tốc

m trên vật rắn thực hiện xác định bằng cách đạo 12) nghĩa là:

- Số h ia tốc của điểm B đối với điểm A

được tính khi người quan sát đứng yên trên hệ trục tịnh tiến x’ và

y’, ại điể m cực) A Trong 8.4.1, đã chỉ rõ: người quan sát thấy B chuyển động tròn có bán kính rB/A Hệ quả là aB/A có

B/dt = a B và dv

tuyệt đối của điểm B và A

ạng cuối cùng biểu diễn g

có gốc t m cơ sở (điể

thể tá h ra hc ai số hạng: thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến của chuyển động; tức là

aB/A = (aB/A)t +(aB/A n

(aB/A)t : thành phần gia tốc tiếp tuyến tương đối của B đối với A

Nó có độ lớn (a )t =

) Trong đó:

α r

B/A B/A và phương vuông góc với rB/A (aB/A)n: thành phần gia tốc pháp tuyến tương đối của B đối với A

Nó có độ lớn (aB/A)n= ω2r B/A và luôn luôn hướng từ B về A

h v , phư trình liên hệ gi viết như sau:

N ư ậy ơng a tốc có thể được

(8-15)

aB = aA + (aB/A)t + (aB/A)n

Bốn số hạng trong phương trình (8-15) được biểu diễn trên sơ đồ động học, hình (8-10a, b, c, d)

Hình 8-10

a cần lưu ý những đi quan trọng sau đây:

1 Trước khi áp dụng phương trình (8-16) thì cần phải xác định vtốc góc ω của vật bằng cách sử dụng phân tích vận tốc

2 Nếu phương trình (8-16) áp dụng cho vật rắn được liên kết chốt với hai vật rắn khác thì những điểm trùng nhau tại chốt chuyển động với cùng gia tốc, vì quỹ đạo chuyển động của chúng như nhau Thí dụ điểm B trong cơ cấu tay quay (hình 8-11a, b)

Quỹ đạo

của B

Hình 8-11

3 Nếu hai vật rắn tiếp xúc nhau không có

tiếp xúc chuyển động trên những q ỹ đạo

phần tiếp tuyến của gia tốc của các điểm như nha

thành ph p p tuyế ủa gia ủa cá

điểm A và điểm A’ trên bánh răng B

(*) Các ví dụ áp dụng: Sinh viên đọc trình tự phân tích giải bài tập trong giáo trình

Ví dụ 8.5 Tại vị trí cho trước, một khối trụ

có bán kính r, hình 8-13a, có vận tốc góc ω

và gia tốc góc α Hãy xác định vận tốc và

ia tốc tâm G của nó nếu nó lăn không

rượt

ài giải (Phân tích véc tơ)

hi khối trụ lăn, điểm G chuyển động theo

một quỹ đạo thẳng, và điểm A nằm trên

vành của khối trụ chuyển động trên một

quỹ đạo cong - gọi là cycloid, hình 8-13b Ta sẽ áp dụng phương trình vận tốc và gia tốc cho các điểm này

Phân tích vận tốc Do không xảy ra hiện tượng

trượt nên tại thời điểm khảo sát A tiếp xúc với đất

thì vA = 0 Do đó, từ biểu sơ động học trong hình

ngay sau khi chạm đất, vận tốc của nó có hướng

lên trên Vì nguyên nhân này nên điểm A bắt

đầu tăng tốc lên trên khi nó rời mặt đất tạ

Ví dụ 8-5. Ống cuộn (dây) biểu diễn trong

hình 8-14a tời (tháo) ra từ sợi dây thừng Tại

thời điểm khảo sát, nó có vận tốc góc là 3

rad/s và gia tốc góc là 4 rad/s Hãy xác định

gia tốc của điểm B

Sơ đồ động học. Điểm B chuyển động

dọc theo quỹ đạo cong với bán kính cong

chưa xác định * Gia tốc của nó được biểu

(aB)x = 4 (0.75) = 3 ft/s2 → (a

đạo

θ

ận tốc t đ m và không phụ thuộc vào

Bài giải II (Phân tích vô hướng)

Bài toán này có thể giải được bằng

cách viết trực tiếp các phương trình

của các thành phần vô hướ g Sơ đồ

theo quỹ đạo thẳng

Phương trình gia tốc. Biểu diễn các

vectơ

Hình 8-15

Hình 8-15

thấy pitông giảm dầ

n nên dấu âm của aC cho

n tốc độ, tức là aC = {− 13.6j} ft/s2 Điều này làm giảm vận tốc của pitông đến khi AB đạt trạng thái thẳng đứng

và tại thời điểm đó, pitông ở trạng thái nghỉ (tĩnh) tức thời

8.4.4 Phân tích s ự liên hệ chuyển

động khi sử dụng các trục quay

• Xét hệ tọa độ x, y, có gốc tại điểm

thực hiện chuyển động tịnh tiến và

nh X, Y, Z

r mô t vận tốc và gia tốc củ ể sau:

A + × rB/A + (vB/A)xyz

aB = aA + &Ω × rB/A + Ω ×( Ω × rB/A) + 2 Ω ×( vB/A)xyz + ( aB/A)xyz

• Số hạng: 2Ω × (vB/A)xyz được gọi l

kỹ sư người Pháp C.G Coriolit, ng

à gia tốc Coriolit, mang tên ười đầu tiên xác định được nó

Số hạng này biể n sự khác nhau giữa hai phương trình xác định gia tốc của điểm c tính trong hệ trục x, y, z quay và không quay Như đã đượ ỉ ra bằng vectơ tích hữu hướng, gia tốc Coriolit sẽ luôn vuông góc với cả và (vB/A)xyz Nó là thành phần gia tốc rất quan trọng khi dùng hệ quy chiếu chuyển động quay

ng xuất hiện thí dụ như: khi nghiên cứu lực

và gia tốc tác dụng lên tên lửa, chuyển động bay xa của những viên đạn, hoặc những v n có chuy đến ảnh hưởng đáng

ởi sự quay của trái đất

Ví dụ 8.8: Tại thời điểm θ = 600, thanh

ược đặt tại điểm

O, hình 8-17 Do chuyển động của vòng trượt là chuyển động tương đối so với thanh, hệ toạ độ chuyển động x, y, z được gắn với thanh

gia tốc góc 2 rad/s2 Tại thời điểm đó,

Các phương tr h động học

v

ìn

C = vO + Ω × rC/O + (vC/O)xyz (1)

aC = aO + &Ω ×rC/O+Ω ×(Ω ×rC/O)+2Ω ×(vC/O)xyz+(aC/O)xyz (2)

Biểu diễn các số liệu dưới dạng các véctơ thành phần i, j, k sẽ đơn giản hơn d i dạng các thành phần I, J, K Do đó,

Chuyển động của hệ toạ độ di động Chuyển động của C so với hệ

} rad/s2

(aC/O)xyz = {3i} m/s2

&Ω = {− 2k

C/O C/O xyz

Từ phương trình 2, gia tốc Coriolit được xá

rC/O + (vC/O)xyz + ( )

Véctơ này được kí hiệu bằng đường gạch g

muốn, nó có thể được biểu diễn bằng các

theo các trục X và Y

Vận tốc và gia tốc của vòng trượt được x

vào phương trình 1 và 2 và thực hiện tích

aC = aO + &Ω × rC/O + Ω × (Ω × rC/O) + 2Ω × (vC/O)xyz + (aC/O)xyz

= 0 + (− 2k)×(0 ) + (2i − 3k)×[(− 3k)×(0.2i) + 2(− 3k)×(2i) + 3i]