Bài giảng cơ học cơ sở ii động lực học đại học thủy lợi 2

CHƯƠNG 10: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA CHẤT ĐIỂM VÀ CỦA VẬT RẮN CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG: CÔNG VÀ NĂNG LƯỢNG Để thiết kế vòng trượt của tàu lượn siêu tốc này, cần đảm bảo toa xe có đủ năng lượng để tàu lư

CHƯƠNG 10: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA CHẤT ĐIỂM VÀ CỦA VẬT

RẮN CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG: CÔNG VÀ NĂNG LƯỢNG

Để thiết kế vòng trượt của

tàu lượn siêu tốc này, cần

đảm bảo toa xe có đủ năng

lượng để tàu lượn thực

hiện được mà không rời

khỏi đường trượt

Mục đích của chương

• Trình bày những công thức động năng của chất điểm, vật rắn

chuyển động phẳng và định nghĩa công của lực, ngẫu lực biến đổi

• Áp dụng nguyên lý công và năng lượng để giải các bài toán động

lực học của chất điểm và động lực học phẳng của vật rắn bao gồm lực, vận tốc và di chuyển

• Giới thiệu khái niệm lực bảo toàn và áp dụng sự bảo toàn năng

lựợng để giải các bài toán

NỘI DUNG:

A - CHẤT ĐIỂM

§10.1 Công của lực - Công suất và hiệu suất

10.1.1 Công của lực

Trong cơ học, một lực F đặt lên chất

điểm sinh công chỉ khi chất điểm có di

chuyển theo phương của lực

• Công dU sinh ra do lực F khi chất

điểm di chuyển dr là đại lượng vô

hướng được xác định bởi (H 10-1)

dU = F.dr = Fdscos θ (10-1)

Ở đây: ds = dr và θ là góc giữa gia

lượng dr và F

Hình 10-1

Như vậy, dU bằng tích của F nhân với thành phần dịch chuyển theo phương của lực dscosθ hoặc bằng tích ds với thành phần của lực theo phương dịch chuyển Fcosθ

Chú ý rằng: nếu 0o≤ θ ≤ 90o, thì dU > 0;

nếu 90o< θ ≤ 180o, thì dU < 0 và θ = 900 (lực vuông góc với di chuyển) hoặc lực tác dụng tại điểm cố định thì dU = 0

Đơn vị của công trong hệ đơn vị SI gọi là joule(J) (1J = 1 N.m) Đơn vị mômen của lực giống đơn vị công nhưng khái niệm mômen lực không liên quan đến công; mômen là đại lượng véctơ, trong khi công của lực là một đại lượng vô hướng Trong hệ thống FPS công

được xác định bởi đơn vị ft.lb Cách viết này sẽ phân biệt với đơn vị

của mômen là lb·ft

Công của lực biến đổi: (Hình 10-2): Nếu chất điểm thực hiện di

chuyển dọc theo quỹ đạo của nó từ r1 đến r2 hoặc từ s1 đến s2 thì công sinh ra bằng:

• Công của lực không đổi dịch chuyển theo đường thẳng (hình 10-3):

Vì cả lực F = Fc và góc θ không đổi (đường quỹ đạo thẳng), ta có:

• Công của trọng lực W

Công của trọng lực W không phụ thuộc vào dạng đường đi của điểm đặt lực, bằng độ lớn của trọng lựợng nhân với độ di chuyển theo phương thẳng đứng của nó:

U1 2− = − Δ W y (10-4)

Ở đây: Di chuyển thẳng đứng Δy hướng lên được đo là dương (do công của trọng lực dương nếu chất điểm di chuyển xuống, và âm nếu chất điểm di chuyển lên)

• Công của lực lò xo

(1) Độ lớn của lực xuất hiện ở lò xo đàn hồi tuyến tính khi lò xo di

chuyển một đoạn s từ vị trí ban đầu là Fs = ks, k là độ cứng của lò

xo Công của lực đàn hồi của lò xo có dạng: 1 2

2

s

(2) Nếu lò xo bị kéo giãn hoặc bị

nén co lại từ vị trí s1 đến vị trí xa

hơn s2 thì công sinh ra trên lò xo

bởi lực Fs sẽ luôn dương vì trong

(3) Nếu vật hoặc chất điểm được gắn vào lò xo (hình 10-4b) thì lực

Fs tác dụng lên vật (hoặc chất điểm) sẽ ngược với chiều tác dụng của

nó lên lò xo Do đó lực Fs sẽ sinh công âm lên vật (hay chất điểm):

10.1.2 Công suất và hiệu suất

• Công suất: được định nghĩa là lượng công sinh ra trong một đơn

vị thời gian Do đó, công suất P được tạo ra do máy móc hoặc động

cơ thực hiện lượng công dU trong khoảng thời gian dt bằng:

• Hiệu suất Hiệu suất máy của một máy (hay thiết bị) được xác

(*) Các ví dụ áp dụng:

Sinh viên tự đọc trình tự phân tích áp dụng giải các bài toán và tự nghiên cứu các ví dụ 14-1 và 14-7 giáo trình

§10.2 Nguyên lý công và năng lượng

10.2.1 Nguyên lý công và năng lượng đối với chất điểm

• Ta đưa vào biểu thức T = 1 2

2 mv

là đại lượng vô hướng, dương, biểu

thị động năng của chất điểm, khối

lượng m, chuyển động với vận tốc v

• Xét chất điểm P, khối lượng m

chịu tác dụng của các lực biểu diễn

bởi hợp lực FR = ∑F, chuyển động

trên quỹ đạo đối với hệ quy chiếu

Áp dụng các phương trình:

t t

t t

vdv a

(10-10) phát biểu như sau: Động năng ban đầu của chất điểm cộng với công sinh ra bởi tất cả các lực tác dụng lên chất điểm khi chuyển động từ vị trí ban đầu đến vị trí cuối bằng động năng cuối của chất điểm

• Nguyên lý công và năng lượng được sử dụng giải các bài toán bao gồm vạn tốc, lực và di chuyển (vì những số hạng này được đưa vào trong phương trình mô tả nguyên lý, tức phương trình (10-10)

10.2.2 Nguyên lý công và năng lượng đối với hệ chất điểm

• Nguyên lý công và năng lượng có thể được mở rộng cho hệ gồm

n chất điểm độc lập nằm trong một miền giới hạn của không gian

Ở đây, chất điểm bất kỳ thứ i có khối lượng là mi, chịu tác dụng của

hợp các ngoại lực Fi và hợp các nội lực fi Nguyên lý công và năng lượng cho hệ các chất điểm viết ở dạng:

Σ T1 + Σ U1 2− = Σ T2 (10-11)

(10-11) được phát biểu như sau: Động năng ban đầu của hệ (∑T1) cộng với công sinh ra do tất cả các nội lực và ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ (∑U1-2) bằng động năng cuối của hệ (∑T2)

• Chú ý rằng, nội lực giữa hai chất điểm cạnh nhau tạo nên cặp nội lực cộng tuyến bằng nhau nhưng ngược chiều nhau, tổng công của mỗi lực đó nói chung không trượt tiêu nhau vì đường đi của mỗi chất điểm là khác nhau Tuy nhiên có hai ngoại lệ quan trọng thường xảy ra trong thực tế:

1. Khi hệ các chất điểm bao gồm trong đó là các vật rắn chuyển động tịnh tiến

2. Khi hệ các chất điểm được nối (liên kết với nhau) bằng các dây không dãn

• Trong những trường hợp trên, những chất điểm cạnh nhau chịu tác dụng các nội lực bằng nhau, nhưng ngược chiều, có cùng di chuyển và do đó tổng công nội lực sẽ triệt tiêu nhau

• Một lớp bài toán đặc biệt chứa công của lực ma sát gây ra do có trượt Phương trình (10-11) cũng có thể áp dụng cho những bài toán bao gồm ma sát trượt Tuy nhiên, công của hợp lực ma sát không biểu diễn bởi μkN, mà thay cho số hạng này, ta biểu diễn cả công ngoại ma sát μkN s ′ và công nội ma sát [μkN(s − s ′ )] được biến đổi vào các dạng khác nhau của năng lượng trong, như nhiệt

(*) Các ví dụ áp dụng:

Ví dụ 10-1 Một chiếc ô tô

trọng lượng 3500-lb như trên

hình 10-6a đang chuyển động

xuống đoạn dốc nghiêng 10o

với vận tốc 20 ft/s Nếu người

lái xe hãm phanh để bánh xe

ô tô dừng lại Hãy xác định độ

xa s trên đường khi phanh Biết hệ số ma sát động lực giữa bánh xe

Công (sơ đồ vật rắn tự do).

Như trên hình 10-6b, lực pháp

tuyến NA không sinh công do nó

không dịch chuyển dọc theo giá

của lực Trọng lực 3500 lb có độ

dịch chuyển là s sin10o và sinh

công dương Tại sao? lực ma sát

FA sinh cả nội công và ngoại công khi nó dịch chuyển được một khoảng cách là s Công này là âm do nó ngược chiều với độ dịch chuyển Áp dụng phương trình cân bằng theo phương pháp tuyến với đường, ta có:

Ví dụ 10.2 Trong một thời gian ngắn cần

trục trong hình 10-7a nâng dầm có khối

lượng 2.5 Mg với một lực F = (28 + 3s2)

kN Hãy xác định vận tốc của dầm khi nó

lên cao s = 3m, ngoài ra thời gian để nó

hoàn thành độ cao này bằng bao nhiêu,

bắt đầu từ trạng thái đứng yên

Bài giải

Ta có thể giải bài tập này bằng cách sử

dụng nguyên lý công và năng lượng do nó

có lực, gia tốc, và độ dịch chuyển Động học cần được sử dụng để xác định thời gian

Hình 10-7a

Công (sơ đồ vật rắn tự do). Như

biểu diễn trên sơ đồ vật rắn tự do,

hình 10-7b, sức căng dây F sẽ sinh

công dương, lực này phải được xác

định bằng tích phân do lực này biến

thiên Cũng tương tự như vậy, trọng

lượng là hằng số và sẽ sinh công âm

do độ dịch chuyển đi lên

Hình 10-7b

Nguyên lý công và năng lượng

T1 + Σ U1 2− = T2

( 2 )( )3 ( ) ( )3 ( ) ( ) ( )3 2 0

Động học Vì ta đã biểu diễn vận tốc như là hàm của độ dịch

chuyển s, thời gian có thể được xác định bằng cách sử dụng

v = ds/dt Trong trường hợp này

3 1

3 2

1 3

Tích phân này có thể chạy số bằng cách sử dụng máy tính bỏ túi Kết quả là t = 1.79 s

Chú ý: Gia tốc của dầm có thể được xác định bởi tích phân phương trình (1) sử dụng vdv = ads, hoặc trực tiếp áp dụng phương trình chuyển động, ∑F=ma

Ví dụ 10.3 Gói hàng có khối lượng 2

kg được đẩy từ băng chuyền đến đoạn

cung tròn trơn nhẵn với vận tốc

vo = 1 m/s như trên hình 10-8a Nếu

bán kính của đoạn dốc là 0.5 m, hãy xác

định góc θ = θmax tại vị trí khi gói hàng

bắt đầu rời khỏi bề mặt cung tròn Hình 10-8a

công dương trong suốt quá trình

chuyển động Nếu giả thiết gói

hàng rời khỏi bề mặt khi θ = θmax,

Phương trình chuyển động. Có hai ẩn trong phương trình 1 là

θmax và v2 Phương trình thứ hai liên quan đến hai biến này có thể thu được bằng cách áp dụng phương trình chuyển động theo phương pháp tuyến của lực trên sơ đồ vật rắn tự do (Nguyên lý công và năng lượng được thay bằng cách áp dụng ∑Ft = mat, chú ý lấy đạo hàm), thu được

Khi vật rời khỏi đoạn dốc tại θ = θmax, NB = 0 và v = v2; do dó phương trình này sẽ trở thành

2 2 max

Chú ý: Bài toán này cũng có thể giải như trong ví dụ 3.19 bằng cách sử dụng phương trình chuyển động Nếu so sánh hai phương pháp giải này, thì rõ ràng áp dụng nguyên lý công và năng lượng sẽ dẫn đến lời giải trực tiếp hơn

Ví dụ 10.4 Một ô tô thể

thao như trong hình 10-9a có

khối lượng là 2 Mg và chuyển

Áp dụng nguyên lý công và năng lượng để xác định vận tốc của ô

6.867(10 ) 25 / 172 W

F v

§10.3 Lực bảo toàn-Thế năng-Sự bảo toàn năng lượng 10.3.1 Lực bảo toàn

Khi công sinh ra bởi lực làm chất điểm chuyển động từ điểm này đến điểm khác không phụ thuộc vào quĩ đạo (dạng đường đi) của chất điểm, thì lực này được gọi là lực bảo toàn Thí dụ như:

- Trọng lực của chất điểm, lực đàn hồi của lò xo là những lực bảo toàn Tại sao?

- Lực ma sát là lực không bảo toàn Tại sao ?

10.3.2 Thế năng

Thế năng là đại lượng đo bằng lượng công sinh ra của lực bảo toàn khi nó di chuyển từ vị trí đã cho (khảo sát) về vị trí quy chiếu chọn làm mốc tính

Trong cơ học, thế năng hấp dẫn (trọng lực) hoặc lò xo đàn hồi là quan trọng

- Thế năng hấp dẫn: Thế năng hấp dẫn của chất điểm trọng

lượng W (hình 10-10a) là:

g

V = Wy (10-12)

- Thế năng đàn hồi: Thế năng

đàn hồi của lò xo bị dãn ra hoặc

co lại một đoạn s từ vị trí chưa

điểm chịu tác dụng cả lực hấp

dẫn và lực đàn hồi, thì thế

năng của chất điểm có thể

được biểu diễ ư một hàm

Tiêu chuẩn toán học để kiểm

tra lực F là bảo toàn, đó là

quan hệ giữa F và hàm thế V

của nó:

F = −∇ V (10-15) Hình 10-10b

Ở đây: ∇ biểu diễn toán tử véctơ:

ng không gian (x, y, z), thì hàm thế năng là V(x, y, z) Công sinh ra do lực bảo toàn khi chất điểm di

1-2 = V1 − V2 (10-16)

ếu lự

10.3.3 Bảo toàn năng lượng

- Nếu chất điểm ở vị trí bất kỳ tro

chuyển từ điểm (x1, y1, z1) đến điểm (x2, y2, z2) được tính bằng hiệu các hàm thế năng; nghĩa là:

U

- Trường hợ ấ đ m hịu tác dụng c ực bảo toàn và

ng (10-16), nguyên lý công và n

p ch t iể c ủa cả các l

này viết được:

Phương trình (10-17) là phương trình bảo lượ đ

(cơ học)-thường gọi là bảo toàn cơ năng Nó được phát biểu: Trong quá trình chuyển động tổng động năng và thế năng của chất điểm

là đại lượng hkông đổi (nghĩa là động năng phải chuyển hóa hoàn toàn thành thế năng)

toàn năng ng ơn giản

- Đối với cơ hệ chỉ chịu tác dụng các lực bảo toàn, áp dụng phương trình (10-11) và những điều đ

trong ảnh được sử dụng

một máy bay trong quá

trình rơi Như trên hình

10-11a, máy bay có khối lượng

8 Mg, được kéo lên cho đến

khi góc θ = 60o Sau đó dây Hình 10-11a

cáp AC được thả khi máy bay đang ở trạng thái đứng yên Hãy xác định vận tốc của máy bay trước khi đâm xuống đất, θ = 15o Sức căng lớn nhất sinh ra trong dây cáp trong suốt quá trình chuyển động bằng bao nhiêu Bỏ qua ảnh hưởng của sự nâng do cánh máy bay trong quá trình chuyển động và kích thước máy bay

Bài giải

Do lực căng của dây không sinh công Nó phải

c định từ việc sử dụng phương trình

được xá

chuyển động Tuy nhiên, trước tiên ta phải xác

định vận tốc của máy bay tại B

Thế năng. Để thuận lợi, mốc được thiết lập tại

Bảo toàn năng lượng TA + VA = TB + VB

m s m

T = 149 kN

BÀI TẬP 10

14-3; 14-10; 14-14; 14-27; 14-37; 14-45; 14-53; 14-60; 14-69; 14-81; 14-87; 14-94

18-5; 18-7; 18-14; 18-18; 18-22; 18-26; 18-36; 18-40; 18-41;

18-47; 18-51; 18-57

CHƯƠNG

B VẬT RẮN

Nguyên lý công và năng lượng chỉ ra một qui tắc quan trọng trong chuyển động của máy tời được dùng để cẩu ống trên thiết bị khoan này

§10.4 Động năng-công của lực và ngẫu lực

10.4.1 Động năng

Hình 10-12a

• Tịnh tiến (Hình 10-12a) Khi vật

rắn có khối lượng m thực hiện chuyển

động tịnh tiến thẳng hoặc cong, động

• Chuyển động quay quanh 1 trục cố định (Hình 10-12b)

định đi qua điểm O, động năng của vật

Ở trường hợp này, động năng T được tách ra hai phần: Động năng

I ω Tuy nhiên vật rắn chỉ có duy nhất chuyển động quay quanh

O, vG xác định bởi công thức vG = rGω và khi sử dụng định lý chuyển trục song song, ta dẫn về công thức gọn hơn:

1 2

2 O

T = I ω

Trong trường hợp này, động năng T là

tổng vô hướng động năng tịnh tiến

I ω của vật rắn

• Hệ các vật rắn liên kết với nhau: Do động năng là đại lượng

vô hướng nên động năng của cả hệ là tổng động năng của các thành phần chuyển động của nó

Tổng động năng của máy đầm

đất này bao gồm động năng của

vật hoặc khung máy chuyển

động tịnh tiến, và động năng của

chuyển động tịnh tiến và chuyển

động quay của con lăn và các

bánh xe vì chúng chuyển động

phẳng tổng quát Ở đây chúng ta

loại bỏ động năng phát sinh thêm do chuyển động của các phần của động

cơ và thiết bị truyền động

10.4.2 Công của lực và ngẫu lực

10.4.2a Công của lực

Sinh viên tự đọc giáo trình và nhớ các công thức (18-7)-(18-10) để

áp dụng Chú ý rằng, một vài ngoại lực không sinh công khi vật di chuyển Những lực đó có thể tác dụng lên những điểm cố định trên vật hoặc có phương vuông góc với dịch chuyển của nó; Thí dụ: Phản lực ở gối đỡ bản lề khi vật quay quanh nó hoặc trọng lực của vật khi tâm trọng lực của vật di chuyển trong mặt phẳng nằm ngang

10.4.2b Công của ngẫu lực

• Khi vật chịu tác dụng của ngẫu lực thực hiện chuyển động phẳng tổng quát, hai lực của ngẫu lực sinh công chỉ khi vật chuyển động quay Nếu vật chuyển động quay trong mặt phẳng với góc θ (đo

bằng radian) được xác định từ θ1 đến θ2, thì công của ngẫu lực bằng:

θ

= ∫ (10-22)

Ở đây: M là độ lớn của mômen của ngẫu lực M

- Nếu độ lớn của M không đổi, thì:

§10.5 Nguyên lý công và năng lượng

Áp dụng kết quả trình bày trong phần §10-2, nguyên lý công và năng lượng cho vật rắn là:

T1 + Σ U1 2− = T2 (10-24) Phát biểu nguyên lý ?

* Chú ý:

1 Vì vật là rắn tuyệt đối, nên công của các nội lực của vật bằng

không ? Tại sao ?

2. Nếu có một số vật rắn được liên kết chốt (khớp), được nối với nhau bởi các dây không giãn hoặc ăn khớp bánh răng với nhau thì phương trình (10-24) vẫn có thể áp dụng cho toàn bộ hệ vật trên

Tuy nhiên nội lực giữ cho các phần liên kết với nhau không sinh công Tại sao ?

(*) Các ví dụ áp dụng: Sinh viên đọc và nghiên cứu kỹ trình tự phân tích giải bài toán trong giáo trình

Ví dụ 10.6 Đĩa có khối lượng 30 kg cho

trên hình 10-13a được liên kết chốt tại

tâm của đĩa Xác định số vòng quay của

đĩa khi đĩa đạt được vận tốc góc là

20 rad/s, ban đầu đĩa đứng yên Đĩa chịu

tác dụng bởi lực không đổi F = 10 N, tác

dụng vào dây quấn quanh vành đĩa, và

mômen ngẫu không đổi M = 5 N·m Bỏ

qua khối lượng của dây trong tính toán Hình 10-13a