Bài giảng cơ học cơ sở i tĩnh học đại học thủy lợi

TRẠNG THÁI CÂN BẰNG CỦA CHẤT ĐIỂM VÀ VẬT RẮN Bất cứ khi nào các sợi cáp được dùng để nâng các tải trọng thì chúng được lựa chọn một cách cẩn thận để không bị phá hủy trong quá trình hoạt

CHƯƠNG 3 TRẠNG THÁI CÂN BẰNG CỦA CHẤT ĐIỂM VÀ VẬT RẮN

Bất cứ khi nào các sợi cáp

được dùng để nâng các tải

trọng thì chúng được lựa

chọn một cách cẩn thận để

không bị phá hủy trong

quá trình hoạt động Trong

chương này ta sẽ trình bầy

cách tính các tải trọng tác

dụng lên cáp trong các

trường hợp

§3.1 Cân bằng của chất điểm

3.1.1 Điều kiện cân bằng

• Thuật ngữ: “Trạng thái cân bằng” (Trạng thái cân bằng tĩnh) ?

• Cần: Thỏa mãn định luật 1 Newton, hệ thức toán học:

Σ =F 0 (3-1)

Đủ: Công thức (3-1) cũng là điều kiện đủ; Nếu sử dụng định luật

2 Newton

Σ =F ma = 0 suy ra a = 0

3.1.2 Lò xo, cáp và puli

3.1.2.a Lò xo

• Nếu lò xo đàn hồi tuyến tính thì chiều dài lò xo sẽ thay đổi tỷ lệ với lực tác dụng lên nó Để xác định tính chất "đàn hồi" của lò xo ta dùng hệ số cứng k; Lúc này cường độ lực đàn hồi được tính:

F = k.s (3-2)

Ở đây, s là độ co (giãn) của lò xo dưới tác dụng của –F (F)

Một lò xo nếu nó đàn hồi tuyến tính, có khối lượng không đáng kể

là một lò xo lý thưởng Khi này lực đàn hồi của lò xo là đồng đều

3.2.1b Cáp và puli

• Cáp: Nếu không có gì nói rõ thêm, ta

quan niệm các dây cáp đều hoàn toàn

mềm mại (không chịu uốn), có trọng lượng

không đáng kể, không giãn và nó chỉ chịu

lực căng (kéo) nhất định biểu diễn hướng

dây cáp Ta gọi là dây cáp lý tưởng Hình 3-2

Một dây cáp lý tưởng thì sức căng T của nó tại P là đại lượng vô hướng xác định từ hệ thức (hình 3-2)

F12 = - T u12 hay F21 = T u12

• Puli: Một puli (hay ròng rọc) khi bỏ qua quán

tính của nó và các lực ma sát do sự quay của nó

gây ra gọi là puli (hay ròng rọc) lý tưởng

Hình 3-3

Ta tạm thừa nhận: Một dây cáp lý tưởng vắt

qua một puli lý tưởng xuất hiện lực căng có độ

lớn (sức căng) không đổi để giữ cho dây cáp đó

cân bằng (Hình 3-3)

x y z

F F F

3.1.3b Hệ lực phẳng (Hình 3-5)

Nếu chất điểm chịu tác dụng của hệ lực phẳng, trên mặt phẳng x-y:

00

x y

F F

Σ =

Σ = (3-4)

Hình 3-5

3.1.4 Cách thiết lập “sơ đồ vật rắn tự do”

Khi sử dụng các hệ phương trình giải bài toán về cân bằng của chất điểm, cần phải biểu diễn tất cả các lực tác dụng lên nó, bao gồm: Các lực hoạt động (xu hướng làm chất điểm chuyển động) và các phản lực (ngăn cản chuyển động của chất điểm) Để làm điều này,

ta tiến hành như sau:

• Vẽ phác thảo hình dáng, tưởng tượng chất điểm bị tách rời với các vật xung quanh

• Thể hiện tất cả các lực (hoạt động, phản lực) tác dụng lên chất điểm

• Xác định rõ các lực: Các lực đã biết nên ký hiệu độ lớn và hướng riêng; Các lực chưa biết ký hiệu bằng các chữ cái và chỉ rõ hướng (có thể giả thiết)

CÁC BƯỚC PHÂN TÍCH

Phương pháp phân tích để giải bài tập cân bằng của chất điểm:

Bước 1. Vẽ sơ đồ vật rắn tự do:

a Thiết lập trục x,y z hoặc x và y (trong bài toán phẳng) sao

cho có hướng phù hợp

b Biểu diễn (đặt tên cụ thể) cho tất cả các lực đã biết và chưa

biết trên sơ đồ

c Giả sử phương chiều các lực có độ lớn chưa biết

Bước 2. Sử dụng hệ phương trình cân bằng:

a Sử dụng (3-3) hoặc (3-4) khi mỗi lực dễ dàng phân tích ra

các thành phần trên các trục Nếu bài toán liên quan đến lò

xo, lực đàn hồi của lò xo có độ lớn tính theo (3-2)

b Nếu hình không gian thể hiện khó phân tích lực, thì đầu tiên

biểu diễn mỗi lực như véctơ trong tọa độ Đề các, sau đó thay vào và suy ra các thành phần theo i, j và k bằng

không

0

Σ =F

c Khi kết quả bài toán là âm, điều này chỉ ra rằng chiều của lực

có chiều ngược lại với chiều thể hiện trên sơ đồ vật rắn tự do

Ví dụ 3.1

Một quả cầu như hình 3-6a có khối

lượng là 6 kg và được giữ như trong

hình vẽ Hãy vẽ sơ đồ vật rắn tự do

của quả cầu, đoạn dây CE và nút C

Hình 3-6a

Bài giải

Quả cầu. Ta thấy rằng chỉ có 2 lực tác

dụng lên quả cầu, đó là trọng lượng và lực

căng của dây CE Trọng lực của quả cầu là

6 kg.(9.81m/s2)= 58.9 N Sơ đồ vật rắn tự do

của quả cầu được biểu diễn như hình 3-6b

58.9 N (Trọng lực hay lực trọng trường tác dụng lên quả cầu)

CE

F (Lực do dây CE tác dụng lên quả cầu)

Hình 3-6b

Dây CE. Khi dây CE được tách riêng ra thì

u v

trạng thái cân bằng nên FCE = FEC

sơ đồ vật rắn tự do của dây CE chỉ ra rằng chỉ có 2 lực tác dụng lên

nó, đó là lực của quả cầu và lực của điểm nút, hình 3-6c Chú ý

rằng FCE biểu diễn ở đây bằng nhưng ngược chiề ới lực ở hình

3-6b, đó là một hệ quả của định luật thứ 3 của Niutơn Vì vậy, FCE và

FEC kéo sợi dây và giữ cho nó luôn bị căng và không bị dãn Do ở

Điểm nút. Điểm nút C phải chịu tác dụng của 3 lực, hình 3-6d Ba

c này được tạo ra do các dây CBA, CE và lò xo CD Cần tìm sơ đồ

do của nút biểu diễn tất cả các lực được thể hiện rõ về độ lớn và

FCBA(Lực do dây CBA tác dụng lên điểm nút)

FCD (Lực do lò xo tác dụng lên điểm nút)

FCE (Lực do dây CE tác dụng lên điểm nút)

Hình 3-6d

CE

F (Lực do điểm nút tác dụng lên dây CE)

CE

F (Lực do quả cầu tác dụng lên dây CE)

Ví dụ 3-2: Xác định độ dài

cần thiết của dây thừng AC

trên hình 3-7a, sao cho có thể

treo một chiếc đèn khối lượng

Nếu lực trong lò xo AB đã biế

được xác định theo công th

Vậy chiều dài của lò xo sau khi biến dạng là

dây được nối với một lò xo Xác định

sức căng trong các sợi dây AC và AD,

và xác định độ giãn của lò xo

Bài giải

Sơ đồ vật rắn tự do. Lực trong mỗi

dây có thể được xác định bằng cách lập

kiện cân bằng của điểm A Sơ đồ vật rắ

do của điểm A được biểu diễn như trên hình

vẽ 3-8b Ta có trọng lượng c

sợi điều

biểu diễn mỗi véctơ trên sơ đồ vật rắn tự

của điểm dưới dạng véctơ Đềcác Tọa độ

của điểm D (− 1 m, 2 m, 2 m) để xác định FD

B = F B

Hình 3-8b

§3.2 Cân bằng của vật rắn

Hình 3-9

3.2.1 Điều kiện cân bằng của vật rắn

3.2.1a Nội lực và ngoại lực (Hình 3-9)

lực thuộc về nội lực sẽ không được biểu diễn

trên sơ đồ này

3.2.1b Điều kiện cân bằng

¾ Ký hiệu: ΣF = FΣ i ; ΣMO = Σ ×ri Fi, ta có:

O

00

3.2.2a Liên kết, trọng lực và trọng tâm Mô hình lý tưởng

• Liên kết ? Nếu liên kết làm cản trở sự dịch chuyển của vật rắn theo một phương nhất định thì xuất hiện một lực tác dụng theo phương đó Tương tự nếu chuyển động quay của vật bị cản trở thì

nó có một mômen ngẫu xuất hiện tác dụng lên vật

• Sinh viên tự nghiên cứu và thảo luận tại tổ, nhóm học tập

Các ký hiệu sủ dụng mô tả liên kết và từng loại phản lực tác dụng lên phần tiếp xúc với chúng (Bảng 5-1)

Trọng lực và trọng tâm (trang 207)

Cách thiết lập mô hình tính thích hợp (trang 207)

3.2.2b Hệ phương trình cân bằng

Khi hệ lực nằm trong mặt phẳng x – y, sử dụng (3-5):

000

Σ =

Σ =

x y O

F F M

Σ =

a A B

F M M

Hình 3-10a

Hình 3-10b Hình 3-10c

A B C

M M M

(3-8)

CÁC BƯỚC PHÂN TÍCH GIẢI BÀI TOÁN

Bước 1: Sơ đồ vật rắn tự do

Để thiết lập sơ đồ vật rắn tự do cho vật rắn hoặc một nhóm vật rắn được coi như một hệ đơn, thì cần:

a Vẽ hình phác thảo: Tưởng tượng vật rắn khảo sát ở trạng thái

cô lập (tách nó từ các liên kết thành vật rắn tự do) và vẽ phác thảo hình dạng của nó

b Biểu diễn tất cả các lực và mômen ngẫu lực: Xác định tất cả

các ngoại lực và mômen ngẫu lực tác dụng lên vật khảo sát Những lực đó thông thường xuất hiện là do: tải trọng tác dụng, phản lực xuất hiện tại các vị trí liên kết hoặc tại các điểm tiếp xúc với các vật khác (xem bảng 5-1), và trọng lượng của vật khảo sát

c Xác định tải trọng và các kích thước đã cho: Các lực và các

mômen ngẫu lực đã cho trước phải được chỉ rõ phương chiều và

độ lớn của chúng Các ký tự được sử dụng để biểu diễn độ lớn

và góc chỉ phương của lực và mômen ngẫu lực chưa biết Thiết lập một hệ trục tọa độ x, y để có thể xác định các biến chưa biết Có thể giả định chiều các lực và ngẫu lực chưa biết để tính

Bước 2: Hệ phương trình cân bằng

a Khi sử dụng phương trình cân bằng lực: Σ =F x 0 và Σ =F y 0 thì

phương trục x và y chọn sao cho tính toán là đơn giản nhất

b Sử dụng phương trình cân bằng mômen ΣM O = 0, nên cố gắng

chọn O là điểm giao của các đường tác dụng của hai lực chưa biết Khi đó đại lượng chưa biết thứ ba sẽ được xác định trực tiếp

c Nếu giải hệ phương trình cân bằng cho giá trị lực hay mômen

ngẫu lực âm, thì chiều đúng của chúng sẽ ngược chiều giả thiết đặt trên sơ đồ vật rắn tự do

Ví dụ 3.4: Trong hình 3-12a, hai ống tròn

nhẵn, mỗi ống có khối lượng 300 kg được

nâng bởi cái chĩa của máy kéo Vẽ sơ đồ vật

rắn tự do cho riêng từng ống và cho đồng thời

cả hai cái ống (bỏ qua ma sát)

Bài giải

a. Trong hình 3-12b biểu diễn mô hình lý

tưởng hoá của bài toán mà ta dùng để vẽ sơ

đồ vật rắn tự do Ở đây các ống được biểu diễn, với các kích thước,

và trạng thái vật lý được thu gọn về dạng đơn giản nhất

Hình 3-12a

b. Sơ đồ vật rắn tự do của ống A được cho trong hình 3-12c Trọng lượng của nó là W = 300(9.81) = 2943 N Giả thiết các mặt tiếp

xúc là trơn nhẵn, các phản lực T, F, R tác dụng theo phương vuông

góc với đường tiếp tuyến tại vị trí tiếp xúc

c. Sơ đồ vật rắn tự do của ống B được vẽ

trong hình 3-12d Bạn có thể xác định các lực

tác dụng lên cái ống này không ? Đặc biệt,

chú ý rằng R trong hình 3-12d biểu diễn lực

do A tác dụng lên B, nó bằng về độ lớn và

ngược chiều với R trong hình 3-12c biểu diễn

lực do B tác dụng lên A Đây chính là kết quả

của định luật thứ ba của Newton

Hình 3-12d

d. Sơ đồ vật tự do của cả hai ống

(“cơ hệ”) được vẽ trong hình

3-12e Ở đây lực tiếp xúc R tác dụng

giữa A và B được xem là nội lực và

do vậy không được biểu diễn trong

sơ đồ Tức là, nó biểu diễn một

cặp lực có cùng độ lớn, cùng

phương nhưng trái chiều với nhau,

do đó chúng tự triệt tiêu lẫn nhau Hình 3-12e

Ví dụ 3-5: Vẽ sơ đồ vật

rắn tự do của sàn công

tác không có tải trọng

được treo vào cạnh của

tháp khoan dầu như hình

3-13a Biết rằng sàn

thang máy có khối lượng

là 200kg

Bài giải

g ta quan sát tải trọng và các kích thước của sàn thấy rằng chúng đối xứng qua

ây liên kết ở A coi như bản lề trụ và dây cáp giữ thang máy nối vào điểm B

ủa sàn như trên

ẽ sơ đồ vật rắn tự do của sàn như hình 3-13c Trọng lượng của sàn là: 200(9.81) = 1962 N Các

a. Chún

mặt phẳng thẳng đứng, đi qua tâm của sàn

như hình 3-13b, vì vậy mô hình lý tưởng hóa

để tính toán là coi như sàn nằm trong mặt

phẳng

Phương của dây cáp và các kích thước trung bình c

hình vẽ, và vị trí tâm trọng lực G hoàn toàn được xác định

c. Từ mô hình chúng ta phải v

Bài giải

của dầm, hình 3-14b Để đơn giản trong quá trình tính toán, lực 600N được phân tích thành các thành phần theo trục x, và y Cũng

như vậy, chú ý rằng lực 200N tác dụng trên dầm tại B là độc lập với các thành phần phản lực Bx, By biểu diễn tác dụng của chốt lên rầm

Hình 3-14b

Ta lấy tổng các lực theo phương y, và sử dụng kết quả trên ta được:

Ví dụ 3-7: Để đổ bê tông từ xe tải xuống

Người ta sử dụng một máng nghiêng như được

mô tả như trong hình 3-15a Xác định lực do

xylanh thuỷ lực và khung xe tải tác dụng lên

máng để giữ nó ở vị trí như hình vẽ Máng và bê

tông lỏng có trọng lượng không đổi 35 lb/ft

phân bố dọc theo chiều dài của nó

Bài giải

a. Mô hình lý tưởng của máng được mô tả

trong hình 3-15b Ở đây các kích thước là đã

biết và giả thiết rằng máng được nối chốt với

khung tại A và Xi lanh thuỷ lực BC có tác dụng như một thanh ngắn

Hình 3-15a

b. Sơ đồ vật rắn tự do. Vì máng có chiều dài 16 ft, do đó tổng

trọng lượng của máng là 35 (lb/ft).16ft = 560 lb, và ta giả thiết trọng lực đặt tại điểm giữa G Xi lanh thuỷ lực tác dụng một lực nằm

ngang FBC lên máng, hình 3-15c

c Hệ phương trình cân bằng

FBC có thể được suy ra trực tiếp bằng cách lấy tổng mômen đối với chốt tại A Để làm điều này ta sử dụng nguyên lý mômen và phân tích trọng lực thành các thành phần song song và vuông góc với máng, ta có:

Chú ý: Để kiểm tra kết quả này, ta có thể lấy tổng mômen đối với điểm B

3.2.2c Một chi tiết (một khâu) chịu tác dụng hai hay ba lực

Giải bài toán cân bằng có thể đơn

giản nếu bài này có chi tiết (khâu)

chịu tác dụng của hai hoặc ba lực-

Gọi tắt là chi tiết (khâu) hai hay ba

lực

ƒ Chi tiết (khâu) hai lực ? Hình

3-16a Trường hợp này giá của hợp

lực đặt tại hai điểm đã biết, chỉ có

độ lớn của hợp lực cần phải xác định

(hình 3-16b)(1)

ƒ Chi tiết (khâu) ba lực ? Trường

hợp để nó cân bằng thì các lực này Hình 3-16

phải đồng quy hoặc song song với nhau (?) (hình 3-16 c, d)(2)

Hình 3-16

(1) Các ví dụ khác của chi tiết (khâu) hai lực.

Hình 3-16c

(2) Chi tiết (khâu) ba lực Nếu một chi tiết (khâu) chỉ chịu tác

dụng của ba lực, để chi tiết (khâu) cân bằng thì các lực này phải hoặc đồng quy hoặc song song với nhau Hình 5-23a thể hiện ba lực đồng quy và giả sử có hai trong ba lực tác dụng lên vật có giá cắt nhau tại O Để thỏa mãn cân bằng mômen đối với điểm O: ∑MO = 0, lực thứ ba cũng phải đi qua O, khi đó tạo thành một hệ lực đồng quy Nếu hai trong ba lực song song với nhau, hình 5-23b, thì điểm đồng quy O được xem như ở vô cùng và lực thứ ba cũng phải song song với hai lực kia

Ảnh minh họa

• Thanh nối gầu AB trên tay gầu là một ví

dụ điển hình cho một chi tiết (khâu) hai lực,

vì nó được nối chốt tại đầu của nó, và giả thiết bỏ qua trọng lượng cũng như không có lực nào khác tác dụng lên chi tiết (khâu) này

• Xylanh thuỷ lực BC có các liên kết

chốt ở các đầu của nó Đó là một

chi tiết (khâu) hai lực Cần ABD chịu

tác dụng của trọng lực của môtơ

treo tại D, lực tác dụng của xi lanh

thuỷ lực tại B và lực của chốt tại A Nếu bỏ qua trọng lượng của cần thì nó là một chi tiết (khâu) ba lực

• Thùng tự đổ của xe tải hoạt động nhờ sự kéo dài các ống lồng của xilanh thủy lực AB Nếu bỏ qua trọng lượng của AB, ta có thể phân loại nó là một chi tiết (khâu) hai lực vì

nó được liên kết chốt tại các đầu của nó

(*) Ví dụ áp dụng

Ví dụ 3-8: Đòn bẩy ABC được giữ bởi chốt A và được nối với thanh ngắn BD như trên hình vẽ Nếu bỏ qua trọng lượng của các thanh, hãy xác định lực của chốt tác dụng lên đòn bẩy tại A

(Sinh viên tự nghiên cứu)

3.2.3 Cân bằng trong không gian

Sinh viên tự nghiên cứu và thảo luận để nhận biết các ký hiệu được sử dụng và hiểu rõ các lực, mômen ngẫu lực sinh ra trong mỗi liên kết (bảng 5-2)

Ảnh minh họa: Một số gối tựa điển hình trong thực tế

Khớp cầu tạo ra một liên kết giữa

Ổ chặn được sử dụng để đỡ

trục dẫn động trên máy (7) một đầu của thanh chống Chốt được sử dụng để đỡ

xiên trên máy kéo (8)

3.2.3a Hệ phương trình cân bằng

ƒ Hệ phương trình véctơ. Điều kiện cân bằng của vật rắn được chứng minh ở phần 3.2.1b Hai điều kiện đó được biểu diễn toán học ở dạng véctơ như sau:

00

thay vào hệ phương trình (3-9) ; Do i, j, k độc lập nhau, hệ phương

trình trên thỏa mãn với điều kiện là:

000

x y

F F F

x y

M M M

(3-10b)

Hệ sáu phương trình cân bằng đại số này có thể sử dụng để giải ra tất cả sáu ẩn số chưa biết được chỉ ra trên sơ đồ vật rắn tự do

3.2.3b Các liên kết thích hợp đối với vật rắn

Ta cần bàn và thảo luận vấn đề: Để đảm bảo sự cân bằng của vật rắn, không chỉ thỏa mãn hệ phương trình cân bằng mà vật rắn còn phải được ràng buộc một cách thích hợp

ƒ Liên kết thừa Đây là bài toán siêu tĩnh ?

Hình 3-17a

Hình 3-17b

ƒ Các liên kết không thích hợp dẫn đến hệ không ổn định ? khả

năng xảy ra: