Lý thuyết sai số và phương pháp số bình phương nhỏ nhất

Chương I Cơ SỞ LÝ THUYẾT SAI s ố Lý th u y ết sai sô" là khca học nghiên cứu về nguyên nhân xuất hiện, luật phân phối và tín h chất của các sai số trong đo đạc, trên cơ sỏ đó đề xuất các

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRẦN QUỐC BÌNH

LÝ THUYẾT SAI s ố

VÀ PHƯƠNG PHÁP SỐ BÌNH PHƯƠNG NHỎ NHẤT

NHÀ XUẤT BẢN NÔNG NGHIỆP

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 6

CHƯƠNG I Cơ SỞ LÝ THUYẾT SAI s ố 7

1.1 Khái niệm về phép đ o 7

1.2 Nhiệm vụ của lý thuyết sai số 8

1.3 Sai sô" đo đ ạ c 9

1.4 Các tiêu chuẩn đánh giá độ chính xác của kết quẩ đo 11

1.4.1 Sai sô" tuyệt đối 11

1.4.2 Sai số tương đốì 18

1.5 Sai sô" trung phương của hàm các trị đo 20

1.6 Sai sô" làm tr ò n 24

1.7 Sai sô" hệ thông và các phương pháp làm giảm ảnh hưởng của c h ú n g 26

1.7.1 Ảnh hưởng của sai sô" hệ thông tới độ chính xác của một trị đo 27

1.7.2 Anh hưởng của sai sô" hệ thông tới độ chính xác của trị trung bình sô" h ọ c 27

1.7.3 Ánh hưởng của sai sô" hệ thống tối độ chính xác của tổng các trị đo có cùng độ chính xác 28

1.7.4 Các biện pháp làm giảm ảnh hưởng của sai sô" hệ th ô n g 29

Bài tập chương 1 33

CHƯƠNG II XỬ LÝ CÁC KẾT QUẢ ĐO MỘT ĐẠI LƯỢNG 34

2.1 Xử lý các kết quả đo một đại lượng có cùng độ chính x ác 34

2.2 Trọng sô" và trị trung bình trọng sô" 37

2.2.1 Khái niệm về trọng số* và trị trung bình trọng sô" 37

2.2.2 Trọng sô"của hàm các trị đ o 39

2.2.3 Vấn đề tính trọng số* và sai sô" trung phương của trọng sô' đơn vị 41

2.3 Xử lý các kết quả đo một đại lượng không cùng độ chính x ác 43

2.4 Đánh giá độ chính xác của dãy các trị đo kép 46

2.4.1 Sai sô" hệ thống không đáng k ể 47

2.4.2 Sai sô" hệ thông cần phải tính đ ế n 47

Bài tập chương I I 50

CHƯƠNG III KHÁI NIỆM VỀ BÀI TOÁN BÌNH SAI VÀ NGUYÊN TAC SỐ BÌNH PHƯƠNG NHỎ NHẤT 51

3.1 Khái niệm về bài toán bình s a i 51

3.2 Nguyên tắc sô"bình phương nhỏ n h ấ t 5b Bài tập chương I I I 55

CHƯƠNG IV PHƯƠNG PHÁP BÌNH SAI THAM s ố 57

4.1 Bài toán bình sai tham sô" 57

4.2 Các bước giải bài toán bình sai tham sô" 59

4.3 Dạng ma trận của bài toán bình sai tham s ố 64

4.4 Đánh giá độ chính xác theo kết quả bình sai tham sô' 66

4.5 Một sô' dạng phương trình sô" hiệu chỉnh trong lưới trắc đ ịa 71

4.5.1 Các phương trình sô' hiệu chỉnh trong lưới thủy chuẩn 72

4.5.2 Các phương trình sô"hiệu chỉnh trong lưới trắc địa mặt bằng 73

Bài tập chương IV 83

CHƯƠNG V PHƯƠNG PHÁP BÌNH SAI ĐIỂU K IỆ N 85

5.1 Bài toán bình sai điều k iệ n 85

5.2 Các bưốc giải bài toán bình sai điều k iệ n 88

5.3 Dạng ma trận của bài toán bình sai điều k iệ n 92

5.4 Đánh giá độ chính xác theo kết quả bình sai điều kiện 94

5.5 Một sô" dạng phương trình điều kiện trong lưới trắc địa 97

5.5.1 Các phương trình điều kiện trong lưói thủy c h u ẩ n 97

5.5.2 Các phương trình điều kiện chủ yếu trong lưới tam giác đo góc 98

5.5.4 Các phương trình điều kiện trong lưới đường chuyền 106

5.6 So sánh các phương pháp bình sai điều kiện và bình sai tham sô' 110

Bài tập chương V 111

CHƯƠNG VI PHƯƠNG PHÁP BÌNH SAI KẾT H ộ p VÀ BÀI TOÁN TÍNH CHUYỂN ĐỔI TỌA ĐỘ 113

6.1 Phương pháp bình sai kết hợ p 113

6.1.1 Cơ sở toán học của phương pháp bình sai kết hợp 113

6.1.2 Một số* dạng của phương pháp bình sai kết hợp 115

6.2 Bài toán chuyển đổi tọa độ 118

6.3 Tính toán tham sô"chuyển đổi Helmert giữa hai hệ tọa độ vuông góc phẳng 119

6.3.1 Mô hình chuyển đổi với điểm xoay ở tâm tọa độ (mô hình 1) 120

6.3.2 Mô hình chuyển đổi với điểm xoay nằm ngoài tâm tọa độ (mô hình 2) 122

6.4 Tính.toán tham số* chuyển đổi Helmert giữa hai hệ tọa độ vuông góc không gian gần n h a u 127

6.4.1 Mô hình chuyển đổi với điểm xoay ỏ tâm tọa độ (mô hình 1) 127

6.4.2 Mô hình chuyển đổi với điểm xoay nằm ngoài tâm tọa độ (mô hình 2) 130

Bài tập chương V I 140

ĐÁP SỐ VÀ LÒI GIẢI CỦA CÁC BÀI T Ậ P 142

PHỤ LỤC 155

A Một sô" khái niệm của Lý thuyết xác suất và Thông kê toán học 155

B Bảng hàm Laplace 168

c Ma trận và hệ phương trình tuyến t í n h 169

D Tuyến tính hóa bằng chuỗi Taylor 183

E Tìm cực trị có điều kiện bằng hàm Lagrange 185

TÀI LIỆU THAM KHẢO 186

LỜI NÓI ĐẦU

Lý th uyết sai sô" và Phương pháp sô" bình phương nhỏ n h ấ t là môn học cơ bản trong chương trìn h đào tạo c ử nhân khoa học ngành Địa chính ở trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Đây là một môn học khó, song đóng vai trò then chốt trong khôi các môn học về công nghệ địa chính Có thể nói tấ t cả các lĩnh vực đo đạc trắc địa - bản đồ như đo vẽ địa chính, đo vẽ địa hình, trắc địa cao cấp, trắc địa ảnh, xử lý ảnh sô", hệ thông định vị toàn cầu GPS, đều có liên quan

đến nội dung của Lý th uyết sai số và Phương pháp sô" bình phương nhỏ nhất.

Do thời lượng của môn học có hạn nên giáo trình được biên soạn với tiêu chí

là giói hạn trong những kiến thức cơ bản nhất, song các kiến thức này được trình bày chi tiết và chặt chỗ nhằm giúp học viên nắm vững các vấn đề được đưa ra Nội dung của giáo trìn h không đề cập đến một sô" vấn đề nâng cao như p h át hiện sai sô"

hệ thông và sai sô" thô trong lưới trắc địa, bình sai lưới trắc địa không gian và lưới trắc địa m ặt đ ất - vệ tinh, bình sai lưới tự do, các th u ậ t toán nâng cao sử dụng trong bình sai, Người đọc quan tâm đến những vấn đê này có thể tham khảo thêm những tài liệu được liệt kê trong danh mục ở cuối giáo trình

Lý th uyết sai sô" và Phương pháp sô' bình phương nhỏ n h ấ t là môn học dựa trê n nển tản g của Lý thuyết xác suất, Thống kê toán học và Đại sô" tuyến tính Do

đó, phương pháp học môn này cũng tương tự như đổi với Toán học cao cấp: học viên không phải học thuộc các công thức trong giáo trình mà cần nắm được ý tưởng và phương pháp lập luận để đưa ra các công thức đó, khi cần có thể tự mình suy luận

ra chúng hoặc tra cứu tài liệu Để giúp ngươi đọc nắm vững kiến thức lý thuyết,

trong giáo trìn h có một sô' lượng lớn các ví dụ và bài tập tín h toán Sau khi học

xong mỗi chương lý thuyết, học viên nên tự mình giải các bài tập của chương đó rồi

so sán h với đáp sô" và lòi giải được trìn h bày tóm tắ t ở phần cuối của giáo trình Ngoài ra, để có th ể n hanh chóng tiếp thu các kiến thức ]ý thuyết, cần ôn lại những kiến thức nền của Toán học cao cấp được trìn h bày trong phần phụ lục

Trong quá trìn h biên soạn giáo trình, tác giả đã nhận được nhiều đóng góp quý báu của các đồng nghiệp trong khoa Địa lý cũng như của các chuyên gia ở Bộ Tài nguyên và Môi trường Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc n h ấ t tới các nhà giáo, các nhà khoa học đã giúp đỡ hoàn th àn h giáo trình này

Đây là giáo trìn h được biên soạn lần đầu nên không thể trán h khỏi những sai sót và khiếm khuyết Tác giả rấ t mong nhận được những đóng góp, phê bình của học viên và các nhà khoa học

Hà Nội, tháng 10 năm 2005

TÁC GIẢ

Chương I

Cơ SỞ LÝ THUYẾT SAI s ố

Lý th u y ết sai sô" là khca học nghiên cứu về nguyên nhân xuất hiện, luật phân

phối và tín h chất của các sai số trong đo đạc, trên cơ sỏ đó đề xuất các phương pháp

đo và xử lý k ết quả đo nhằm đảm bảo độ chính xác cần thiết

1.1 KHÁI N IỆM VỂ P H É P ĐO

Phép đo là đem so sánh đại lượng cần đo vối đại lượng cùng loại được chọn làm đơn vị Trong đo đạc địa chính, các đại lượng đo thường là khoảng cách, góc, độ cao (hay chênh cao) và tọa độ (hay sô" gia tọa độ) Để tăng độ chính xác, một đại lượng thường được đo nhiều lần

Người ta phân biệt các phép đo có cùng độ chính xác và các phép đo không cùng độ chính xác:

- Các phép đo có cùng độ chính xác được thực hiện bằng một dụng cụ (hay các

dụng cụ có cùng độ chính xác), theo cùng một phương pháp trong những điều kiện giông nhau Ví dụ: đo góc ngang hay góc đứng bằng các máy kinh vĩ có cùng độ chính xác theo cùng một phương pháp và sô" lượng vòng đo, đo một khoảng cách nhiều lần bằng một thước dây theo cùng một phương pháp,

- Nếu các điều kiện trên khồng được thực hiện thì các phép đo được coi là

không cùng độ chính xác Ví dụ: đo góc theo cùng một phương pháp và sô" lượng

vòng đo nhưng với các máy kinh vĩ khác nhau về độ chính xác, đo một khoảng cách lớn bằng các thước dây có chiều dài khác nhau,

Trong thực tế, có rấ t nhiều yếu tô" ảnh hưởng đến độ chính xác của kết quả đo

và chúng khó xác định nên người ta thường đưa ra kết luận các phép đo có cùng độ chính xác hay không dựa theo kinh nghiệm và các chỉ tiêu đánh giá độ chính xác (được nghiên cứu ở mục 1.4)

Đế giải các bài toán trong đo đạc địa chính, ta thường phải đo nhiều đại lượng Chẳng hạn, từ 2 điểm A và B đã biết trước, để xác định vị trí của điểm c trên m ặ t phẳng cần đo ít n h ấ t 2 đại lượng Sô" đại lượng tối thiểu phải đo để giải

bài toán đ ặt ra được gọi là sô'đại lượng cần đo Như vậy 2 là sô" đại lượng cần đo để

xác định vị trí của 1 điểm trên m ặt phẳng

Trong đo đạc địa chính, để tăng độ chính xác, người ta thường đo nhiều đại lượng hơn số cần thiết Hiệu giữa sô" đại lượng thực tế đo và sô' đại lượng cần đo

được gọi là s ố đại lượng đo dư (hay còn gọi là số đại lượng đo thừ a [2]) Như vậy, giữa sô" đại lượng cần đo k, thực tế đo n và đo dư r có mốì quan hệ sau:

Ví dụ 1.1.

a Để xác định khoảng cách AB người ta đo bằng thước dây 3 lần Như vậy, số đại lượng cần đo bằng 1, sô' đại lượng đo dư bằng 2

b Một tứ giác trắc địa có sơ đồ trên hình 1.1 Để xác định tọa độ phẳng của các điểm c

và D khi đã biết tọa độ của A và B, người ta đo 8 góc được đánh số trên sơ đồ và khoảng cách CD

Bởi vì để xác định tọa độ (x,y) của 1 điểm trên mặt phẳng cần đo 2 đại lượng nên sô' đại lượng cần đo k = 2x2 = 4, số đại lượng thực tế đo « = 8 + 1=9, số đại lượng đo dư

r = n - k = 9 - 4 = 5.

Hình 1.1 Sơ đồ tứ g iác trắ c địa (ví dụ 1.1)

1.2 NHIỆM VỤ CỦA LÝ THUYET s a i s ố

Một phép đo cho dù có được thực hiện cẩn th ậ n bao nhiêu th ì cũng vẫn có sai

số Việc hoàn thiện phương pháp đo đạc và các dụng cụ đo, cũng như việc nâng cao trìn h độ của ngưòi đo chỉ có thể làm tăng độ chính xác của các kết quả đo chứ không th ể triệ t tiêu hoàn toàn được các sai sô Bởi vậy, trong thực tế người ta thường thực hiện đo đạc với một độ chính xác cho trước Việc đ ặ t ra độ chính xác cho trưốc đó cũng như việc đánh giá độ chính xác của các k ết quả đo là nhiệm vụ chủ yếu của lý th u y ết sai sô"

Lý th u y ết sai số nghiên cứu các vấn đề sau:

1 Nghiên cứu nguyên nhân x uất hiện và lu ậ t phân phối của sai số đo đạc và

sai sô" tính toán, trên cơ sở đó đề x uất các phương pháp làm giảm ảnh hưởng của chúng

2 Xác định giá trị tin cậy n h ấ t của các đại lượng đo.

3 Đánh giá độ chính xác của các kết quả đo và hàm của chúng

4 Xác định các giới hạn để loại bỏ những trị đo không đ ạt yêu cầu nhằm đảm bảo độ chính xác cần thiết

1.3 SAI SỐ ĐO ĐẠC

N hư chúng ta đã biết, b ất kỳ phép đo nào cũng có sai sô", tức là sự khác biệt

giữa giá trị đo được và giá trị thực Nguyên nhân p hát sinh ra sai sô' là do trong

quá trìn h đo đạc, ngoài đối tượng đo còn có sự tham gia của người đo, dụng cụ đo và môi trường xung quanh Toàn bộ các điều kiện trên luôn luôn thay đổi theo thời gian và chúng ta không thể đánh giá chính xác và triệ t tiêu ảnh hưởng của chúng được Bởi vậy, kết quả đo bao giờ cũng khác giá trị thực và mỗi lần một khác Nếu gọi tập hợp các yếu tô" ảnh hưởng đến kết quả đo: đối tượng đo, ngưòi đo, phương

pháp đo, dụng cụ đo và môi trường xung quanh là điều kiện đo thì có thể cho rằng

sự dao động của các k ết quả đo thể hiện những thay đổi của điều kiện đo

Để nghiên cứu tín h ch ất của sai sô’ th ì tốt n h ấ t là biết được giá trị thực của các đại lượng đo Trong thực tế, có th ể coi giá trị thực là giá trị của các đại lượng

đo đã được biết với độ chính xác cao, có sai số nhỏ hơn nhiều so vối sai sô" của các phép đo mà chúng ta thực hiện Ngoài ra, có một số hàm của các đại lượng đo có giá tr ị thực đã b iết trước, ví dụ như tổng các góc trong một tam giác bằng 180°, Lổng c h ê n h cao tr on g một t u y ế n t h ủ y c h u ẩ n khé p kín b ằ ng 0, hiệu giữa 2 k ế t quả

đo một đại lượng bằng 0,

Khi đo một đại lượng có giá trị thực bằng X thì sai sô'thực 6 của k ết quả đo

Nếu chúng ta biết một sô" lượng lớn các sai số thực thì có thể nghiên cứu quy

lu ậ t x u ất hiện của chúng Tuy nhiên, trong đa số các trường hợp, giá trị thực X (và suy ra là các sai số thực 9), không biết được Bởi vậy, để nghiên cứu tính ch ất của

sai sô", người ta thường sử dụng các phương pháp nghiên cứu gián tiếp như nghiên cứu lu ậ t phân phôi xác su ất của trị đo hay của hàm các trị đo

Khi ta đo một đại lượng nào đó thì k ết quả đo chịu ảnh hưởng của vô số các yếu tố" khác nhau Ví dụ như khi đo góc ngang bằng máy kinh vĩ có thể có các

nguồn sai sô" sau: sai số hiệu chỉnh máy, sai sô' định tâm máy, sai số của bàn độ ngang, sai số của bộ phận đọc kết quả, sai số của người đo khi ngắm mục tiêu và

khi đọc k ết quả, sai sô" do khúc xạ của tia ngắm, sự không ổn định của điểm ngắm

và của máy kinh vĩ, ảnh hưởng của nhiệt độ không khí, v ề phần mình, sai số hiệu chỉnh máy lại bao gồm các sai số do trục ngắm không vuông góc với trục quay

của ông kính, trục quay của máy không vuông góc với trục của ống thủy dài, Nếu phép đo được thực hiện cẩn th ậ n thì mỗi yếu tố trên có ảnh hưởng r ấ t nhỏ so vói tổng ảnh hưởng của chúng tới k ết quả đo Khi đó, theo định lý giới hạn tru n g tâm

của lý th u y ết xác su ấ t thì kết quả đo có p h â n phối chuẩn (xem phụ lục A.3).

Theo nguồn gốc p h át sinh và quy lu ậ t xuất hiện, các sai số đo được phân loại

th à n h sai số thô, sai số hệ thông và sai sô' ngẫu nhiên

• S a i s ố th ô (hay còn gọi là sai lầm hay sai sô' lớn) p h á t sinh do lỗi lầm hay

sự th iếu trách nhiệm của người đo hoặc do hỏng hóc của máy đo Ví dụ như khi đo khoảng cách bằng nhiều đoạn ngắn người đo đếm nhầm số đoạn, hoặc khi đo góc

quên không khóa vành độ ngang, Sai số thô cần được p h á t hiện và loại bỏ ra khỏi

các k ết quả đo Phương pháp đơn giản n h ấ t để p h á t hiện sai sô" thô là đo lặp nhiều lần một đại lượng rồi phân tích thống kê dãy các kết quả th u đưực Phương pháp này tuy đơn giản nhưng tôn nhiều công sức, n h ất là khi xây dựng các lưới trắc địa có nhiều đại lượng đo Do đó, việc đề xuât các phương pháp p h át hiện sai số thô là một trong những vấn đề cấp thiết của Lý thuyết sai s ố ‘

• S a i sô h ê t h ố n g là sai số p h át sinh theo một quy lu ậ t n h ấ t định từ một

nguồn nào đó Nếu xét sai sô" hệ thông như một đại lượng ngẫu nhiên thì kỳ vọng của nó thường khác 0 Ví dụ như nếu sử dụng thước dây có chiều dài thực lớn hơn danh nghĩa của nó (20,0lm th ay vì 20,00m) thì kết quả đo bao giò cũng nhỏ hơn

khoảng cách thực Trong nhiều trường hợp, sai scí hệ thông là một số không đổi cả

về giá trị và dấu" Các phương pháp giảm thiểu sai sô" hệ thông sẽ được nghiên cứu

ở mục 1.7

• S a i s ố n g ẫ u n h i ê n là sai sô" không p h á t sinh theo một quy lu ậ t n h ất

định Nếu xét sai sô" ngẫu nhiên như một đại lượng ngẫu nhiên th ì nó có kỳ vọng bằng 0 hoặc gần bằng 0 Ví dụ: sai số do định tâm máy, ngắm không chính xác vào mục tiêu, ước lượng phần lẻ khi đọc kết quả trên vành độ khi đo góc " hoặc sai sô" do lực căng không đều khi đo khoảng cách bằng thước dây, Các sai sô"làm tròn trong

đo đạc và tín h toán cũng là sai sô" ngẫu nhiên Thông thường, sai số ngẫu nhiên

tu ân theo lu ậ t phân phối chuẩn, trừ một sô" trường hợp ngoại lệ như sai số làm tròn

tu ân theo lu ậ t phân phôi đều Chú ý rằng khi điều kiện đo thay đổi thì một số nguồn p h át sinh sai số hệ thông sẽ trở th àn h nguồn p h át sinh sai sô’ngẫu nhiên và ngược lại

Một sô" tính ch ất của sai sô" ngẫu nhiên:

1 Người đọc có th ể th a m khảo th êm về v ấ n đề n ày tro n g [12].

" T ro n g m ột sô’ tà i liệu , sai số hệ th ố n g được coi là có d ấ u k h ô n g đổi K h ắ n g đ ịn h này k h ô n g h o àn toàn

ch ín h xác vi có m ộ t sô" ít trư ờ n g hớp n h ư khi v à n h độ củ a m áy k in h vĩ ch ia k h ô n g đ ều th ì sa i s ố hệ

th ố n g đo góc sẽ có d ấ u th a y đổi tù y th e o góc đ ư ợ c đo n ằ m tr ê n p h ầ n n ào củ a v à n h độ.

Ví d ụ n h ư n ếu v à n h độ ch ia đ ến p h ú t n h ư n g người đo ước lượng và đọc k ế t q u ả đến giây th ì tro n g

k ế t q u ả th u được có sa i số n g ẫ u n h iê n do p h ầ n giây được ước lượng k h ô n g h o à n to à n ch ín h xác.

- Trong một điều kiện đo n h ất định, trị tuyệt đôi của sai sô" ngẫu nhiên không vượt quá một giá trị n h ấ t định.

- Trong đa số các trường hợp, sai sô" có trị tuyệt đỗi nhỏ xuất hiện nhiều hơn

sai sô" có trị tuyệt đối lớn

- Sô" lượng các sai sô' có dấu dương (+) và dấu âm (-) gần bằng nhau

- Trị tru n g bình sô" học của một số lượng lớn các sai số ngẫu nhiên tiến về 0:

n ->00

1.4 CÁC T IÊ U CHUẨN ĐÁNH GIÁ ĐỘ CH ÍN H XÁC CỦA K ẾT QUẢ ĐO

Để đ án h giá độ chính xác của kết quả đo một đại lượng nào đó, cần phải xác

định sự chênh lệch có th ể có giữa k ết quả thu được X và giá trị thực X của đại lượng đo Sự chênh lệch này chính là sai số thực 9 và có thổ được biểu diễn qua 2

th à n h p h ần (với điều kiện sai số thô đã được loại bỏ):

- Sự chênh lệch A giữa kết quả đo được .V và kỳ vọng toán học E(x) của nó,

đây là th à n h phần ngẫu nhiên của sai số

- Sự chênh lệch 8 giữa kỳ vọng toán học E(x) và giá trị thực X của đại lượng

cần đo, đây là thành phần hệ thông của sai sô"

Như vậy, mối quan hệ giữa sai số thực 6, sai số ngẫu nhiên A và sai sô" hệ thông ố được biểu diễn bởi công thức:

0 = x - X = [x - £(*)] + [£(*) - ỵ ] = A + S (1.4)Các tiêu chuẩn đánh giá độ chính xác của kết quả đo thường được sử dụng bao gồm: sai sô" thực, sai sô" trung phương, sai sô" trung bình, sai sô' xác su ấ t và sai sô" giới hạn Mỗi sai sô" này lại có thể được biểu diễn dưối 2 dạng: sai sô" tuyệt đối và sai sô" tương đối (hình 1.2)

P h ần tiếp theo của mục này sẽ nghiên cứu về từng loại sai sô" áp dụng cho các

kết quả đo một đại lượng, riêng sai số thực đã được định nghĩa ở mục 1.3 nên

tru n g phương m của trị đo Jt được tín h theo công thức':

m = Ị Ẽ { ẽ r ) ,

với 6 - x - X là sai số thực.

(1.5)

H ìn h 1.2 C ác tiêu chu ẩn đánh giá độ chính xác của kết q uả đo

Nếu đại lượng X được đo n lần (n khá lớn) vói sai sô" thực ỡl 0-1,2, ,/?) đã biêt thì sai sô" tru n g phương m của một trị đo có thể được tính như sau:

= E(A2) + E(Ổ2) + 2E(AỔ).

Giả th iết rằn g À và ổ là các biến ngẫu nhiên độc lập Khi đó, theo tính chất

của sai số ngẫu nhiên:

* T ro n g giáo tr ìn h n ày, cũ n g n h ư tro n g các tà i liệu [14] và [15], sai sô" tr u n g p h ư ơ n g được l ấ y theo giá trị tu y ệ t đối, tứ c là k h ô n g có d ấ u ± K hi v iế t k ế t q u ả đo có k èm sai SC) tr u n g p h ư ơ n g th ì cần t h ê m d ấ u

± để đ ả m bảo ý n g h ĩa củ a nó Ví dụ: m = 1"; a = 10°15'05"±r

mlS = yjE(A2) - th àn h phần ngẫu nhiên của sai số tru n g phương*,

m5 = -<ỊE( ổ2) - th àn h phần hệ thống của sai sô" tru n g phương

Công thức (1.9) có thể được viết như sau:

(1.10)

Trong thực tế, nếu các trị đo có cùng độ chính xác thì th àn h phần ngẫu nhiên

của sai số’ tru n g phương mA được tính theo công thức:

Trong sô' 3 đại lượng m, mA và ms , thông thường chúng ta chỉ tín h được mầ

theo công thức (1.11) Khi đó, sau khi thực hiện các biện pháp làm giảm ảnh hưởng

của sai số hệ thông (xem mục 1.7), có th ể coi ms 0 và sai số tru n g phương m được

b Sai s ố trung bình

Sai sô' tru n g bình K là kỳ vọng của trị tu y ệt đốì của hiệu giữa kết quả đo X

và kỳ vọng E(x):

Trong thực tế, khi có một sô' lượng lớn n các trị đo X, thì sai sô' tru n g bình K

được tín h gần đúng như sau:

Như vậy, xác suất để sai số ngẫu nhiên có trị tuyệt đối nhỏ hơn r bằng xác suất

để nó có trị tuyệt đốỉ lớn hơn r và bằng 0,5:

Trong thực tế, để tính sai số xác suất, người ta sắp xếp các sô" hiệu chỉnh V,

theo thứ tự tăng dần của giá trị tu y ệt đôì th à n h dãy số v1,v2, ,v„ rồi tùy theo n là

số chẵn hay số lẻ mà sử dụng một trong các công thức sau:

vổi n chẵn và:

r » 0,5 X v «/2| + ( n + 2 ) / 2

d Sai sô'giới hạn

Sai số giói h ạn được sử dụng để p h át hiện và loại bỏ sai sô" thô ra khỏi kết quả

đo Giả sử sai sô' hệ thông đã được giảm thiểu bằng các biện pháp ở mục 1.7 và có ảnh hưởng không đáng kể, chúng ta sẽ kiểm định giả th u y ết cho rằn g k ế t quả đo chỉ chứa sai số" ngẫu nhiên Do phần lớn các sai sô" ngẫu nhiên A tu ân theo lu ật phân phối chuẩn nên theo phụ lục A.2.6 ta có một số xác su ấ t sau:

* X em p h ụ lục A 2.3 v ề t r u n g vị.

p J a - £(A)| > m}= p )a| > w}= 0,3173;

p |a - £(A)| > 3 m}= /»Ịa| > 3/w}= 0,0027;

với m là sai sô" trung phương.

Công thức (1.20) cho thấy: nếu |a| > 3w thì có thể khẳng định A không tu â ntheo ph ân phôi chuẩn, tức là giả th uyết cho rằn g kết quả đo chỉ chứa sai sô" ngẫu nhiên bị bác bỏ và như vậy A là sai sô" thô cần phải loại bỏ Xác su ấ t của sai lầm ở

đây bằng 0,0027 hay gần 0,3%, tức là rấ t nhỏ Nếu chúng ta lấy giới hạn bằng 2m

thì xác s u ấ t của sai lầm bằng 4,5% Xuất p h át từ những suy luận này, trong đo đạc

người ta thường lấy sai sô" giới hạn /wmax = 3m (trong những trường hợp yêu cầu độ chính xác cao thì /wmax = 2m) Các trị đo có sai sô" (hay sô" hiệu chỉnh) lốn hơn mmax

về giá trị tu y ệt đối được coi là chứa sai sô" thô và cần loại bỏ

e Mối quan hệ thống kê giữa sai s ố trung bình, sai sô'xác suất và thành p h ầ n ngẫu nhiên của sai s ố trung phương

Với giả th iết sai số ngẫu nhiên tu ân theo lu ật phân phôi chuẩn, chúng ta có thể tìm được mốì quan hệ thông kê giữa sai sô" tru n g bình Ky sai sô" xác su ấ t r và

th àn h ph ần ngẫu nhiên của sai sô" tru n g phương mA Từ công thức (1.15) ta có:

N hư vậy, mối quan hệ thống kê giữa sai số trung bình và th àn h phần ngẫu

' Xem p h ụ lục A 2.6 vê h à m m ậ t độ xác s u ấ t củ a p h â n phối ch u ẩ n

nhiên của sai sô" tru n g phương có dạng sau:

K = m w \ ~ 0>80 X m A

Để tìm môi quan hệ thông kê giữa sai số xác su ấ t và th à n h phần ngẫu nhiên của sai sp tru n g phương, chúng ta sử dụng công thức (1.18) và tín h chất của phân phối chuẩn (phụ lục A.2.6):

Do đó:

ệ

r \ r

T ra bảng hàm Laplace ộ(x) ở phụ lục B sẽ tìm được:

Các công thức (1.23) và (1.26) biểu diễn mốì quan hệ giữa sai sô' tru n g

phương, sai số tru n g bình và sai số xác suất Cần chú ý rằn g đây là mối quan hệ

thống kê (không phải là quan hệ số học) nên các công thức này chỉ đúng khi s ố lượng các phép đo khá lớn.

Vị - -0,0 lm; v2 = -0,03m;

v3 = 0,02 m; v4 = 0,02 m

Sai số trung phương được tính theo công thức (1.14):

Vj = -0,01 0,02 0,02 -0,03m.

Do số lượng các phép đo là số chẵn (/7 = 4) nên theo công thức (1.19), sai số xác suất là trị trung bình tính theo giá trị tuyệt đối của số hiệu chỉnh thứ 2 và thứ 3 trong dãy số trên:

r « 0,5 X | v 21 + |v31] = 0,5 X [0,02 + 0,02] = 0 ,0 2 m

So sánh các sai số m,r,K ta thấy công thức (1.23) gần được thỏa mãn, còn công thức

(1.26) không được thỏa mãn do số lượng các phép đo bằng 4 là quá nhò

B ản g 1.2 K ết quả tính s ố hiệu chỉnh lần đầu (ví d ụ 1.3)

Sai sô' trung phương được tính theo công thức (1.14):

1 , 4 4 + 9 6 , 0 4 + + 1 0 , 2 4 1 3 7 , 6

m ~ WA = J - -—— = J — — = 3,91mm.

Sai số giới hạn: wmax = 2m = 2 X 3,91 = 7,82mm.

Kiểm tra các kết quả ta thấy trị đo x-ị có số hiệu chỉnh vượt quá sai số giới hạn Như vậy,

có nhiều khả năng là trị đo này chứa sai số thô và cần kiểm tra lại Trong ví dụ này, chủng ta sẽ

loại bỏ x2 và tính lại từ đầu.

Độ chênh cao trung bình được tính lại bằng:

_ 1185 + 1183 + +1183

X = - « 1185,1 m m

9

Kết quả tính các số hiệu chỉnh sau khi loại bỏ sai số thô được trình bày trong bảng 1.3

B á n g 1.3 K ết quả tính s ố hiệu chỉnh sau khi lc ại bỏ sai s ố th ô (ví dụ 1.3)

Sai số giới hạn được tính lại: /wmax = 2 X 1,97 = 3,94mm

Kiểm tra các số hiệu chỉnh sau khi tính lại ta thấy không còn kết quả nào có sai số vượt quá sai số giới hạn Riêng trị đo số 6 có số hiệu chỉnh gần bằng sai số giới hạn nên cần được chú ý trong quá trình xử lý số liệu Sai số trung bình được tính theo công thức (1.16):

Do số lượng các phép đo là số lẻ (n - 9) nên sai số xác suất bằng giá trị tuyệt đối của số

thứ 5 trong dãy số trên:

~ |v(„+i)/2j = = l,lrnm

1.4.2 S a i s ố tư ơ n g đôi

Các sai số thực, sai số tru n g phương, sai số tru n g bình và sai số xác suất

nghiên cứu ở phần trên được gọi là sai sô" tuyệt đối Trong một sô’ trường hợp, việc

sử dụng các sai sô" tuyệt đối không th u ận tiện và khó hình dung Ví dụ như 2

khoảng cách l/W -lOOm và lcl) = 200m cùng được đo vói sai số trung phương bằng

0 ,lm Rõ ràn g là chất lượng đo khoảng cách lCD tốt hơn so với lAH Tuy nhiên, nếu chỉ sử dạn g sai số" trung phương (tức là sai số tuyệt đối) mà không đưa ra khoảng

cách thực thì r ấ t khó có thể so sánh các kết quả này

Khi so sánh chất lượng của các kết quả đo nhiều đại lượng có cùng đơn vị vật

lý nhưng khác nhau về giá trị, việc sử dụng sai sô" tương đối có thể sẽ th u ận tiện hơn so vói sai sô" tuyệt đổì'

Sai s ố tương đối là tỷ số giữa sai sô" tuyệt đối tương ứng và giá trị của đại lượng

đo Sai sò’ Lương đối thường đươc biểu diễn dưới dang phân sô" — Nếu ký hiêu X là

1.5 SAI SỐ TRUNG P H Ư Ơ N G CỦA HÀM CÁC T R Ị ĐO

Trong đo đạc địa chính, chúng ta thường phải xác định những đại lượng là

hàm số của các trị đo Ví dụ như số gia toạ độ A.V là hàm số của góc định hướng a

và khoảng cách ngang s: Ax = s X cos(a); hay chênh cao Ahs, giữa 2 điểm bằng hiệu sô" đọc được trê n mia sau d x và mia trước d, khi đo thủy chuẩn: A/?v, =ds - d r Rõ

rà n g là sai số của hàm phụ thuộc vào dạng của nó và sai số của các tham số.

Trong một sô" trường hợp, chúng ta có th ể biết được giá trị thực (giá trị lý thuyết) của hàm số", chẳng hạn như tổng các góc trong một tam giác bằng 180°, tổng chênh cao trong một tuyến thủy chuẩn khép kín bằng 0, Nếu biết giá trị

thực F' của hàm các trị đo F(x,y, ,u) th ì có th ể tính được sai số thực 0/ bằng cách

lấy giá trị tín h theo các th am sô’đo được trừ đi giá trị thực':

Trong đa sô" các trường hợp, chúng ta không biết giá trị thực F] nên không thể tín h được sai sô" thực 0h Tuy nhiên, nếu b iết sai sô" trung phương của các trị đo

th ì có th ể tín h được sai sô' tru n g phương của hàm F theo phương pháp dược trìn h

bày dưới đầy

Giả sử có hàm của các tr ị đo được xác định như sau:

với x,y, ,u là các trị đo (tham sô) với sai sô' trung phương lần lượt bằng

mx,m Các trị đo này có thể tương quan hay không tướng quan với nhau

Ký hiệu X,Y, ,U là giá trị thực của các đại lượng đo Sai số thực của các trị

N ếu các phép đo được thực hiện cẩn th ậ n th ì sai số thực 6X,6X 8, là các

* T rong m ột số” trư ờ ng hợp, sai sô" thực của h à m các trị đo được gọi là sai số khép.

(1.28)

đo bằng:

ex = x - X , 6y = y - Y,

(1.29)

(1.30)

đ ại lượng k h á nhỏ n ên chúng ta có th ể phân tích hàm F ( x - Ỡ x,y - Q v, ,u- 6U)

th à n h chuỗi T aylor và loại bỏ các p h ần tử phi tuyến tính:

F(x - ex9y - u - ỡ u) = F(x9y 9 9u)

rồi th ế vào biểu thức (1.30) sẽ được:

V dx õy là đạo hàm riêng tín h theo giá trị

Jt, y, đo được Sai sô" tru n g phương của hàm các trị đo được tín h từ công thức (1.31) và (1.5):

Nếu các sai số hệ thông SX, S V khá nhỏ th ì độ lệch chuẩn sẽ bằng các sai sô

tru n g phương tương ứng: ơ(x)& mx,ơ(ỵ)!s m (xem phần chú giải của công thức

Suy lu ận tương tự với các cặp trị đo (.Y,w), (7, rồi thế vào biểu thức (1.32)

ta sẽ có công thức tín h sai sô" tru n g phương của hàm các trị đo:

với mx,m , ì mtấ là sai sô" tru n g phương của các trị đo.

Trong đo đạc, các trị đo thường độc lập (không tương quan) với n h a u j, tức là

rxy « 0 Khi đó, công thức (1.35) được rú t gọn như sau:

Các công thức trê n cho thấy: sai số hệ thõng có thề sẽ tích tụ trong các đại

lượng E(ÔXS ), E(SXSU\ và một sô" dạng của hàm F có khả năng làm tăn g đáng kể

sai sô" tru n g phương của nó (xem mục 1.7)

Trong các phần tiếp theo của giáo trìn h , nếu không được nói rõ thì chúng ta mặc định rằn g sai sô" hệ thông không đáng kể và các trị đo không tương quan với

nhau, tức là sai sô" tru n g phương của hàm F được tính theo công thức (1.36) c ầ n chú

ý là khi áp dụng các công thức ở mục này thì đơn vị đo của góc là radian

nếu biết sai số trung phương của các trị đo m] = m2 = = mn = m0.

Để xác định độ cao của điểm B bằng phương pháp đo cao lượng giác, người ta đăt máy tại

điểm A rồi đo góc đứng Y khoảng cách ngang s Các số liệu ban đầu và kết quả đo như sau:

- Độ cao của điểm A: H A - \ l,520m, sai số trung phương mH ị = 0,01 Om;

- Chiều cao máy t = l,425m, mt = 0,002m;

- Số đọc được trên mia / = 0,862m, tiĩị = 0,002m;

m illim ét thì sai số* do ngươi đo ưốc lượng không phải là sai sô" làm tròn mà là sai sô^ đọc k ế t quả (một loại sai sô" ngẫu nhiên khác)

Sai sô" làm trò n r ấ t h ay gặp trong tín h toán VỚI SCI th ập p h ân bởi n h u cầu làm đơn giản hóa các phép tín h hay bởi khả năng có hạn của các công cụ tính toán

Nếu ký hiệu a là 0,5 đơn vị của chữ sô" thập phân cuối cùng giữ lại trong số làm

tròn (a = 0,5; 0,05; ) th ì quy tắc làm tròn được p h á t biểu như sau:

- Nếu p h ần bỏ đi trong sô" th ập phân nhỏ hơn a thì sau khi loại phần bỏ đi, sô"còn lại vẫn giữ nguyên Ví dụ nếu làm tròn về 1/10 đơn vị thì ta có 1,23 -> 1,2;1,644 -> 1,6

- Nếu p h ần bỏ đi trong sô" th ập phân lốn hơn a th ì sau khi loại phần bỏ đi, sô" còn lại tă n g thêm 1 đơn vị của chữ sô" th ập phân cuối cùng giữ lại Ví dụ nếu làm tròn về 1/10 đơn vị thì ta có 1,27 —» 1,3; 1,689 —» 1,7; 1,4501 —> 1,5

- Nếu p h ần bỏ đi trong sô" th ập phân đúng b ằn g a thì sau khi loại phần bỏ đi,

nếu chữ sô" th ậ p phân cuối cùng giữ lại là số chẵn th ì ta giữ nguyên k ế t quả, nếu là

sô" lẻ thì ta cộng thêm 1 đơn vị của chữ sô" thập p h ân cuối cùng N hư vậy, sau khi làm tròn k ế t quả bao giò cũng có chữ sô" th ặp p h ân cuôì cùng là sô" chẵn Quy tắc này do G auss đề x u ất nhằm h ạn chế sai sô" hệ thông khi làm tròn' Ví dụ, nếu làm tròn về 1/10 đơn vị thì ta có 1,25 —> 1,2; 1,650 —» 1,6; 1,7500 -» 1,8

Sai sô" làm tròn e có các tính chất sau đây:

- Sai sô" làm tròn giới hạn bằng a;

- Các sai sô" m ang dấu "+" và có xác su ấ t n h ư nhau;

- Kỳ vọng toán học của sai sô" làm tròn E(e) = 0;

- Sai sô" có giá trị lốn và sai số có giá trị nhỏ có xác su ấ t như nhau".

Từ các tín h c h ất trê n có th ể thấy sai số làm tròn tu â n theo lu ậ t p h ân phôi

đều trong khoảng [-a,+a] với hàm m ât đô xác s u ấ t f( e ) = — Sai sô" tru n g phương

quá nhỏ th ì khối lượng tín h toán sẽ lớn, còn nếu a quá lớn thì sẽ ản h hưởng tới độ

chính xác của k ết quả cuối cùng Quy tắc thường được sử dụng trong thực tế là lựa chọn a sao cho sai số làm tròn không vượt quá 1/5 sai số đo

1 N ế u tro n g trư ờ n g hợp p h ầ n bỏ đi tro n g sồ" th ậ p p h â n đ ú n g b ằ n g a m à ta là m trò n v ề sô" lớn hơ n g ần

n h ấ t n h ư v ẫ n th ư ờ n g là m th ì có th ể sẽ p h á t sin h s a i sô" h ệ th ô n g do k ế t q u ả là m trò n có xu h ư ớ n g lớn

hơ n g iá trị thự c.

" T ín h c h ấ t n ày cho th ấ y sai sô" là m trò n không tu â n th eo lu ậ t p h â n phối c h u ẩ n

Ví dụ 1.8.

Nếu sai số trung phương đo khoảng cách md được xác định bằng ũ,2cm thì cần làm tròn

trị đ o đ ế n m ilim é t K h i đ ó a = 0 ,5 m m v à sa i s ố tr u n s phương do làm tròn được tính th e o c ô n g

Như vậy, nếu trong trường hợp trên ta làm tròn các trị đo đến milimét thì sẽ không gây

ảnh hưởng nhiều đến kết quả cuối cùng

Khi tín h toán xử lý các trị đo cần chú ý rằn g mặc dù ảnh hưởng của sai sô' làm tròn tới từng trị đo riêng rẽ có th ể dễ dàng xác định, song nếu xử lý đồng thời

n hiều trị đo có quan hệ với n h au thì ảnh hưởng của sai số làm tròn r ấ t khó xác định Vấn đề đánh giá ảnh hưởng của sai sô" làm tròn khi xử lý dồng thời nhiều trị

đo vượt ra ngoài khuôn khổ của giáo trìn h này, các độc giả quan tâm có thể tham khảo thêm một số tà i liệu, ví dụ như [2] hay [14]

1.7 SA I SỐ H Ệ T H Ố N G VÀ CÁC PH Ư Ơ N G P H Á P LÀM GIẢM ẢNH HƯ ỞNG CỦA C H Ú N G

Nguyên nhân chủ yếu gây ra sai sô" hệ thông trong đo dạc là ảnh hương của sự

thay đổi m ang tính chất hệ thông của điều kiện đo Một sô" ví dụ vô' sai số hệ thông;

- Sai số đo khoảng cách do kiểm nghiệm thước gai, do không tính đến (hoặc tín h chưa chính xác) ản h hưởng của gió, n h iệt độ,

- Sai số đo góc do v àn h độ chia không đều, do trục ngắm không vuông góc với

trụ c quay của ống kính (sai số 2C),

- Sai số đo thủy chuẩn do trụ c ngắm không song song với trục của ông thủy dài, do mia đo được chia không đều,

Chúng ta đã biết sai số ngẫu nhiên tu ân theo các quy luật thông kê, còn quy

lu ật xuất hiện của sai sô" hệ thông phụ thuộc vào nguồn phát sinh ra nó nên nói chung r ấ t khó p h át hiện M ặt khác, do sai sô" hệ thông thường có dấu không đổi nên chúng có xu hướng tích tụ tro n g k ế t quả cuối cùng khi xử lý hàm của các trị đo* chứ

không có xu hướng triệ t tiêu n h au như sai số ngẫu nhiên Vì vậy, việc phát hiện và loại bỏ sai số hệ thống là một vấn đề cấp th iết của lý thuyết sai sô” Sau đây, chúng ta

' X em công th ứ c (1.37).

sẽ nghiên cứu ảnh hưởng của sai sô" hệ thống trong một sô" trường hợp đơn giản.

1.7.1 Ảnh h ư ở n g c ủ a sa i s ố h ệ th ô n g tới độ c h ín h x á c củ a m ộ t trị đo

Công thức (1.10) biểu diễn mốì quan hệ giữa sai số tru n g phương với các

th à n h p h ần n g ẫu nhiên và hệ thông của nó:

m = yỊmị + m 2 ổ .

Dựa vào công thức trên, chúng ta tính sai sô" tru n g phương của một trị đo tùy

theo tỷ sô" giữa th à n h p h ần hệ thông md và th àn h phần ngẫu nhiên mA Kết quả

được ghi trong b ản g 1.4

B ả n g 1A Ả nh hưởng củ a sai sô hệ th ố n g tới đ ộ ch ín h x ác của m ộ t trị đo

Bảng 1.4 cho thấy: khi sai sô" hệ thông có giá trị bằng 20-30% sai sô" ngẫu

n hiên th ì việc tín h đến nó chỉ làm sai sô" tru n g phương thay đổi khoảng 2-4% Như vậy, điều kiện để coi sai sô" hệ thống không đáng kể đối vói từng trị đo riêng biệt (hay hàm của m ột sô" lượng nhỏ các trị đo) là giá trị của nó không vượt quá 20-30%

giá tr ị của sai số ngẫu nhiên Đôi với hàm của một sô" lượng lớn các trị đo thì điều

kiện này chưa đủ để coi sai sô" hệ thông là không đáng kể N hận xét này sẽ được

m inh họa trong các phần tiếp theo của mục này

1.7.2 Ả nh h ư ở n g c ủ a sa i s ố h ệ th ố n g tớ i độ c h ín h x á c củ a tr ị tr u n g

b in h s ố h ọ c

Giả sử m ột đại lượng có giá trị thực X được đo n lần với k ế t quả xì,x2, ,xn

Các tr ị đo có cùng sai sô" tru n g phương ngẫu nhiên: mAI = mA2 = — = mAn ~ m A' Sai sô"

hệ thống trong các trị đo có cùng giá trị: S] = ỏ2 = = ổn - ổ N ếu ký hiệu:

th ì X* có th ể được coi n h ư các trị đo chỉ chứa sai số ngẫu nhiên.

Trị tru n g bình sô" học của các trị đo được biểu diễn như sau:

Sai sô" của trị tru n g bình sô" học X được xác định bởi sai sô m_s của XA (th àn h

phần ngẫu nhiên) và đại lượng ồ (thành phần hệ thông) Từ công thức (1.10) và

Giả sử n đại lượng có giá trị thực Yi ,Yĩ , ,Yn được đo với kết quả y u y 2- - , y n

và sai số tru n g phương ngẫu nhiên tương ứng /M1A =m 2A = = /wnA =m& Sai số hệ thống trong các trị đo có cùng giá trị: s x =ổ2 = = ổ„ = ổ Suy luận tương tự như đối với trị tru n g bình số học ở mục 1.7.2, có thể đưa ra công thức tính sai sô' tru n g phương của tổng ỹ = y ] + y 2 + + y„ như sau:

j> = Ẻ * 4 + ĩ * , = Ẻ V / A + « * d - 4 2 )

I 2 " 202

m • = + n ổ

Từ công thức trê n ta thấy: nếu sai số hệ thông có dấu không đổi th ì khi tăng

số lượng các tr ị đo lên k lần, ảnh hưởng của sai số hệ thống sẽ tăng lên k 2 lần, trong khi đó ản h hưởng của sai sô" ngẫu nhiên chỉ tăn g k lần N hư vậy, dù sai sô' hệ thông

có th ể nhỏ hđn nhiều lần so với sai số ngẫu nhiên nhưng đối với tổng của một sô'

lượng lớn các trị đo th ì ả n h hưởng của nó vẫn có th ể lớn hơn so với ảnh hưởng của

sai số ngẫu nhiên* Việc p h á t hiện và loại bỏ sai sô" hệ thông trong hàm của một số

lượng lốn các trị đo là một vấn đê phức tạp bởi nó phụ thuộc nhiều vào quy lu ật xuất hiện của sai số’ hệ thông và dạng của hàm sô"

1 N êu s a i sô h ệ th ô n g có d ấ u k h á c n h a u tro n g các trị đo th ì á n h h ư ở ng c ủ a nó có th ế g iảm m ộ t cách

d á n g kể.

Ví dạ 1.9.

Trong đo đạc thủy chuẩn với độ chính xác cao, sai số ngẫu nhiên lỷ lệ thuận với căn bậc 2 cùa chiều dài tuyến, còn sai số hệ thống trên lkm chiều dài tuyến có giá trị bằng khoảng 10% sai số ngẫu nhiên Ký hiệu s là chiều dài tuyến thủy chuẩn tính bằng km, mA là thành phần

ngẫu nhiên của sai số trung phương trên lkm chiều dài tuyến Theo công thức (1.42) có thể tính được sai số trung phương của toàn tuyến:

B ả n g 1.5 Sai s ố tru n g phương của c ác tu y ế n th ủ y chu ẩn

có chiểu dài k hác n h au (vi dụ 1.9)

N hằm giảm thiểu ảnh hưởng của sai sô" hệ thông, trong quá trìn h đo đạc và

xử lý k ế t quả đo cần thực hiện các biện pháp theo 3 hưóng sau đây:

a Xác đ ịnh quy luật xuất hiện của sai sô'hệ thống đ ể từ đó có th ể triệt tiêu nó bằng cách đưa các s ố hiệu chỉnh vào kết quả đo Ví dụ như đưa các sô" hiệu chỉnh

vào chiều dài thước thép phụ thuộc vào n h iệt độ của thước và lực căng khi đo; hiệu chỉnh k ế t quả đo góc do ảnh hưỏng của hiện tượng khúc xạ,

Ví dụ 1.10.

Thước thép có chiều dài danh nghĩa ldn = 20,000m, kết quả kiểm nghiệm cho thấy chiểu dài

thực của thước /, = 19,980m Sử dụng thước nói trên để đo khoảng cách giữa 2 điểm A và B được

kết quả d j =36,144m Hãy hiệu chỉnh kết quả đo để loại bỏ sai số hệ thống do chiều dài danh

nghĩa của thước không bằng chiều dài thực của nó

Lời giải:

Nếu sử dụng thước thép nói trên đo khoảng cách thực là 19,980m thì ta sẽ đọc được trên thước kết quả 20,000m

Giả thiết rằng sai số hệ thống do chiều dài danh nghĩa của thước thép không chính xác được phân bố đéu trên toàn bộ chiều dài thước Khi đó, mối liên hệ giữa khoảng cách đo được

dcỊ và khoảng cách đã hiệu chỉnh dhc được biểu diễn bởi phương trình sau:

Trên hình vẽ minh họa 1.3, vành độ ngang của máy kinh vĩ được chia thành 4 phần, trong

đó 2 phần (đối xứng qua tâm vành dộ) có vạch chia dầy hơn, còn 2 phần còn lại có vạch chia

thưa hơn Nếu chúng ta đo góc Ị3 bằng 3 vòng đo, sau mỗi vòng đổi hướng khởi đầu một góc

60° thì sẽ được 3 kết quả đo /?,, j B2 , /?3 với các đặc điểm sau:

- /?J > J3 do góc này nằm trong phần vạch chia dầy, sai số hệ thống có dấu

- /?2 < p do góc này nằm trong phần vạch chia thưa, sai số hệ thống có dấu

- /?3 « J3 do góc này nằm trong cả phần vạch chia thưa lẫn chia dầy, sai số hệ thống gần

bằng 0

Như vậy, nếu lấy giá trị trung binh của 3 kết quả trên thì các sai số hệ thống sẽ gần như bị triệt tiêu

H ìn h 1.3 Sơ đố phương p h áp g iả m ảnh hưởng củ a sai s ố hệ th ố n g đo góc

do v àn h độ n g an g chia k h ô n g đểu (ch ỉb iể u diễn nửa vòng đo trái)

Ví dụ 1.12.

Trong đo cao thủy chuẩn có thể có 2 nguồn phát sinh sai số hệ thống:

- Tia ngắm không nằm ngang (do nó không song song với trục của ống thủy dài, gọi là

sai sô' góc i [5]).

- Tia ngắm là đường cong do ảnh hưởng của hiện tượng khúc xạ

Để làm giảm ảnh hưởng của sai số hệ thống, khi đo người ta đặt máy ở giữa 2 trạm đo (hình 1.4)

H ình 1.4 Sơ đ ồ phương p h á p g iảm ảnh hư ỏng của sai s ố hệ th ố n g tro n g đo c ao th ủ y chu ẩn

Trong trường hợp không có sai số hệ thống thì tia ngắm tới các điểm A và B sẽ nằm

ngang, ta đọc được các số trên mia tA, tH và chênh cao giữa 2 điểm A, B bằng:

— H H - H A = tA - tH.

Do tia ngắm không song song với trục của ống thủy dài nên sẽ phát sinh ra sai số đọc trên

mia iA và iB Do ảnh hưởng của hiện tượng khúc xạ nên tia ngắm sẽ không đi thẳng và gây ra sai số đọc trên mia rA và rfí Như vậy, chênh cao đo được giữa 2 điểm A và B bằng:

AB = t A- t Ịị = (tA — /#) + {iịị + rfì - iA - rA) = ÀhAtị + SAỊị Đại lượng SAB = ‘ b +rB- iA - rA là sai số hệ thống của kết quả đo.

Từ hình 1.4 ta thấy: nếu đặt máy thủy chuẩn ở điểm c nằm giữa đoạn AB thì các sai số của sô' đọc trên mia trước và mia sau sẽ xấp xỉ bằng nhau:

r A * r B*

suy ra SAB « 0, tức là sai số hệ thống sẽ bị loại ra khỏi kết quả đo chênh cao.

c Áp dụng các phương p h á p x ử lý kết quả đo cho phép làm giảm ả n h hưởng của sai sô'hệ thống Trong quá trìn h xử lý k ết quả đo đạc, người ta có th ể sử dụng

một sô" hàm các trị đo có giá trị thực đã biết trước Từ giá trị thực của h àm số", có

th ể tín h sai sô' thực (bao gồm th à n h phần ngẫu nhiên và hệ thông) rồi trê n cơ sở đó

tính số hiệu chỉnh vào các trị đo Kết quả là phần lớn sai số hệ thông sẽ bị loại bỏ ra

khỏi các tr ị đo đã được hiệu chỉnh

Ví dụ 1.13.

Trong đo đạc địa chính, người ta thường bình sai lưới khống chế do vẽ thành lập dưới dạng đường chuyền bằng phương pháp bình sai đơn giản: đầu tiên tính sai số khép góc rồi hiệu chỉnh các trị đo góc, sau đó tính sai số khép tọa độ rồi hiệu chỉnh tọa độ của các điểm đường chuyổn Mặc dù đây là phương pháp bình sai không chặt chẽ song nó lại có ưu điểm là loại bỏ được phần lớn các sai số hệ thống đo góc và đo cạnh

Giả sử trong một đường chuyền khép kín người ta đo các góc Pị,P-Ị, ,Pn với sai số hệ

thống không đổi và bằng Sp Biểu diễn các kết quả đo góc dưới dạng:

P ^ t í + Sp,

trong đó Ịìf là các trị đo không chứa sai số hệ thống.

Sai số khép góc fp của đường chuyền bằng:

vói dường chuyền phù hợp, chúng ta sẽ thấy sai số hệ thống đo góc và khoảng cách cũng bị triệt tiêu hoặc giảm đi đáng kể.

BÀI TẬ P CHƯƠNG I

B à i t â p 1.1.

Trong các câu khẳng định dưới đây hãy chỉ ra những câu sai và sửa lại cho đúng:

a K hi đo m ột đại lượng nào đó n lần th ì sô" phép đo dư bằng (n-1).

b Sai sô" thô tu â n theo lu ậ t phân phổi chuẩn

c K hác với sai sô" thực của các trị đo, sai số thực của hàm các trị đo luôn luôn

có th ể tín h được

d Sai sô" giới h ạn được sử dụng để p h á t hiện và loại bỏ sai sô" thô

e Sai sô" trư n g bình tính theo một sô" lượng lớn các trị đo của một đại lượng có giá tr ị lớn hơn sai sô" tru n g phương

B à i t à p 1.2.

Để xác định hệ số K của bộ phận đo xa quang học của máy kinh vĩ, người ta

đ ặ t m áy ở điểm A rồi đọc hiệu sô" (theo 2 dây thị cự) trên mia ở điểm B với k ết quả:

/ = 219,5cm; nĩị = 0,2cm Khoảng cách giữa 2 điểm A và B đã biết trưóc s = 220,OOm vối sai sô" tru n g phương ms = 0,1 Om Hãy tính hệ sô" K vạ sai sô" tru n g phương của nó nếu

b i ế t công thức đo xa quang học l à : s = K X / (tiêu c ự của kính v ậ t coi như rấ t nhỏ)

B à i t ậ p 1.3.

C an h a của tam giác đươc tín h theo đinh lý sin: a - b ?in-~- H ãy tín h sai sô"

sin B tru n g phương của a nếu biết: ố = 50,00m, =0,05m, A = 55°20’15M, B = 63°42,30",

Chương II

XỬ LÝ CÁC KẾT QUẢ ĐO MỘT ĐẠI LƯỢNG

Nội dung của chương này đề cập đến vấn đề xử lý các kết quả đo một đại lượng, tức là tìm giá trị tin cậy n h ấ t (giá trị xác su ấ t nhất) của đại lượng đo và đánh giá độ chính xác của giá trị này cũng như độ chính xác của các trị đo Các trị

đo được nghiên cứu trong chương này có thể có cùng độ chính xác hoặc không cùng

độ chính xác Dưới góc độ đánh giá định lượng, các trị đo đồng loại có cùng sai sô tru n g phương sẽ được coi là có cùng độ chính xác, nếu không sẽ được coi là không cùng độ chính xác

Trong chương II và các chương tiếp theo, nếu không được nói rõ thì chúng ta

sẽ giả định rằn g sai sô" hệ thông đã được giảm thiểu bằng các phương pháp trìn h bày ở mục 1.7 và chúng có ảnh hưởng không đáng kể tới các trị đo Các sai sô' thô cũng được coi là đã bị loại bỏ

Do từ chương II trở đi, trong giáo trìn h sẽ có một sô" công thức phức tạp nên

đê làm đơn giản hóa cách trìn h bày, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp ký hiệu tổng

do G auss đề xuất Nội dung của nguyên tắc này là thay ký hiệu z bằng ký hiệu [ ]

và không viết các chỉ s ố biến đổi cũng như giới hạn của chúng Ví dụ:

th ể viết bằng ký hiệu G auss được

2.1 XỬ LÝ CÁC KẾT QUẢ ĐO MỘT ĐẠI LƯỢNG CÓ CÙNG ĐỘ CHÍNH XÁC

Giả sử một đại lượng có giá trị thực X chưa biết được đo n lần với kết quả

xì,x2, ,xn có cùng độ chính xác Từ chương I chúng ta th ấy nếu sai số hệ thống

không đáng kể th ì giá trị xác su ấ t n h ấ t (giá trị tin cậy nhất) của đại lượng X chính

là kỳ vọng của các trị đo Xị Trong Thông kê toán học (xem phụ lục A.5), nếu các trị

đo có cùng độ chính xác, tức là có xác su ấ t xuất hiện như nhau, thì ước lượng tốt

n h ấ t của kỳ vọng là trị tru n g binh sô" học của các k ế t quả đo:

n /=1 n

Công thức (2.1) có thể được chuyển đổi th à n h dạng khác dễ sử dụng hơn

Chọn X q là một giá trị b ất kỳ sao cho đại lượng:

lớn hơn 0 và có giá trị nhỏ để dễ tín h toán Từ công thức (2.1) La có:

- = M = [*0 + g] = [*0 ] + [£] = w*0 + [£] = x + Ị f l (23)

Công thức (2.3) thường được sử dụng thay cho (2.1) khi phải tín h toán thủ

công (các sô" Sị có giá trị nhỏ nên tín h toán sẽ n h an h và ít xảy ra sai sót hơn)

Để đánh giá độ chính xác của các k ết quả đo, trước tiên cần tín h sai sô> tru n g

phương m0 của m ột trị đo theo các công thức (1.11) và (1.12):

Theo k ết quả của ví dụ 1.5, sai số tru n g phương của trị xác su ấ t n h ấ t (trị

tru n g bình số học) được tín h như sau:

Từ các p h ân tích đã trìn h bày ở trên, bài toán xử ]ý các k ết quả đo một đại

lượng có cùng độ chính xác được thực hiện theo các bưóc sau:

Bước 1 Chọn giá trị x 0 rồi tính Ei theo công thức (2.2), x ữ có th ể là giá trị

nhỏ n h ấ t trong dãy các k ết quả đo Tìm trị xác su ấ t n h ấ t (trị tru n g bình số học)

theo công thức (2.3) hoặc (2.1)

Bước 2 T ính các số hiệu chỉnh V, = X - Xị.

Bước 3 Tính tổng [v2] rồi kiểm tra giá trị tính được theo đẳng thức:

n

Bước 4 Tính sai sô" tru n g phương của một tr ị đo theo công thức (2.4).

Bước 5 Tính sai sô" tru n g phương của trị xác su ấ t n h ấ t theo công thức (2.5).

Kết quả tính các số Sị theo công thức (2.2) được hiển thị trong cột số 3 của bảng 2.2 Trị

xác suất nhất của góc AOB được tính theo công thức (2.3):

J = * 0 + M = 5 7 ° 2 3 ' 4 0 " + — = 5 7 ° 2 3 ' 4 4 , 6 7 "

2.2,1 K hái n iệ m vể trọn g sô v à trị tru n g b ìn h trọ n g số

G iả sử một đại lượng có giá trị thực X được đo n lần không cùng độ chính xác

với k ế t quả X ị , x 2 , , x n và sai số tru n g phương tương ứng f l j | , C h ú n g tacần p h ải tìm giá trị xác su ấ t n h ấ t X của đại lượng đo Giá trị này có th ể được biểu

diễn dưới dạng hàm bậc nhất:

x = k íx ] + k 2x 2 + + knxn =[fcc] (2.7)

Sau đây chúng ta sẽ suy luận ra cách tín h các hệ số k,.

Trong trường hợp đặc biệt, k h i các giá trị x \,x 2, ,xn bằng n h au một cách

C húng ta phải tìm các hệ số” k, sao cho giá tr ị X th u được có sai sô' tru n g

phương nhỏ nhất Theo công thức tín h sai sô" tru n g phương của hàm các trị đo (1.36);

mị =k]m] +k \ mị + + k l mị = / ( Ả - ị = min (2.10)

N hư vậy, chúng ta phải giải bài toán tìm cực tiểu có điều kiện của hàm

f(kị, ,kn) vối các hệ số lc, ràng buộc với n h au bởi đẳng thức (2.9)' Để giải bài toán

này, có th ể sử dụng hàm L agrange với dạng như sau":

Q>(kị, kn,X) = kịìĩĩị + +kim] - 2 Ẳ ( k ] + +kn -1 ) (2.11)

Trong công thức trên, Ả là n h ân tử L agrange chưa biết cần xác định, hệ số -2

được đưa vào để tiện tính toán

Khác với có thể xét (Ị)(k], /cn,Ẫl) như hàm của các tham số độc lập.

Lấy đạo hàm riêng của $(£, , kn, Ã) theo các tham sô’ k, và cho chúng bằng 0 ta được:

Đại lượng X tín h theo công thức (2.18) được gọi là trị trung binh trọng sô'.

Trong công thức (2.17), khi P' =1 th ì ụ = mị nên người ta gọi JU là sai sô" tru n g phương của trị đo có trọng sô’ bằng 1, hay ngắn gọn hơn: JU là sai s ố trung phương

với m, là sai sô" tru n g phương của F và được tín h theo công thức (1.35) hay (1.36).

Từ công thức (2.20) ta thấy: nếu biết sai sô” tru n g phương của trọng số đơn v'

ụ và trọng số P ị thì sai sô' tru n g phương của hàm F bằng:

Đại lượng Ọp = —ỉ— được gọi là trọng s ố đảo của hàm F.

Pi

G iả sử x,y, ,u là các trị đo độc lập vối nhau Khi đó, từ công thức (1.36) có

Đạo hàm riêng của X theo từng trị do:

Khi P\ - p 2 ~ •••• - Pn - p thì p- - np, tức là trọng số của trị trung bình số học của n trị

đo cùng độ chính xác lớn gấp n lần trọng số của mồi trị đo Điều này hoàn toàn phù hợp với kết

quả của ví dụ 1.5

Ví dụ 2.4.

Một lưới độ cao thủy chuẩn gồm / tuyến với số lượng trạm đo trong các tuyến bằng Biết rằng kết quả đo tại các trạm có cùng dộ chính xác với trọng số bằng /;, hãytính trọng số của các tuyến đo

Lời giải:

Trọng số của tuyến đo thứ j chính là trọng số của hiệu chênh cao ầhJ giữa điểm nút cuối

và điểm nút đầu của tuyến:

Như vậy, trọng số của mỗi tuyến đo tỷ lệ nghịch với số trạm đo trong tuyến

ở khu vực đồng bằng, khoảng cách giữa các trạm đo thường gần bằng nhau Khi đó, có

thể coi số trạm n trong mỗi tuyến tỷ lệ thuận với chiều dài Lj của nó:

và trọng số của tuyến đo thứ j bằng:

2.2.3 V ấn đ ề tín h tr ọ n g s ố và sa i s ố tr u n g p h ư ơ n g c ủ a tr ọ n g s ố đơn vị

N ghiên cứu các công thức (2.17) và (2.18), có th ể n h ận thấy do hệ sô' n được

chọn tùy ý nên nói chung vấn đề mà chúng ta quan tâm là tỷ số giữa các trọng số

p,\ khi n h ân p, với một hệ sô' c nào đó th ì trị tru n g bình trọng sô' không th ay đổi.

Hệ quả là có th ể tín h được trọng số P i khi không biết giá trị cụ th ể của sai số tru n g

phương m, mà chỉ cần biết tỷ sô' giữa các giá trị đó Chú ý rằ n g trong trường hợp này có vô sô" các bộ giá trị của trọng số p t và việc sử dụng b ấ t kỳ bộ giá trị nào cũng

cho k ế t quả cuối cùng như nhau

Ví dụ 2.5.

Một lưới thuỷ chuẩn gồm 3 tuyến với chiều dài tương ứng bằng lkm, 2km và 3km Hãy tính trọng số của các tuyến nếu biết rằng sai số trung phương tỷ lệ thuận với căn bậc 2 của chiều dài tuyến

Lời giải:

Ký hiệu m, (/=1,2,3) là sai số trung phương của tuyến thứ /, L, là chiều dài tuyến Theo

đầu bài ta có: