Xác suất thống kê trong xử lý số liệu hạt nhân

Phân bố xác suất của hàm các đại lượng ngẫu tihiên.... Đại lượng X cỗ thể nhận một trong số các giá trị khả lĩ nên: £ p i= l- Đây chính là diều kiện chuẩn hoá của xác suất... Theo điều

M Ụ C L Ụ C

T r a n g

M ơ d ầ u 5

C h ư ơ n g I: C á c vấn tie C Ư bản về lý (h u y ế t xác s u ấ t 7

1.1 Khái niệm về xác suấl 7

1.1.1 I liên lượng tất nhiên và hiện lượng ngẫu nhiôn 7

1 1.2 Đ ịnh nghĩa x á c suấl 7

1.2 C ác phép lính về xác suất 8

1.2.1 C ộn g xác suất 8

1.2.2 X á c suất có điều kiện, nhân xác suất 10

1.3 Phân b ố gián đoạn 11

1.3.1 Biến ngẫu nhiên gián đoạn và dãy phan bố xác suất 11

1.3.2 Phân hố nhị thức 12

1.3.3 Phân bố P o isso n 13

1.4 PliAn bỏ liên tụ c 16

1.4.1 I làm mạt d ô xác suất 16

1.4.2 I làm pliAn bố xác s u ấ t 17

1.4.3 Phân h ố đ ề u 18

1.4.4 PhAn h ố ch u ẩn 19

1.4.5 Phân b ố loga chuẩn 2 0 1.4.6 Phân b ố gam m a, phân bố mũ và phân bố mũ kép 2 0 1.5 N h ữ n g đặc trưng cơ bản của đại lượng ngẫu nhiên 22

1.5.1 K ỳ v ọ n g toán 22

1.5.2 Plurơng s a i 23

1.5.3 Trung vị và m ô ì 24

1.5.4 M o m c n g ố c và mom en trung ia m 25

1.6 Hàm đạo hàm mom e n 2 6 1 6 1 H àm dạo hàm m om en g ố c 27

1.6.2 Hàm đạo hàm m om en trung tâm 28

1.7 X á c định cá c đặc trưng cơ bản của mộl số phân b ố 30

1.7.1 Phân b ố nhị thức 30

1

1.7.2 Phân b ố Poisson 31

1.7.3 Phân b ố chuẩn 33

1.7.4 Phân b ố gam m a 34

1.8 Các định lý giới hạn trong lý thuvết xác suất 35

1.8.1 Định lý Poisson 35

1.8.2 định lý giới hạn Moivc - laplace 36

Bài tâp chương 1 39

C hư ơng 2 P h â n bố x á c suất c h u n g 40

2.1 PhAn b ố xác suất nhiều đại lượng ngẫu nhiên 40

2.1.1 Khái n iệ m 40

2.1.2 Hàm phAn bố xác suất của hai hay nhiều đại lượng ngẫu nhiên 40

2.1.3 I làm phân bố xác suất chung 42

2.2 Tổng các đại lượng ngẫu nhiên 43

2.2.1 Hàm m om en cùa lổng các đại lượng ngầu nhiên 43

2.2.2 Các đặc trung của tổng các đại lượng ngẫu nhiên 45

2.3 Mẫu thớng kô và trung hình mAu 46

2 3 1 Khái niệm về m ẫu 46

2.3.2 Trung bình của m ẫu 47

2.4 Luật s ố lớn 48

2.4.1 Bất đẳng thức Trebưsep í 48

2.4.2 Đ ịn h lý giới hạn trung tâm 50

2.5 Phân bố xác suất của hàm các đại lượng ngẫu tihiên 52

2.5.1 Phân h ố xác suất của hàm các đại lượng gián đoạn 52

2.5.2 Phân hố xác suất của hàm các đại lượng Hên tục 54

2.5.3 Phân bố X,2 , 5 6 2.6 Phép biến đổi biến ngẫu nhiên nhiều chiều V 60

2.6.1 Phép biến đổi các đại lượng ngẫu nhiên nhiều chiều 60

2.6.2 T ổng bình phương độ lệch khỏi giá trị trung bình 60

2.6.3 Phương sai của m ẫu ‘- 6 2 2.6.4 Phan hố Student 63

2.6.5 Phan bố Fisher 66

2

Bài tạp chương 2 68

C h ư ơ n g 3 ứ n g d ụ n g ph ư ơng p h á p th ố n g kê xỉr lý

các s ố liệu th ực n g h iệ m h ạ t n h â n 69

3.1 Phản loại các phép đo và sai s ố 69

3.1.1 P h ép đ o Irực liế p và g ián l i ế p 6 9 3 1 2 Phép d o tuyệt đ ố i và phép đ o n g ư ỡ n g 6 9 3 1 3 K hái n iệ m và phân loại sai s ố 6 9 3 1 4 Đ ộ c h ín h x á c, đ ộ n h ạy và n g ư ỡ n g ph áp h iện c ủ a phép đ o 71

3.2 Xử lý các phép đo trực liếp 71

3 2 1 Các khái n iệm 71

3.2.2 Các phép đo cùng độ chính x á c 72

3.2.3 Các phép do không cùng độ chính x á c 73

3.2.4 Phát hiện sai số th ồ 75

3.3 Xử lý các phép đo gián tiếp 76

3.3.1 Công thức truyền sai s ố 76

3.3.2 Các thí d ụ 78

3.4 Sai số khi ghi nhẠn các bức xạ hạt 11 hAll 80

3 4 1 Sai s ố t hống k ê 80

3.4.2 X ác định tốc độ đếm thông qua nhiều phép đ o 82

3.5 Chọn thời gian do tối ưu 84

3.5.1 Hiệu hai cường đ ộ 84

3.5.2 Phép đo các nguồn có hoạt độ nhỏ, quy tắc 3 -\/ n « p

3.5.3 Tỷ s ố hai cường đ ộ 88

Bài tập chương 3 91

C h ư ơ n g 4 K iể m tra giả th iế t 92

4.1 Đánh gỉá dạng phan bố llieo tiêu chuẩn X2 93

4.1.1 C ơ s ở ph ươ ng p h á p 93

4.1.2 Kiểm tra giả thiết 95

4.2 Kiểm tra giả thiết theo tiêu chuẩn Student 98

4.2.1 Kiổm lia về kỳ vọ ng loán c ủ a dại lượng ngflu n h i ô n 98

3

4.2.2 Kiổin tra về kỳ vọng toán của hai đại lượng 99

4.3 Phan tích phương sai 101

4.3.1 Cơ sở của phương pháp 101

4.3.2 Các bước tiên hành 102

Bài tạp chương 4 103

C hư ơng 5 T ư ơ n g qu an và liồi q u i 104

5.1 Xác ctịnli các dặc trưng tương quan 104

5.1.1 M omen và hẹ số lương quan giữa hai dại lượng i 04 5 1.2 Hệ số tương quan mẫu 106

5.2 Phương pháp bình phương lối thiểu 108

5.2.1 Cơ sở của phương pháp 108

5.2.2 Hàm tuyến tính 109

5.3 Các hàm phi tuyến 114

5.3.1 Các hàm tuyến lính hoá được 1 14 5.3.2 Các hàm Parabon 115

Bài tập chương 5 117

T ài liệu thm n k liả o 118

Phụ lục 1 119

Phụ lụ c 2 120

Phụ lụ c 3 121

4

MỞ Đ Ầ U

N ội d u n g của m ô n học:

Nội dung của môn học là nghiên cứu một s ố khái niệm và định lý cơ bản của lý thuyết x á c suất và thống kê, áp dụng các định lý của thống kê để xử lý các s ố liệu thực nghiệm

Phương pháp thống kê không những cho phép tiến hành xử lý các kết quả thực nghiệm m à còn cho phép nghiên cứu bản chất của hiện tượng Phương pháp thống kê là giai đoạn kêt luận của một nghiên cứu Những lliông tin quan trọng và

c ó fell dược khai thác từ các s ố liệu thực nghiệm.

Nội đ u n g CỈ1Ỉ1 p h ư ơ n g p h á p th ố n g kê và xác suất:

Gắn liền với (hống kê loán học là xác suất Thống kê (oán học và xác suất là hai lĩnh vực của toán học ứng dụng có quan hệ mật thiết với nhau Thống kê và xác suất có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực vật lý, nó cho phép m ô tà các quá trình vật lý ngẫu nhiên và xử lý các kết quả thực nghiệm quan sát được.

Xét bài toán lung đổng tiền đồng nhất để thấy rõ mối liên hệ và sự khác nhau giữa thống k(ì (oán học và xác suất Sau mỗi lần tung, đồng tiền có thể rơi ngửa hoặc rơi sấp Mỗi lân tung (tồng tiền có hai khả năng xảy ra: Đ ồ n g tiền rơi ngửa và đồng tiền rơi sấp Như vậy kết quả sau mồi lán tung là hoàn toàn ngẫu nhiên.

Bài toán cơ bản của xác suất là “Biết ràng xác suất khi tunt' đồng tiền rơi ngửa

là p, tính xác siiiìì p n (l<) (lổ trong 11 IÀn lung (lồng liền có k ỊÀI1 (k < 11) (lổng liồn lơi ngửa” T heo pliAn bố nhị (lure xác suất đó là:

trong (tó Cnk là lổ hợp chập k của n.

Bài toán cơ bản của thống kê: Trong một thí nghiệm, liến hành N lần tung dồng liền có n líìn đồn g tiền rơi ngửa Hỏi xác suất p để khi lung đổng tiền rơi ngửa” Giá trị hợp lý của xác suất đó là P=n/N Nhưng nếu tiến hành nhiều loạt thí nghiệm khác nhau (mỗi loạt tung N lần), ta sẽ nhện dược nhiều kết quả 'chác nhau Kết quả của các loạt Ihí nghiệm trên có thể m ô tả:

Pn(k) = Cnk pk ( l - p ) " - k (1)

( 2 )

trong đó 11, là loạt thí nghiệm có số ì&n đồng tiền rơi ngửa Íí Íihấí; n2 là loạt tìhttní

nghiệm có số líỉn (lồng tiền rơi ngửa nhiều nhất.

Đại lượng ôp chính là khoảng biến thiên của đại lượng n/N cần lìm Ta h'hhy vọng xác suất p thực nằm trong khoảng 5p từ p, đến p2 Khi ôp càng lớn, giá trị củ.ùủa

p rơi vào khoảng ?ip cũng càng lớn nhưng thông tin về giá trị p cồng nhỏ Như wậ’ậậy

có sự bất định trong bài loán thống kê.

Các đại lượng nghiên cứu có thể (lược do trực tiếp hoặc gián tiếp, các phcp đ(đđo luôn chứa một sai số Tuỳ theo phương pháp đo, độ lớn của đại lượng cẩn đo và saỉsai

s ố tương ứng SC được xử lý theo phương pháp khác nhau dựa trên các định lý củíủủa thống kê toán học.

CHƯƠNG I M Ộ T VẢI VẤN Đ Ể c ơ UẢN VỂ LÝ T IIU YẾ T XÁC S U Ấ T

1.1 K H Á I N I Ệ M V Ê X Á C S U Ả T

1.1.1 Hiện tượng tất nhiên và hiện tượng ngẫu nhiên.

- Hiện tượng tất nhiên là hiện tượng chắc chắn xảy ra hoặc chắc chắn không

xảy ra khi các nguyên nhân cơ bản của nó dược thực hiện.

Thí dụ: Khi ta nối một điện trở với hai đầu của một nguồn điện chắc chắn có dòng điện chạy qua điện trở.

- Miện tượng ngẫu nhiên là hiện lượng có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi các (liề u k i ệ n c ơ bail c ù a I1Ó (lư ợ c th ự c h iệ n

+ Thí dụ với mộl hạt nhân phóng xạ, Irong mộl khoảng thời gian xác định nào

dó, hạt nhân dó có thể phAn rã dể trở thành hạt nil An khác, hoặc có thể nó chưa phóng xạ trong lliời gian (ló.

+ Khi ta gieo con xúc sắc, kết quả xuất hiện mặt có 2 chấm là hiện tượng ngẫu nhiên Nlurng nếu sự kiện xuAÌ hiện mặt có lừ 1 đến 6 chấm Ịà sự kiện tấl nhiên.

Lý thuyết xác suất và thống kê có mục đích nghiên cứu tính qui luật của các hiện lượng ngẫu nhiên Tính qui luâl của hiện tượng ngẫu nhiên thể hiện rõ khi tiến hành nhiều phép thử (mẫu lớn).

1 1.2 Đ ịnli n g h ĩa x á c suất

Có nhiều cách (lịnh nghĩa xác suAt: Theo quan iliổm lliống ke (quan diểm tíìn sô), quan điểm cổ điển và quan điểm hình học.

Đ ịn li tigh ĩa x á c su ất th eo q u a n ổ iê m c ồ điên:

Giá sử rnộl phép thử có tất cả N kết cục dồng khả năng, trong đó có n kết cục thích hợp cho sự kiện A Xác suấl xuất hiện sự kiện A là:

N Thí dụ: gieo một con xúc sắc hoàn toàn đối xứng Tun xác suất xuất hiện mặt

Đ ịnh n gh ĩa xác suất theo tần số:

Cỉiả sử tiến hành N phép (hử cùng loại (rong mỗi plìép tliỉr có thổ xuất hiện sự kiện A hoặc sự kiộn A 'Prong N phép thử lliấy có 11 phép thử xuAÌ hiện sự kiện có dấu hiệu là A Xác suííl xuất hiện sự kiộn có (lấu hiện A (tược tính:

trong dó tổng (lược líív theo lất cả các sự kiện.

Đ ịnh n gh ĩa xác stint theo hình học:

Định nghĩa xác suất theo hình học cho phép khắc phục được hạn ch ế thứ 2.

Xét một phép thử có vô hạn kết cục (lồng khả năng.

Giả sử lổng IAÌ cả các kết cục được biển (liễn ở miền hình học G nào đổ Các sự kiên lluiận lợi dể xuất hiện sự kiện A clirợc hiểu thị bằng các điểm nằm trốn miến g Tuỳ theo hài toán các miền G, g có thổ là đoạn thẳng hoặc một miền của mặt phẳng, cũng có thể là mộl miền (rong không gian ha chiều Xác Siícíl xuất lìiộn sự kiện A (tược tính như sau:

So

(rong (tó SgVà 5y tương ứng với số (to miền g và miẻn G.

Xác suất p(A) llieo (lịnh nghĩa (1.1); (1.2) và (1.4) có hai lính chấl:

xảy ra khi sự kiện B khổng xảy ra Gọi p(A,B) là xác suấl xảy ra sự kiện A cùng với

sự kiện B và p(A, B ) là xác suất xảy ra sự kiện A khi không xảy ra sự kiện B Ta có xác suất xảy ra sự kiện A là:

p(A) = p(A,B) + p(A, B ).

Tương tự xác suất xảy ra sự kiện B dược xác định theo công thức sau:

p(B) = p(A,B) + p ( B , A )

Biết rằng p(A,B) = p(B,A) là xác suất xảy ra đồng thời 2 sự kiện A và B.

V ạy xác suất xảy ra sự kiện A hoặc sự kiện B là p(A+B) dược tính theo công thức:

+ Nếu hai sự kiện A và B là ximg khắc, lức chúng không xảy ra dồng thời,

cô n g llúrc (1.5a) trở thành:

N ếu A và B là hai sự lciện thay phiên, tức kết quả của phép thử hoặc xảy ra sự kiện m ang dấu hiệu A, hoặc xảy ra sự kiện mang dấu hiệu B = A Với A và B là hai sự kiện thay phiên nhau ta có: p(A+B) = 1 Từ công (hức (1.5b), cho p(A +B) =1,

la có thu được công thức sau:

Từ công tlúrc ( 1,5c), suy ra: p(B) = p( A ) = I - p(A).

Trong nhiều trường hợp dể tính xác suất xuấl hiện sự kiên A ta đi tìm xác suất p( A ) lừ đó suy ra p(A) = 1 - p( A ).

T h í dụ: Trong một hộp kín gồm các viên bi hoàn toàn giống nhau nhưng có màu khác nhau V iên bi màu vàng , màu tím, màu xanh, màu đỏ Tun xác suất P(A)

để khi rút từ hộp ra 1 viên bi mang một Irong ba màu: xanh , tím , đỏ Đ ể tìm p(A)

ta di lìm p( A ) là xác suííl dổ khi ríu la viên bi không mang 3 màu trên hay viôn bi

m ang màu vàng Ta có p(A) = 1 - p( A ).

Ị 2.2 X á c suất có diếu kiện, nhớn xác suất

Cỉiả sir liên hành N phrp Ilnr H Kct rỊnỏ cùa mỗi phép có thổ mnng một Irong các tlAn hiệu là ej,c2, en Gọi rij là s ố phép thử mang dấu hiệu là Cj Xct các hiên c ố >

m a n g d ấ u h i ệ u C | v à e 2 c « ọ i r i ị 2 l à s ố h i ế n c ố v ữ a c ó d ấ u l i i ộ u C | v ừ a c ó d ấ u h i ệ u c ? ,

ta có 11) < (n,, n2).

Xác suất xảy ra biến cô c 7 với điều kiện C| xảy ra là p( e 2/C| ) Gọi p(e2/C|) là

xác suAl có (tiểu kiện c:ù;i c 2 với (liền kiộn xảy ra Hãy tính xác suất p(e.ị,e?) xảy

ra sự kiện mang (IAll hiệu c, vừa xảy ra sự kiện mang dấu hiệu e 2 X ác suất (ló (lược

p(C|.e?) = p(e,}.p(e2/C|) = p(c2).p(c,/e2) ( ) 6 c )

Xóc suất của tích hai sự kiện hằng lích cùa xác suất x â y ra mội trong hai sự kiện nhõn với xác suất r ó (ỉiru kiện của sự kiện hai với (licit kiện sư kiện I (ỉã xảy ra

T h í tlụ: Trong (liùiip có 5 VC Irong (ló có hai VC Irúng tlurỏrng Mai người lút lần lượt mỗi người inộỉ vé Gọi A là biến c ố người thứ nil/it nil được vó Irúng tlurởng n

là hiến c ố người thứ hai tiling thường Tìm xác suất đổ xảy ra B với diều kiện A đã xảy ra và xác suấl đổ cả 2 người (lều trúng thưởng (ức cả A và B (lều xảy ra.

Lời giải: p(A.B) = p(A).p(B/A).

+ Với pí A) - (2 / 5)

+ p(B/A) in xác snấí <lr ripirfri fliứ hni hốc được vé trúng ihưởng khi ngưòi Ihứ nhất ctã hốc được vé Inìng I hưởng Rõ ràng p(B/A ) = (1/4) (trong thùng còn 4 vé (rong (16 c ó I VC trúng Ihưởng).

VíỊy xác suA'l fỉể cA 2 trúng llurởng là: p(A.R) = (2/5) (1/4) = 1/10

Hai sự kiện e, và e 2 gọi là độc lập với nhau nếu p(C|/e2) = p(ei) hoặc p(e2/e ,)= p (e 2) V iệc xảy ra sự kiện e, độc lập với việc xảy ra sự kiện e 2 và ngược lại.

I lai s ự ki ện C| và e 2 d ộ c lộp với nhau, c ô n g 111 ức ( l 6 c ) l i ử thành:

Thí dụ: I Tai người cùng bắn vào mục liêu người thứ nhất bắn Irúng đích với xác suất là 0,9, người thứ hai bắn trúng (1 ÍC Ỉ1 là 0,6 Tìm xác suất để khi 2 người cùng bắn một pluít:

a Hai người đều bắn trúng đích.

1.3.1 Biến ngẫu nhiên gián đoạn và dãy ph ân bô xác suất

G iả sử đại lượng ngẫu n h iên X nhận n g iá trị khả d ĩ sau: X|,X2 x n, ta

v iết X = Ị X | | i=ị Tập hợp c á c g iá trị { X;} củ a X c ó thể là hữu hạn h o ặ c vô hạn nh ư n g đếm dược Khi đó đại lượng X (tirợc gọi là c1ại lư ợng ngẫu nhiên rời r ạ c h a y g i á n đ o ạ n

D ãy pliíìn bố xác suất của X là bảng gồm 2 dòng D òng thứ nhất ghi các giá trị của biến ngẫu nhiên Dòng Ihứ hai ghi xác suất xuấl hiện của dại Iưựng ngẫu nhiên nhộn giá Irị khả đĩ lương ứng Dãy phAn bố xác suất có dạng như bang 1.1.

Biing 1.1 Dãy phím bở xác suất của dại lưựng gián (loạn:

X

t ro ng đ ó Pi =P(X=X|) là x á c s uất đ ể đại lượng ng ẫ u n h i ê n X nhâ n g i á trị X = Xj.

Đại lượng X cỗ thể nhận một trong số các giá trị khả (lĩ nên: £ p i= l- Đây chính

là diều kiện chuẩn hoá của xác suất.

Bài toán: Một đội gồm 3 người bắn súng, ba người lần lượt bắn trúng đích l ầ i t 0,8; 0,9 và 0,7 Hãy lộp hảng phân hố xác suất số người bắn trúng đích trong Irườn g g Ị hợp 3 người đều hắn một phát.

Biến ngAu nhiên ở đAy là số người bắn (rúng đích có thổ nhân các giá trị 0; I; 2; 3.

- V ớ i X = 0, tức k h ông c ó người nào bắn (rúng đ ích X á c suất Pn đ ư ợ c 3: tính: Po = ( 1 - 0 ,9 ) ( 1 - 0 ,8 ) ( 1 - 0 , 7 ) = 0 ,0 0 6

- Với X = 1, tức chỉ có 1 người trúng đích Trường hợp này có ba khả năng xảy rai: : + Người thứ nhất bắn trúng đích còn 2 người sau không trúng đích X ác su.A t tl

x ảy ra trường hợp này là: Pn - 0,9.(1 - 0, 8) (1 - 0, 7) = 0 , 05 4.

+ Người thứ hai trúng đích, người thứ nhất và thứ ba không trúng Xác suất xảiyyy

Bài toán phAn bố nhị thức: Tiến hành n phốp thử độc lập* kết quả m ỗi phép I hủủỉr

có hai khả năng mang dấu hiệu A hoặc A Trong mỗi lần tliỉr, xác suất xuất hiện siiiạr kiện A và p Hãy tìm xác suất để trong n lần thử có k lần phép (hử xuất hiện c ó k ếếết quả là A.

Gọi xác suất cÀn tìm là pM (k) Nếu ta xếp kết quả của mỗi phép thử theo thứ tititự của nó, thì SI 1 U M phép llìủ ỉa có dãy gồm II chữ s ố A hoặc A Trong bài toán củai l;l ta (rong n phép lliử có k phép (liử mang (lấũ hiệu A, vây ta có dãy gồm k chữ số A v.vvà

(n-k) chữ số A Có rất nhiều khả năng xảy ra thoả mãn điều kiện của bài toán đặt

ra Mỗi khả năng tương ứng với một cách sắp xếp dãy số gồm n chữ trong đó có k chữ A và ( n - k) chữ số là A Theo lý thuyết tổ hợp số cách sắp xếp dãy s ố có đặc

điểm trên là: cỉí =

-— k ! (n -— k )!

Vậy có Cnk khá năng thoả mãn yêu cáu của díỉu bài Các khả năng đó xảy ra với xác suất như nhau Tìm xác suất để xảy ra một trong Cnk khả năng nêu trên.

Xét (rường hợp k phép thử đầu kết quả mang dấu hiệu là A còn

(11 - k) phép thử sau mang (lấu hiệu là A , ta cổ dãy số sau: A , A A ,A , A , A .

Luật pliftn bố xác suất có hàm mạt độ (lược xác địnli theo công thức (1.7) gọi

là pliíìn bố nhị 1 hức PliAn h ố nhị (litre có dãy phfln hố xác suất clơợc cho ở hảng 1.2.

Bảng số 1.2 Dãy phân bố xác suất của pliân bồ nhị tlúrc:

Tìm xác suất pk(t) để xảy ra k sự kiện (rong khoảng thời gian từ 0 đến t Các sự kiện xảy ra thoả mãn ha điều kiện sau:

i/ V iệc xảy ra hay không xảy ra sự kiện vào thời điểm t không phụ thuộc lịch

sử của sự kiộn xảy ra trước thời điổin t.

ii/ Xác suất xảy ra sự kiện trong khoảng thời gian 5t tăng tỷ lệ với khoảng thời gian đó Nói cách khác xác suất xảy ra sự kiện trong khoảng thời gian t 4 - 1 + ỗt là n5t, với n là tốc (lộ xảy ra sự kiện.

iii/ Xác suất đổ hai hay nhiều sự kiện xảy ra trong khoảng thời gian vô cùng nhỏ ôt bằng không.

nạp toán học.

+ Với k=0: Gọi Po ( 0 là xấc suất để không xảy ra sự kiện nào trong khoảng thời gian từ 0 đến t Tương tự, Po(t 4- 5t) là xác suất để khống xảy ra sự kiện nào trong khoảng thời gian từ 0 (tến (t + ô t )

Theo điều kiện ii của bài toán, xác suất để không xảy ra sự kiộn nào trong

khoảng thời gian từ l -í- ỉ + ôt bằng (I - nỗt) Nhận thấy rằng để trong khoảng từ 0

đến t + 5t không xảy ra sự kiện nào thì trong khoảng từ 0 đếil t phải không xảy ra sự kiện nào và trong khoảng lừ t đến t + St cũng không xảy ra sự kiện Theo định lý nhân xác suất ta có:

Po(t + ÔI) = p„(t)(l - n ô i ) = Po(0 - n.p0(t).5t.

Từ đó ta có p0(t +ôt) - P n ( t ) = - n.p0(l).5( Vậy phương trình vi phfln dối với p0(t)

trong đó A là hằng số lích phân dược xác định theo điều kiện ban đầu.

Tại thời điểm t=0 ta có Po(0) = A = 1 Trong khoảng thời gian ôt =0, tại thời điểm 1=0, xác suấl không xảy ra sự kiện nào phải bằng 1 v ạ y p 0(t) = e _n 1

+ Với k =1: Tức trong khoảng thời gian từ 0 đến I có 1 sư kiện xảy ra X ác suất Cíìn tìm là P|( t) Ta hã y l ì m x á c suất P| (l + ôt) đ ể trong k h o ả n g thời g i an từ 0 đế n

t +8t có I sự kiện xảy ra Có hai khả năng thực hiện diều kiện trên:

+K hả năng thứ nhất Irong khoảng thời gian lừ 0 đến t xảy ra 1 sự kiện còn trong khoảng thời gian từ 1 đến l + ôt không xảy ra sự kiện nào Xác suất xảy ra khả

n ă n g (liứ Iiliíít b ằ n g P i ( l ) ( l - nôt).

+K hả năng thứ hai là trong khoảng thời gian từ 0 đến i không xảy ra sự kiện nào còn từ t -rl + 8t xảy ra 1 sự kiện Xác suất xảy ra khả năng thứ hai là p0(t) nỗt Theo công thức cộng xác suất ta có: Pị(t + ôt) = P i ( l ) (1-n ôt) + P()(t).n5t.

H ay ta có phương trình: -Pì- - - — = - n p ,( t ) + np0(t).

8t Phương trình vi phan đối với P i ( l ) có dạng:

j Pi.HI - - |1P | (1) + np0(l) (1.8c) dt

với p0(t) dược xác định Ihco ( 1,7b).

Nghiệm của phương trình vi phân (1.7c) là:

Từ phương trình (1.7c) tổng quái cho trường hợp k > 1 Với k nguyên, dương ta có phương trình vi pluln sau:

ỏ p ) — = - n p k ( t ) + n p k_ , ( l ) (1.8e) dt

N ghiệm của phương trình vi phân ( 1 8e) có (lạng:

e - n t

k !

if Đặl nt = |i và viết pk(t) = p,,(k), lừ ( 1 9a) ta thu được công thức sau:

n k e

Một đại lượng ngẫu nhiên k nguyên, không âm được gọi là đại lượng có >

k e _lx phân bố Poisson nếu hàm phân b ố xác suất của nó có dạng p (k) = |I ——-.

Từ biổu thức ( i 9 b ) nhộn lliấy: phân bố Poisson được x á c định bởi 1 thông s ố là Ị!.

Trong phân hố Poisson thường quan (Am đến xác suất p đổ đại lượng k nằm trong khoảng từ - aơ đến |1 + aơ Ta có: p(|i - aơ < k < |i + aơ) - p.

_

Xác suất dể ctại lượng k trong khoảng từ |1- yfịt -T- Ị.I + yfịx bằng 0,683.

Xác suất để đại lượng k (rong khoảng từ }1 - 2yfịi -f |1 4- 2 -s/ỊI bằng 0,95.

Xác suất để đai lượng k trong khoảng lừ |1 - 3yfịĩ -ỉ- [1 + 3a/ỊI bằng 0,9973.

Phân bố Poisson gặp nhiều (rong thực tế: Số hạt bức xạ k do nguồn phóng

xạ phát ra trong khoảng (hời gian t; số cặp ion điện tử k đirợc tạo thành trong môi trường khi một bức xạ hạt nhfln có năng lượng xác định hao phí loàn bộ năng lượng trong mối trường; Số diện lử phát ra từ calốt bị dốt nóng trong khoảng thời gian xấc định là các đại lượng ngẫu nhiên có phân bố Poisson Phồn bố Poisson đóng vai trò > : quan trọng trong lý thuyết độ tin cậy, nó mô lả qui luật xuất hiện của những hư hỏng dột Iigộl trong các hệ phức tạp.

1.4 PIIÂN BỐ LIÊN TỤC

1.4.1.H àm mật độ xác suất

Đại lượng ngẫu nhicn X được gọi là đại lượng ngẫu nhiên liên tục nếu các giá trị khả dĩ của nó lấp dẩy một khoảng nào (lổ Với dại lượng liên tục ta không thể nói xác suất Ị)(X=x) dể dại lượng nhận một giá í rị Xííc định Đ ể làm sáng tỏ điều này ta xét bài toán sau:

Giả sử X là chiều cao của người X là đại lượng Hôn tục từ Xmin-Ỉ-Xmax, với

x min, Xmiix là chiều cao cực tiển và cực đại khn dĩ của một người Ta gọi px là xác suất để chiều cao của người bằng X, ta cỏ px = p(X = x) D o px > 0, nôn xác suất

đ ể m ột người có chiều c a o bất kỳ từ x min đến x mac là £ px= co > 1 Đ iều này vô

l ý , VI x á c suất đ ể m ộ t n g ười c ó c h i ề u c a o bất kì phải b ằ n g 1.

Với phân bố liên lục, thay cho dãy phân bố xác suất ta dùng khái niệm hàm một độ xác suất.

Đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị liên tục từ a 4- b Xét đoạn X x+dx với clx đủ nhỏ Kí hiệu F(x + (Ix) là xác suất để đại lượng X nhận giá trị nhỏ hơn hoặc bằng X + tlx, vậy ta có: F(x + dx) = p(X < x+ (lx).

Gọi F(x) là xác suất dể đại lượng X nhận giá trị nhỏ hơn hoặc bằng x:

F (x+ d x) > F(x), nên theo (1.1 la) suy ra f (x) > 0 Hàm mật độ xác suất là hàm không Am.

Xác suất để đại lượng X nhận giá trị bất kỳ từ a đến b phải bằng 1.

Hàm mạt d ộ x á c suất f( x ) phải thoả m ãn đ iề u kiộn c h u ẩ n h o á sau:

Hàm phAn bố xác suất F(x) của píiAn

bố dều được xác định theo llico công

inât dộ xác suất (a) và hàm phân

bố xác suất (b) của phan bố dều

lĩà m mậl (tộ xác suốt f(x) và hàm pliAn bố xác suííl F(x) của úại lượng ngÃM

nhiên [5] phân bố đều có dạng như hình (1.1 a) và (1.1 b).

ì 4.4 Phân b ố chuẩn

Phan bố chuẩn là phân bố liên tục thườiiR gặp và được ứng dụng nhiều nhất trong thực tế Đại lượng ngẫu nhiên X có phân bố chuẩn nếu hàm mật độ xác suất của nó dược xác định theo công thức sau:

trong đó f.i, ơ là hai thông số đặc (rưng cho phân bố.

Đ ồ thị của hàm mật độ xác suất của phân bố chuẩn có dang hình chuông, nhận trục X = fi làm trục đối xứng Đại lượng ngẫu nhiên có mật độ xác suất lớn nhất lại

X = fi Đại lượng ơ được g ọi là độ lệch chuẩn của phan bố Đ ộ lệch chuẩn ơ c à n g nhỏ, các giá trị đại lượng ngẫu nhiên càng tập trung quanh giá trị X = Ị! với xác suất càng lớn Trên hình 1.2 đưa ra dạng đồ thị hàm mậl độ xác suất của phân bố chuẩn với các thống đặc trưng khác nhau.

’ Trong phân bố chuẩn thường quan íâm đến xác suất để dại ỉượng X nằmi 1

tron^ khoảng từ |t - k a đến ỊI + ka Ta có: p ( | i - k ơ < X < n + k ơ ) = p Trong [6 ] I 1 đưa ra xác suất dể X nhận các giá trị trong các khonng thường được quan trim trong', ĩ

kỹ thuật và thực tế Đ ó là:

Xác suất để đại lượng X trong khoảng từ fi - ơ -ỉ- 11 + ơ bằng 0,683.

Xác suất đổ đại l ượng X trong k h o ả n g từ |A - 2 ơ -í- J.I + 2cr b ằ n g 0,95.

X á c suất clể (lại l ượng X trong k h o ả n g từ Ịt - 3(7 -ỉ-11 I 3 ÍT b ằ n g 0 9 9 7 3

Đại lượng ngẫu nhiên X không âm có phân bố loga chuẩn nếu logarit của nó í

có phân bố chuẩn Hàm mạt độ xác suất của phân bố loga chuẩn dược xác định theo' ) công (hức:

Phân bố loga chuẩn dược sử đụng nhiều (rong kỹ thuật, sinh học, địa chất Kích thước của các hạt khi dược đạp nhỏ luAti theo phân bố loga chuẩn.

1.4.6 Phân bô gamm a, phân b ố mũ và phân bô mũ kép.

Đại lượng npAu nhiên, liên tục và không âm có phân bố gamma với hai í hông

c

sô đặc tnrng oc và [ĩ dược xác định theo công thức sau:

Tuổi thọ cao nhất của một số lớn sản phẩm cùng loại tuân theo phân h ố hàmi 1

mũ kép.

Ngoài một số phân bố được nêu ở (rên (rong kiểm tra giả thiết và xử lý mẫui I thông kô còn gặp các phân bố ỵ 2, phân bố Student Các phftn b ố này sẽ (lược:: (rình bày ở chtrơng sau.

trong đó Pi là xác suất để đại X=Xj.

+Đại lượng ngẫu nhiồn liên tục X có hàm mật độ xác suất f(x), kỳ vọng toán học của X được xác định theo công thức:

— 00

Kỳ vọng toán học là dặc trưng quan trọng nil At vé vị trí của dai lượng ngẫu nhiên X Trong thực tế kỳ vọng toán của đại lượng ngău nhiên được kí hiệu là }I Kì vọng toán học có các tính chất sau:

1 Kỳ vọng (oán học của hằng số c bằng chính nó E(c) = c.

2 Đại lượng X có kỳ vọng là E(x), c là hằng số thì E (cx) = cE(x).

3 Kỳ vọng loán học của lổng các đại lượng ngẫu nhiên bằng tổng các kỳ vọng toán học của chúng: E(x +y) = E(x) + E(y).

4 Kỳ v ọ n g toán h ọ c c ủ a lícli c á c dại l ư ợn g ng ẫ u n h i ê n d ộ c lập b ằ n g t ích c á c

kỳ vọng của chúng: E(xy) = E(x)E(y).

jw-Xét đại lượng ngẫu nhiên X có kì vọng là |i, các giá trị của nó phân bố về hai phía của Ị.I Kỳ vọng toán học của độ lệch (x - |.i) không đánh giá dược độ phân tán của (lại lượng ngẫu nhiên xung quanh kỳ vọng của nó Thật vậy với bất kỳ phân b ố nào ta đều có:

E (x-n ) = E(x) - E(|i) = (.1 - n =0.

‘ Đ ể dặc trưng cho độ phAn tán cua clại lượng ngẫu nhiên xung quanh kỳ vọng toán học của nó ta dùng khái niệm phương sai, kí hiệu là D(x).Phương sai của đại lượng ngẫu nhi ên X là kv vọng toán học của hình phương (lộ lệch của đại lượng ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán của nó Phương sai của dại lượng ngẫu nhiên dược xác dị nil llico côn g lluíc sau:

D (x) = £(Xj - n )2Pi với phân bồ' gián doạn,

D ( x ) = \ ( x - Ị i ) 2f(x)dx với phân bố liên tục.

Với pliftn bố chuẩn phương sai được xác định như sau:

Đặt y = -— la có X = ơ.y + Ị-t , dx = ơđy Thay các giá trị X và dx vào

VẠy pliAn bố chuẢn có phương sai D(x) = ơ 2.

Ý nghĩa của phương sai: Phương sai cùa đại lượng ngAu nhiên (lùng để đo inức độ phân tán của biến ngAn nhiên xung quanh kỳ vọng toán học của nó Đại lượng Ơ = -V /D (x) dược gọi là độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên Trong thực nghiệm nếu tiến hành đo độ lớn của dại lượng ngẫu nhiên, độ lệch của giá trị đo được so với

kì vọng toán của nó có giá trị trung hình bằng C7 Nói cách khác, o chính là sai số

trung bình của mỏi phép đo.

Tính ch ố i củ a ph ư ơn g sai:

If’ Phương sai của hằng số c bằng khổng D(c) = 0

2° Đại lượng X có phương sai D(x), dại lượng y = C.X với c là hằng s ố c ó phương sai D(y) = c2 D ( x )

3° Hai đại lượng X và y độc lộp, phương sai của tổng hai đại lượng bằng tổng các phương sai thành phần: D(x + y) = D(x) + D(y)

Ta gọi trung vị của đại lượng ngẫu nhiên X là giá trị xác định m, sao cho p(x < m, ) = p(x > m,) Xác suất để dại lượng ngẫu nhiên nliận giá trị nhỏ hơn trung

vị bằng xác suất dể (lại lượng ngăn nhiên nhân giá trị lớn hơn trung vị.

Trong phân bô đối xứng kỳ vọng loán học và trung vị trùng nhau Trong trường hợp lổng quát kỳ vọng và trung vị khác nhau.

MỐI rủa hiến nạẫit nhiârt là ạin trị mr cùn hiến ngẫu nhiên tại â ồ mật liộ xác suối ró ọjá tri rưr (lại.

ơ công thức (1.22) ta thu được công thức sau:

D ( x ) = —X=r Ị ơ V e 2 dx = r— í 2 dx = ơ 2

Có những phân bố có mốt cũng có những phân bố không có mốt Nếu hàm mật độ f(x) có nhiều cực đại ta nói phân bố có nhiều mốt Nếu phân bố đối xứng và

cổ 1 mốt thì trung vị , mốt và kỳ vọng toán trùng nhau.

Với k = I ta có fT| = E (x') = E(x) = Ị.I Vậy m om en gốc bậc 1 chính là kỳ vọng toán của đại lượng ngẫu nhiên.

+ Mômcn trung tâm bậc k của (lại lượng ngẫu nhiên X là kì vọng toán học của (x-f.t)k, troììỉị (ỉó // là kì vọng toán học của X.

Monicn trung tAin bạc k của đại lượng X, kí hiệu là ị.ik , dược xác định theo

c ô n g 111 ức:

=ý(x-fi)k f(x) clx, với X là đại lượng liên tục

= Z (x r |i)k Pi với X là dại lượng gián đoạn.

Với k = 0 ta có Ho = E( 1) = 1.

Với k = 1 ta có Hi = E [(x-|i)] = E(x) - E (|i) = 0.

Với k = 2 ta có |i 2 = E [(x -|i)2 ]= D (x) = ơ 2 là phương sai của đại lượng ngẫu nhiên.

Với k = 3 ta có m = E[(x-f.i)3].

Xét ý nghĩa của tnoinen trung líìin bẠc 3 Theo dịnh nghĩa, m om en Irung lâm bậc 3 dược xác dịnh Iheo côn g ihức:

00 ị.i3 = j ( x -ị- i)1 f(x)dx với X liên tục 00

= z Pi(xr |i)3 với X gián đoạn

Với phAn bố <1ối xứng, hàm mệt độ xác suất f(x) hoặc xác suất P i đối xứng qua |1, khi đó hàm ( x - | i ) 3 f (x) là hàm số lẻ vì vậy Ị.Ị, = 0 Phân bố đối xứng m om en

trung tâm bậc 3 bằng 0.

I lệ số hít (lối xứng của phan hố được định nghĩa:

(1 2 5 ) Với phân bố chuẩn m - 0, hệ số bất đối xứng Ỵ = 0.

M ối 'Hên hê ẹỉữa momen ựôc và momen trunự tâm:

I i . Khai triển hàm (x ||) ’ - £ ( - l ) ' c ' kx '.Ịt' , sau đó Ihay vào công lliức (1.24) ta

i=n till! (lược c ô n g llnrc sau:

Vậy rnoinen gốc và moinen trung tAm liên hệ với nhau (hco cống thức:

Cụ thể:

= i c i , ( - i ) V i , n ‘ i=l

ổ kM'x(t) ổt*

(1-28) t=0

Ta có thể tìm được mối liên hệ giữa các m om en g ố c và hàm đạo hàm momen gốc theo cách khác Thật vậy, khai triển hàm e xl theo chuỗi của xt la có:

x V x V + xt + -+

2! 3!

+ x V

k!

Thay vào công thức ( 1.27) ta cổ:

ỊLl^ = kínhAn với hộ số khai Iriển bậc k của M x' ( t )

ĩ.6 2 ĩìồ m đạo hòm w om en trung tâm

Hàm dạo hầm moinen trung tâm của dại lượng ngẫu nhiên X là kì vọng toánn học của e (!t‘ M)’ , trong dó fi là kì vọng của X.

Hàm đạo liàm motnen trung tAni, kí hiệu là M x(t), dược xác định theo côngg lliức:

M , ( t ) - F ( c <x

— 00

Ễ c‘' = -"»'Pì- i-0

Biến dổi công Ihức ( 1.30) ta dược công lliức sau:

M x(l) = n (p /, ,l e xl) - e 1" R (cxl) = c " ' M'x (().

I lỉun clạo liàin mnmcn gốc và Iròm đno liàm iriomen Irnnp IAm liên hệ với

M x(t) = e-'" M 'x (t)

M ’x ( t ) = e ' " M x (t)

nhau theo c ô ng thức:

(1.3 la) (1.3 Ib).

Từ côn g thức (1.30), đạo hàm k lần hàm M x (t) theo tham số t, ta thu được công thức sau:

Vây mom en (rung lâm bậc k chính là dạo hàm bậc k Iheo l của hàm đạo hàm

m om en trung tâm tại giá trị t=0, ta có công thức sau:

3 f |(=0

Tun mối liên hộ giữa m om ein trung lâm và hàm dạo hàm m om en trung lâm Khai triển hàm e (x‘ M > 1 theo chuỗi (x - |i)t, sau đó thay vào cổn g thức (1.30) ta thu được c ô n g thức sau:

Từ công thức (1 32) ta có: Momen trung tAm bậc k chính hằng k! nhÃin với hệ

số khai triển ứng với (k của hàm đạo hàm trung (Am:

|ik - k! nhAii với liộ s ố khai tritin lk của Mx(t) ( 1 3 3 )

Kết luân: Nến biết được hàm đạo hàm momen gốc và hàm đạo hàm momen trung tâm sẽ biết được tấ( cả các tnomen gốc và momen trung tam, từ đó biết được tất cả các đặc lnrng của pliAn hố.

Định lý:N ếu hai hàm m ậl dộ xóc suất cổ cùng lập hợp c á c w o m e n gấc hoặc moment tn m g tâm và hiệu liai hàm mật đ ộ xác suất khai triền (ỉìtợc then chuồi lnỹ thừa của X thì hai dại hrợng d ó có phân b ô ’trùng nhan.

Gọi hai hàtn mậl độ xác suất tương ứng là f(x), g(x) ta cổ:

=0-1.7 XÁC ĐỊNH CÁC ĐẶC TRƯNG c ơ RÀN CỬA MỘT s ố PHÂN B ố

1.7.1 Phân bô nhi thức

= X C p (p e ')kq n k = (pe* + q )n = (pe' 4 1 - p)"

k-í) M'x(t) = [ p e ‘ + ( l - p ) l n (1.34)

Tìm moinen gốc hậc I :

I , * , \ n ■■ I

— - npe (pe I I II)

ĩ) I

Ml =

t=0

Do Ị-t, = Ị.I , nôn kỳ v ọ n g t oán h ọ c c ủ a phan b ố nhị thức b ằ n g np.

Đạo hàm bậc 2 của M x'(l) tlico l ta có:

M om en trung tâm bậc 2:

f.i2 =|.t 2 - n ’ = n (n -l)p 2 +np - n2p2 = n2p2 - np2+np - n2p2= n p (l-p ) = npq.

Vậy la có: phương sai của phân bố nhị thức là: D(x) = npcị

Phân bố nhị thức với 2 thông s ố n và p có kỳ vọng loán bằng np và phương sai bằng npq & ệ ị ữ ó )

Hàm đạo hàm rnomen gốc của phAn bố Poisson có dạlìg :

Kỳ vọng toán càng lớn tính chất bất đối xứng càng giảm Phân bố Poisson là

một phAn bố gian đoạn hất dối xứng có kỳ vọng toán học và phương sai D (x )= ịX.

Hàm đạo I)àm mom en gốc của phân bố chuẩn được xác định Iheo công thức:

2

a Khai triển e 1" và e 2 theo t, sau dó Ihay vào công Ihức (1.37a)

la thu dược côn g thức sau:

Khai triển hàm đạo hàm mốtnen (rung lflm theo t,ta có:

f2 4,1

M x(t) = 1 + <72 — +

Momen (rung tam bậc 1: |i, = 0.

Momen trung tâm bậc 2: n 2 = ơ 2.

Momen trung tâm bậc 3: fi3 = 0.

Hệ số bất đối xứng của phân bố chuẩn là y = = 0.

Phân bố chuẩn là phân bố đối xứng, có kì vọng là |1, phương sai là ơ 2

M ômen xuyên tAm bậc bốn của phân hố chuẩn là: m = 3 ơ 4

Đ ộ nhọn của phân bố chuẩn p - — - 3 = 0.

(lại lượng c ó pliAn bỏ gamma:

Ml = ( a + l)P

= (a + l)(a + 2)ựi2

Ị.I3 = (a + l)(a + 2)(a + 3)P

Vậy kỳ vọng toán của phAn hố gamma bằng: (cx + I) p.

-Phương sai cua phân bô gamm a D (x ) = ị.i2= (1 2 - (L'| = (ot-t )) [).

Phương sai của phân bố gamma D (x) = ( a + l ) p 2.

Với hàm mũ có a =0 từ công thức (1.38) ta có hàm (lạo hàm mom en gốc của

hàm mũ có dạng:

1.8 CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRONG LÝ THUYẾT XẤC SƯÂT f a c

Các (lịnh lý giới hạn đỏng vai trò quan trọng trong lý lluiyếl xác suất và những ứng dụng của nó trong (hực lế.

1 8 1 Đ ịnh lý Poisson

Tiến hành n phép thử độc lập liên tiếp, mỗi phép thử sự kiện A xuất hiện với xác suất bằng p Gọi P n ( k ) là xác suất để trong 11 phép thử có k phép thử mang dấu hiệu là A Khi 11 —» co và p —> 0 sao cho np = n = const, khi đó phân bố nhị thức liệm cận tói phan bố Poisson Còng thức của (lịnh lý Poisson:

C’I h V iij * Iiiinli (iịnli lý Pơisson:

Hàm xác suất phàn bố nhị thức dược xác định theo công thức sau:

Trong lý thuyết xác suất phân bố Poisson có nhiều ứng dụng vì vậy các giá trị của hàm — vốri ị[ và k xấc đinh đã được tính và cho sẵn trong các bảng Ngoàii

ra trong các bảng cũng cho cắc giá trị - e 11 từ đó ta lính được xác suất để đại

lượng k nằm trong khoảng k, đến k2 là p(k| < k < k2) = pB(k„ k2).

1 8 2 Đ ị n h l ý g i ớ i h a n M o iv r e - Ĩ Ẩ ip l a c e

Nếu trong n phép thử độc lập, xác suất xuất hiện sự kiện A trong mỗi phép thử

là p, thì xác suất để trong n phép thử cổ k phép thử xuất hiện'sự kiện A là p„(k), vớii

H~>oo v 2 7 1 f l

Trong công 111 ức (1.44) (lại lượng k được liên tục lĩoá Nlnr vậy phíln hố clniÁn

là giới hạn cùa các phân bố nhị lliức, phân bố Poisson.

Đổ tiện, trong thực tố phan bố chuẩn với kỳ vọng loán là Ị I phương sai là a 2 l a

viết: N( (1.CT2 ).

Đinh lý: Nếu (lại lượng X có pliAn hố chuẩn N ( f i , ơ 2 ), thì dại lượng

Thay C.ÌÍC giá trị X vn (lx được lính llieo y và (ly vào công thức (1.45), ta có công thức san:

ị Trong pltAn bố chuẩn nguời ta tlmờng quan (Am đến khoảng tin cộv p, tức xác

suất để đại lượng X có giá trị từ đến u„ với xác suất p Ta có phưctng trình sau:

Ị p = 'f ' e - , I , 2 d*.

Các giá trị >1„ và (lược cho sẵn trong pliự lục I vồ phAn hô chuẩn N(0,1 ).