Các phương pháp toán xác xuất thống kê trong thị trường tài chính và chứng khoán

le n đê tài : Các phương pháp toán - xác suất thống kê trong thị trườngtài chính và chứng khoán Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội.. Đào tạo: • Đã hướng dẫn một NCS về

Tiếng Việt: CÁC PHƯƠNG PHÁP TOÁN - XÁC SUẤT THỔNG KÊ

• TRONG THỊ TRƯỞNG TÀI CHÍNH VÀ CHỒNG KHOÁN / Tiếng A nh: M e^pds of Mathematics and P ro b a b ilỉty /^

y Mathematical statỉstỉcs ỉn t t e F1nance and I I

le n đê tài : Các phương pháp toán - xác suất thống kê trong thị trường

tài chính và chứng khoán

Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội

Các cán bộ phối hợp:

PGS.TvS Đào Hữu Hổ Khoa Toán - Cơ - Tin học

rs Trần Cao Nguyên Vụ Inrcyng vụ phát triển thị

PGS.TS Lô Thanh Cường Khoa Cơ bản, ĐH Ngoại thưong,

TTi.S Trần Trọng Nguyôn Khoa Toán, ĐHSP Xuân Hoà Xác suất

1 BÁO CẢO TÓM TẮT

thị trường tài chính và chứng khoán.

b Chủ trì đề tài: GS.TS Nguyễn Văn Hữu

c Các cán bộ tham gia:

PGS.TS Đào Hữu Hổ Khoa Toán - Cư - Tin học

Trường ĐHKHTN, ĐHQGHN Xác suất thống kê

GS.TS Nguyỗn Quý Hỷ Khoa Toán - Cơ - Tin học

Trường ĐHKHTN, ĐHQGHN Phương pháp tính

GS.TSKH Nguyỗn Duy Tiến Khoa Toán - Cơ - Tin học

Trường ĐHKHTN, ĐHQGHN Xác suất thống kê

PGS.TS Nguyỗn Hữu Dư Khoa Toán - Q 1 - Tin học

Trường ĐHKHTN, ĐHQGHN Xác suất thống kê

TS Trần Cao Nguyên Vụ trường vụ phát triển thị

PGS.TvS Lô Thanh Cường Khoa Qy bản, ĐH Ngoai thương,

Th.s Trần Trọng Nguyôn Khoa Toán, ĐHSP Xuân Hoà Xác suất

d M ục tiêu nghiên cứu:

1 Tìm hiểu cơ sở lý thuyết, nghiên cứu và giải quyết các vấn đề còn để

m ở trong lĩnh vực toán tài chính.

2 Tìm cách áp dụng các lý thuyết trên vào thực tế ử Việt Nam

3 Đào tạo nghiên cứu sinh, cao học, cử nhân về lĩnh vực toán trong tài chính.

e Các kết quả đã đạt đượcr

(ỉ) Về nghiên cứu khoa họcị

Trong 2 năm qua các cán bộ nghiên cứu tham gia đề tài đã tập trung nghiên cứu và giải quyết các vấn đề sau:

1 Nghiên cứu về mô hình lãi suất, giá của các loại chứng khoán.

2 Nghiên cứu các đặc trưng cho một thị trường chứng khoán là lành mạnh, cân bằng.

3 Nghiên cứu quản lý các danh mục đầu tư đổ đạt tối đa một hàm lợi ích nào đấy.

2

4 Định giá hợp lý các yêu cẩu tài chính như các phái phiêu, các quyền lựa chọn.

5 Nghiên cứu về lợi suất chứng khoán của thị Liirờng chứng khoán Việt Nam.

6 Dự báo tỷ giá lên xuống của Việt Nam đổng / USD.

Các kêt quả chính đã đat được khi nghiên cứu các vấn đổ nói trên chúng tôi đã đạt được các kết quả chính sau đây.

• Xây dựng mô hình nhị thức mở rộng mỏ hình (Cox - Ross - Rubinstein

mử rộng), đó là mô hình khá đơn giản đặc trưng cho một thị trường tài chính với thời gian rời rạc với một tài sản không rủi ro và một tài sản có rủi ro với giá trị thay đổi theo qui luật nhị thức mở rộng Nghiên cứu quá trình giới hạn ứng với mô hình đó và phương pháp định giá hợp lý các yêu cẩu tài chính, đã chỉ ra rằng đó là mo hình với thời gian rời rac duy nhất là lành mạnh và đầy

đủ (xem bài báo [1], [2]).

• Các quá trình có trí nhớ dài, đặc trưng cho các quá trình chứng khoán phi markov Đó là các quá trình được mô tả bởi phương trình VPNN với nhiễu

là quá trình phân thứ (quá trình thông thường là quá trình với nhiễu Wiener), nghiên cứu nghiệm của phương trình đó và mô hình hoá các quá trình chứng khoán phi markov (xem các hài háo [4], Ị6], [7], |8 |, [9], 110]).

• Nghiên cứu các quá trình lợi xuất chứng khoán trong thị trường chứng khoán ở Việt Nam, đặc hiệt đã phát hiện rằng quá trình lợi suấl chứng khoán ở Việt Nam hiện tại cổ độ biến động ngẫu nhiên Đã sử dụng phương pháp GACH để phân tích và nhận dạng các độ biến động (xem bài báo [5], 113]).

• Nghiên cứu các thị trường phi cổ điển: nghiên cứu các danh mục đầu tư

có ràng buộc, thị trường không đầy đủ, nhận dạng và ước lượng các mô hình (xcm bài [2], [3 Ị).

• Nghiên cứu các quá trình chứng khoán với thời gian rời rạc bằng phưưng pháp phân tích chuỗi thời gian (xem hài báo [ 15 Ị).

• Thực hành việc dự đoán tỷ giá lên xuống của VNDong/ƯSD bằng phương pháp phân tích chuỗi thời gian và dự báo nhu cẩu.

• Quản lý tối ưu các danh mục đầu tư theo phương pháp phân tích trung bình và phương sai ([ 11 ], Ị 13]).

3

ịii) Biên soạn sách:

Đã hiên soạn 1 cuốn sách: "Các phương pháp toán iroiiiỊ lài chính". Đã được phcp xuất bản của "Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.

(iii) Đào tạo:

• Đã hướng dẫn một NCS về đề tài: "Một sô vấn đê về phương trình vi phán ngầu nhiên phân thứ và ínig dụng trong tài chính" đã bảo vệ thành công

ở cấp cơ sở (Viện Toán) cuối 11/2002.

• Hướng dẫn 1 cử nhan về Toán Tài chính.

ịiv) P hổ biến khoa học.

• Đã tổ chức "trương thu" (Auíumn School) về các phương pháp toán trong tài chính từ 16-18/12/2001.

(Xem các bài giảng [11], [12], [13], [14], ị 15] và sách "Các phương pháp toán trong tài chính").

f Tình hình kinh phí của đề tài:

1 Tổng kinh phí của đề tài: 60.000.000đ

• Chi phí cho trường thu 12/2001 và các

Năm 2002:

• Chi cho các hợp đồng NCKH và chuyên đề: 23.000.000đ

2 SƯMMARY REPORT Í)N TIỈE FƯLFILING OF TIIK SPECIAL PROIECT

OK SCIENTIKIC RESEARCH SUI PORTEI) BY THE NATIONAL UNIVERSITY

HANOI.

a Title of the project: Mclhods oi' Mathcmatics and Probability-

Malhcmatical Statistics in Financc and in thc stocks market, code: QG 01.08.

b Responsible of project: Proí Nguyen Van Huu

c M em bers participating the project:

Prof Assoc Ph.D Dao Huu Ho Faculty of Mathmatics -

Economist

Proí Assoc Ph.D Le Thanh Cuong Faculty of fundamcntal

scienccs of The University of íorcign trading Hanoi

Probability

Prof Assoc Ph.D Tran Hung Thao Institutc of Mathematics

Ccnter of Nat Sciences

& Technology

Probability

Mast Tran Trong Ng u yen Faculty of Mathcmatic

of the^University of Pedagogics

Probability

5

d The goal o f project:

1) Study basical Theory on mathemaũeal financc, invesúgate opcn problcms.

2) Application of thc thcory in praticc of rinancial market in Victnam 3) Training postgraduate studcnts, maslers specializing on 1'inancial mathcmatics.

6) Pridiction o f the ratio o f VNDong/USD.

(ii) Publishing book:

The book: "Mathcmatical methods in Pinancc" to appear (2003), hy Nguycn Van Huu, Vuong Quan Hoang.

(iii) Training: a member participating of thc Project under guiding of Prof Assoc Tran Hung Thao and Prof Nguycn Van Huu has submitcd his thesis titlcd "Some problems on FractionaI stochasúc diiTcrcntial cquation and its application on Finance" and has bccn accpted by thc committee of scicnccs

of Institutc of Mathcmatics of Center of Nat Sciences & Technology).

6

A Bechclor o f Applied mathcmatics has bccn spcciali/ig on Malhcmatical 1'inance.

Paculty o f Mathematics - Mcch-Iní' of The University of Natural Sciences, Hanoi, IVom Dcccmber 16th - to Decembcr 18th., 2001.

BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỂ TÀI QG.01.08

7 Phiếu đăng ký kết quả nghiên cứu

2 Lời mở đầu.

Trong vòng 20 nãm của thế kỷ này trong khuôn khổ kinh tế vi mô người

ta đã sử dụng rất nhiều các phương pháp toán học đe tính lõ lãi, quản lý và tăng vốn, tính rủi ro của các danh mục đẩu tư, giải quyết các hài toán của các phương án đầu tư trong thị trường tài chính Năm 1973 sau công trình "Pricing

ol option and Corporate liabilities" (Định giá các quyền lựa chọn và nợ của các công ty) của F Black và M SCholes việc nghiên cứu và áp dụng các phương pháp toán nhất là các phương pháp của xác suất thống kê để mô hình hoá biến động của giá các loại tài sản, các lợi suất đầu tư, định giá các khoản

nợ, nghiên cứu rủi ro tín dụng, phân loại các công ty, quản lý các danh mục đầu lư, xây dựng các phưưng án đầu tư vào thị trường tài chính để ít rủi ro nhất, hoặc cực trị một hàm lợi ích nào đấy.

Việc nghiên cứu các phương pháp để giải quyết nhiều hài toán vẫn còn

đổ ngỏ như xây dựng các chiến lược đầu lư cỏ chi phí giao dịch, các danh mục đầu tư có ràng buộc, định giá các tài sản, phái phiếu, các quyền lựa chọn, trong thị trường không đầy đủ (số nguồn ngẫu nhiên lớn hơn số các tài sản), các thị trường phi markov (có trí nhớ dài) là những bài toán được nhiều nhà toán kinh tố quan tâm.

Những thành tựu về toán tài chính và nhất là các phương pháp toán học trong việc mồ hình hoá các hoạt động của thị trường chứng khoán là các vấn

đề rất mới mỏ đối với những người làm toán và cả những nhà kinh tế Việt Nam.

8

Đề tài này với sự trợ giúp mạnh mẽ của Đại học Quốc Gia

Hà Nội, t r ư ờ n g Đại học Khoa học tự nhiên, ban chủ nhiệm Khoa Toán-cơ-tin học cùng các đồng nghiệp t ừ 1998 đ ến nay đ ã đ ạ t

c ủ a đề tài có th ể tóm t ắ t như sau:

1 1 M ô h ì n h c h ứ n g k h o á n v ớ i t h ờ i g i a n r ờ i r a c

G iả sử S 7\, s ị , s f j là giá tại thời điểm n của các chứng khoán

loại 1,2, ,d tương ứng và 1 1 = 0,1,2, là các mốc thời gian.

T h ô n g thường các {Sịj, 11=0,1, } là dãy các đại lượng ngẫu nhiên, sự biến thiên của chúng chịu tác động của vô số các nhân

tố ( t ấ t địn h và ngẫu nhiên) của thị trường, v ồ phương diện toán học các dãy ngẫu nhiên đó được xác định trên cùng một không

dòng các <T-đại số các thông tin về thị trư ờ n g t ừ th ời điểm b ắ t

đ ầ u cho đ ế n thời điểm n Thông thường là cr-đại số cảm sinh

bời các Sm , S m \ • ••, Sní với m=0,l, ,n Chẳng hạn khi biết ĩ n

có nghĩa là biết các s ^ , ST 2ri, với mọi m = 0 ,l, ,n

9

Giả sử rằng s í í 1 > 0, Vn = 0 , 1 , i = 1,2, Đặt

/1í:l = l n ( S < ; '| S « 1) , n = 0 , l , Khi đó

síí> = S 0 exp(H<,'>), n > 0; H|;» = x > ' ° ( L 1 )

j = 1

Vì vậy, thay vì nghiên cứu Sr,'1 người ta có thể nghiên cứu tổng

i=l

trong đó hị1'* được gọi là lãi x u ấ t phức hợp.

Đôi khi người ta còn xét các lải xuất chứng khoán

khoán với thời gian rời rạc.

Một trong các vấn đề quan trọng n h ấ t là nghiên cứu các đặc

trưng xác x u ấ t của các qúa trình {Sn, TI = 0,1, } hoặc { h n, n = 1,2, } hoặc {/n, n — 1,2, }(để tiện ta xét một loại chứng khoán

10

và bỏ chỉ số i) Trong các công trình về tài chính ngẫu nhiên người t a đ ã nghiên cứu các đặc trưng xác suất sau.

1) Mô hình nhị thức (Cox-Ross-Rubinstein (1985)), đó là mô

có cùng phân bố mỗi ln chỉ nhận một trong hai giá trị D hoặc u với — I < D < ư và

p {ỉn = U } = P \ P ị ỉ n = D} = q = ì - p - 0 < p < 1 (1.5) 2) Mô hình nhị thức mờ rộng (Nguyễn Văn Hữu, Trần Trọng

Nguyên (2001)): {ln, n = 1,2, } là dãy các biến ngẫu nhiên độc

lập, không cùng phân bố với

phân bố chuẩn N(0,1), còn /X n - 1 và (7U_1 là 3rri_ 1 đo được Như

vậy /zn (cj) có p h â n bố ch u ẩ n có điều kiện.

Hơn n ữ a nếu /zn_! = / i „ - i ( S n_i), ơ-n_! - ơ7l_ i ( S fl_i) thì

và t a gọi mô hình (1.1) với h n(u) cho bởi (1.7) là ĨĨ 1 Ô hình Gauss-

Markov với J n = c r ( S i , s n_i, s„).

Nói chung d ã y { h n}, {ln} là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc.

1.2 T ừ m ô h ì n h t h ờ i g ia n r ờ i r a c đ ế n m ô h ì n h với t h ờ i

g ia n liên tu c

T a hãy xét các dãy chứng khoán { S ^ , n = 0 , 1 , t r ong đó

A là khoảng cách giữa hai thời kỳ liên tiếp, i=l,2, ,d.

Khi đó (1.8) có th ể viết dưới dạng véc tơ :

Giả sử vector lợi suất chứng khoán có thể viết dưới dạng:

Khi đó t a có định lý sau:

Định lý 1.1:

1 Giả sử {gn( u)} là dãy các véc tơ ngẫu nhiên độc lập có cùng

phân bố Gauss m chiều với Epn=0, Var(_ợn) = / m (ma trận đơn vị cấp m) Khi đó nếu A = T / N và đặt

trong đó [a] ký hiệu phần nguyên của số a, thì dãy qúa trình

{ x ị 1 \ o ^ t ^ T } hội tụ theo bình phương trung bình đến

nghiệm của phương trình vi phân (P T V P ) ngẫu nhiên sau:

CÓ phân bố hội tụ yếu trong không gian DịQT} (Không gian

Skorochod các hàm liên tục phài có giới hạn trái) tới nghiệm của P T V P (1.12).

(Định lý 1.1 được chứng minh trong các bài báo của Gard

(1988), K u sh n er (1977); Taylor (1995))

Định lý 1.2 (Nguyễn Văn Hữu, Trần Trọng Nguyên 2001 [1]) Xét

mô hình nhị thức mỏ rộng và t e [0,T] Nếu a(t), b(t), ơ{t) là

13

(iii) (Piu ỉ + Qidỉ ) 2 -> ơ2w

Định lý 1.3 (Nguyễn Văn Hữu[2j) Xét mô hình (1.9), (1.10) Xét

[0,T] và 0 , A , Ì V A là dãy các điểm chia đoạn [0,T] với A = T / N

hàm liên tục trên [0,T], thu được bằng cách nối tuyến tính các điểm

( 0 , S o ) , ( A , S A) , , ( i V A , S nA).

Khi đó nếu {gn(uj)},ĩĩ = 0 , 1 , /V là dãy martingale hiệu với

E [ p n M | 3 n - i ] = 0; Var[gn(á0 |3 n -i] = I n

14-và nếu tồn tại m a trận D cấp d X d xác định dương và các hằng

thì dãy 0 ^ í ^ T } có phân bố hội tụ yếu trong CịorỊ đến

nghiệm của P T V P ngẫu nhiên

tức là {Y ị N , 0 t < T } hội tụ yếu đến qúa trình khuyếch tán { X t,0 k U r }

Người t a còn đ ư a vào qúa trình khuyếch tán có bước nhảy để

mô t ả qúa trình giá các loại chứng khoán dạng:

Giả sử rằng

lnA = Ị 1 A + /r°lA, với n = 1 , 2 , yv = T / A

d S t = s t(ịidt + ơclBt), So đ ã cho (1.18)

Đây là mô hình tư ơng tự với mô hình cổ điển nổi tiếng Black- Scholes

d S t — s t(ụ>dt -f ơ d \ v t), S() đ ã cho (1-19) Tuy nhiên mô hình (1.18) không phải là mô hình Markov như (1.19) m à là mô hình mô t ả bời qúa trình có trí nhớ dài mà người t a rấ t quan tâm trong thực hành.

Việc nghiên cứu các phương trình vi phân với nhiễu phân thứ

B t dạng

dSt = /i(S t)dt + ơ ( S t ) d B t), So đ ã cho (1.20)

16

đ ã được nghiên cứu bởi Trần Hùng Thao, Trần Trọng Nguyên [7], [8], [9], các cán bộ nghiên cứu của đề tài.

thời điểm N chẳng hạn) Ký hiệu u ln là số chứng khoán loại i mà

nhà đ ầu t ư muốn giữ tại thời kỳ n Đặt S n = (S°, s j ị , e

IRÍÍ+1; u 7l = (uị, u ln, u ị ) e Kíi+1, u n được gọi là danh mục đầu

tư Nhắc lại rằng 7 n = c r ( S i , S 7i), n = 0,1,2 , .7V, Jq = (íỉ,0).Việc xác định u n phải dự a trên thông tin về thị trường cho đến thời điểm n-1 Vì vậy t a giả thiết un là 3rJl_ l đo được.

Giá trị hoặc vốn của nhà đ ầu tư tại thời kỳ n ứng với danh

Trong số các danh mục đ ầu t ư người ta cố gắng tìm các danh mục th ỏ a mãn (2.2) nhưng với vốn ban đ ầu v 0 = X là nhổ nhất Dịnh nghĩa: Đại lượng

C ( H ) = i n f { x : 3u, Vq = x\ V'ù > H } (2.4)

đ ư ợ c gọi giá h ợ p lý củ a yêu cầu tài chính H.

Một bài toán quan trọng nhất là định giá yêu cầu tài chính H và

tìm danh mục đ ầ u tư với K0" = C ( H ) và > H Một vấn đề

thường gặp là định giá quyền lựa chọn mua và bán:

Quyền lựa chọn mua (bán) là một hợp đồng mà người giữ nó có quyền, nhưng không b ắ t buộc, mua (bán) một loại cổ phiếu tại

thời điểm đáo hạn N với giá định trước là K

Khi hợp đồng về quyền lựa chọn là hợp đồng mua (bán) người

giữ hợp đồng sẽ mua (bán) cổ phiếu tại thời điểm đáo hạn N , nếu giá cổ phiếu Syv > K, ( S N < K ) , ông ta sẽ được lợi một khoản là

S N - K , ( K - S ^ ) , còn ngược lại khi s,v íC K, (S N ^ K ) , đ ư ơ ng

nhiên ông t a sẽ không mua (bán) vì không thu được gì Như vậy, yêu cầu tài chính của quyền lựa chọn mua là

Hn = m a x ( S N - K , 0) =: (S;V - I < y (2.5)

Yêu cầu tài chính của quyền lựa chọn bán là

Hn = m a x ( K - Syv, 0) =: ( K - s , v ) + (2.6)

Nếu mua (bán) hợp đồng với giá là C ( H ) , ông ta phải có chiến

lược hoạt động tài chính như thế nào đ ấ y sẽ thu được ít n h ấ t

là (Sạt — K ) + hoặc ( K — s v ) f để tr ả cho người giữ hợp đồng (người mua) khi hợp đòng được thực thi Hàm H N = ( S N - K ) + hoặc Hn = ( K — Sw)+ tlnrờng được gọi là hàm chi t r ả (payofF

function).

+ Q u y ề n lựa chọn đối với thời điểm thực thi là thời điểm đáo

18

h ạn đ ư ợ c gọi là quyền lự a chọn loại châu Âu.

+ Q u y ề n lựa chọn đối với thời đ iể m th ự c thi là th ời đ i ể m r b ấ t

kỳ trư ớ c thời điểm đáo hạn N (0 ^ T ^ T) với hàm chi trả

H t — (Sr — K ) + (hoặc H r — ( K — Sr ) + ) được gọi là quyền lựa

chọn mua (hoặc bán) loại châu Mỹ.

Xét danh mục đầu t ư đ ầu tư { u n = ( u° , u f j } rỉ=0 1 /V với

hàm giá trị là V" cho bời (2.1).

Việc mua bán chứng khoán theo các hợp đồng về quyền lựa chọn như trên sẽ tránh cho các nhà đầu tư các rủi ro nghiêm trọng, và đ ây là hình thức rấ t phổ biến ờ Au Mỹ (ở Việt Nam chưa có hình th ức này)

Danh mục đ ầu t ư được gọi là tự điều chỉnh tài chính nếu

tức là ò đ ầu thời kỳ n nếu nhà đầu tư muốn thay đổi dan h mục

đầu t ư của mình thì muốn đầu tư vào tài sản này (chứng khoán này) thì phải giảm đầu t ư vào tài sản khác (chứng khoán khác)

và không bổ sung thêm vốn hoặc rút vốn cho tiêu dùng.

Hàm giá trị của danh mục đầu tư t ự điều chỉnh tài chính (ký hiệu là d anh mục SF=Selffinancing portfolio) được cho bởi

Thị trư ờ n g tài chính được gọi là thị trư ờng không có cơ lợi hoặc thị trư ờng lành mạnh (viable market) nếu không có tồn tại

chiến lược SF (danh mục đ ầu tư SF) sao cho với Vql = 0 nhưng VỊậ > 0 với xác x u ấ t dương Danh mục đầu tư có CƯ lợi (arbi-

trage portfolio) là danh mục không cần vốn ban đầu nhưng vẫn

có th ể có thu hoạch nhờ mua đi bán lại chứng khoán.

Thị trư ờ n g có cơ lợi hoặc thị tnrờ ng không lành mạnh (unvi- able) th ực chất là một cơ chế làm tiền và trong thị trường đó rủi ro của các nhà đầu tư là rất lớn Các quốc gia đều muốn xây dựng một thị trư ờng tài chính nói chung và thị trường chứng khoán nói riêng là các thị trư ờng lành mạnh, có tổ chức, để các nhà đ ầu t ư đ ỡ rủi ro n h ấ t (xem mờ đầu về ” Các phương pháp toán Tài chính” , sách của Nguyễn Vãn Hữu, Vương Quân Hoàng).

T h ị tr ư ờ n g được gọi là thị t n rờ n g đầy đủ nếu với mọi yêu cầu

tài chính HIV > 0 luôn luôn tồn tại danh mục đầu tư u* sao cho

D a n h m ụ c 'U* đ ư ợ c gọi là d a n h 1T1 Ị1 C minimal, theo nghĩa với danh

mục đ ầ u tư u b ấ t kỳ sao cho Vq > C ( H ) thì VỊị >

V/V-Như đ ã chứng minh bởi Jacod và Shiryaev (1998), trừ thị

tr ư ờng nhị thức và nhị thức mở rộng, t ấ t cả các thị trư ờng với thời gian rời rạc là không đầy đủ và trong các thị trường đó không tồn tại danh mục đ ầu t ư với vốn ban đầu tối thiểu và vốn

ò thời điểm N đúng bằng H N

Một trong các vấn đề quan trọng n h ấ t là định giá các yêu cầu tài chính trong thị trư ờng lành mạnh, đầy đủ và không đầy đủ Người t a đ ã chứng minh một kết qủa rất quan trọng để nhận biết một thị trư ờng có cơ lợi hay không như sau:

Dinh lý cơ bán 1 Thị trường tài chính (S °, s ^ , sị) là lành

m ạnh (không có cơ lợi) khi và chỉ khi có tồn tại độ đo Q tương

đư ơ ng với p sao cho giá chiết khấu của các tài sản có rủi ro

20

{Sri = s ị y s ^ , n = 0,1, 2, }; i = l , 2, ,d là các ^ - m a r t i n g a l e đối

với Q.

Đặt S u = (Sn, ,S~) và A/Í(S,P) là lớp các độ đo martingale như vậy, tức là lớp các độ đo Q tương đương với p sao cho s,(

là các martingale đối với Q.

Định lý cơ bản 2 Thị trư ờng tài chính ( S ° , s „ , l à đầy đủ

và lành mạnh khi và chỉ khi y\/í(S,P) chỉ chứa duy n h ấ t một độ

đo Q.

(xem Pliska (1986), Merton (1990); Jacod, Shiryaev (1998)) Với thị trư ờng không đầy đủ người t a định giá yêu cầu tài chính bằng cách sau:

thì { K n ^ r u Q } sẽ là super-martingale với mọi Q G ^ ( S , ? ) , và

luôn luôn tồn tại danh mục đầu t ư ư có tiêu dùng, với mức tiêu dùng là cn sao cho V0Ư — C ( H ) :

ỹ„ = v;; = V ỉ + Y < u j, A Sj > ~ ỵ ; c j / s ° _ t (2.12)

Việc xác định C ( H ) , Vn cho bới (2.11), (2.12) thực chất là phải

giải bài toán điều khiển tối ưu.

Tái tạo yêu cầu tài chính theo tiêu chuẩn trung bình và

21

phương sai.

(Mean-Variance hedging of contigent claim)

Việc định giá yêu cầu tài chính H theo (2.10) và xác định danh mục đ ầu tư với tiêu dùng u thỏa mãn (2.12) là một bài toán rất

phức tạp.

Nếu yêu cầu tài chính Hịsỉ là 3~.v đo được và bình phương khả

tích thì người t a muốn xác định danh mục đầu t ư u = (íV= (uị, u r\, ,uị), n = 0,1, , N) sao cho thu hoạch

N

Gn(u) = < u n , Ã ễ n > , s „ = ( S l ~ X )

n=l

là bình phương khả tích đối với p Đặt H n = H/S%.

Đặt u là lớp t ấ t cả các danh mục đầu tư như vậy Bài toán đặt

ra là tìm vốn ban đầu c* và danh mục đầu t ư u* sao cho

E p ( H - c* - Gjv(u*))2 = min E p ( f ĩ - c - Gjv(u))2 (2.13)

c,u€U

Khi p là độ đo nào đ ấ y thì việc xác định c* và u* là bài toán rất

phức tạp (xem Schwiezer (1996); Shaủ (1994), Nechaev (1998))

Tuy nhiên nếu p là độ đo sao cho {s„, 71 = 0,1, , N } là một martingale đối với p , đặc biệt nếu chọn Q là độ đoG M ( S P ) thay cho p trong (2.13), tức là tìm c*,u*:

E q ( H - c* - G,v(u.))2 = min E q ( / ? - c ~ G,v(u))2 (2.14)

cìueU

thì bài to á n t r ờ nên đ ơ n giản hơn và đặc biệt t a có t h ể sử dụng

phương pháp hồi qui động (dynamic regression method) đ ể xác

định c* và u* (xem Nguyễn Văn Hữu, Báo cáo KH tại HN Toán

học Toàn Quốc 7-10/11/2002 tại Huế), cụ th ể là

c* = E q (H)

22

Như vậy thay vì tìm cực trị (2.14) ta tìm cực trị có trọng số với

2.2 Đ ị n h giá y ê u c ầ u t à i c h í n h t r o n g m ô h ì n h t h i

t r ư ờ n g v ớ i t h ờ i g ian liên tục.

Thị trường tài chính tổng quát gồm d + 1 tài sản với giá là quá

trình ngẫu nhiên d+1 chiều s = (S?, s / , s f , 0 ^ t ^ T ) trong

đó s? là tài sản không có rủi ro với động học

dS°t = s ° r t (u)dt, S°0 = s°, {SỊ,0 ^ t < T } , i = 1,2, là giá của các tài sản có rủi ro sao cho véc tơ

s = ( s ‘, s i í , , s ; ' , o < í < r )

= (SỈ/SÍ1, s ỉ / s ? , , s ; V s ? )

là m ột m a rti n g a le xác đ ị n h trẽn cùng m ộ t cờ sờ n g ẫ u nhiên

( n , f , f = p l l l ) < K Ĩ ’) , P ) Danh mục đ àu t ư là véc t ơ khả đoán đối với lọc F:

u = ( ự t í u l , , u ỉ ) , 0 ^ t ^ T )

23

và hàm giá trị của danh mục đầu t ư 11 là :

T h ị t r ư ờ n g đ ư ợ c gọi là không có cơ lợi (hoặc lành m ạ nh) nếu

không tồn tại danh mục đầu tư có cơ lợi, tức là danh mục 11 sao cho

Vq = 0, V j > 0 với xác x u ấ t dương.

Kết qủa cơ bản của lý th uyết tài chính là đêư kiện M ( ầ , P ) ^

0, trong đó A 4 ( S , P ) là lớp các độ đo Q ~ p sao cho s là (F, Q ) —martingale, là điều kiện cần và đủ để thị tn rờ n g là lành mạnh.

Thị trường được gọi là đầy đủ nếu với mọi yêu cầu tài chính

H j là đo được, tồn tại danh mục đầu t ư u với vốn ban đầu

tối thiểu sao cho Vị1 = H T Khi đó yêu cầu tài chính H r được

gọi là luôn đ ạ t được.

Điều kiện cần và đủ đ ể thị trường tài chính s = (Sữ t, s j , s f , 0 ^

t ^ T ) là thị trư ờ n g không có cơ lợi và đầy đủ là A Í ( S , P ) chỉ

định giá yêu cầu tài chính bời

Với vốn ban đ ầ u C ( H ) luôn luôn có tồn tại danh mục đầu t ư minimal u*, giá trị chiết khấu của danh mục đ ầu t ư đó cho bời

K ' = v tu' / s °t = e 5 5 - s u P P Q e M ( s , p ) E Q ( ^ S ?’ 7 ^ ) ( 2 -2 0 )

Q ú a trình ( ỹ / 1*, 0 ^ t ^ T) là F Q - s u p p e r m a r t i n g a l e đối với mọi

Q € M ( S , P ) Hơn n ữ a với danh rnuc đ ầu t ư đó có ứng với một

qúa trình tiêu dùng có chiết khấu (Dí, 0 ^ t ^ T ) sao cho

Xem Volkov (1998).

Việc định giá yêu cầu tài chính H đối với mô hình thị trư ờng với nhiễu phân t h ứ cho bời (1.18) hoặc (1.19) vẫn là vấn đề chưađược quan tâm.

Một trong các vấn đề được nhiều tác giả quan t â m là vấn đề định giá các yêu cầu tài chính có ràng buộc.

Xét thị trư ờng tài chính khuyếch tá n cho bồi (2.18) và xét

danh mục đ ầu tư (ut = (u(Ị , u ị , .,u(Ị ) , 0 ^ t ^ T), trong đó u\ là

số chứng khoán loại i được giữ bời n h à đ ầ u tư Khi đó hàm giá trị (tài sản) ứng với danh mục u là :

Chẳng hạn yêu cầu n ị > 0, 0 ^ t ^ T (Không bán khống (no

sliort selling)) cổ phiếu loại i.

Trong trư ờng hợp này thị trường là không đ ầ y đủ và việc định

giá yêu cầu tài chính trong t r ư ờ n g h ợ p n à y đ ư a đ ế n giải q u y ết bài

toán điều khiển ngẫu nhiên tối ưu (xem Nguyễn Văn Hữu, Báo

2.3 Đ i n h giá y ê u t à i c h ín h k h i có chi p h í g iao dịch.

Trong việc nghiên cứu thị trường tài chính hiện thực, mọi việc

m ua đi, b án lại các chứng khoán đều phải t r ả các phí tổn (chi phí giao dịch) Ngay cả đối với thị t r ư ờ n g đ ầ y đủ , n h ấ t là thị trư ờng với thời gian liên tục, để đ ạ t yêu cầu tài chính với danh

mục đ ầu t ư (tií,0 ^ t ^ T ) người ta phải th ự c hiện m ua đi bán

lại một cách liên tục các chứng khoán Vì vậy chi phí giao dịch

26

có th ể bằng oo và khi đó không thể có danh mục đ ầu t ư hiện

th ự c nào đ ạ t được yêu cầu tài chính đ ã xác định.

Việc định giá yêu càu tài chính khi có chi phí giao dịch, chẳng hạn chi phí đó bằng

Với trư ờ n g hợp thời gian rời rạc ta có bài toán tương t ự

Chúng tôi mới chỉ quan tâm và tìm hiểu vấn đề này.

2.4 Q u ả n lý d a n h m u c đ ầ u t ư đ ể tố i ư u m ô t h à m lơi ích n à o đ ấ y

Về m ặt ứng dụng việc quản lý danh mục đầu tư một cách tối

ưu được nhiều nhà kinh tế rấ t quan tâm Đề tài này cũng nghiên

cứu khá năng ứng dụng của vấn đề Iiày vào th ực tế ờ Việt Nam.

2.4.1 Q u ả n lý d a n h m u c đ ầ u t ư t h e o p h ư ơ n g p h á p

p h â n t í c h t r u n g b ì n h v à p h ư ơ n g sai ( m e a n - v a r i a n c e a na ly- sis) c ủ a M a r k o w i t z

X é t d ãy các giá chứng kh oán đ ư ợ c xác đ ị n h bời dãy các lợi su ấ t

à 71- 1

27

Giả sử { R n , n — 1, 2, } là dãy dừng có vector giá trị trung bình

và m a trận hiệp phương sai là :

E R n = ị x\ var{Rn) = D = (ơij)iìj=K"4

Giả sử n = ( r i i , n ri) là danh mục đầu tư trong đó rij là tỷ lệ vốn đ ầu t ư vào chứng khoán th ứ i, rii + + n,j = 1 Khi đó lợi suất của danh mục n tại mỗi thời kỳ là

i j = l

Người t a mong muốn tìm m ột d a n h mụ c đ ầ u t ư n sao cho lợi

s u ấ t trung bình E R n ( n ) = m đ ã cho, còn rủi ro v a r R n ( n ) là nhỏ

n h ất, hoặc với độ rủi ro đ ã cho lợi suất trung bình là lớn nhất Như vậy là phải giải bài toán cực trị có ràng buộc sau:

ị v a r R n ự ỉ ) — ĨIDY\ T — > min

^ni + + nd = 1

Lời giải của bài toán này được cho bời công thức sau:

Giả sử D là xác định dương, /1 Ỷ ^ e ; e — (1,1, 1) Khi đó danh mục đ ầu t ư tối ưu là:

2 8

+ Với cùng m* > 777-0 đ ã cho, danh mục r r cho bời (3.4.5) sẽ cho

ơ"(n*) < ơ(ĩỉ), so với mọi danh mục n khác.

+ Nếu 777.0 < r nhà đầu không thích mạo hiểm nên đ ầ u t ư vào

thị trư ờng tiền tệ với lãi suất r.

Giả sử có thị trư ờng tiền tệ với lãi suất r và thị trường vốn với vector lợi suất là R — ( R l , R d) và nhà đ ầ u tư có thể giành

29

một phần vốn đ ầu tư vào thị trường tiền tệ phần còn lại vào thị trư ờ n g vốn Khi đó danh mục đầu tư sẽ đư ợ c xác định bởi

n — (n0, nrf); n0 + rii + + n (/ = 1 hoặc

d

n = ( i - ^ n , - , n „ , n rf)

1= 1với rij tùy ý

Lợi s u ấ t ứng với danh mục đầu tư n là

R( n ) = n 0r + ĨI\ R\ + + n dRd R{ĩ l ) có kỳ vọng và phương sai là:

Ơ2(ĨI) = UDĨ Ỉ r — > min

Bài toán có nghiệm duy n h ấ t là

không phụ thuộc vào m

Giả sử nhà đầu tư đầu t ư với tý trọng ĨIq vào thị trư ờng tiền

tệ và 1 — n* vào thị trường vốn Hơn nữa tỷ trọng vốn đầu tư

vào chứng khoán th ứ ỉ là

n* = n°eĩ

với et = (0, 1,0, ,0) là vector đơn vị th ứ I.

Xét một qủy hỗ trợ VỚI lợi suất

với trung bình và phương sai là

Định lý tách: Giả sử D là ma trận xác định dương và ịi Ỷ ^ e > 0 <

r < m,{) Bài toán chọn danh mục đầu tư tối ưu cho một nhà đầu

t ư tách làm hai phần: Đầu tiên xác định danh mục đ ầu t ư tối ưu

n° trong thị t rư ờ n g vốn (tương đương với việc xác định qũy hỗ trợ với lợi s u ấ t trung bình /i° và độ rủi ro <T°), danh mục này chỉ

phụ thuộc vào các th am số Ị 1 và D của thị trường này Sau đó

cần đ ặ t một phần vốn vào thị trường tiền tệ phần còn lại vào thị trư ờng vốn với tỷ lệ tùy thuộc vào sự mạo hiểm của nhà đầu tư.

Định lý về định giá tài sản vốn (Capital asset pricing theory):Với

3 ^

các giả thiết của định lý trên ta có

C h ú t h í c h : fiị — r được gọi là p h ần đền bù rủi ro cho chứng

k h oán t h ứ i còn /io — r là p h ầ n đền bù rủi ro cho thị t r ư ờ n g vốn

Như vậy phần đền bù rủi ro chứng khoán th ứ i tỷ lệ với phần

đền bù rủi ro cho cả thị trường vốn.

Hệ th ức (3.4.18) có thể dễ dàng thu được từ hệ thức (3.4.16)

T h ậ t vậy, (3.4.18) có thể được viết: với /3 = ( P i , Ị 3 ( i ) có

II °D

ụ, - re = ( f i Q- r)P = (no - r ) 0r ° (3.4.16)

Ta cũng có thể nhận được kết qủa tư ơng tự cho mô hình thị

tr ư ờng loại khuyếch tán sau đây:

T ài sả n không rủi ro với lợi s u ấ t r, tức là tài sản 5’Ị3 có

d SĨ = rS?dt

d tài sản có rủi ro với vector lợi suất (Rị — ( R ị , R ị ) , 0 > t),

trong đó

(ỈSỊ d

dRi = ỊẦịdt + o ; jd\'Vj(t)

J — L

n(í) = (n0(í),n1(t), ,nJ(í))

là dan h mục đ ầ u tư trong đó rio(í), r i i ( í ) , l à tỷ lệ vốn

đ ầu t ư vào tài sản không rủi ro và chứng khoán loại 1, d tương

ứng.

33

Khi đó động học của tài sản v n (t) của nhà đầu tư ứng với danh

giữ bời nhà đầu tư'

T ừ đó suy ra rằng nếu thay u ị s ị — Ul( t ) V u (t) vào (3.4.20) ta

thu được

d dVỊ' = vtn(rn°(t)dt + ^2lV{t)dR,(t))

Đề tài đ a n g nghiên cứu việc áp dụn g lý t h u y ế t này trong thị

t r ư ờ n g chứ ng kh oán ờ Việt Nam.

35

B BIÊN SOẠN SÁCH: s ấ p xuất bản c u ố n

"Các phương pháp toán trong tài chính" của Nguyễn Vãn Hữu và Vương

Quàn Hoàng (đã có giấy phép xuất bản của nhà Xuất bản Đại học Quốc gia

Hà Nội).

c ĐÀO TẠO.

"Một số vấn đề về phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ và ứng dụng trong tài chính".

Luận án đã bảo vệ thành công ở cấp cơ sở (Viện Toán, Trung tâm Khoa

dịch chứng khoán ở Thành phô Hồ Chí Minh, do cung ít, cầu nhiều nên lợi

suất chứng khoán luôn luôn là 2% sau một phiên giao dịch, không có biên độnơ (ơiá chứng khoán bị khống chế nhưng luôn đạt giá cao nhất), nên thị trườnơ như vây là thi trường không lành manh (có thu lợi nhơ chenh lẹch gia chứng khoán khi mua được) Lý thuyết Toán tài chính không thể áp dụng cho

thị trường như vậy.

Trong 1 năm gần đây, đã có nhiều công ty tham gia thị trường tỷ lệ cung/ cầu đã gần càn bằng, sư thăng giáng giá chứng khoán đã thê hiện tinh ngâu nhiên của thị trường (xem bài [5], nên thị trường có dấu hiệu lành mạnh (tức

là nơi các nhà đầu tư có cơ hội đầu tư và các công ty có điều kiện huy động

36

vốn), các phương pháp toán trong tài chính có thể phát huy hiệu lực trong việc phân tích thị trường Trong thời gian tới chúng tôi sẽ đưa ra các phương pháp

để dự báo ngắn hạn tỷ giá của Việt Nam đồng/ USA, chắc chắn sẽ rất có ích ưong các hoạt động xuất, nhập khẩu và kinh doanh.

Các công trình nghiên cứu ứng dụng vào thị trường chứng khoán Việt Nam tập truns chủ yếu vào các lĩnh vực sau:

1- Sử dụng phương pháp phân tích chuỗi thời gian để nghiên cứu mô hình lợi suất chứng khoán ( xem [15]).

2- Quản lý tối ưu các danh mục đầu tư trong thị trường chứng khoán Việt Nam (xem [11], [13], [15]) Đáng tiếc rằng trong giai đoạn đầu của thị trường chứng khoán Việt Nam véc tơ lợi suất chứng khoán (Rn, n = 1, 2 } gần như suy biến, nên phương pháp Markowitz không áp dụng được.

3- Nghiên cứu hệ số biến động giá, hệ số này đặc trưng cho độ rủi ro của các loại chứng khoán và phát hiện thấy giá các loại chứng khoán có hệ số biên động ngẫu nhiên rõ rệt (xem [5]).

4- Nghiên cứu sử dụng phương pháp hồi qui và phân tích chuỗi thời gian

để dự báo sự lên xuống của tỷ giá VN đổn^/ƯSD.

Hy vọng các công trình ứng dung đó có thể có ứng dụng khả thi vào thị trường tài chính Việt Nam.

37

PHỤ LỤC CÁC BÀI BÁO

Các bài báo nghiên cứu:

[ 1 ] Nguyen Van Huu, Tran Trong Nguyen

On A Generalized Cox - Ross - Rubinstein option market model ACTA Mathematica Vietnamica, Vol 26, No2, 2001, pp 187-204

(Báo cáo mcii tại tiểu bản xác suất thống kê).

Hội nghị Toán học Toàn Quốc, Huế, 7-10 tháng 9.2202

[3] Nguyễn Văn Hữu v ề định lý biểu diễn Martingale và đảm bảo yêu

cầu tài chính theo tiêu chuẩn bình phương trung bình.

Báo cáo tại Hội nghị Toán học Toàn Quốc, Huế, 7-10- tháng 9.2002

Proceedings of the second National conỉerenee on Probability Statistics, Research, Applications and Training pp.61-65.

Conđitional Heteros^kedasticity in stock Retums

Empirical Evidence on Vietnam s Markct to appear.

[6] Tran Trong Nguyen - Dang Phuoc Huy

Anote íractional stochastie verhulst equation With Small Perturbation Sochcuv Joumal of Mathmatics

Vol-28, Noi, pp 57-64, 2002

(Sochovv Ưniversity, Taipei, Taivvan, Republie oí China)

[7] Tran Hung Thao, Tran Trone Nguyen

Fractal Langevin Equation

Vietnam Joumal of Mathematics, 30.1 (2002) 89-96

[8] Tran Hung Thao A First step for an approximate approach to

Fractional stochastie Dvnamies.

[9] Tran Hung Thao A note on frational Brovvnian motion to apper

'l G

3 Ồ

[10] Trần Hùng Thao Vài nét về giải tích ngẫu nhiên phàn thứ (pp.242-

Các bài giảng trong trườns thu "Các phương pháp Toán trong tài chính"

[12] Hoàng Xuân Huấn: "Khai thác dữ liệu trong tài chính"

[13] Vươns Xuân Hoàng: "Tối ưu hoá Portíolio Markowitz-Sharpe: thị trường

chứng khoán Viêt Nam sau 8 tháng hoạt động.

(Tạp chí Nghiên cứu Kinh tế số 276, 5(2001, pp 19-28).

[14] Vương Quân Hoàng: Vận động lý thuyêt tài chinh Toán thê kỷ XX.

[15] Hoànơ Đình Tuấn Sử dụng mô hình chuỗi thời gian trong phân tích động

thái giá chứng khoán.

39