Kovats: On Bwar ia te Gtoĩìietric Coiiipoundvfiy.. TAP CHÍ KHOA HOC DHQGHN, KHTN.
Trang 1V N U J O U R N A L O F SC IE N CE Nat Sci t X V , n ° 5 - 1999
O N T H E S T A B IL IT Y O F A C H A R A C T E R IZ A T IO N
O F E X P O N E N T I A L D I S T R I B U T I O N
B Y G E O M E T R IC C O M P O U N D I N G
Tran K i m Thanh
Depar tment o f M ath em ati c College o f Sciences, University o f Hue
I IN T R O D U C T IO N
independent of X j , j = 1 ,2 , with geomet,ric distribution, i.e.,
P { V = k) = k - 1 , 2 , ( 0 < p < l , q - I - p).
OĨ X f ,
T h e n otatio n Gp(.r) will mean P { p Z < x); the n o tatio n ự>pz{t) will m ean F q { x )
a n d ^ o { f ) w ill d e n o t e d is tr ib u t io n fu n c tio n a n d c h a r a c te r is tic f u n c tio n r e s p e c t iv e ly o f th e
e x p o n e n t i a l (listiilMition In [4], Renyi characterized t he e x p o n e n t i a l d is tribut ion proving
rh(' follovviiifi, assei tioiis;
(i) /» n p -.o ỡ „ (,r) = e - '' ; (Gp(,r)-= P { p z > x)),
(i i ) G',,(./■) = F ( r ) F ( t ) = e ~ ' ' ; ( F ( x ) = 1 - F( r } }
In [2], we e s tim a te d the stable (iegipp of this characterization in the case of the
(listi ihutioii fuiiclioii F(.r) beiiifj f - ('xpoiipntial, i.e., 3 T ( f ) > 0 , T ( f ) 0 when f —> 0 such that
w ith m etrics
A ( F i, Fz) = mm m ax { m ax ị I - <p 2 {ty, ỹ } ,
p ( F i , F 2 ) = sup I F i(.r) - F2(.t)
;r
respectively
51
Trang 252 Tr'an Kirn T ha n h
In 1ỈŨS pupi'i W ( ' shall <‘ousi(l('i tli(' 8ta!)iiit\ of Hi'iiyi's cliararti'i ization ill tho vixsv
of th e distrii)utioii function Gp(.r) hi'iiift (- (‘xpoiK'iitial i.e 3 T( ( ) > i ) T(f ) - * 0 wlu'ii
—» 0 s u c h t h a t
w ith the uuifonn inetrif p.
2 STA BILITY T H E O R E M S
L e m m a
a) z HÌKỈ ]).z liHve t h e f inite Iiỉonicỉit o f Hist d eg r e e
c)
E Z = - , E{-pZ)==ni.
V
P-AP-') , ^ n
f \ / 1 e R.
<r 7 / /
Proof:
a) We have:
E Z = E[E(Z\v)] = E [iY^ -A )/{r .A }(-')1
k—i
" 7 '
~ 1
o c
k=^\
A-]
dq 1 - q
Hence, wo get (1)
b) By a similar way, it follows th at
v ) ] ^ E [ Ỷ ^ E { é ^ ^ \ v = k - I { v = k ) ụ ) ]
k=i
( 1 1 ) )
(1)
(2 )
(3)
? v ( 0
1
-Hence:
So, we get (2)
c) It is easily seen th a t
Trang 3O n the s t a b i l i t y o f a c h a r a c t e r i z a t i o n o f e x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n by 53
Therefore, wo get th e following estim ation;
( 4 )
I - 1 I =1 / (e*'" - l ) d F { x ) \< Ị I e*'" - 1 i d F{ x )
- U I / I I d F{ x ) = m I ^ I, V Í 6 i?,
' —oo
T h e o r e m 1 I f \ - ^Q(f) |< V / :| Í |< T f for 0 < f < p / q and for som e T > o)
theii we hiive
ự>{t) - <
p - Q f Proof:
Denote: r(t ) =
Ir follows readily from the hypothesis th a t
( 5 )
/■(/) < <= V t : t
(f-From (2) we have
p + (l-ppzi' i/p)
riieirloK', fVoni (7) we ftct tlic fbllowiiifi, (>stiinatioiiti
( 7 )
P + Q<^pz{u/p) 1 - i u
= i ( p ~ ' ^ 0 ^ pz { i i / p) - p
' (1 - / / / ) ( / ; -f- q^pz {i i / p) )
( P - u i ) r { i i / p )
‘Ppz j u/ P) - ỉu '^ p z {u /p ) - p - qựĩpz{u/p}
(1 - iu ) { p + qtpj,z{u/p))
r ỳ i / p ) + ự’o { i i / p )]{p - i u) - p
(1 - ni ){p + qự)j,^ịu/p))
[P - Iii).r(ii/p) _ p - ill I I r { u/ p) I I r{ii./p)
Consequently,
, y II e R.
I> + Q ' p p z i i i / p ) I
Notice t h a t I V |> I i i a x { | Isz/i u |, I ỉíĩr' /’ 1} for any complex uunib(n' u 6 c. Hence,
(8)
Trang 454 Tĩ u n K i m T h a n h
p + q^pz{i i / p) 1 = 1 V + (''//')] 1 = 1 l> + + Y
( i r ( i i / p ) \ = + ' / ' ■ ( " / / > ) +
>
-( < ■ + + 'Pf'M + , - ^ ị = Ị< ' + , 7 ^ + ')
> p + - í/ I íĩe r(í///í) |> p - (Ị I ?ỉr r ( ////0 |> /í - (Ị.^ > 0 V II :| // |< Ị ) ' ỉ .
p- +
Conspquoiitly.
By (8) a n d (9) we got
\ p + (I^pz{!i / p) i
T h is completes th e proof of Tiieoieni 1 Ộ
T h e o r e m 2 A s s u m e tiiat Gp(:r) is f - exponential distribution fmiction with the niiinhei
T ( f ) III ( l b ) satisfying t h e coiưlitivii T( f ) = 0 { f “ ) for s o m e Í* > 0 ( when f —> 0) ĩ h e i i
we hfive
p i F F o ) < - h ' j e l u f , ( l Oj
w h e r e 0 < f < i n i n { l , 2 } ỉìiici K ị > 0, ỉ <2 > 0 aje c o n s ta n t niiinijers in d e p e n d e n t o f f
P r o o f :
E ssen ’s inequality (s(H* [3]) with T = />.T(f) \V(‘ i^('t the folluwiiii; <‘stiinatiou:
■ p T ( ^ )
■supx I F 0 ( x )
np T{f ) <
ịí|<í
< -[>^1 + J 2 ] H -7^
d t + /
J 6 < \ t \ < p T { t )
, \ f 6 - 0 < 6 < p T { f )
■np.T{(
(11)
W h e re
ự>ự) - dt- h= Ị W ) - ¥>0(0
t
./é<lf|<p.T(í)
dt.
Trang 5O n the s t a b i l i t y o f a character'izatiort o f e x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n by ,
In order to e stim ate J i , we put
(it.
55
Using L em m a above, it yields
Jj* < in / df = 2 Ố.ÌĨÌ,
J\t \< 0
ThoK^fore,
J\ ^ 4" J 2 ^ 2Ố(1 -f" /nj
O n the o th e r iiand, according to Theorem 1, we have
(1 2)
1 , 2f d t
(If =
p T { f
Choosing Ò ~ with f3 > n i a x { l , a } , we ger
p
-ỉì\ (11), (12/ Hiitl (Ỉ3) it follows ĩiiHí
2 f
In
Li^l - /v > 0 w l u ' i i f — 0 TIk'u for suffici(‘nt Iv isniall e W(' hav(’
(1-3)
(14)
A t t u u ỉ i i i ^ Iw tin - liVJ^ot In riib 7 ’ ( ) - ()(r I W f hclV(^ 7’(t } — ĩ \ {t ) t , vvlltr'if h { f ) ~
f hi ' = f In K( f ) - (a + fj)f hi f < - f 111 f - ( a + /j)f In f
' I / nị p - qe) < 3(7T/;) (for sufficiently small f).
Since K (f) h > 0(f —* U) then K{ f ) > ~ (fof suffifiently small f_) Consequently,
B y (14), (15 (16) and (17) we get the followinj^ ('Stiiiiarioii
p ( t \ F q ) = - ( 1 +
= A 'l.f" - /v>.f lii.f,
3( a + + 1)
■ f - - • f In f
n p
Trang 6where A'l = ^(1 + m) + * 7T ' ' 7T p h > 0; /v, =: 7T/> > 0.
The proof of Tiu'oi'i'in 2 is (‘oiiipl(‘t<Hl Ộ
- tends to 0 whiMi f —» 0,
- is the same degree as if 0 < a < 1,
- is t h e s a m e ( l e g r o e a s e l i i f , i f (\ > I.
r e f e r e n'cp:s
1] A Kovats: On Bwar ia te Gtoĩìietric Coiiipoundvfiy Proceeding uf th e 5tli P aaiiouiau
Sump On M ath S tat Visegrad, H u ngary 1985
[2] Tran Kim T h a n h and Nguyen Huu Bao; O n th e Geom etric Com posed Variable and
the E stim ate of thi^ Stable Degree of the Reiiyi’s C h aracteristic Theorem , Ac ta Math
Vietnarnica Volume 21 2(1996) pp 269-277
3j A.M Kagan Ivi.V Liiinik, S.R.Rao Cham cte ris tt c Problems o f Mathernatical sta-
tisUcs Moscow 1972.
4] A Renyi A C h aracterizatio n of the Poissoii piocoss Magyar Tad Akad Mat
Kut Int Koz 1(1976), 519-527.
TAP CHÍ KHOA HOC DHQGHN, KHTN t.x v - 1999
VỀ T ÍN H ON ĐỊNH CỦA M Ộ T Đ Ặ C T R Ư N G PH A N P H O I MỦ
B Ở I V IEC P H Ứ C H Ơ P H ÌN H HOC
T r a n K i m T h a n h
Gi ả si r X i , X - 2 , l a c á c b i ế n n g ẫ u nhiíMì k h o n i ; ả m đ ộ c l ậ p c ù n g p h ả n p h ố i , c ó k ỳ
v ọ n g hữu hạn v à giả s ử là hiốn n g ẫ u :lộc lạp vứi ĩ ấ í rả các biến X ] X 2 , và có
p h ả n p h ố i h ìn h h ọ c t h a m s ố p
Biến z = X i ^ - h X y đ ư ợ c gọ.i là biến p h ứ c h ợ p hình học của các biến X \ , X 2,
Renyi ([4]) đ ả chỉ ra ph ản phối m ũ c ủ a p Z là đ ặ c trxrng cho việc các X j có phản
phối mủ
Tiong [2] tính ổn đ ịn h cửa kết q u ả trê n đ ả đ ư ợ c xét khi X \ có p h â n phối f - mũ với các metric A và p.
Trong bài báo này chúng tòi đ ã xét tín h ổn đ ịn h của kết qìiả trên c ủ a Renyi khi
p z có p hân phối e - m ũ với metric p.