Một số khái niệm cơ bản trong đại số von neumann liên quan đến xác suất không giao hoán

Đại học quốc gia Hà Nội trường đại học khoa học tự nhiên --- Nguyễn Thị Thu Quyờn Một số khái niệm cơ bản trong đại số von neumann liên quan đến xác suất không giao hoán Luận văn th

Đại học quốc gia Hà Nội

trường đại học khoa học tự nhiên

-

Nguyễn Thị Thu Quyờn

Một số khái niệm cơ bản trong đại số von neumann

liên quan đến xác suất không giao hoán

Luận văn thạc sĩ khoa học

Hà Nội – 2013

Đại học quốc gia Hà Nội

trường đại học khoa học tự nhiên

-

Nguyễn Thị Thu Quyờn

Một số khái niệm cơ bản trong đại số von neumann

liên quan đến xác suất không giao hoán

Chuyờn ngành: Lý thuyết xỏc suất và thống kờ toỏn học

Mó số: 60 46 15 Người hướng dẫn: PGS.TS Phan Viết Thư

Luận văn thạc sĩ khoa học

Hà Nội - 2013

MỤC LỤC Trang

Mở đầu 3

Chương 1 Đại số Banach, đại số C*

, đại số von Neumann 6-11

Chương 2 Một số khái niệm cơ bản của đại số von Neumann dùng

trong xác suất không giao hoán-hay xác suất lượng tử

12-38

2 1 Mở đầu, hoán tập,hoán tập bậc hai- Định lý cơ bản của von

Neumann, không gian con A-bất biến

12

2.2 Phiếm hàm tuyến tính dương, biểu diễn GNS, trạng thái thuần túy

và biểu diễn bất khả quy

2.6 Các lớp toán tử Hilbert – Schmidt và toán tử – vết, tiền đối ngẫu

của đại số von Neumann

26

2.7 Phiếm hàm tuyến tính dương chuẩn tắc, vết, phép metric hóa của

topo mạnh trong hình cầu đơn vị của đại số von Neumann

31

Chương 3 Xác suất không giao hoán 42-57

3.1 Nhắc lại một số khái niệm cơ bản trong xác suất cổ điển 42

3.2 Các không gian xác suất không giao hoán 43 3.3 Một số dạng không gian L pkhông giao hoán 47

MỞ ĐẦU

Luận văn nhằm giới thiệu những khái niệm cơ bản của đại số von Neuman và xác suất không giao hoán, đây là những khái niệm ra đời từ cơ học lượng tử, vì vậy ta có thể coi xác suất không giao hoán là xác suất lượng tử

Cơ học lượng tử là một lý thuyết cơ học, nghiên cứu về chuyển động gần với vận tốc ánh sáng và các đại lượng vật lý liên quan đến chuyển động như năng lượng và xung lượng, của các vật thể nhỏ bé, ở đó lưỡng tính sóng hạt ( tính chất sóng và tính chất hạt) được thể hiện rõ Lưỡng tính sóng hạt được giả định là tính chất cơ bản của vật chất, chính vì thế cơ học lượng tử được coi là cơ bản hơn cơ học Newton vì nó cho phép

mô tả chính xác và đúng đắn rất nhiều các hiện tượng vật lý mà cơ học Newton không thể giải thích Quan điểm về xác suất được sử dụng rất nhiều trong cơ học lượng tử bởi

vì theo nguyên lý Heisenberg ta không thể xác định chính xác đồng thời vị trí và vận tốc của hạt vi mô, không xác định được quỹ đạo của hạt chuyển động Thế nên người ta tìm cách tiên đoán xác suất để chúng ở trong một miền xác định nào đó

Cơ học lượng tử được hình thành vào nửa đầu thế kỷ 20 do Max Planck, Albert Einstein, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger, Max Born, John von Neumann, Paul Dirac, Wolfgang Pauli và một số người khác tạo nên

Có nhiều phương pháp toán học mô tả cơ học lượng tử, chúng tương đương với nhau Một trong những phương pháp được dùng nhiều nhất đó là lý thuyết biến đổi, do Paul Dirac phát minh ra nhằm thống nhất và khái quát hóa hai phương pháp toán học trước đó là cơ học ma trận (củaWerner Heisenberg) và cơ học sóng (của Erwin

Schrödinger)

Theo các phương pháp toán học mô tả cơ học lượng tử này thì trạng thái lượng tử của

một hệ lượng tử sẽ cho thông tin về xác suất của các tính chất, hay còn gọi là các đại

lượng quan sát (đôi khi gọi tắt là quan sát), có thể đo được Các quan sát có thể là năng

lượng, vị trí, động lượng (xung lượng), và mô men động lượng Các quan sát có thể là liên tục (ví dụ vị trí của các hạt) hoặc rời rạc

Nói chung, cơ học lượng tử không cho ra các quan sát có giá trị xác định Thay vào

đó, nó tiên đoán một phân bố xác suất, tức là, xác suất để thu được một kết quả khả dĩ từ một phép đo nhất định

Trong các công thức toán học rất chặt chẽ của cơ học lượng do Paul Dirac và John von Neumann phát triển, các trạng thái khả dĩ của một hệ cơ học lượng tử được biểu

diễn bằng các véc tơ đơn vị (còn gọi là các véc tơ trạng thái) được thể hiện bằng các hàm

số phức trong không gian Hilbert (còn gọi là không gian trạng thái) Không gian trạng

thái của vị trí và xung lượng là không gian của các hàm bình phương khả tích Mỗi quan

sát được biểu diễn bằng một toán tử tuyến tính Hermit xác định (hay một toán tử tự liên

hợp) tác động lên không gian trạng thái

Các nguyên tắc cơ bản của cơ học lượng tử rất khái quát Chúng phát biểu rằng không gian trạng thái của hệ là không gian Hilbert và các quan sát là các toán tử

Hermit tác dụng lên không gian đó

Cơ học lượng tử hiện đại được ra đời năm 1925, khi Heisenberg phát triển cơ học ma trận và Schrödinger sáng tạo ra cơ học sóng và phương trình Schrödinger Sau đó,

Schrödinger chứng minh rằng hai cách tiếp cận trên là tương đương

Heisenberg đưa ra nguyên lý bất định vào năm 1927 và bắt đầu vào năm 1927, Paul Dirac thống nhất lý thuyết tương đối hẹp với cơ học lượng tử Ông cũng là người tiên phong sử dụng lý thuyết toán tử, trong đó có ký hiệu Bra-ket rất hiệu quả trong các tính toán như được mô tả trong cuốn sách nổi tiếng của ông xuất bản năm 1930 Cũng vào khoảng thời gian này John von Neumann đã đưa ra cơ sở toán học chặt chẽ cho cơ học lượng tử như là một lý thuyết về các toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert Nó được trình bày trong cuốn sách cũng nổi tiếng của ông xuất bản năm 1932 Các lý thuyết này cùng với các nghiên cứu khác từ thời kỳ hình thành cho đến nay vẫn đứng vững và ngày càng được sử dụng rộng rãi

Không gian xác suất không giao hoán mà chúng ta sẽ đề cập là một cặp ,trong

đó là một đại số von Neumann (trên một không gian Hilbert khả ly), và phiếm hàm tuyến tính liên tục yếu :    biến đơn vị thành đơn vị, gọi là vết thỏa mãn:

1 có tính dương:  X 0 nếu X là phần tử không âm, tức là X = Y * Y;

2 trung thành: X *X 0 khi và chỉ khi X = 0;

3 có tính vết: (XY) =  (YX)

Mối liên hệ của ý tưởng trên với "xác suất" được thông qua bởi định lý cơ bản sau:

Với mỗi phân tử tự liên hợp X   , luôn tồn tại độ đo xác suất Borel

Như vậy ta có các khái niệm xác suất không giao hoán tương ứng:

- đại lượng quan sát A   : đại lượng ngẫu nhiên (không giao hoán);

- trạng thái : kì vọng, có tác dụng xác định phân phối;

- đại số von Neumann được trang bị trạng thái  thỏa mãn (1-2-3): không gian xác suất (không giao hoán)

Nội dung của luận văn gồm ba chương:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức bổ trợ cho chương 2, bao gồm các định nghĩa, ví

dụ và các tính chất cơ bản cũng như mối quan hệ giữa ba dạng đại số định chuẩn: Đại số Banach, đại số C*

và đại số von Neumann.

Chương 2: “Một số khái niệm cơ bản của đại số von Neumann dùng trong xác suất không giao hoán - hay xác suất lượng tử ”

Chương 3: Trình bày về xác suất không giao hoán, trong đó nhắc lại một số khái niệm

cơ bản trong xác suất cổ điển và từ đó tiếp cận một cách tổng quan các kết quả về các không gian xác suất không giao hoán, không gian L không giao hoán cho đại số von P

Neumann; ngoài ra là định nghĩa và một số kết quả về đại số L, , ,F  A, đại số giao hoán von Neumann cũng được giới thiệu trong chương này

Hoàn thành được luận văn này, trước tiên tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người hướng dẫn khoa học của mình là PGS.TS Phan Viết Thư, người thầy đã đưa ra đề tài và tận tình chỉ bảo, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn Đồng thời tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô thuộc khoa Toán – Cơ – Tin học, Bộ môn Xác suất thống kê, Phòng Đào tạo, Phòng Sau đại học – trường ĐHKHTN – ĐHQGHN và các thầy cô bên Viện Toán học đã tận tình giảng dạy và rèn luyện cho tôi trong suốt thời gian tôi học tập, nghiên cứu tại trường

Cuối cùng, do khả năng và thời gian có hạn luận văn không tránh khỏi những sai sót, vì vậy tôi rất mong nhận được những sự chỉ bảo, hướng dẫn của các thầy cô và sự góp ý của các bạn để bản luận văn này được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2013 Học viên

Nguyễn Thị Thu Quyên

CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ BANACH, ĐẠI SÔ C*

, ĐẠI SỐ VON NEUMANN

Chương này được coi như chương trình bày một số kiến thức bổ trợ, làm nền tảng

để theo dõi các trình bày ở các chương sau Nội dung chính của chương nhằm giới thiệu định nghĩa, cùng một số ví dụ và tính chất cơ bản cùng với mối quan hệ giữa ba dạng đại

số định chuẩn: Đại số Banach, đại số C*

và đại số von Neumann Về bản chất có thể coi chúng là các không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ, trên đó có định nghĩa thêm phép nhân (thường không giao hoán) giữa các “vectơ” tương thích với tô pô sinh từ chuẩn

1 x(yz) = (xy)z

2 (x+y)z = xz + yz; x(y+z) = xy + xz

3 xy  x y xy, x y z, , A,

Khi đó, A được gọi là một đại số phức

Hơn nữa, nếu A là một không gian Banach (với chuẩn , ) thỏa mãn các tính chất sau:

Thật vậy, giả sử A là một không gian Banach thỏa mãn các tính chất 1 – 4 Ta xét

Ta đưa vào A1 cấu trúc tuyến tính thông thường, phép nhân và chuẩn được xác định như sau:

có thể xem A là một đại số con của đại số A1 đó là đại số Banach

-Phép nhân là liên tục theo nghĩa: Nếu ,

Nếu  thêm tính liên tục, A, B là các đại số Banach thì  được gọi là một đồng cấu (đẳng cấu nếu  khả nghịch) giữa hai đại số Banach

Chú ý: Trong nhiều trường hợp từ tính chất nhân tính suy ra tính chất liên tục

Ta định nghĩa:

 f g u  f u g u 

 f u  f u 

 ,

f gC k

f g u   f u g u   

 ax

u K





Khi đó C(k) là một đại số Banach giao hoán; đặc biệt khi card(K) = n thì ( )C k   - n

không gian phức n chiều

3 Giả sử H là không gian Hilbert A = B(H,H) = B(H) với phép cộng, nhân các toán tử tuyến tính theo nghĩa thông thường

1.2 Đại số C*

Đại số C*

là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của giải tích hàm Một đại số C*

là một đại số Banach phức A của các toán tử mà trên đó có định nghĩa thêm phép toán * ( đối hợp) x x* thỏa mãn điều kiện C*

:

:

xA x x  x x

liên tục trên một không gian Hilbert phức với hai tính chất:

1) A là tập đóng trong topo chuẩn của toán tử

2) A là đóng đối với phép lấy liên hợp của toán tử

C*

- đại số được biết đến như là đối tượng toán học hàng đầu dùng trong cơ học lượng tử để mô hình hóa đại số của các đối tượng vật lý quan sát được Hướng nghiên cứu này bắt đầu bởi Heisenberg với cơ học ma trận, và phát triển dưới dạng toán học bởi Pascual Jordan năm 1933

Tiếp theo đó John von Neumann tiếp tục phát triển mạnh mẽ hướng nghiên cứu

đã xây dựng một lớp đặc biệt của C*

- đại số mà sau này gọi là đại số von Neumann Định nghĩa trừu tượng của C*

- đại số được đưa ra năm 1943 bởi Gelfand và Neimark:

3) Với mọi , xA: x*x*

4) Với mọi xA x x: *  x x*

Đẳng thức cuối cùng này gọi là đẳng thức C*

, nó tương đương với:

Định lý Gelfand – Naimark nói rằng: mọi C*

- đại số A là * - đẳng cấu với một đại

số con của B(H) đóng đối với chuẩn và đóng đối với lấy liên hợp với H là một không gian Hilbert thích hợp

1.2.3 Ví dụ C*

- đại số giao hoán

Cho X là một không gian Hausdorff compact địa phương Không gian C X0( ) của các hàm giá trị phức, liên tục trên X và triệt tiêu ở vô cùng lập thành một C*

- đại số,

0 ( )

C X với phép cộng và nhân hai hàm số f g, C X0( ) theo điểm (theo cách thông

thường) Phép liên hợp là lấy liên hợp phức theo từng điểm

1.3 Đại số von Neumann

Đại số von Neumann còn gọi là đại số *

C - đại số và lý thuyết trường lượng tử

Trong cơ học lượng tử, người ta mô tả một hệ thống vật lý bởi một *

C - đại số A

với phần tử đơn vị Các phần tử tự liên hợp của A ( xA với x*x) được coi là các đại lượng quan sát được, là đại lượng đo được của hệ thống (giá trị quan sát được là một

điểm thuộc phổ của x, lúc đó là một số thực vì x là tự liên hợp) Một trạng thái của hệ thống là một phiếm hàm tuyến tính dương trên A (là một ánh xạ - tuyến tính

: A

   sao cho  u u* 0 với mọi uA - khi đó u u* A) sao cho  1 1 Giá trị

kỳ vọng của đại lượng quan sát được xA là  x , nếu hệ thống ở trong trạng thái  Tất cả các khái niệm này đều dẫn đến ý tưởng xây dựng không gian xác suất không giao hoán gọi là *

C - không gian xác suất hay *

W - không gian xác suất

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ VON NEUMANN DÙNG TRONG XÁC SUẤT KHÔNG GIAO HOÁN – HAY XÁC SUẤT LƯỢNG TỬ

2 1 Mở đầu, hoán tập,hoán tập bậc hai- Định lý cơ bản của von Neumann, không gian con A-bất biến

2.1.1 Các định nghĩa và ký hiệu

Cho H là một không gian Hilbert, B(H) là đại số của tất cả các toán tử tuyến tính

bị chặn trên H Một đại số Von Neumann là 1 đại số con A của B(H) mà có tính chất tự liên hợp (tức với x A kéo theo *x  ), chứa 1 (toán tử đồng nhất) và đóng trong topo A

toán tử yếu A là ký hiệu nón gồm tất cả các phần tử dương của A oj p A

+ Ngược lại, giả sử rằng Y là bất biến dưới A thì ta có: Với x A ,

1) Một vectơ h H được gọi là tuần hoàn đối với A nếu xh x A:  H

Ở đây, z,  ký hiệu không gian con tuyến tính đóng của H được căng (spanned) bởi z s'

2) Ta nói rằng 1 vectơ h H là tách A nếu từ điều kiện x A và xh  kéo theo 0

0

x 

Ta sẽ chỉ ra rằng h là tuần hoàn đối với A nếu và chỉ nếu h là tách đối với '

A Thật vậy: + Giả sử h là tách đối với '

A Đặt Yxh x: A Khi đó theo định lý 2.1.2 , '

Y

P A và ta có 1    0 1

    , điều này có nghĩa là Y = H

Do vậy h là tuần hoàn đối với A

+ Ngược lại, nếu Yxh x A:  Hthì từ điều kiện y A ' và yh  , kéo theo 00

yxh xyh  Do vậy y triệt tiêu trên YH  Nghĩa là h tách y 0 '

A Phần tiếp theo chúng ta sẽ chứng minh một trong những tính chất đặc trưng nhất trong định lý của đại số von Neumann

2.1.4 Định lý (Hoán tập bậc hai của von Neumann)

Nếu A là 1 đại số Von Neumann thì "

( )

A

n là tập hợp tất cả các toán tử như vậy Đó rõ ràng là

một đại số von Neumann

Cho bij B Hn 

  khi đó

 

'ij

A g là bất biến dưới ˆy với y A n Điều này

nghĩa là   ,  0 phép toán z A sao cho ˆy g zyˆ  , tức là  2

topo toán tử yếu Do vậy A A "

2.2 Phiếm hàm tuyến tính dương, biểu diễn GNS, trạng thái thuần túy và biểu diễn bất khả quy

2.2.1 Định nghĩa Một phiếm hàm tuyến tính  trên A được gọi là dương nếu

 x 0 x A

    

Phiếm hàm  được gọi là trung thành (faithful) nếu  x       0 x 0 x A

Dễ dàng thử lại rằng nếu  là 1 phiếm hàm tuyến tính dương trên A thì  x*  x Nếu  là một phiếm hàm dương trên A thìx y A,  , ta có:

 y x* 2   y y*  x x* (*) (Có thể coi đây là bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovski-Schwartz đối với )

Một phiếm hàm tuyến tính dương  trên A được gọi là một trạng thái nếu  1  1

2.2.2 Mệnh đề Cho h H và  là một phiếm hàm tuyến tính dương trên A sao cho:

 x xh h, 

  x A   Khi đó phần tử z A ', 0 z 1, sao cho:  x xzh zh,  x A 

2.3 Biểu diễn GNS của Gelfand – Naimark – Segal (GNS – representation)

2.3.1 Định nghĩa Một ánh xạ tuyến tính  của đại số von Neumann A lên đại số B(K) của các toán tử tuyến tính bị chặn tác động trong một không gian Hilbert K gọi là một

* - biểu diễn của A (trong K) nếu:

xy    x y

và  x*   x *x y A, 

nói cách khác, một * - biểu diễn của A là một cặp , K gồm một không gian Hilbert K

và một * - đồng cấu  của A vào B K 

Ta nói rằng , K là một biểu diễn tuần hoàn nếu  một vectơ tuần hoàn trong K cho

 A



2.3.2 Định lý Gelfand – Naimark – Segal (GNS)

Với mỗi phiếm hàm tuyến tính dương  trên A tồn tại một biểu diễn tuần hoàn

, K của A với một vectơ tuần hoàn 

Do đó đây là một iđêan trái của A và không gian thương A/M là một không gian tiền-Hilbert Hausdorff Cho K là bổ sung của nó Ánh xạ chính tắc T của A lên A/M là một ánh xạ tuyến tính của A lên một không gian con trù mật của K Hơn nữa, với

x A , định nghĩa toán tử trong A của phép nhân trái bởi x (tức là: yxy), bằng cách chuyển qua không gian thương là một phép toán tuyến tính x

 trong A/M

Biểu diễn K,  được xây dựng ở trên được gọi là biểu diễn tuần hoàn liên kết với 

Nó cũng được ký hiệu là K, ,  để chỉ vectơ tuần hoàn 

2.3.3 Định nghĩa Một trạng thái  trên một đại số von Neumann được gọi là thuần túy nếu các phiếm hàm tuyến tính dương  được làm trội bởi  (tức là:

Giả sử trái lại thì tồn tại một trạng thái

1

  và  0    1 sao cho   1 Đặt 2   1 1  2 1  1, vậy 2 cũng là một trạng thái Nhưng

1 1 2

     , vậy  không là cực biên (mâu thuẫn)

Chứng tỏ  là một trạng thái thuần tuý

2.3.4 Định nghĩa

Một tập M của những toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert H được gọi là bất khả quy nếu các không gian con đóng của H là bất biến dưới tác động của M chỉ gồm các không gian con tầm thường  0 và H

Một biểu diễn H ,  của đại số von Neumann A được gọi là bất khả quy nếu tập

Nghĩa là  làm trội  Do đó  không là một trạng thái thuần tuý (bởi vì 

không là một bội số của )

Bây giờ giả sử rằng  không phải là một trạng thái thuần tuý thì tồn tại một hàm tuyến tính dương  sao cho    x x*  x x*  x A và  không là bội số của  Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

  và tồn tại một phép toán tuyến tính bị chặn duy nhất trên

H với T 1 sao cho:  y x* T  x ,  y 

 lên không gian con không tầm thường Y của H Theo định lý 2.1.2, Y là

một không gian con (không tầm thường) của H

 trong đó H là một  - bất biến, vì vậy  không bất khả quy.□

2.4 Phép đẳng cự bộ phận, sự khai triển cực, sự tương đương của các phép chiếu

Ta biết rằng biến ngẫu nhiên trong lý thuyết xác suất thông thường (ánh xạ đo được) là giới hạn của dãy các hàm đơn giản đo được (tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các hàm chỉ tiêu đo được) Tích phân của hàm chỉ tiêu của tập đo được A , là độ đo của tập A: 1 dμ = μ(A)

A

 từ đó có thể định nghĩa của tích phân của hàm đơn giản

Còn kỳ vọng toán học hay tích phân của một biến ngẫu nhiên nói chung có thể định nghĩa bởi giới hạn của tích phân của các hàm đơn giản

Khi đó trong xác suất lượng tử, tương ứng với biến ngẫu nhiên là toán tử (quan sát được) trong một không gian Hilbert phức, hay phần tử của đại số von Neumann, còn ứng với hàm chỉ tiêu là phép chiếu lên một không gian con còn tương ứng với hàm đơn giản là tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các phép chiếu Tương ứng với tích phân là trạng thái (state) hoặc vết (trace) Dưới đây ta sẽ thấy những tính chất của các đối tượng này trong xác suất không giao hoán

2.4.1 Định nghĩa Một toán tử u trên H được gọi là một đẳng cự bộ phận nếu *u u là

Hơn nữa, với mỗi h H , ta có:

uh  uh uh  u uh h  ph h

Do đó toán tử u ánh xạ p H đẳng cự lên   q H và   1 p H   tới 0

Phép chiếu p gọi là phép chiếu bắt đầu của u và q là phép chiếu kết thúc của nó

2.4.2 Định nghĩa Cho x B H   Ký hiệu N x  là phép chiếu lên không gian không

hạch của x (tức là: tập tất cả h H sao cho xh 0) Phép chiếu S x  1 N x  được gọi

là giá của x

Rõ ràng x1S x   và 0 xS x x, S x  là nhỏ nhất trong các phép chiếu p trong B H  thoả mãn xp x

Cho R x  là phép chiếu lên không gian con x H (bao đóng của   x H ) Rõ ràng, R x  là nhỏ nhất trong các phép chiếu p trong B H  sao cho px x

Ta có: R x S x *

Điều này suy trực tiếp từ h x g, * xh g, R x xh g  , h x R x g, *    h g H, 

Đặc biệt, với một toán tử tự liên hợp x ta có R x S x 

2.4.3 Định lý (Khai triển cực của một toán tử)

Với mỗi x A có một phép đẳng cự bộ phận duy nhất uA sao cho u u S x*   

  là khai triển phổ của x

Khi đó p e 0;a và p là giao hoán với toán tử  

Sử dụng biểu diễn phổ của x , ta kiểm tra được rằng un hội tụ mạnh tới một phần tử nào đó của A, giả sử là u với up u , và u x n x  Vì vậy ta có x u x0 

và lấy giới hạn khi n   ta có u up vp v   □

Từ những kết quả đã chứng minh kéo theo sự khai triển cực của *x là dạng:

2.4.4 Định nghĩa: Ta nói, 2 phép chiếu p, q trong đại số von Neumann là tương đương,

pq nếu có 1 đẳng cự riêng u A sao cho *u up và uu*q

Theo mục bên trên, nếu x A thì R x R x * và S x S x *

Ta viết:

2.5 Tôpô lồi địa phương trên B(H)

2.5.1 Định nghĩa (Một vài tôpô lồi địa phương Hausdorff quan trọng)

1) Tôpô đều trong B(H) được cho bởi chuẩn toán tử:

sup1

h H h

 





2) Tôpô toán tử mạnh được định nghĩa bởi họ nửa chuẩn:

x xh trong đó h chạy trên H

3) Tôpô  -mạnh (hay siêu mạnh) được cho bởi họ nửa chuẩn:

1 221

ở đó  hi là dãy bất kỳ các phần tử của H sao cho: 2

1

h i i

được minh họa bởi ví dụ tiếp sau:

Cho  en là một cơ sở trực chuẩn của H Đặt  , 

có chiều vô hạn thì phép nhân không đồng thời liên tục

2.5.4 Từ ánh xạ đối hợp xx* không liên tục trong những tôpô mạnh và -mạnh đây

là lí do để giới thiệu 2 tôpô lồi địa phương khác là tôpô mạnh* và  - mạnh* Các tôpô này được định nghĩa bởi họ nửa chuẩn có dạng:

“<” nghĩa là “mịn hơn” và nếu H có chiều vô hạn thì “<” có thể đọc là “mịn ngặt hơn”

2.6 Các lớp toán tử Hilbert – Schmidt và toán tử – vết, tiền đối ngẫu của đại số von

Neumann

2.6.1 Định nghĩa Một toán tử xB H  được gọi là toán tử Hilbert – Schmidt nếu với

hệ trực chuẩn đầy đủ  e nào đó của H ta có:

1 2 2 2

Chuẩn (Hilbert – Schmidt) không phụ thuộc vào cách chọn đặc biệt của  e

Thật vậy, cho    là một hệ trực chuẩn đầy đủ khác của H Khi đó:

Ta ký hiệu K H  là tập tất cả các toán tử Hilbert – Schmidt trong H

Khi đó: xK H ,yB H  kéo theo xy yx, K H  và