Bài giảng slide phương pháp số _ bài 04 _nội suy đa thức

Bài giảng slide phương pháp số _ bài 04 _nội suy đa thức

PHƯƠNG PHÁP SỐ

Bài 4 Nội suy đa thức

Bài toán nội suy đa thức

1

Sự duy nhất và sai số của

đa thức nội suy

Bài toán nội suy đa thức

Bài tập: Tìm hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 thỏa mãn: nếu

𝑥𝑥 = 0 thì 𝑦𝑦 = 1; nếu 𝑥𝑥 = 1 thì 𝑦𝑦 = 1; nếu 𝑥𝑥 = 2 thì 𝑦𝑦 = 4

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

Bài toán nội suy đa thức

Bài toán nội suy đa thức

Cho: 𝑦𝑦 là đại lượng phụ thuộc vào 𝑥𝑥, và

Bài toán nội suy đa thức

Cho: 𝑦𝑦 là đại lượng phụ thuộc vào 𝑥𝑥, và

Hỏi:

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

Bài toán nội suy đa thức

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

với 𝑥𝑥0 < 𝑥𝑥1 < ⋯ < 𝑥𝑥𝑛𝑛

Bài toán nội suy đa thức

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

  bài toán nội suy đa thức

Bài toán nội suy đa thức

1

Sự duy nhất và sai số của đa thức nội suy

Sự duy nhất của đa thức nội suy

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

bậc không quá 𝑛𝑛 và đi qua 𝑛𝑛 + 1 điểm cho

Sự duy nhất của đa thức nội suy

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

,

n n

n n

Sự duy nhất của đa thức nội suy

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

1

n n

Sự duy nhất của đa thức nội suy

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

i j n n

Sự duy nhất của đa thức nội suy

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

bậc không quá 𝑛𝑛 và đi qua 𝑛𝑛 + 1 điểm cho

 Hỏi: khi nào thì bậc là 𝑛𝑛, khi nào thì bậc nhỏ

hơn 𝑛𝑛?

Sai số của đa thức nội suy

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

Bài toán nội suy đa thức

1

Sự duy nhất và sai số của đa thức nội suy

Phương pháp nội suy Lagrange

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1 , ⋯ 𝑥𝑥𝑛𝑛, 𝑦𝑦𝑛𝑛

Phương pháp nội suy Lagrange

 Phương pháp Lagrange: Tìm đa thức có dạng

Phương pháp nội suy Lagrange

 Đa thức thỏa mãn các tính chất trên

Phương pháp nội suy Lagrange

Ví dụ: tìm đa thức nội suy đi qua các điểm

Tìm giá trị của 𝑦𝑦 tại 𝑥𝑥 = 1,5

Phương pháp nội suy Lagrange

Ví dụ: tìm đa thức nội suy đi qua các điểm

Phương pháp nội suy Lagrange

Ví dụ: tìm đa thức nội suy đi qua các điểm

Phương pháp nội suy Lagrange

Nhược điểm của phương pháp nội suy Lagrange

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

 Thực hiện 𝑘𝑘 + 1 quan sát → dựng đa thức 𝑃𝑃𝑘𝑘 𝑥𝑥

 Thực hiện thêm 𝑚𝑚 quan sát → dựng đa thức

𝑃𝑃𝑘𝑘+𝑚𝑚 𝑥𝑥

 Đa thức 𝑃𝑃𝑘𝑘 𝑥𝑥 không giúp ích gì cho việc xây dựng

𝑃𝑃𝑘𝑘+𝑚𝑚 𝑥𝑥 (thêm 1 điểm quan sát vào ví dụ vừa xét

và so sánh cách xây dựng đa thức)

 Mong muốn: 𝑃𝑃𝑘𝑘+𝑚𝑚 𝑥𝑥 = 𝑃𝑃𝑘𝑘 𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 𝑥𝑥

Bài toán nội suy đa thức

1

Sự duy nhất và sai số của đa thức nội suy

Phương pháp nội suy Newton

Khái niệm sai phân

Ý tưởng của phương pháp Newton

Trường hợp các mốc quan sát cách đều

Trường hợp các mốc quan sát không cách đều

Sai phân

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

Định nghĩa: Cho 𝑓𝑓 𝑥𝑥 , số gia của 𝑥𝑥 là ℎ = ∆𝑥𝑥

Khi đó, số gia tương ứng trên 𝑓𝑓 𝑥𝑥 là:

Tính sai phân tiến

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

Tính sai phân tiến

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

Tính sai phân lùi

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

Tính sai phân lùi

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

Phương pháp nội suy Newton

Khái niệm sai phân

Ý tưởng của phương pháp Newton

Trường hợp các mốc quan sát cách đều

Trường hợp các mốc quan sát không cách đều

Ý tưởng của phương pháp Newton

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

Ý tưởng: tìm đa thức nội suy 𝑃𝑃𝑛𝑛 𝑥𝑥 có bậc không quá 𝑛𝑛 và có dạng:

trong đó

là đa thức nội suy của mẫu

Ý tưởng của phương pháp Newton

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

Phương pháp nội suy Newton

Khái niệm sai phân

Ý tưởng của phương pháp Newton

Trường hợp các mốc quan sát cách đều

Trường hợp các mốc quan sát không cách đều

Trường hợp các mốc quan sát cách đều

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

Trường hợp các mốc quan sát cách đều

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

y y a h

y a

h

∆

Trường hợp các mốc quan sát cách đều

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

Trường hợp các mốc quan sát cách đều

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

Trường hợp các mốc quan sát cách đều

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

Trường hợp các mốc quan sát cách đều

Ví dụ: tìm đa thức nội suy đi qua các điểm

Trường hợp các mốc quan sát cách đều

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

Phương pháp nội suy Newton

Khái niệm sai phân

Ý tưởng của phương pháp Newton

Trường hợp các mốc quan sát cách đều

Trường hợp các mốc quan sát không cách đều

Trường hợp các mốc quan sát không cách đều

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

i i i

i i

y y y

x x

+ +

x x

+ +

Trường hợp các mốc quan sát không cách đều

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

=

Trường hợp các mốc quan sát không cách đều

Ví dụ: tìm đa thức nội suy đi qua các điểm

Trường hợp các mốc quan sát không cách đều

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

Trường hợp các mốc quan sát không cách đều

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

HẾT Phần 1

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

Phần 2:

Cài đặt thuật toán

Tính giá trị của đa thức nội suy Lagrange

1

Tính giá trị của đa thức nội suy

Newton

2

Tính hệ số của đa thức nội suy

Newton khi mốc cách đều

3

Tính hệ số của đa thức nội suy

Newton khi mốc không cách đều 4

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

Tính giá trị đa thức Lagrange

res += (vy[i]*h);

}

return res;

}

Tính giá trị của đa thức nội suy

Tính hệ số của đa thức nội suy

Newton khi mốc cách đều

3

Tính hệ số của đa thức nội suy

Newton khi mốc không cách đều 4

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

Tính giá trị đa thức Newton

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

Tính giá trị đa thức Newton

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

Tính giá trị đa thức:

double PoliNewtonCalcValue(t_vector vx, t_vector a, int n, double x){

Tính giá trị của đa thức nội suy Lagrange

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

i h

∆

=

Tính hệ số khi mốc cách đều

yn

yn-1

yn-2

n-2

1 0

2 1

0

Tính hệ số khi mốc cách đều

Kết quả:

void PoliNewtonCalcFwdDif(t_vector vx,

t_vector vy, int n, t_vector fd){

for(int j=0; j<n; j++) fd[j] = vy[j];

for(int i=1; i<=n; i++){ //SFT cấp i

for(int j=n; j>=i; j )

2 1

0

2 1

0

Tính giá trị của đa thức nội suy

Tính hệ số của đa thức nội suy

Newton khi mốc cách đều

Tính hệ số khi mốc không cách đều

Phương pháp số - Bài 6: Nội suy đa thức

=

Tính hệ số khi mốc không cách đều

yn

yn-1

yn-2

n-2

1 0

Tính hệ số khi mốc không cách đều

2 1

0

Tính hệ số khi mốc không cách đều

Kết quả:

void PoliNewtonCalcDivDif (t_vector vx,

t_vector vy, int n, t_vector dd){

for(int j=0; j<n; j++) dd[j] = vy[j];

for(int i=1; i<=n; i++){ //TSF cấp i

for(int j=n; j>=i; j )

dd[j] = (dd[j]-dd[j-1])/(x[j]-x[j-i]); }

2 1

0

Bài tập