Mô hình Black Scholes Merton trong định giá quyền chọn (môn san pham phai sinh) Cao học UEH

Mô hình Black Scholes Merton trong định giá quyền chọn và Bài giải bài tập (đầy đủ). Nguồn gốc, liên hệ mô hình nhị phân, giả định của mô hình, Công thức đoạt giải Nobel, Phần mền BSMbin9e, Các biến số, Áp dụng mô hình khi chi trả cổ tức, Vấn đề chuyên sâu trong quyền chọn kiểu Mỹ, Nụ cười mỉa mai, Quản trị rủi roSản phẩm phái sinh và Quản trị rủi ro TC Don M.Chance Robert Brooks

Chương 5

Định giá quyền chọn bằng mô hình Black – Scholes – Merton

GV: TS PHÙNG ĐỨC NAM

1 Nguyễn Thái Hoài Linh

2 Dương Quốc Tuấn

3 Lê Quang Hưng

4 Huỳnh Thị Bảo Trân

5 Lâm Tuấn Lạc

6 Nguyễn Thị Bích Ngọc

7 Nguyễn Ngọc Diễm Minh

Nguồn gốc của mô hình

Black - Scholes - Merton

1

1 Nguồn gốc của mô hình Black

và dựa trên những quan

sát ngẫu nhiên theo

chuyển động Brownian

Louis Bachelier Itô Fischer Black, Myron

Schole & Robert Merton

Viết luận án về địnhgiá quyền chọn trên thịtrường Paris

Bổ đề Itô được pháttriển và được sử dụng

để tính giá quyềnquyền chọn 20 nămsau đó

TS Fischer Black & GS Myron Scholes nghiên cứu quyền chọn và NKT trẻ Robert Merton khám phá ra nhiều quy tắc kinh doanh chênh lệch giá.

1 Nguồn gốc của mô hình Black

-Scholes - Merton

4

Black và Scholes sử dụng 2 cách tiếp cận để định giá quyền chọn:

1 Theo Lý thuyết Định giá tài sản vốn CAPM

2 Sử dụng giải tích ngẫu nhiên

Robert Merton có bài viết về những quy tắc kinh doanh chênh lệch giá

- Scholes và Merton được trao giải Nobel về Khoa học kinh tế.

Mô hình Black Scholes

của mô hình nhị phân

2

2 Mô hình Black - Scholes - Merton

như là giới hạn của mô hình nhị phân

Bảng 5.1: Giá quyền chọn nhị phân

đối với các giá trị n khác nhau;

Quyền chọn DCRB tháng 6 với:

X = 125; S0 = 125.94, r = 0.0456,

T = 0.0959, 𝜎 = 0.83

2 Mô hình Black - Scholes - Merton

như là giới hạn của mô hình nhị phân

Mô hình nhị phân là mô hình thời

gian rời rạc.

Khi thời gian trôi đi, giá cổ phiếu

nhảy từ mức này sang một trong hai

Giả định của mô hình

Black - Scholes - Merton

3

3 Giả định của mô hình Black

-Scholes - Merton

Người chuyên nghiệp cho rằng giá cổ phiếu có

thể được dự báo một phần Tuy nhiên, tỷ suất

sinh lợi là phần trăm thay đổi giá hàng ngày

trên một cổ phiếu trong cùng một thời kỳ là rất

khó dự đoán (biến động ngẫu nhiên).

Giá cổ phiếu biến động ngẫu nhiên và phát triển theo phân phối logarit chuẩn

3 Giả định của mô hình Black

-Scholes - Merton

Tỷ suất sinh lợi có phân phối logarit chuẩn.

Tính tỷ suất sinh lợi dưới dạng ghép lãi liên tục

bằng cách lấy logarit tự nhiên của 1 cộng tỷ

suất sinh lợi ln(1+r) Theo cách này tỷ suất sinh

lợi có đặc tính tuân theo phân phối chuẩn.

Giá cổ phiếu biến động ngẫu nhiên và phát triển theo phân phối logarit chuẩn

Đây là giả định rất quan trọng, nhất quán với thực tế

và không cho phép giá cổ phiếu âm.

3 Giả định của mô hình Black

-Scholes - Merton

Giả định lãi suất phi rủi ro không đổi giúp mô

hình đơn giản hơn vì lãi suất không ảnh hưởng

nhiều đến giá quyền chọn.

Giả định rằng độ bất ổn, được biểu diễn bằng

độ lệch chuẩn, không thay đổi là một giả định

quan trọng.

Lãi suất phi rủi ro

và độ bất ổn của TSSL theo logarit là

không đổi

3 Giả định của mô hình Black

-Scholes - Merton

Mô hình Black-Scholes-Merton dựa vào

khả năng kinh doanh chứng khoán, công

cụ tài chính phi rủi ro va quyền chọn một

cách chủ động.

Không có thuế, chi phí giao dịch và không trả cổ tức

Công thức

Black-Scholes-Merton

4

N(d1), N(d2): xác suất phân phối chuẩn tích lũy

σ: độ bất ổn hằng năm (độ lệch chuẩn) của tỷ suất sinh lời ghép lãi liên tục (logarit)

của cổ phiếu

rc : Lãi suất phi rủi ro ghép lãi liên tục

4.3 Ví dụ

Định giá quyền chọn mua cổ phiếu DCRB tháng 6:

Giá cổ phiếu: S0 = 125.94 Giá thực hiện: X = 125

Thời gia đến khi đáo hạn: T = 0.0959 σ = 0.83

Lãi suất phi rủi ro: rf= 4.56% => Lãi suất phi rủi ro ghép lãi liên tục: rc = ln(1.0456)= 0.0446

4.3 Ví dụ

4 Tìm C

𝐶 = 𝑆0N 𝑑1 − X𝑒−𝑟𝑐 𝑇𝑁 𝑑2 =13.21

=> Giá trị hợp lý lý thuyết của quyền chọn mua tháng 6, giá thực hiện 125 là $13.21

Chú ý: Mô Hình Black-Scholes- Merton đặc biệt nhạy cảm với sai số làm tròn:

Dùng hàm Excel = normsdist ( ) để tính xác suất phân phối chuẩn, ta có:

N(d1) = N (0.1742) = normsdist (0.1742) =0.5691

N(d2) = N (-0.08) = normsdist (-0.0828) = 0.4670

=> C = $13.56: Cao hơn đáng kể với $13.21 khi tính xác suất phân phối chuẩn bằng tra bảng

4.4 Đặc tính của công thức Black-Scholes- Merton

4.4.1 Diễn giải công thức

𝑆0N 𝑑1 𝑒𝑟𝑐 𝑇: Giá trị kỳ vọng

-XN(d2): Khoản chi trả theo giá thực hiện kỳ vọng khi đáo hạn

[𝑆0N 𝑑1 𝑒𝑟𝑐 𝑇 − X𝑁 𝑑2 ]𝑒−𝑟𝑐 𝑇: Chiết khấu 𝑆0N 𝑑1 𝑒𝑟𝑐 𝑇 và - XN(d2) theo lãi suất phi rủi ro

liên tục

4.4 Đặc tính của công thức Black-Scholes- Merton

4.4.2 Công thức Black-Scholes- Merton và giới hạn dưới của Quyền

chọn kiểu châu Âu

Giới hạn dưới của quyền chọn kiểu châu Âu: Max (0, S0 – Xe-rcT)

Khi S0 rất lớn: d1, d2 => +∞, N(d1), N(d2) => 1, do đó:

𝐶 = 𝑆0N 𝑑1 − X𝑒−𝑟𝑐 𝑇𝑁 𝑑2 = 𝑺𝟎 − 𝐗𝒆−𝒓𝒄 𝑻

Khi S0 rất thấp: d1, d2 =>-∞, N(d1), N(d2) =>0, do đó:

𝐶 = 𝑆0N 𝑑1 − X𝑒−𝑟𝑐 𝑇𝑁 𝑑2 = 𝟎

4.4 Đặc tính của công thức Black-Scholes- Merton

4.4.3 Công thức Black-Scholes- Merton khi T=0

(giá quyền chọn tại ngày đáo hạn)

Khi đáo hạn, giá quyền chọn mua: Max (0, ST – X)

Khi đến ngày đáo hạn: T=>0, giá cổ phiếu là ST:

4.4 Đặc tính của công thức Black-Scholes- Merton

4.4.4 Công thức Black-Scholes- Merton khi S0=0

Giả định trước khi đáo hạn giá cổ phiếu S0=> 0

Nếu S0 =>0 X: ST/X => 0

ln(ST/X) => -∞:d1, d2 => -∞, và N(d1), N(d2)=>0

𝑪 = 𝑺0𝑵 𝒅1 − 𝑿𝒆−𝒓𝒄 𝑻𝑵 𝒅2 = 0

4.4 Đặc tính của công thức Black-Scholes- Merton

4.4.5 Công thức Black-Scholes- Merton khi σ=0

4.4 Đặc tính của công thức Black-Scholes- Merton

4.4.6 Công thức Black-Scholes- Merton khi X=0

Khi X => 0: ST/X => +∞; ln(ST/X) => +∞

d1, d2 => +∞; N(d1), N(d2) => 1

𝑪 = 𝑺𝟎𝑵 𝒅𝟏 − 𝑿𝒆−𝒓𝒄𝑻 𝑵 𝒅𝟐 = 𝑺𝟎

Các biến số trong mô hình

Black - Scholes - Merton

5

26

Giá cổ phiếu Giá thực hiện Lãi suất phi rủi ro

Độ bất ổn hay độ lệch chuẩn

Mối quan hệ giữa giá cổ phiếu và giá quyền chọn mua được biểu diễn

dưới dạng một giá trị đơn gọi là Delta

Delta quyền chọn mua = N(d1) (delta chạy từ 0 đến 1)

5 Các biến số của mô hình Black - Scholes - Merton

5.1 Giá cổ phiếu

Delta cũng thay đổi theo thời hạn của quyền chọn,

Quyền chọn mua cao giá ITM => delta tiến đến 1 Quyền chọn mua kiệt giá OTM => delta tiến về 0

5 Các biến số của mô hình Black - Scholes - Merton

5.1 Giá cổ phiếu

Trong mô hình nhị phân, mua H cổ phiếu và bán lại một quyền chọn mua, trong mô

hình Black- Scholes- Merton được gọi là Phòng ngừa delta (delta hedge) và phải

thực hiện liên tục.

Ví dụ: Giá cổ phiếu là $125.94, delta (d1) là 0.5692 nên chúng ta xây dựng danh

mục phòng ngừa delta bằng cách mua 569 cổ phiếu và bán 1,000 quyền chọn mua.

- Nếu giá cổ phiếu giảm 0.01 thì chúng ta lỗ 5.69$ đối với cổ phiếu

- Giá quyền chọn giảm 0.01 thì 1,000 quyền chọn mya giảm 5,69$ => bù đắp

khoản lỗ.

Vì vậy nếu xây dựng danh mục hợp lý, thì nhà đầu tư kiếm được tỷ suất sinh lợi phi

rủi ro nếu quyền chọn mua được định giá hợp lý.

5 Các biến số của mô hình Black - Scholes - Merton

5.1 Giá cổ phiếu

5 Các biến số của mô hình Black - Scholes - Merton

5.1 Giá cổ phiếu

Gamma là phần thay đổi của delta ứng với một mức thay đổi rất nhỏ trong giá cổ phiếu.

Công thức của Gamma:

Gamma càng lớn => Delta càng nhạy cảm

Gamma > 0 và lớn nhất khi giá cổ phiếu gần với giá thực hiện

Ví dụ:

Giá cổ phiếu là 125.94 => Gamma = 𝑒

− 0.1742 2/2

125.94𝑥0.83𝑥 2𝑥3.14.0.0959 = 0.123 Nếu giá cổ phiếu tăng lên 130 thì Delta sẽ tăng từ 0,569 đến 0.569 + (130 - 125.94)0.0123 = 0.6189 Ảnh minh họa 5.9 - 5.10

31

32 Khi giá cổ phiếu càng cao hoặc thấp so với giá thực hiện thì gamma gần bằng 0

5 Các biến số của mô hình Black - Scholes - Merton

5.2 Giá thực hiện

Sự thay đổi trong giá quyền chọn mua đối với một thay đổi rất nhỏ trong giá thực

hiện là một giá trị âm và được tính theo công thức - 𝑒−𝑟𝑐𝑇N d2 , vì giá thực hiện đối

với một quyền chọn mua cho trước không thay đổi (ý nghĩa khi xem xét một quyền

chọn mua có giá thực hiện khác sẽ có giá trị cao hợn hoặc thấp hơn bao nhiêu)

Trường hợp chênh lệch giữa giá thực hiện có thể quá lớn nên không thể áp dụng

công thức , do vậy chỉ đúng cho trường hợp X thay đổi một lượng rất nhỏ.

Ví dụ: Thay đổi giá thực hiện là $130, các dữ kiện khác không đổi => giá quyền

chọn mua còn $11.38 thấp hơn $13.55 ban đầu.

Rho là thay đổi của giá quyền

chon ứng với thay đổi của lãi suất

phi rủi ro Nó có thể tính được từ

mô hình:

5 Các biến số của mô hình Black - Scholes - Merton

5.3 Lãi suất phi rủi ro

Còn giá quyền chọn theo công thức là $13.98 tăng 0.43

 Mối quan hệ tuyến tính giữa giá quyền chọn và lãi suất phi rủi ro.

 Ngoài ra Lãi suất phi rủi ro cũng thay đổi với giá cổ phiếu, nhận giá

trị lớn hơn nếu giá cổ phiếu tăng (5.12 sách)

5 Các biến số của mô hình Black - Scholes - Merton

5.3 Lãi suất phi rủi ro

Độ nhạy cảm của giá quyền chọn mua đối với một thay đổi rất nhỏ trong độ bất

ổn được gọi là vega, Vega là thay đổi trong giá quyền chọn ứng với thay đổi

của độ bất ổn, được tính bằng công thức:

Ví dụ: trong ví dụ ban đầu tính được vega như sau:

𝑣𝑒𝑔𝑎 = 125.94 0.0959𝑒− 0.1743 2/2

2𝑥3.14 = 15.32

5 Các biến số của mô hình Black - Scholes - Merton

5.4 Độ bất ổn hay độ lệch chuẩn:

5 Các biến số của mô hình Black - Scholes - Merton

5.4 Độ bất ổn hay độ lệch chuẩn:

Tỷ lệ suy giảm giá trị thời

gian được đo bằng Theta, tính

bằng công thức:

5 Các biến số của mô hình Black - Scholes - Merton

5.5 Thời gian đến khi đáo hạn

Mô hình

trả cổ tức

6

“ Mô hình Black-Scholes-Merton có

thể định giá quyền chọn Châu Âu đối với cổ phiếu chi trả cổ tức với lãi suất ghép lãi liên tục bằng cách chiết khấu giá cổ phiếu theo lãi suất đó.

40

và những quyền chọn tiền tệ

Tỷ suất sinh lời

cổ tức liên tục

đã biết trước

● Cổ phiếu chi trả cổ tức Dt vào một thời điểm t sau ngày giao dịch không hưởng cổ tức

trong suốt vòng đời của quyền chọn Giả định cổ tức được biết trước chắc chắn vào thời

gian chi trả và tỷ lệ chi trả.

● Để định giá quyền chọn chi trả cổ tức này ta phải trừ hiện giá của cổ tức này ra khỏi giá

cổ phiếu và dùng giá đã điều chỉnh vào công thức BSM

● Giá cổ phiếu sau điều chỉnh là:

6 Mô hình Black-Scholes-Merton

khi cổ phiếu chi trả cổ tức

6.1 Cổ tức chi trả rời rạc và được biết trước

6 Mô hình Black-Scholes-Merton

khi cổ phiếu chi trả cổ tức

6.1 Cổ tức chi trả rời rạc và được biết trước

VD: Ngày 14/5 mua quyền chọn mua với các thông tin như sau: cổ phiếu có hiện giá S0=125,94, giá thực hiện X=125, độ lệch chuẩn là 0.83, lãi suất phi rủi ro (LS ghép lãi liên tục tương đương 4.56% = ln (1.0456) = 4.46) Rc= 0.0446, kỳ hạn T=0.0959 Cổ phiếu này trả cổ thức $2, ngày giao dịch không hưởng quyền là 4/6.

6 Mô hình Black-Scholes-Merton

khi cổ phiếu chi trả cổ tức

6.1 Cổ tức chi trả rời rạc và được biết trước

Sử dụng S’0 thay cho S0 vào mô hình định giá quyền chọn B-S-M:

Áp dụng Công thức sách trang 187, thay số vào ta có:

d1 = 0.1122

d2 = -0.1449

N(d1) = N (0.11) = 0.5438 (tra cứu bảng phân phối xác suất chuẩn trang 189 khi Z = 0.11)

N(d2) = N(-0.14) = 1 – N (0.14) = 1 – 0.5557 = 0.4443

Tính giá quyền chọn mua C: C = 123.9451 x 0.5438 – 125e-0.0446x0.0959 x 0.4443 = 12.10

=> Như vậy, giá quyền chọn mua đối với cổ phiếu có chi trả cổ tức này là $12.10 thấp hơn giá quyền chọn mua khi cổ phiếu không chi trả cổ tức ở giá là $13.21 (trang 190).

6 Mô hình Black-Scholes-Merton

khi cổ phiếu chi trả cổ tức

6.2 Tỷ suất sinh lời cổ tức liên tục đã biết trước

● Giả định cổ tức được chi trả liên tục với một tỷ suất đã biết trước Thay vì được

chi trả mỗi quý, cổ tức được tích lũy và được tái đầu tư liên tục với các mức tang

cổ tức rất nhỏ trong suốt năm Do giá cổ phiếu luôn biến động, nên cổ tức thực tế

có thể thay đổi nhưng TSSL không đổi.

● Không yêu cầu cổ tức phải biết trước hay không đổi, chỉ cần TSSL không đổi.

● Tỷ suất cổ tức ghép lãi liên tục hằng năm là 𝛿C, hiện giá của cổ tức là:

● Giá cổ phiếu sau điều chỉnh là:

6 Mô hình Black-Scholes-Merton

khi cổ phiếu chi trả cổ tức

6.2 Tỷ suất sinh lời cổ tức liên tục đã biết trước

VD: Các thông tin về quyền chọn mua giống như ví dụ trên, tuy nhiên cổ phiếu này có cổ tức chi trả liên tục và tỷ suất cổ tức ghép lãi liên tục là 4%

● Điều chỉnh giá cổ phiếu bằng cách trừ hiện giá cổ tức:

S’0 = 125,94 e-0.04x0.0959 = 125.4578 $

Áp dụng Công thức sách trang 187, thay số vào ta có:

d1 = 0.1594 d2 = -0.0976 N(d1) = N(0.16) = 0.5636 N(d2) = N(-0.1) = 0.4602

● Tính giá quyền chọn mua C:

C = 125.4578 x 0.5636 – 125e-0.0446x0.0959x 0.4602 = $13.43 > $13.21

6 Mô hình Black-Scholes-Merton

khi cổ phiếu chi trả cổ tức

6.2 Mô hình Black–Scholes–Merton và những quyền chọn tiền tệ

● Giả định rằng tiền tệ trả lãi suất ghép lãi liên tục 𝑝C, mô hình BSM có thể sử dụng 𝑝Cthay cho 𝛿C .

● Lãi suất nước ngoài không được sử dụng để chiết khấu những khoản thanh toán trong tương lai đối với quyền chọn, thay vào đó nó sử dụng để giải thích cho những khoản lợi nhuận bổ sung từ việc nắm giữ ngoại tệ Vì vậy, chỉ sử dụng 𝑝Cthay cho 𝛿C .

không hưởng cổ tức.

52

“ Độ bất ổn hàm ý đạt được bằng

cách tìm độ lệch chuẩn để khi sử dụng trong mô hình Black-Scholes- Merton, nó sẽ làm cho mô hình định giá bằng với giá thị trường của quyền chọn.

54

Tập hợp So, X, rc, T và giá trị thị trường của quyền chọn, Quyết định dựa trên độ chính xác mong muốn Lựa chọn giá trị ban đầu của 𝜎

Tính toán giá quyền chọn mua theo

mô hình định giá Giá thị trường có bằng với giá tính toán theo mô hình với mức độ chính

Giảm giá trị của 𝜎

Giá tính toán theo mô hình nhỏ hơn giá thị trường

Giảm giá trị của 𝜎

Quy trình tính

toán độ bất ổn

hàm ý

đề chuyên sâu về quyền chọn kiểu Mỹ

Đối với bất kỳ giá thực hiện cho trước nào, mối quan hệ giữa độ bất ổn hàm ý và thời gian đáo

hạn quyền chịn được gọi là cấu trúc kỳ hạn của độ bất ổn hàm ý

Thời gian đáo hạn Giá thực hiện Tháng 5 Tháng 6 Tháng 7

đề chuyên sâu về quyền chọn kiểu Mỹ

ngày đến hạn thường được gọi với thuật ngữ cấu trúc của độ bất ổn.

hiện thường được gọi là nụ cười mỉa mai của độ bất

ổn hoặc là sự thiên lệch của độ bất ổn.

Mô hình định giá

Quyền chọn bán

8

Trong ví dụ về quyền chọn mua DCRB tháng 6 giá thực hiện 125, giá

trị của N(d1) và N(d2) sử dụng trong bảng tính BSMbin9e.xls lần lượt

là 0.5692 và 0.4670 thay vào công thức ta được:

Quản trị rủi ro quyền chọn

9

Ví dụ: Bán 1000 quyền chọn DCRB tháng 6 giá thực hiện 125 có giá

theo mô hình Black – Scholes – Merton là 13.5533 Delta là 0.5692 Từ

những gì đã trình bày ở phần trước, chúng ta biết rằng để phòng ngừa rủi

ro, chúng ta phải mua 1000(0.5692), hay xấp xỉ 569 cổ phiếu Các

Dealer không thể điều chỉnh delta liên tục, vì vậy chúng ta giả định rằng

họ điều chỉnh việc phòng ngừa rủi ro vào cuối ngày Giả định vị thế

được giữ trong suốt 35 ngày còn lại của quyền chọn Mua 569 cổ phiếu

với giá 125.94 và bán 1000 quyền chọn mua với giá 13.5533 có nghĩa là

chúng ta phải đầu tư 569 (125.94) – 1000(13.5533) = $58,107 Vì vậy

chúng ta sẽ đầu tư $58,107.

…

…

Đề phòng ngừa Delta chứng ta phải thoải mãn điều kiện:

Đề phòng ngừa Gama chứng ta phải thoải mãn điều kiện:

Phòng ngừa Gamma

Vì vậy chúng ta cần mua 68 cổ phiếu, bán 1000 quyền chọn mua tháng 6 giá

thực hiện 125, và mua 985 quyền chọn mua tháng 6 giá thực hiện 130 Điều

này yêu cầu chúng ta đầu tư một khoản tiền là

Cuối ngày thứ nhất, Cổ phiếu có giá $120.4020, quyền chọn mua giá thực hiện

125 có giá $10.4078, và quyền chọn mua giá thực hiện 130 có giá $8.5729 Danh

mục bây giờ có giá trị

Danh mục sẽ có giá trị là $6,219 𝒆𝟎.𝟎𝟒𝟒𝟔(𝟑𝟔𝟓𝟏 )

= $6,220

Phòng ngừa Gamma

Các Delta mới là ∆𝟏 = 0.4981 và ∆2 0.4366 Các Gamma mới là 𝝉𝟏 = 0.0131 và 𝝉2

= 0.0129 Bây giờ số quyền chọn mua thực hiện 130 cần 1000(0.0131/0.0129) =

1,016 Tính toán bằng bảng tính sẽ là 1,013 Điều này có nghĩa chúng ta phải

mua 1,013 – 985 = 28 quyền chọn mua giá thực hiện 130 với mức giá 8.5729.

Điều này sẽ yêu cầu 28($8.5729) = $240

Số cổ phiếu sẽ cần là

Tính toán chính xác hơn của bảng tính sẽ là 56 Chúng ta phải bán 68 – 56 = 12

cổ phiếu với giá $120.4020 Hành vi này sẽ tạo ra 12($120.4020) = $1,444, tức là

cuối cùng số tiền mới là $1,444 - $240 = $1,204 được đầu tư vào trái phiếu phi

rủi ro