Rèn luyện kỹ năng giải toán hình học không gian chương quan hệ vuông góc trong sách giáo khoa hình học lớp 11 ban cơ bản

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN DƯƠNG LONG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHƯƠNG QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG SÁCH GIÁO KHOA HÌNH HỌC LỚP 11 BAN CƠ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN DƯƠNG LONG

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHƯƠNG QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG SÁCH

GIÁO KHOA HÌNH HỌC LỚP 11 BAN CƠ BẢN

LUẬN VĂN THẠC SỸ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN DƯƠNG LONG

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHƯƠNG QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG SÁCH GIÁO KHOA

HÌNH HỌC LỚP 11 BAN CƠ BẢN LUẬN VĂN THẠC SỸ SƯ PHẠM TOÁN

Chuyên ngành: LÍ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

MÃ SỐ: 60 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH Vũ Đình Hoà

HÀ NỘI – 2015

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc PGS.TSKH Vũ Đình Hoà đã trực tiếp hướng dẫn tác giả trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy giáo, cô giáo và các

em học sinh trường Trung học phổ thông Yên Dũng 1- Huyện Yên Dũng – Tỉnh Bắc Giang đã giúp đỡ và tạo điều kiện để tác giả học tập và nghiên cứu

DANH MỤC VIẾT TẮT

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

DANH MỤC VIẾT TẮT ii

MỤC LỤC iii

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng và khách thể nghiên cứu 2

4.1 Đối tượng nghiên cứu 2

4.2 Khách thể nghiên cứu 2

5 Vấn đề nghiên cứu 3

6 Giả thuyết khoa học 3

7 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu 3

8 Những đóng góp của luận văn 3

9 Phương pháp nghiên cứu 3

10 Cấu trúc luận văn 4

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Khái niệm bài toán Phương pháp giải toán 5

1.1.1 Bài toán 5

1.1.2 Phân loại bài toán 5

1.1.3 Phương pháp giải bài toán 6

1.1.4 Chức năng của bài tập toán 9

1.2 Kỹ năng giải toán 10

1.2.1 Kỹ năng 10

1.2.2 Đặc điểm của kỹ năng 10

1.2.3 Kỹ năng giải toán 11

1.2.4 Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh 12

1.2.5.1 Nhóm kĩ năng chung khi giải bài tập toán 12

1.2.5.2 Nhóm kĩ năng cơ bản của nội dung hình học không gian lớp 11 15

1.3 Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trung học phổ thông 21

1.3.1 Mục tiêu dạy học môn Toán ở trung học phổ thông 21

1.3.2 Yêu cầu nhiệm vụ của môn Toán cấp trung học phổ thông 22

1.3.3 Các yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh trung học phổ thông 22

1.4 Nội dung của chương trình và yêu cầu của dạy học về chủ đề giải bài tập hình học không gian chương quan hệ vuông góc 23

1.4.1 Nội dung của chủ đề hình học không gian chương quan hệ vuông góc trong chương trình hình học không gian lớp 11 23

1.4.2 Mục đích, yêu cầu của việc dạy học chủ đề hình học không gian chương quan hệ vuông góc 24

1.4.2.1 Về kiến thức 24

1.4.2.2 Về kĩ năng 25

1.4.2.3 Về phương pháp 25

1.5 Thực trạng dạy học giải bài tập hình học không gian chương quan hệ vuông góc ở trường trung học phổ thông 26

1.5.1 Thực trạng dạy học giải bài tập hình học không gian chương quan hệ vuông góc ở trường trung học phổ thông 26

1.5.2 Thực trạng kĩ năng giải bài tập hình học không gian chương quan hệ vuông góc của học sinh ở trường trung học phổ thông 27

1.6 Kết luận chương 1 27

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHƯƠNG QUAN HỆ VUÔNG GÓC 28

2.1 Một số nguyên tắc khi xây dựng các biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán 28

2.1.1 Phù hợp với định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông 28

2.1.2 Phù hợp với lí luận dạy học bộ môn 29

2.1.3 Phù hợp với yêu cầu của chương trình 29

2.1.4 Phù hợp với đối tượng học sinh 29

2.2 Kỹ năng giải toán hình học không gian chương quan hệ vuông góc 30

2.2.1 Kỹ năng chứng minh 30

2.2.2 Kỹ năng tính góc 43

2.2.3 Kỹ năng tính khoảng cách 55

2.2.4 Kỹ năng tìm tòi lời giải theo bốn bước giải toán của G Polya 70

2.4 Kết luận chương 2 78

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 80

3.1 Mục đích thực nghiệm 80

3.2 Đối tượng thực nghiệm 80

3.3 Nội dung thực nghiệm 80

3.4 Tổ chức và đánh giá thực nghiệm 80

3.4.1 Phương pháp và tiến trình thực nghiệm 80

3.4.2 Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 84

3.5 Minh họa giáo án thực nghiệm 89

3.6 Kết luận chương 3 98

KẾT LUẬN 99

TÀI LIỆU THAM KHẢO 100

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Đổi mới giáo dục là một đề tài được cả xã hội quan tâm, theo dõi Đảng

và Nhà nước đã đề ra nhiều chủ trương chính sách đổi mới giáo dục nhằm phát triển giáo dục với mục tiêu đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện, có tri thức, phẩm chất tốt, có trình độ thẩm mĩ và lòng yêu đất nước đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp xây dựng và bảo vệ Tổ quốc

Một trong những yếu tố quyết định của đổi mới giáo dục là đổi mới nội dung và phương pháp giáo dục Định hướng phương pháp dạy học được chỉ

rõ trong Luật Giáo dục (1998): “ Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn ”

Việc đổi mới đang diễn ra sâu rộng ở tất cả các bậc học, môn học trong

đó có môn Toán Trong trường THPT Toán học là môn học có vị trí vô cùng quan trọng vì nó là môn khoa học cơ bản làm nền tảng cho nhiều ngành khoa học khác Toán học giúp người học rất nhiều trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, suy luận, giải quyết vấn đề, giải quyết các tình huống trong cuộc sống từ đó đặt ra nhiệm vụ quan trọng cho người dạy Trong giảng dạy môn toán, rèn luyện kỹ năng làm toán có vị trí đặc biệt, vì không có kỹ năng làm toán sẽ không phát triển được tư duy Như vậy rèn luyện kỹ năng giải toán là rất cần thiết

Trong chương trình môn Toán Trung học phổ thông, nội dung kiến thức của chương quan hệ vuông trong sách giáo khoa hình học lớp 11 tương đối khó dạy và khó học Để học tốt nội dung này học sinh cần đến rất nhiều kiến thức hình học ở lớp dưới và nội dung kiến thức này thường gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp, đại học – cao đẳng qua các dạng bài toán tính khoảng cách, tính góc và chứng minh vuông góc Qua thực tế giảng dạy tác giả thấy học sinh thường bỏ

qua phần này vì các em nghĩ nó quá khó và tâm lí “ngại” học hình học không gian Từ những kinh nghiệm qua nhiều năm giảng dạy, theo tác giả, kiến thức về hình học không gian không hề quá phức tạp mà do các em chưa có kỹ năng học

và giải toán Từ đó tác giả đã tổng kết, sắp xếp một cách hệ thống các biện pháp rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về quan hệ vuông góc trong chương trình hình học 11 THPT ban cơ bản Chính vì những lý do trên nên tác giả chọn đề tài:

“Rèn luyện kỹ năng giải toán hình học không gian chương quan hệ vuông góc trong sách giáo khoa hình học lớp 11 ban cơ bản”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu: đề tài nhằm đề xuất được một số biện pháp khả thi và hiệu quả trong rèn luyện các kĩ năng giải bài tập chương quan hệ vuông góc trong sách giáo khoa hình học lớp 11 ban cơ bản

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán

- Nghiên cứu thực trạng kỹ năng giải toán của học sinh trong khi học nội dung chương quan hệ vuông góc của sách giáo khoa hình học lớp 11 ban cơ bản

- Đề xuất một số biện pháp góp phần rèn luyện kỹ năng giải toán hình học không gian chương quan hệ vuông góc

- Qua thực nghiệm sư phạm, kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài để áp dụng vào giảng dạy

4 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

4.1 Đối tượng nghiên cứu

Quá trình dạy học các nội dung của hình học không gian chương quan hệ vuông góc sách giáo khoa hình học lớp 11 ban cơ bản

4.2 Khách thể nghiên cứu

5 Vấn đề nghiên cứu

Rèn luyện kỹ năng giải toán chương quan hệ vuông góc trong không gian sách giáo khoa hình học lớp 11 ban cơ bản cho học sinh như thế nào để mang lại hiệu quả cao?

6 Giả thuyết khoa học

Nếu vận dụng những biện pháp đề xuất trong luận văn thì sẽ rèn luyện cho học sinh trung học phổ thông kỹ năng giải quyết bài toán về quan hệ vuông góc trong không gian, từ đó góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học hình học không gian ở trường phổ thông

7 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu

Các nghiên cứu khảo sát được tiến hành trên phạm vi trường THPT Yên Dũng 1 Số liệu sử dụng để nghiên cứu đề tài này được thu thập trong năm 2015

8 Những đóng góp của luận văn

- Cung cấp cơ sở lý luận về kỹ năng, kỹ năng giải toán

- Thực trạng về việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy nội dung quan hệ vuông góc hình học 11 ban cơ bản

- Hệ thống hóa các kỹ năng cần rèn cho học sinh khi dạy nội dung quan

hệ vuông góc hình học 11 ban cơ bản

- Kết quả của luận văn có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh và giáo viên dạy Toán ở trường Trung học phổ thông

9 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu và phân tích tài liệu

về lý luận dạy học, sách giáo khoa, sách giáo viên, các tài liệu liên quan đến môn học

- Phương pháp quan sát: dự giờ, trao đổi với đồng nghiệp trong tổ chuyên môn, học hỏi kinh nghiệm của các thầy cô đi trước về phương pháp dạy học môn học, phân tích kết quả học tập của học sinh nhằm tìm hiểu thực trạng về rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong quá trình giảng dạy nội dung quan hệ vuông góc hình học lớp 11 Trung học phổ thông

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: tổ chức dạy học thực nghiệm

tại trường THPT Yên Dũng 1, kiểm tra kết quả sau thực nghiệm

- Phương pháp thống kê toán học: Xử lý các số liệu thu được sau khi điều tra

10 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán hình học không gian chương quan hệ vuông góc

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Khái niệm bài toán Phương pháp giải toán

1.1.1 Bài toán

Trong các tài liệu về lý luận dạy học môn Toán, người ta hầu như

không định nghĩa khái niệm “ Bài toán” vì vậy có nhiều cách hiểu khác nhau:

- Bách khoa tri thức phổ thông định nghĩa [1]: “ Khái niệm bài toán hiểu là một công việc hoàn thành được nhờ những phương thức đã biết trong

những điều kiện cho trước”

- Theo G Polya [2]: “ Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay”

Do vậy bài toán cùng nghĩa với đề toán, vấn đề, nhiệm vụ

1.1.2 Phân loại bài toán

Để sử dụng các bài toán một cách thuận tiện và để đạt được những mục đích nhất định thì các bài toán được phân loại theo nhiều cách khác nhau

Theo G.Polya [3] “ Một sự phân loại tốt phải chia bài toán thành những loại (kiểu, dạng) sao cho mỗi loại bài toán xác định trước một phương pháp giải” Dựa vào mục đích của bài toán, ông chia bài toán thành hai loại: các bài toán về tìm tòi và các bài toán về chứng minh

- Bài toán tìm tòi: gồm các bài toán tính toán, dựng hình, tập hợp điểm, toán giải phương trình hoặc bất phương trình Yêu cầu của các bài toán dạng này thường được thể hiện bằng các từ: tính, tìm, giải, xác định, dựng

- Bài toán chứng minh: yêu cầu của bài toán này thường thể hiện bằng các cụm từ: chứng minh rằng, chỉ ra, tại sao Phần chính của bài toán bao gồm: cái đã cho (giả thiết) và cái cần chứng minh (kết luận) Để giải được

dạng bài toán loại này cần phải tìm ra được mối liên hệ giữa cái đã cho biết và cái cần chứng minh

Trong thực tế học sinh thường gặp bài toán mà trong đó có phần là bài toán tìm tòi, có phần là bài toán chứng minh và bài toán có nội dung thực tiễn Những bài toán như vậy được gọi là bài toán tổng hợp Ngoài ra dựa vào nội dung, bài toán còn được phân chia thành các loại: bài toán số học, bài toán đại

số, bài toán hình học

Với các bài toán hình học có thể phân thành các loại: bài toán tính toán, bài toán chứng minh, bài toán tìm quỹ tích, bài toán dựng hình

1.1.3 Phương pháp giải bài toán

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của G.Polya về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học,

có thể nêu phương pháp chung để giải bài toán như sau:

- Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài (hiểu bài toán)

+ Phát biểu đề bài với những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán

+ Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh

+ Dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài

- Bước 2: Tìm cách giải (xây dựng chương trình giải)

Người làm toán cần sự tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ

có tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn

- Bước 3: Trình bày lời giải (thực hiện chương trình giải)

Khi đã tìm được cách giải cần sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các

- Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

+Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả

+ Tìm tòi cách giải khác, so sánh chúng để có cách giải hợp lý nhất + Nghiên cứu khả năng ứng dụng của kết quả lời giải

+ Nghiên cứu giải bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề ( [7, tr.415])

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh có độ dài bằng a, SA =3a,

(ABC) Tính góc tạo bởi giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)

Hướng dẫn giải Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Yêu cầu học sinh đọc kỹ nội dung

đầu bài, xác định giả thiết kết luận

của bài toán, yêu cầu học sinh vẽ

hình

Đọc kỹ đầu bài, xác định rõ giả thiết kết luận bài toán và tiến hành

vẽ hình

Bước 2: Tìm cách giải(xây dựng chương trình giải toán)

Cách xác định góc giữa hai mặt

phẳng (P) và (Q)?

Cách 1: Xác định hai đường thẳng a,

b lần lượt vuông góc với (P), (Q) ((P),(Q)) = (a,b)

Cách 2:

- Cần xác định giao tuyến d giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)

- Trong (P) và (Q) lần lượt xác định các đường thẳng a, b vuông góc với d

Vậy với bài này ta nên dùng cách nào để

tính được góc ((SBC),(ABC))

- ((P),(Q)) = (a,b)

Ta sử dụng cách 2 để tính góc ((SBC),(ABC))

- Giao tuyến giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là BC

- Gọi M là trung điểm BC ta chứng minh được SM và AM cùng vuông góc với BC

- Góc ((SBC),(ABC)) = (SM,AM)

Bước 3: Thực hiện chương trình giải toán

Tóm tắt lời giải

M A

Chứng minh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC)

Chứng minh SB = SC từ đó suy ra tam giác SBC cân tại C

Gọi M là trung điểm BC suy ra được MS và MA vuông góc với BC Từ đó suy ra ((SBC),(ABC)) = (SM,AM) = SMA

Trong tam giác SMA vuông tại A có AM = a 3

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

Giáo viên yêu cầu học sinh kiểm tra lại toàn bộ lời giải và từ bài tập

Giáo viên yêu cầu học sinh tìm tòi lời giải theo cách 1

Với cách 1 học sinh có thể trình bày lời giải bài này như sau:

Từ A hạ AF vuông góc với SM tại F Ta chứng minh được AF vuông góc với (SBC) Mà SA vuông góc với (ABC)

Vậy ((SBC),(ABC)) = (SA,AF) = SAF

Qua hai cách giải, học sinh nắm được các bước xác định và tính góc tạo bởi hai mặt phẳng và với bài toán này cách 2 sẽ ngắn gọn và hay hơn cách 1

1.1.4 Chức năng của bài tập toán

Ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học, mỗi bài tập toán đều có thể có những chức năng sau: chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng phát triển, chức năng kiểm tra Trong đó:

- Chức năng dạy học: qua giải bài tập toán nhằm hình thành, củng cố cho học sinh những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

- Chức năng giáo dục: giải bài tập toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới

- Chức năng phát triển: bài toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học

- Chức năng kiểm tra: bài tập toán nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến thức và trình độ phát triển của học sinh

Các chức năng nói trên đều hướng tới việc thực hiện mục đích dạy học Việc dạy toán ở trường phổ thông có hiệu quả hay không phụ thuộc vào sự khai thác và thực hiện đầy đủ các chức năng có thể có của bài tập bằng năng lực sư phạm của giáo viên

1.2 Kỹ năng giải toán

1.2.1 Kỹ năng

Trong thực tiễn cuộc sống để giải quyết được công việc con người cần vận dụng vốn hiểu biết và kinh nghiệm xử lý các vấn đề gặp phải Trong quá trình đó, con người dần hình thành cho bản thân những kỹ năng giải quyết vấn

đề đặt ra Có nhiều khái niệm về kỹ năng

Theo [11] “ kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định”

Theo [12] “ kỹ năng là khả năng thực hiện hành động một cách thành thạo, linh hoạt, sáng tạo, phù hợp với mục tiêu trong các điều kiện khác nhau”

Theo G.Polya [2, tr.386] “kỹ năng là một nghệ thuật là khả năng vận dụng những hiểu biết có được ở bạn để đạt được mục đích của mình, kỹ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộ các thói quen nhất định; kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp” G Polya còn khẳng định rằng [3] “ trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được”

Từ những quan điểm trên ta có thể hiểu: kỹ năng là sự thực hiện thành thạo và có kết quả một hành động nào đó bằng cách vận dụng tri thức, những kinh nghiệm đã có để hành động phù hợp với ngữ cảnh và điều kiện cụ thể

1.2.2 Đặc điểm của kỹ năng

Đặc điểm của kỹ năng:

- Kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết, đó là kiến thức, bởi

vì cấu trúc của kỹ năng bao gồm: hiểu mục đích - biết cách thức đi đến kết quả - hiểu những điều kiện để triển khai các cách thức đó

- Cơ sở của kỹ năng là kiến thức, khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư cách của hành động

- Muốn có kỹ năng về hành động nào đó thì cần phải:

+ Có kiến thức để hiểu biết được mục đích của hành động, biết được điều kiện, cách thức để đi đến kết quả, để thực hiện hành động

+ Tiến hành hành động đó với yêu cầu của nó

+ Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra

+ Có thể hành động có hiệu quả trong những điều kiện khác nhau + Có thể qua bắt chước, rèn luyện để hình thành kỹ năng nhưng phải trải qua thời gian đủ dài

Tuy nhiên trong thực tiễn giáo dục cho thấy, học sinh gặp phải rất nhiều khó khăn trong việc vận dụng những khái niệm và những kiến thức đã lĩnh hội được vào giải quyết những nhiệm vụ cụ thể Cái khó nằm ở chỗ, học sinh không biết phát hiện những dấu hiệu bản chất của đối tượng, từ đó phát hiện những mối liên hệ bản chất giữa tri thức đã có với đối tượng đó Trong trường hợp này, tri thức không biến thành công cụ của hoạt động nhận thức Như vậy khối kiến thức mà họ có được là khối kiến thức khô cứng không gắn với thực tiễn và không biến thành cơ sở của các kỹ năng

Tri thức về các sự vật là rất đa dạng và phong phú, nó phản ánh những thuộc tính khác nhau và thuộc tính bản chất của các sự vật Như vậy để tri thức trở thành cơ sở lựa chọn đúng đắn cho các hành động thì cần biết lựa chọn tri thức một cách đúng đắn và hợp lý, nói cách khác, cần lựa chọn tri thức phản ánh thuộc tính bản chất, phù hợp với mục tiêu của hành động

1.2.3 Kỹ năng giải toán

Trong Toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh

nhận được

Để thực hiện nhiệm vụ của môn Toán trong trường trung học phổ thông, một trong những yêu cầu đặc biệt về tri thức và kỹ năng cần chú ý là những tri thức phương pháp, đặc biệt là những phương pháp có tính chất thuật toán và những kỹ năng tương ứng Tuy nhiên tùy theo nội dung toán học mà

có những yêu cầu về rèn luyện kỹ năng khác nhau

1.2.4 Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh

Truyền thụ tri thức và rèn luyện kỹ năng là nhiệm vụ quan trọng của môn toán Rèn luyện kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thực tiễn mà trước hết là kỹ năng giải toán nhằm đạt được các yêu cầu cần thiết sau:

- Giúp cho học sinh hình thành và nắm vững mạch kiến thức cơ bản xuyên suốt chương trình

- Giúp cho học sinh phát triển năng lực trí tuệ Cụ thể là rèn luyện và phát triển:

+ Tư duy logic và ngôn ngữ chính xác, trong đó có tư duy thuật toán + Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng trong không gian

+ Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát

+ Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo

- Coi trọng việc rèn luyện kỹ năng tính toán trong các giờ học

- Giúp học sinh rèn luyện các phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ; tính kiên trì cẩn thận, chính xác, thói quen tự kiểm tra, đánh giá để tránh mắc những sai lầm

1.2.5 Một số kỹ năng cơ bản trong giải toán hình học không gian lớp 11

1.2.5.1 Nhóm kĩ năng chung khi giải bài tập toán

Khi giải một bài toán ta cần có các kỹ năng cơ bản sau:

Kỹ năng1 Kỹ năng tìm hiểu và phân tích đề bài

Khi giải một bài toán điều trước tiên cần làm đó là phân tích bài toán, làm rõ giả thiết và kết luận bài toán, nếu bài toán có tính chất là một vấn đề thì cần tìm một khâu nào còn chưa biết, một quy tắc tổng quát hoặc một phương pháp có yếu tố thuật giải để giải bài toán Từ đó lắp ghép các kiến thức có liên quan để tiến hành khai thác đưa ra lời giải Đây là kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề, là một trong những kỹ năng quan trọng nhất khi giải bài tập toán Cần làm rõ các thành phần mối liên hệ qua các yếu tố trong bài toán

Kỹ năng 2 Kỹ năng xây dựng chương trình giải bài toán

Vấn đề khó khăn nhất của học sinh khi đứng trước một bài toán, đặc biệt là bài toán hình học đó là đường lối giải Học sinh không biết bắt đầu từ đâu để đi đến kết quả bài toán

Xét về mặt nhận thức thì việc giải một bài toán là dựa vào sự phân tích đầu bài, học sinh huy động các kiến thức, kinh nghiệm của bản thân có liên quan đến bài toán để xây dựng chương trình giải bài toán Có thể là học sinh

tự nghĩ, tư duy tích cực để tìm ra lời giải, cũng có thể là “quy lạ về quen” thông qua các dạng toán đã biết

Kỹ năng 3 Kỹ năng trình bày lời giải

Khi học sinh đã tìm ra được lời giải, giáo viên hướng dẫn học sinh trình bày lời giải theo ý hiểu của mình, giúp học sinh học được cách suy luận, học được cách trình bày và luyện tập được cách diễn đạt Từ đó, học sinh sẽ biết cách trình bày lời giải của một bài toán Trong quá trình trình bày lời giải mà học sinh bị vướng mắc ở một bước nào đó thì giáo viên lại tiếp tục gợi ý để học sinh có thể vượt qua được khó khăn đang mắc phải, khi đó học sinh sẽ hiểu sâu và nhớ lâu hơn tri thức và phương pháp mà giáo viên đã ngầm cung cấp thông qua quá trình giúp người học thực hiện chương trình giải Kỹ năng này rèn luyện cho học sinh thao tác tư duy và phương pháp suy luận logic để thực hiện chương trình giải Chương trình giải có thể có một hoặc nhiều cách

giải khác nhau Khi được rèn luyện, học sinh có thể lựa chọn phương pháp thích hợp cho từng loại bài toán hoặc biết điều chỉnh hướng giải khi không

phù hợp

Kỹ năng 4 Kỹ năng nghiên cứu, kiểm tra kết quả bài

Xem lại lời giải của bài toán giúp học sinh hiểu lại một lần nữa bài toán đòi hỏi gì, để giải bài toán đó học sinh đã sử dụng những kiến thức nào, liên

hệ giữa các kiến thức ra sao để tìm ra lời giải… Qua đó giáo viên giúp học sinh hình dung lại cách suy nghĩ trước một bài toán, giúp học sinh cách làm các bài toán tuơng tự Nếu có thể, giáo viên nêu những bài toán nâng cao để học sinh tiếp tục suy nghĩ hoặc yêu cầu học sinh tìm cách giải khác nếu có để giúp họ học tập theo huớng phát triển Học sinh cần đuợc rèn luyện thói quen

xem lại lời giải của bài toán với mục đích:

- Kiểm tra các bước giải toán Việc kiểm tra các bước giải toán không chỉ nhằm phát hiện ra những sai lầm trong bài toán đã giải mà quan trọng hơn

là rút ra kết luận khái quát về hướng giải một loại bài tập cùng với tri thức thu nhận được Việc kiểm tra thực hiện một nhiệm vụ kép:

+ Thứ nhất là kiểm tra các bước trong tiến trình giải toán

+ Thứ hai là kiểm tra kết quả của bài toán Kiểm tra kết quả bằng các cách định tính và định lượng; kiểm tra giá trị chân lý của lời giải; kiểm tra cách suy luận và kỹ thuật tính toán Phát hiện và xử lý các sai lầm về chiến lược, chiến thuật giải toán, về hình thức, về logic hay khái niệm… để tiến trình giải toán mang tính tối ưu

- Học sinh có thể khái quát hóa, tương tự hóa… biến bài toán thành tri thức và kinh nghiệm của bản thân

- Có thể tìm ra được kết quả bằng một cách khác

- Có thể suy nghĩ để vận dụng kết quả hoặc phương pháp giải của bài

toán cho bài toán khác

1.2.5.2 Nhóm kĩ năng cơ bản của nội dung hình học không gian lớp 11

Kiến thức về hình học không gian là rất trừu tượng và mới đối với học sinh, có nhiều kiến thức tổng hợp, học sinh thường gặp khó khăn trong việc

vẽ và nhìn hình không gian, khả năng vận dụng kiến thức đã có để giải bài tập toán còn nhiều hạn chế Do đó, cần chú trọng rèn luyện các kỹ năng giúp học sinh làm quen với hình học không gian và các bài tập về hình học không gian, đây là các kỹ năng nền tảng của chương trình nhằm củng cố, khắc sâu kiến thức Với mỗi bài dạy, mỗi tiết dạy giáo viên cần xác định trong bài học đó, tiết học đó, có các kỹ năng nào cần rèn luyện Trong phạm vi kiến thức về hình học không gian lớp 11 ngoài nhóm gồm 4 kỹ năng cơ bản nói trên, có thể nêu một số nhóm kỹ năng cơ bản cần rèn luyện khi giải toán gồm:

Nhóm kỹ năng 1 Biểu diễn hình, xác định giao điểm, giao tuyến, thiết diện

Kỹ năng 1.1 Kỹ năng vẽ hình biểu diễn của một hình không gian

Một trong các yếu tố cần thiết để học tốt hình học nói chung và hình học không gian nói riêng là vẽ hình Hình vẽ chính xác, trực quan là một trong những yếu tố quyết định giúp học sinh tìm ra hướng chứng minh, hướng giải bài toán Để vẽ được hình cho một bài tập hình học không gian thì trước hết học sinh cần vẽ được hình biểu diễn của một hình không gian Ngay từ những giờ học đầu tiên, giáo viên cần rèn luyện cho học sinh biết cách biểu diễn đường thẳng, mặt phẳng và vị trí tương đối của chúng trong không gian sau khi giới thiệu hình ảnh của chúng trong thực tế, sau đó là các hình lập phương, hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác Chẳng hạn, giáo viên có thể cho các em học sinh quan sát một mô hình hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác theo các góc nhìn khác nhau và gọi học sinh lên bảng vẽ hình biểu diễn theo góc nhìn đó Để làm tốt nhiệm vụ này các học sinh cần nắm được những

quy tắc sau:

- Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng

- Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau

- Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ liên thuộc giữa điểm và đường thẳng

- Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn biểu diễn cho đường bị che khuất

- Hình biểu diễn của tam giác thường, tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều là tam giác thường

- Hình biểu diễn của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông là hình bình hành

Kỹ năng 1.2 Kỹ năng xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng thông thường ta sử dụng một trong hai cách:

Cách 1: Xác định hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng, đường thẳng

đi qua hai điểm chung đó là giao tuyến của hai mặt phẳng

Cách 2: Xác định một điểm chung của hai mặt phẳng và phương của giao tuyến

Kỹ năng 1.3 Kỹ năng xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Thông thường, để tìm giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng ta có thể đưa về việc tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho

Kỹ năng 1.4 Kỹ năng xác định thiết diện

Kỹ năng xác định thiết diện có ý nghĩa quan trọng trong việc phân chia các hình đa diện, có nhiều ứng dụng trong thực tế Để thực hiện tốt kỹ năng này trước hết học sinh cần thành thạo kỹ năng tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và kỹ năng tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng; nhận thức chính xác khái niệm "thiết diện"; nắm vững các tiên đề của hình học không gian, nguyên tắc vận dụng các định lí vào việc giải toán, các suy luận lôgic

Nhóm kỹ năng 2 Nhóm kỹ năng chứng minh

Kỹ năng 2.1 Kỹ năng chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian

Để rèn luyện được kỹ năng này, sau khi học xong các định nghĩa, tính chất, định

lí về quan hệ song song trong không gian học sinh cần nắm vững các dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song:

+ Hai đường thẳng đồng phẳng và không có điểm chung

+ Hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau và lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó

+ Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau

+ Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì mọi mặt phẳng đi qua đường thẳng mà cắt mặt phẳng đã cho thì cắt theo giao tuyến song song với đường thẳng đã cho

+ Hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau và cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó

+ Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song song với nhau

+ Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì hình chiếu a' của

a trên (P) song song với a

Kỹ năng 2.2 Kỹ năng chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Tương tự như trên để có được kỹ năng này học sinh cần nắm được dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng:

+ Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng không có điểm chung thì chúng song song với nhau

+ Nếu một đường thẳng nằm ngoài mặt phẳng và song song với một đường của mặt phẳng thì đường thẳng đó song song với mặt phẳng

+ Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì mọi đường thẳng của mặt phẳng này song song với mặt phẳng kia

Kỹ năng 2.3 Kỹ năng chứng minh hai mặt phẳng song song

Để có được kỹ năng này học sinh cần hiểu rõ các dấu hiệu nhận biết sau: + Hai mặt phẳng không có điểm chung thì song song với nhau

+ Nếu một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó song song

+ Nếu hai đường thẳng cắt nhau của một mặt phẳng này lần lượt song song với hai đường thẳng của mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó song song

+ Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau

Kỹ năng 2.4 Kỹ năng chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian

Để có được kỹ năng này, ngoài việc rèn luyện trong mỗi bài học thì sau khi học xong chương quan hệ vuông góc, học sinh cần tổng hợp các định nghĩa, định lí có thể sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, cụ thể:

+ Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 0

+ Cho hai đường thẳng song song Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia

+ Đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng ấy

+ Cho đường thẳng a vuông góc với đường thẳng c Nếu đường thẳng b song song với đường thẳng a thì đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c

+ Định lí ba đường vuông góc

Giáo viên chú ý cho học sinh rằng hai đường thẳng vuông góc với nhau

có thể cắt nhau hoặc chéo nhau

Kỹ năng 2.5 Kỹ năng chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Để có được kỹ năng này học sinh cần hiểu rõ các khái niệm, định lí sau:

+ Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) Nếu đường thẳng b song song với đường thẳng a thì đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (P)

+ Cho hai đường thẳng song song Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia

+ Cho hai mặt phẳng song song Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia

+ Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia

+ Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó

Kỹ năng 2.6 Kỹ năng chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Để có được kỹ năng này học sinh cần hiểu rõ các khái niệm, định lí,

Nhóm kỹ năng 3 Kỹ năng tính toán xác định góc, khoảng cách

Kỹ năng 3.1 Kỹ năng xác định, tính toán góc trong không gian

Kỹ này cần được rèn luyện cho học sinh sau khi học xong các khái niệm góc giữa hai đường thẳng trong không gian, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng Để có các kỹ năng này học sinh cần nắm vững các khái niệm:

+ Góc giữa hai đường thẳng trong không gian: góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a' và b' cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b

+ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói

Kỹ năng 3.2 Kỹ năng xác định, tính toán khoảng cách trong không gian

Muốn giải quyết các bài tập khoảng cách đòi hỏi học sinh phải có khả năng tưởng tượng không gian, khả năng vẽ hình biểu diễn, vẽ thêm các đường, chọn điểm đặc biệt sao cho phù hợp, thuận lợi trong từng bài tập Trong chương trình hình học không gian lớp 11 học sinh cần có các kỹ năng xác định và tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với nó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Vì vậy bài tập khoảng cách trong không gian rất đa dạng và phong phú Để có kỹ năng này học sinh cần nắm vững các khái niệm:

+ Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: cho điểm O và mặt phẳng (P) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P) Khi đó khoảng cách giữa 2 điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P)

+ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P), khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến mặt phẳng (P)

+ Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song: là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

+ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:

Đường vuông góc chung: đường thẳng d cắt 2 đường thẳng chéo nhau a,

b và vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của

2 đường thẳng a và b

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: nếu đường vuông góc chung d cắt 2 đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt tại M và N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b Nhận xét:

một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó

Qua các định nghĩa và nhận xét vừa nêu ta nhận thấy: bài toán tìm khoảng cách giữa đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau đều có thể đưa về bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Nếu muốn làm tốt các bài tập về khoảng cách khác thì trước tiên và trọng điểm là giúp học sinh giải quyết các bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

1.3 Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trung học phổ thông

1.3.1 Mục tiêu dạy học môn Toán ở trung học phổ thông

Theo chương trình môn Toán năm 2006, mục tiêu dạy học môn Toán gồm:

- Cung cấp cho học sinh những kiến thức, kỹ năng, phương pháp toán học phổ thông cơ bản thiết thực

- Góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của toán học cần thiết cho cuộc sống

- Góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất, phong cách lao động khoa học, biết hợp tác lao động, có ý chí và thói quen tự học thường xuyên

- Tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động theo định hướng phân ban: ban Khoa học Tự nhiên và ban Khoa học Xã hội và Nhân văn

1.3.2 Yêu cầu nhiệm vụ của môn Toán cấp trung học phổ thông

Cấp THPT có các nhiệm vụ:

- Hoàn chỉnh giáo dục phổ thông

- Chuẩn bị cho học sinh ra cuộc sống

- Chuẩn bị cho một bộ phận học lên các bậc học cao hơn

- Định hướng phân ban trên cơ sở giáo dục toàn diện

Do nhiệm vụ cấp học và đặc điểm đối tượng, việc dạy học môn Toán ở cấp trung học phổ thông có những yêu cầu đặc biệt sau:

- Về tri thức và kỹ năng, cần chú ý những tri thức phương pháp, đặc biệt những phương pháp không có tính thuật giải và những kỹ năng tương ứng

- Về năng lực trí tuệ, cần có yêu cầu cao về một số phẩm chất trí tuệ như tính độc lập, tính tự giác

- Về chính trị tư tưởng, cần nhấn mạnh yếu tố hình thành thế giới quan

- Về yêu cầu tạo cơ sở để học sinh học tiếp hoặc đi vào cuộc sống lao động, cần chú ý đúng mức đặc thù phân ban

1.3.3 Các yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh trung học phổ thông

Rèn luyện kỹ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán học vào thực tiễn

mà trước tiên là kỹ năng giải toán cần đạt các yêu cầu cụ thể sau:

Một là, giúp học sinh hình thành và nắm vững kiến thức cơ bản xuyên suốt chương trình phổ thông Trong môn Toán có thể kể tới các mạch kiến thức:

- Số và các phép tính trên tập hợp số thực, số phức

- Mệnh đề và tập hợp; các biểu thức đại số, lượng giác; phương trình (bậc nhất, bậc hai, quy về bậc nhất và bậc hai, lượng giác, mũ, lôgarít); hệ phương trình (bậc nhất, bậc hai); bất phương trình (bậc nhất, bậc hai, quy về bậc nhất và bậc hai, mũ, lôgarít) và hệ bất phương trình bậc nhất (một ẩn, hai ẩn)

- Hàm số, giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

- Các quan hệ hình học và một số hình thông dụng (điểm, đường thẳng, mặt phẳng, hình tam giác, hình tròn, elip, hình đa diện, hình tròn xoay); phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng; vectơ và toạ độ

- Thống kê, tổ hợp, xác suất

Hai là, giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ mà cụ thể là:

- Tư duy logic và ngôn ngữ chính xác trong đó có thuật toán

- Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian

- Các thao tác tư duy như: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá…

- Các phẩm chất trí tuệ như tính độc lập, tính linh hoạt và sáng tạo

Ba là, coi trọng việc rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng thực hành trong tất cả các giờ học toán gắn với việc rèn luyện các kỹ năng thực hành như tính toán, biểu diễn, vẽ hình

Bốn là, giúp học sinh rèn luyện các phẩm chất đạo đức và thẩm mĩ thể hiện ở tính cẩn thận, chính xác, tính kế hoạch, kỉ luật, tính kiên trì, vượt khó, tinh thần trách nhiệm, khả năng hợp tác lao động, ý chí và thói quen học hỏi, rút kinh nghiệm, thái độ phê phán, thói quen tự kiểm tra để tránh những sai lầm có thể gặp

1.4 Nội dung của chương trình và yêu cầu của dạy học về chủ đề giải bài tập hình học không gian chương quan hệ vuông góc

1.4.1 Nội dung của chủ đề hình học không gian chương quan hệ vuông góc trong chương trình hình học không gian lớp 11

Nội dung hình học không gian lớp 11 là nội dung kiến thức quan trọng,

có vai trò to lớn trong việc hoàn thiện tri thức phổ thông và bồi dưỡng tư duy cho học sinh Với ưu thế riêng biệt, hình học không gian có ưu thế trong việc giúp học sinh phát triển trí tưởng tượng không gian, tư duy logic và tư duy sáng tạo

Theo chương trình sách giáo khoa hiện nay, nội dung hình học không gian lớp 11 gồm hai chương, đó là:

Chương II - Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Quan hệ song song Chương III - Véctơ trong không gian Quan hệ vuông góc

Trong chương III sách giáo khoa hình học lớp 11 ban cơ bản đã trình bày các khái niệm và định lý về véctơ trong không gian, hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc, góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, các định lý về mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng

1.4.2 Mục đích, yêu cầu của việc dạy học chủ đề hình học không gian chương quan hệ vuông góc

1.4.2.1 Về kiến thức

Những kiến thức cơ bản mà học sinh cần nắm vững là:

- Định nghĩa và tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc

- Tính chất của phép chiếu vuông góc

- Các loại khoảng cách: khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

- Các loại góc: góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng

- Định nghĩa và tính chất của hình chóp, hình lăng trụ, hình đa diện ([8, tr 177 – 178])

1.4.2.2 Về kĩ năng

Thông qua nội dung hình học không gian lớp 11 chương quan hệ vuông góc, học sinh cần có các kỹ năng vận dụng các kiến thức của hình học không gian vào giải toán và đời sống

- Kỹ năng biểu diễn các hình không gian lên mặt phẳng theo phép chiếu song song, phép chiếu vuông góc

- Kỹ năng xác định giao điểm của hai đường thẳng, của đường thẳng và mặt phẳng; xác định giao tuyến của hai mặt phẳng; kỹ năng xác định thiết diện

- Kỹ năng chứng minh hình học nói riêng và chứng minh toán học nói chung bằng những lập luận có căn cứ, trình bày lời giải mạch lạc

- Kỹ năng xác định, tính toán về góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng

- Kỹ năng phát biểu bài toán hình học xuất phát từ thực tiễn, giải được một số bài toán thực tiễn có liên quan đến hình học không gian.([8, tr 178])

1.5 Thực trạng dạy học giải bài tập hình học không gian chương quan hệ vuông góc ở trường trung học phổ thông

1.5.1 Thực trạng dạy học giải bài tập hình học không gian chương quan

hệ vuông góc ở trường trung học phổ thông

Qua quá trình giảng dạy của bản thân và tham khảo ý kiến của các đồng

nghiệp, tác giả nhận thấy học sinh rất e ngại học hình học không gian nhất là chương quan hệ vuông góc vì các em nghĩ rằng nó rất khó và trừu tượng Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, kỹ năng giải toán hình không gian của nhiều học sinh còn yếu, thậm chí không vẽ được một hình đơn giản

Do đó khi dạy học giải bài tập toán hình học không gian nói chung và bài tập toán chương quan hệ vuông góc nói riêng, giáo viên cần có phương pháp giảng dạy hấp dẫn, sinh động, gây hứng thú cho học sinh, giáo viên cần tìm tòi, sáng tạo để soạn bài tập trên cơ sở chuẩn kiến thức, kỹ năng và sách giáo khoa, thiết kế hình vẽ rõ ràng và giải thuật ngắn gọn hợp lý giảm bớt khó khăn giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản của bài học, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo giải các bài toán hình học không gian Tuy nhiên, trên thực tế nhiều giáo viên lại chỉ đơn thuần hướng dẫn và yêu cầu học sinh làm những bài tập trong sách giáo khoa

Nhiều trường nói chung và nhiều giáo viên nói riêng đã sử dụng đồ dùng dạy học trực quan như: mô hình hình học không gian, bảng phụ có vẽ sẵn hình không gian, phần mềm dạy học… Đa phần các trường đều có máy tính, máy chiếu, kết hợp với sự tiến bộ của khoa học công nghệ, nhiều giáo viên đã tạo ra các mô hình, các bảng phụ bằng các phần mềm toán học giúp học sinh dễ hình dung, dễ tiếp thu bài khi học lý thuyết cũng như giải bài tập

1.5.2 Thực trạng kĩ năng giải bài tập hình học không gian chương quan hệ vuông góc của học sinh ở trường trung học phổ thông

Học sinh đã được tiếp cận các khái niệm cơ bản của hình học không

gian ở chương II Tuy nhiên đây là một nội dung khó đối với học sinh

- Ở các lớp dưới, học sinh đang quen nghiên cứu các hình trong mặt phẳng, mỗi hình có thể biểu diễn một cách tường minh phản ánh đúng hình dạng và có thể cả về kích thước bằng hình vẽ trên mặt giấy Mọi quan hệ như quan hệ liên thuộc, quan hệ thứ tự, quan hệ song song, quan hệ vuông góc giữa các đối tượng và quan hệ bằng nhau giữa hai đoạn thẳng hay hai góc đều được biểu diễn một cách trực quan Nay các em bắt đầu tìm hiểu hình học không gian, hình vẽ là những hình biểu diễn trên mặt phẳng không thể phản ánh một cách tuyệt đối các quan hệ như quan hệ bằng nhau giữa hai đoạn thẳng hay hai góc, quan hệ vuông góc Do đó tư duy trực quan của học sinh

sẽ bị giảm bớt, phải được thay thế bởi tư duy lôgic trừu tượng kết hợp với trí tưởng tượng không gian

1.6 Kết luận chương 1

Qua chương 1 chủ yếu đề cập đến một số vấn đề cơ bản như: kỹ năng,

kỹ năng giải toán, kỹ năng chung, các kỹ năng cơ bản trong giải toán hình học không gian lớp 11…với mục đích làm điểm tựa lý luận cho các giải pháp sẽ được trình bày ở chương 2

Thông qua việc tìm hiểu sơ bộ thực trạng rèn luyện kỹ năng giải toán hình học không gian ở trường THPT nơi tác giả dạy, tác giả nhận thấy kỹ năng giải toán hình học không gian của học sinh còn kém đặc biệt là phần quan hệ vuông góc trong không gian Do vậy, tác giả nhận thấy cần thiết phải

đề xuất một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán hình học không gian chương “quan hệ vuông góc” cho học sinh THPT ở chương 2

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC

KHÔNG GIAN CHƯƠNG QUAN HỆ VUÔNG GÓC

2.1 Một số nguyên tắc khi xây dựng các biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán

2.1.1 Phù hợp với định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông

Định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông đã được pháp chế hoá trong Luật Giáo dục:

"Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động,

tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên." (Luật Giáo dục 2005, chương I, điều 5)

"Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập của học sinh." (Luật Giáo dục 2005, chương I, điều 28)

Cốt lõi của việc đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường THPT là làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động Quan điểm chung về đổi mới phương pháp dạy học môn Toán hiện nay ở trường THPT là tổ chức cho học sinh được học tập trong hoạt động

và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo

dựng trên định hướng giúp học sinh học tập một cách tích cực, chủ động, biết phát hiện và giải quyết vấn đề, phát triển tư duy linh hoạt, sáng tạo, trên tinh thần biết tự học

2.1.2 Phù hợp với lí luận dạy học bộ môn

Theo [8, tr.134], "quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học có thể được thể hiện ở các tư tưởng chủ đạo sau đây:

- Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động thành phần tương thích với nội dung, mục tiêu dạy học

- Gợi động cơ cho các hoạt động học tập

- Dẫn dắt học sinh kiến tạo tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp như phương tiện và kết quả của hoạt động

- Phân bậc hoạt động làm căn cứ điều khiển quá trình dạy học”

Các tư tưởng chủ đạo này được coi là những thành tố cơ sở của phương pháp dạy học Khi xây dựng các biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh phải dựa trên quan điểm hoạt động với bốn tư tưởng chủ đạo trên

2.1.3 Phù hợp với yêu cầu của chương trình

Theo [10, tr.109] "Chương trình dạy học là bản thiết kế về hoạt động dạy học trong đó phản ánh các yếu tố mục đích dạy học, nội dung và phương pháp dạy học, các kết quả dạy học Những yếu tố này được cấu trúc theo quy trình chặt chẽ về thời gian biểu" Vì vậy khi soạn bài và giảng bài giáo viên phải đảm bảo yêu cầu về nội dung chương trình do Bộ Giáo Dục đề ra

2.1.4 Phù hợp với đối tượng học sinh

Nguyên tắc này đảm bảo tính vừa sức trong hoạt động dạy học nói chung và dạy học môn Toán nói riêng Học sinh với sự nỗ lực trí tuệ nhất định chỉ có thể lĩnh hội được những tri thức phù hợp với đặc điểm tâm sinh lý của từng cá nhân Theo [5, tr.146] "Mỗi học sinh khoẻ mạnh, bình thường về mặt tâm lý không bệnh tật đều có khả năng tiếp thu môn Toán theo yêu cầu của chương trình phổ thông Tuy nhiên, nếu mọi học sinh đều như nhau về mặt có thể học Toán đạt được yêu cầu của chương trình thì đồng thời lại có sự khác

biệt tâm lý cá nhân giữa học sinh này với học sinh khác trong việc học toán Nói một cách khác, không phải mọi học sinh đều có năng lực tiếp thu như nhau Có em tiếp thu nhanh dễ dàng, có em chậm và phải cố gắng nhiều hơn, đồng thời có những em có năng khiếu đặc biệt Sự khác biệt cá nhân này là một tồn tại khách quan."

Như vậy, khi xây dựng các biện pháp để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ta phải chú ý sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh

2.2 Kỹ năng giải toán hình học không gian chương quan hệ vuông góc

2.2.1 Kỹ năng chứng minh

Mục đích là rèn luyện cho học sinh các kỹ năng: chứng minh hai đường thẳng vuông góc, chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Cách thức thực hiện: giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài toán cơ bản từ đó rèn luyện kỹ năng cho học sinh giải các bài toán tương tự

Với mỗi bài toán sẽ thực hiện theo tiến trình sau:

- Giai đoạn 1: Giáo viên yêu cầu học sinh đọc kỹ đề bài, phân tích đề bài nêu rõ giả thiết kết luận bài toán, vẽ hình

- Giai đoạn 2: Giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại các kiến thức liên quan đến bài toán

- Giai đoạn 3: Giáo viên yêu cầu học sinh đưa ra hướng giải

- Giai đoạn 4: Giáo viên giúp đỡ học sinh làm theo hướng giải

- Giai đoạn 5: Rút ra những bài học kinh nghiệm, những điểm cần chú ý

Dạng 1: Kỹ năng chứng minh hai đường thẳng vuông góc





b Nếu M, N lần lượt là trung điểm AB và CD thì MN AB  và MN CD 

Giai đoạn 1: Giáo viên yêu cầu học sinh đọc kĩ, phân tích đầu bài và vẽ hình Giai đoạn 2: Giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại các kiến thức liên quan đến bài toán:

- Hình tứ diện

- Các cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Giai đoạn 3: Dựa trên các cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc giáo viên yêu cầu học sinh đưa ra hướng giải bài toán này

- Chứng minh tích vô hướng của hai véc tơ chỉ phương bằng 0

- Chứng minh một trong hai đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng còn lại

- Chứng minh góc tạo bởi hai đường thẳng bằng 90 0

Giai đoạn 4: Giáo viên giúp đỡ học sinh làm theo hướng giải

Tóm tắt lời giải

M B

C

D A

G H

Hình vẽ 2.1 Cách 1: Sử dụng véctơ

1 AB.CD=AB AD-AC =AB.AD-AB.AC         

Do đó MN vuông góc với AB

Chứng minh tương tự ta có MN vuông góc với CD

Cách 2: Chứng minh một trong hai đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng còn lại

1 Ta có tam giác ACD và tam giác BCD cân tại A và B Suy ra các đường trung tuyến AN và BN lần lượt là đường cao Suy ra:

Chứng minh tương tự ta có AB vuông góc với MN

Cách 3: Chứng minh góc của hai đường thẳng bằng 90 0

1 Dựng điểm G sao cho tứ giác BCGD là hình bình hành

Gọi H là trung điểm AG ta có NH // AB

Dễ dàng chứng minh được HC = HD Suy ra tam giác CHD cân tại H suy ra HN CD Vậy ta có AB,CD  HN,CD900 AB CD.

2 Ta có tam giác BCD và tam giác ACD bằng nhau (c-c-c) Suy ra:

NA = NB suy ra tam giác NAB cân tại N có đường trung tuyến NM, suy

ra NM vuông góc với AB

Chứng minh tương tự ta có MN vuông góc với CD

Giai đoạn 5: Rút ra những bài học kinh nghiệm, những điểm cần chú ý

- Học sinh đọc lại lời giải, các bước giải

- Qua bài toán này học sinh củng cố, khắc sâu một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian

c Áp dụng

Ví dụ 3 (Trích đề thi Đại học khối B năm 2002)

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CD, A’D’ Chứng minh rằng MP và C’N vuông góc

D'

C D

A'

Hình vẽ 2.2 Cách 1: Sử dụng tích vô hướng của hai véc tơ

Đặt AB = a ( a 0 )