Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh khá giỏi môn toán cấp trung học cơ sở qua dạy học tổ hợp

29 CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG VÀ ĐỀ XUẤT MỘT SỐ BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI MÔN TOÁN CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ QUA DẠY HỌC TỔ HỢP .... Trên cơ sở lí thuyết m

i

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội và các thầy giáo, cô giáo đang công tác giảng dạy tại trường đã nhiệt tình giảng dạy và hết lòng giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài

Đặc biệt tác giả bày tỏ lòng kính trọng và cảm ơn PGS.TS Lê Anh Vinh, người đã trực tiếp hướng dẫn và nhiệt tình chỉ bảo tác giả trong quá trình nghiên cứu, thực hiện đề tài

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo và các

em HS trường THCS Giảng Võ, Phòng Giáo dục và Đào tạo quận Ba Đình, Thành phố Hà Nội, trường Trung học phổ thông chuyên Hà Nội Amsterdam và Trung tâm Nghiên cứu - Ứng dụng Khoa học giáo dục của Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành bản luận văn này

Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn đến người thân, gia đình và bạn bè, đồng nghiệp, nhất là các bạn lớp Cao học Toán K9 trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội, vì trong suốt thời gian qua đã cổ vũ, động viên tác giả hoàn thành nhiệm vụ của mình

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô giáo và các bạn

Hà Nội, ngày tháng 12 năm 2015

Tác giả

Trịnh Hoài Dương

7 Đpcm: Điều phải chứng minh

8 ITOT:International Mathematics Tournament of the Towns

9 F: fall

10 S: Spring

11 O: Open

12 A: Advance

13 IMC:International Mathesmatics Comptition

14 IMSO: Internationnal Mathesmatics and Science Olympiad

iii

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU ĐỒ HÌNH VẼ v

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Vấn đề và dạy học giải quyết vấn đề 4

1.1.1 Vấn đề là gì? 4

1.1.2 Các đặc điểm của vấn đề trong dạy học 5

1.1.3 Quá trình giải quyết vấn đề trong dạy học Toán 5

1.1.4 Năng lực giải quyết vấn đề 10

1.1.5 Dạy học giải quyết vấn đề 17

1.2 Nội dung Tổ hợp ở THCS 20

1.2.1 Tổ hợp 20

1.2.2 Vai trò của Tổ hợp trong chương trình toán ở THCS 21

1.2.3 Một số dạng bài tập và phương pháp trong Tổ hợp 21

1.2.4 Mối liên hệ giữa dạy học Tổ hợp và sự phát triển năng lực giải quyết vấn đề 25

1.3 Thực trạng dạy học giải quyết vấn đề và dạy học Tổ hợp, dạy học phát triển năng lực giải quyết vấn đề qua dạy học Tổ hợp ở cấp THCS 26

1.3.1 Thực trạng dạy học giải quyết vấn đề 26

1.3.2 Thực trạng dạy Tổ hợp ở cấp THCS 28

1.3.3 Thực trạng dạy học phát triển năng lực giải quyết vấn đề qua dạy học Tổ hợp 29

1.4 Kết luận chương 1 29

CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG VÀ ĐỀ XUẤT MỘT SỐ BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI MÔN TOÁN CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ QUA DẠY HỌC TỔ HỢP 31

2.1 Các căn cứ để xây dựng biện pháp 31

2.1.1 Căn cứ vào cơ sở lí luận 31

2.1.2 Căn cứ vào mục tiêu của cấp học 31

2.1.3 Căn cứ vào điều kiện thực tiễn 31

2.1.4 Căn cứ vào tính khả thi 31

iv

2.2 Yêu cầu về kiến thức và kỹ năng 31

2.2.1 Yêu cầu về kiến thức 31

2.2.2 Yêu cầu về kỹ năng 34

2.2.3 Yêu cầu về thái độ 34

2.3 Một số biện pháp phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho HS khá, giỏi cấp THCS qua dạy học Tổ hợp 34

2.3.1 Biện pháp 1: Thiết kế bài giảng chứa đựng nội dung Tổ hợp sao cho tạo thành tình huống có vấn đề nhưng phù hợp với lứa tuổi THCS 34

2.3.2 Biện pháp 2: Hướng dẫn HS khai thác bài toán từ các bài toán có nội dung Tổ hợp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 các trường Trung học phổ chuyên môn Toán, Tin và thi học giỏi Toán cấp THCS trong và ngoài nước……… .…43

2.3.3 Biện pháp 3: Xây dựng hệ thống bài tập và phương pháp giải 58

2.4 Kết luận chương 2 96

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 97

3.1 Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 97

3.1.1 Mục đích thực nghiệm 97

3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 97

3.2 Đối tượng, nội dung và kế hoạch thực nghiệm sư phạm 97

3.2.1 Đối tượng thực nghiệm 97

3.2.2 Nội dung và kế hoạch thực nghiệm 97

3.2.3.Đề chọn thành viên câu lạc bộ 98

3.2.4 Giáo án thực nghiệm 100

3.2.5 Đề kiểm tra 110

3.3 Tổ chức triển khai thực nghiệm sư phạm 112

3.4 Đánh giá thực nghiệm sư phạm 113

3.4.1 Kết quả bài kiểm tra chọn thành viên cho câu lạc bộ 113

3.4.2 Kết quả bài kiểm tra 114

3.4.3 Phân tích số liệu và kết luận sư phạm 115

3.5 Kết luận chương 3 118

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 119

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 120

v

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ, HÌNH VẼ

1 Sơ đồ quá trình giải quyết vấn đề……….… 6

2 Hình 1, 2 ……….……….… 8

3 Hình 3, 4 ……….……….… 9

4 Hình 5, 6, 7, 8 ……….……….… 10

5 Hình 9 ……….……….…… 23

6 Hình 10 ……….……….… 25

7 Kết quả điều tra số 1……… …27

8 Bảng thông kê các khó khăn khi dạy học giải quyết vấn đề ……… 27

9 Bảng thống kê mức độ hoạt động của HS trong giờ học Toán……… …28

10 Bảng thông kê mức độ mong muốn các hoạt động của HS trong một giờ học Toán……… …… 28

11 Hình 11 ……….……… 33

12 Hình 12 ……….……… 36

13 Hình 13 ……….……… 37

14 Hình 14, 15, 16, 17 ………….……… 38

15 Hình 18, 19……… ………….……… 39

16 Hình 24, 25, 26… ………….……… 66

17 Hình 30, 31, 32… ………….……… 69

18 Hình 33, 34, 35… ………….……… 70

19 Hình 36, 37, 38… ………….……… 71

20 Bảng nội dung và kế hoạch thực nghiệm ……… 97

21 BIỂU ĐỒ ĐIỂM THI VÕNG 1 TRƯỜNG GiẢNG VÕ ……… ……113

22 BIỂU ĐỒ ĐIỂM THI VÕNG 2 TRƯỜNG GiẢNG VÕ …… ………114

23 BIỂU ĐỒ ĐIỂM THI TRƯỜNG THPT chuyên Hà Nội-Amsterdam ……114

24 BIỂU ĐỒ GIẢI ĐIỂM ĐỀ O- LEVEL ……… …… 114

25 BIỂU ĐỒ GIẢI ĐIỂM ĐỀ A- LEVEL ……… ………… 115

26 BIỂU ĐỒ ĐIỂM TRUNG BÌNH THEO NHÓM ……… ………… 115

27 BIỂU ĐỒ SO SÁNH ĐIỂM ĐÃ NHÂN HỆ SỐ…….……… ………116

28 BIỂU ĐỒ SO SÁNH ĐIỂM CHƯA NHÂN HỆ SỐ……….……… ……… 116

vi

có khả năng toát lên được đường lối chung, phương pháp chung để giải và chưa được tiếp tục nghiên cứu đào sâu thêm sau khi giải hoàn chỉnh bài toán HS sau khi giải xong hoặc được thầy cô giáo chữa xong một bài toán có thể cảm nhận được cái hay, cái đẹp của bài toán nhưng hoàn toàn chỉ dừng lại ở mức độ đó, không hề có tư tưởng hoặc dành thời gian xác đáng để nghiên cứu sâu thêm bài toán như: thay đổi cách phát biểu, tương tự hóa, tổng quát hóa, đặc biệt hóa, sáng tạo các bài toán có ý tưởng tương tự, phát biểu bài toán ngược, Do đó khi HS gặp một bài toán về bản chất giống như bài toán cũ nhưng được phát biểu khác đi, có hình thức thay đổi thì không nhận ra hoặc rất lúng túng trong việc định hướng để giải Điều này đương nhiên làm cho HS vốn đã có tư tưởng sợ Tổ hợp lại càng không dám dành thời gian

2

hợp lý để nghiên cứu, tìm tòi và tất nhiên sẽ dẫn đến hiệu quả học tập phân môn Tổ hợp không cao ở các cấp học cao hơn

Xuất phát từ thực tế trên và điều kiện công tác và nghiên cứu của bản thân, tác giả

chọn đề tài: “Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho HS khá, giỏi môn Toán qua dạy học Tổ hợp” làm luận văn thạc sỹ

2 Lịch sử nghiên cứu

Ở nước ta đã có nhiều tác giả nghiên cứu về Tổ hợp như: thầy Nguyễn Vũ Lương, thầy Phan Huy Khải, thầy Vũ Đình Hòa, thầy Đặng Huy Ruận, thầy Trần Nam Dũng, thầy Lê Anh Vinh, , ở cấp THCS có thầy Vũ Hữu Bình và nhiều tác giả khác

Có rất nhiều công trình nghiên cứu về lý luận và thực tiễn phát triển, nâng cao năng lực nói chung và năng lực giải quyết vấn đề cho HS trong học môn Toán

Trên cơ sở lí thuyết mà các nhà toán học, các nhà sư phạm đã đưa ra, căn cứ

vào thực trạng dạy học “Tổ hợp” ở một số trường THCS trên địa bàn thành phố Hà

Nội trong giai đoạn hiện nay thì với luận văn này, xin được trình bày một vấn đề hẹp và cụ thể là: Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho HS khá, giỏi môn Toán cấp THCS qua dạy học Tổ hợp

3 Mục đích nghiên cứu

Phân tích mối liên hệ giữa dạy học Tổ hợp và năng lực giải quyết vấn đề của

HS, từ đó đề xuất một số biện pháp nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho

HS khá, giỏi môn Toán cấp THCS qua dạy học Tổ hợp

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận của đề tài Trong phần này, đề tài sẽ hệ thống hóa cơ sở

lý luận về dạy học giải quyết vấn đề, về Tổ hợp và mối liên hệ giữa chúng

- Đánh giá thực trạng về dạy học Tổ hợp, phân tích các yếu tố ảnh hưởng đến năng lực giải quyết vấn đề của HS khá, giỏi môn Toán cấp THCS

- Đề xuất các giải pháp nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho HS khá, giỏi môn Toán cấp THCS

- Xây dựng một số giáo án thực nghiệm, tiến hành thực nghiệm nhằm đánh giá tính khả thi của các biện pháp trên

5 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

5.1 Khách thể nghiên cứu

Là HS lớp 6, 7, 8, 9 được đánh giá là khá, giỏi môn Toán, cấp THCS

5.2 Đối tượng nghiên cứu

Là năng lực giải quyết vấn đề và các biện pháp nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho HS khá, giỏi môn Toán cấp THCS

6 Vấn đề nghiên cứu

3

Dạy học Tổ hợp như thế nào để có thể nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho HS khá, giỏi môn Toán cấp THCS?

7 Giả thuyết khoa học

Vận dụng các biện pháp dạy học Tổ hợp sẽ nâng cao được năng lực giải quyết vấn

đề cho HS khá, giỏi môn Toán cấp THCS

8 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu

8.1 Giới hạn và phạm vi về nội dung

Đề tài này nghiên cứu về mối quan hệ giữa dạy học bái toán đếm và việc nâng cao năng lực giải quyết vấn đề của HS THCS trong Tổ hợp

8.2 Giới hạn và phạm vi về thời gian

Các nghiên cứu và số liệu khảo sát của đề tài này được tiến hành trong giữa học kì

II năm học 2014 - 2015 đến hết học kỳ I năm học 2015 – 2016 (từ tháng 04 năm

2015 đến tháng 12 năm 2014)

8.3 Giới hạn và phạm vi về khách thể nghiên cứu

HS khá, giỏi môn Toán cấp THCS ở 9 trường THCS có uy tín trên địa bàn thành phố Hà Nội trong nhiều năm gần đây

10 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Sưu tầm, đọc tài liệu tham khảo, nghiên cứu các

văn bản liên quan đến các vấn đề của đề tài này

- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Quan sát, điều tra - khảo sát bằng phiếu hỏi,

thực nghiệm sư phạm, tổng kết kinh nghiệm, tham vấn chuyên gia

- Phương pháp xử lý thông tin: Định lượng, định tính, thống kê và phân tích thống

kê

11 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, tài liệu tham khảo và phụ

lục, luận văn dự kiến được trình bày theo ba chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Xây dựng và đề xuất một số biện pháp phát triển năng lực giải quyết vấn

đề cho HS khá, giỏi môn Toán cấp THCS qua dạy học Tổ hợp

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Vậy vấn đề là gì? Theo từ điển Tiếng Việt của Hoàng Phê thì vấn đề là điều cần được xem xét, nghiên cứu, giải quyết [1, tr 1140], như vậy nghĩa của nó rất rộng.Trong khuôn khổ luận văn này khái niệm vấn đề được đặt trong khuôn khổquá

trình dạy học nói chung và dạy học môn Toán ở phổ thông, cấp THCSnói riêng Có rất nhiềuquan điểm về vấn đề trong dạy học Sau đây chúng ta cùng phân tích một vàiquan điểm đó

Vấn đề (Problem) là một tình huống đặt ra cho một cá nhân hay mộtnhóm cá nhân

có nhu cầu giải quyết mà đôi khi đối mặt với tình huống này họkhông thấy ngay con đường dẫn tới lời giải và phương pháp giải không vượtquá xa khả năng của họ.Một tình huống được gọi là vấn đề khi và chỉ khi nó thỏa mãn ba điềukiện sau:

- Một là người học có nhu cầu giải quyết

- Hai là người học không có sẵn thuật giải, lời giải

- Ba là người học có sẵn những kiến thức, kĩ năng nếu sử dụng thích hợp thì

có thể giải quyết được (không vượt quá khả năng của người học)

Theo Đào Thai Lai thì Vấn đề là một câu hỏi nảy ra hay được đặt ra cho chủ thể mà chủ thểchưa biết lời giải và phải tìm tòi lời giải một cách sáng tạo, nhưng chủ thể đãcó sẵn một vài phương tiện ban đầu để sử dụng thích hợp vào việc tìm tòi lờigiải

đó [3, tr 22] (Chủ thể ở đây được hiểu là người học) Theo Lê Ngọc Sơn thì Vấn đề

là một bài toán, một câu hỏi hay một đòi hỏi yêu cầu hành động giải quyết, đòi hỏi một cá nhân hay một nhóm đưa ra cách giải, câu trả lời, các hành động phải tiến hành, mà chưa biết con đường nào dẫn tới kết quả ”, [4, tr.26]

Theo Nguyễn Bá Kim thì một bài toán được gọi là vấn đề nếu chủ thể chưa biết một thuật giảinào đó có thể áp dụng để tìm ra phần tử chưa biết của bài toán đó [2,tr 185] Qua một số quan điểm trên, chúng tôi thấy các khái niệm cóthể trình bày khác nhau nhưng đều có chung các đặc điểm là người học có nhucầu và có khả năng giải quyết nhưng chưa thể làm được ngay lập tức

Một bài toán đặt ra, đối với người học này thì nó là vấn đề, nhưng đối với người khác thì nó có thể không phải là vấn đề Do vậy chúng tôi đề xuất khái niệm vấn đề

như sau:Vấn đề là những câu hỏi, bài toán hay nhiệm vụ đặt ra mà việc giải quyết

5

chúng chưa có quy luật, thuật giải cũng như những tri thức, kỹ năng sẵn có chưa đủ

để giải quyết ngay lập tức mà còn khó khăn, cản trở cần tư duy để vượt qua

Trong dạy học toán ở trường phổ thông, để giải quyết được nhiệm vụ học toán, người học cần phải tiến hành những hoạt động phát hiện và giải những tình huống của môn Toán hoặc liên quan đến môn Toán Đó có thể là các câu hỏi, yêu cầu hành động, bài toán chưa có sẵn lời giải hoặc cách thực hiện Điều này thường xảy ra khi: xây dựng khái niệm, nhận thức thuộc tính của khái niệm; hình thành qui tắc, công thức; chứng minh định lí, khẳng định tính đúng - sai của một mệnh đề và giải bài tập toán Mỗi nhiệm vụ nhận thức trong tình huống đó (dù ở cấp độ nào, dễ hay khó) cũng có cấu trúc như một bài toán, do đó có thể coi là một bài toán Vì vậy, trong luận văn này chúng tôi dùng thuật ngữ bài toán được hiểu là vấn đề đã nêu ở trên

1.1.2 Các đặc điểm của vấn đề trong dạy học

- Vấn đề mang tính triết học, vì mỗi vấn đề đều chứa đựng những mâu thuẫn

giữa nhiệm vụ của người học và những kinh nghiệm, kiến thức, kĩ năng sẵn có của

họ Giải quyết các mâu thuẫn trên chính là con đường phát triển nhận thức cho người học

- Vấn đề mang tính tâm lí học, vì tư duy tích cực chỉ nảy sinh khi có nhu cầu,

tức là đứng trước những khó khăn về nhận thức Rubeistein cho rằng: “Tư duy sáng tạo luôn bắt đầu bằng tình huống có vấn đề” [6, tr 115]

- Vấn đề mang tính giáo dục, vì vấn đề phải vừa sức với HS Nó phù hợp với

nguyên tắc tự giác và tích cực của HS trong các hoạt động Hơn nữa nó còn khêu gợi sự ham muốn tìm tòi khám phá, qua đó HS được học cách khám phá, giải quyết những vấn đề một cách khoa học Đồng thời, góp phần bồi dưỡng cho HS phát triển năng lực, trí tuệ và những đức tính cần thiết của người lao động sáng tạo như tính chủ động, tích cực,cần cù vượt khó, tính có kế hoạch và tự kiểm tra, đánh giá quá trình [5, tr16]

1.1.3 Quá trình giải quyết vấn đề trong dạy học Toán

Trước hết, người học cần phát hiện và xác định đúng vấn đề Phát hiện vấn

đề là chủ thể nhận ra cái mình chưa biết trước đó và mong muốn được biết Khi đã

xác đinh được đúng vấn đề thì người học mới xây dựng chương trình để giải quyết

vấn đề Giải quyết vấn đề là thiết lập những phương pháp, sử dụng các công cụ như

kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo…để vượt qua những khó khăn trở ngại đã được đặt ra Với một vấn đề cụ thể có thể có một số giải pháp giải quyết, trong đó giải pháp đơn giản, hiệu quả là giải pháp tối ưu Một vấn đề đặt ra cho người học, trong nó chứa đựng mâu thuẫn giữa kiến thức, kĩ năng, phương pháp, kinh nghiệm đã có của

6

người học với yêu cầu của vấn đề Giải quyết vấn đề là người học giải quyết các mâu thuẫn chứa đựng trong vấn đề Khi đó, người học sẽ được bổ sung kiến thức, kĩ năng, phương pháp, kinh nghiệm Theo quy luật của phép duy vật biện chứng:

“Mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình phát triển” Trong quá trình đó, HS tự hoàn thiện kiến thức, kĩ năng và có đủ khả năng đón nhận những thử thách mới khó khăn hơn

Theo J D Branford [1] thì việc giải quyết vấn đề có 5 thành phần là:

1 Nhận diện vấn đề;

2 Tìm hiểu cặn kẽ những khó khăn;

3 Đưa ra một giải pháp;

4 Thực hiện giải pháp;

5 Đánh giá hiệu quả việc thực hiện

Còn theo G Polya (1887-1985) là nhà Toán học, nhà sư phạm người Thụy Sĩ, trong

tác phẩm: “Giải bài toán như thế nào?” ông đề xuất bốn bước giải một bài toán

trong dạy học Toán là:

1 Tìm hiểu bài toán

2 Tìm tòi lời giải bài toán 3.Giải bài toán

4.Khai thác bài toán

Từ đó chúng tôi quan niệm: Giải quyết vấn đề trong dạy học toán là chủ thể thực hiện thao tác tư duy, hành động trí tuệ thích hợp và các hoạt động toán học để thực hiện những yêu cầu của vấn đề đặt ra Và đề xuất Quá trình giải quyết vấn đề là

một chuỗi các thao tác thể hiện ở sơ đồ sau:

Sơ đồ 1 Sơ đồ quá trình giải quyết vấn đề

Trong phương pháp dạy học toán, GV có thể định hướng để HS giải quyết vấn đề bằng cách khai thác theo các khía cạnh sau:

- Nếu vấn đề là trả lời câu hỏi hay giải bài tập toán thì sử dụng các thao tác tư duy

cơ bản, đặc biệt là các thao tác tương tự hóa, đặc biệt hóa, khái quát hóa, phân tích, tổng hợp… Qua đó hình thành và rèn luyện các thao tác tư duy, bồi dưỡng năng lực

và trí tuệ cho người học

Cụ thể trong bước tìm hiểu vấn đề, người dạy cần định hướng cho người học trả

lời một số câu hỏi:

- Đâu là ẩn? đâu là dữ kiện? đâu là điều kiện? có thể thỏa mãn điều kiện bài toán? điều kiện có đủ để xác định ẩn? Hay là thừa, hay còn thiếu? Hay có mâu thuẫn?

- Vẽ hình

- Sử dụng các kí hiệu thích hợp, có thể biểu diễn các điều kiện, dữ kiện thành công thức được không? Phân biệt rõ các phần của điều kiện

Trong bước tìm tòi chiến lược lời giải, người dạy cần định hướng cho người học

cần trả lời một số câu hỏi:

- Bạn đã gặp bài toán nào tương tự thế này chưa? Hay ở một dạng hơi khác?

- Bạn có biết một định lý, một bài toán liên quan đến bài toán này không?

- Hãy xét kỹ cái chưa biết và nhớ xem có bài toán nào có cùng cái chưa biết không?

- Đây là bài toán mà bạn đã có lần giải nó rồi, bạn có thể áp dụng được gì ở nó? Phương pháp? Kết quả? Hay phải đưa thêm yếu tố phụ vào mới áp dụng được?

- Hãy xét kỹ các khái niệm có trong bài toán và nếu cần hãy quay về các định nghĩa

- Nếu bạn chưa giải được bài toán này, hãy thử giải một bài toán phụ dễ hơn có liên quan, một trường hợp riêng, tương tự, tổng quát hơn? Hãy giữ lại một phần giả thiết khi đó ẩn được xác định đến chừng mực nào? Từ các điều đó bạn có thể rút ra được điều gì có ích cho việc giải bài toán? Với giả thiết nào thì bạn có thể giải được bài toán này?

- Bạn đã tận dụng hết giả thiết của bài toán chưa?

Với bước thực hiện giải quyết vấn đề, người dạy cần định hướng cho người học

cần trả lời một số câu hỏi:

- Thực hiện lời giải mà bạn đã đề ra Bạn có nghĩ rằng các bước là đúng?

- Bạn có thể chứng minh nó đúng?

Bước đánh giá kết quả là khâu HS cần kiểm tra các phép toán, các suy luận có lí và đúng không Nếu đúng thì tiếp tục đến bước khai thác, phát triển bài toán Nếu

8

sai thì quay trở lại bước chọn phương pháp và chương trình giải hoặc quay trở

về bước đầu tiên

Cuối cùng với bước khai thác, phát triển bài toán Có thể coi đây là khâu cuối

cùng của quy trình cũ và là sự khởi đầu của một quy trình mới.Ở khâu này thì người

học cần trả lời một số câu hỏi:

- Bạn có nghĩ ra hướng khác để giải bài toán? Lời giải có ngắn hơn, đặc sắc hơn?

- Bạn đã áp dụng cách giải đó cho bài toán nào khác chưa?

- Bạn có thể áp dụng bài toán này để giải các bài toán khác đã biết?

- Nếu ta giữ nguyên giả thiết thì có thể thêm được câu hỏi nào không?

- Ta có thể thay đổi giả thiết hay điều kiện nào đó của giả thiết không?

Như vậy giải quyết vấn đề là một quy trình mà các bước đã được sắp xếp theo trình tự nhất định

Ta xét ví dụ cụ thể như sau: “Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất từ đỉnh A đến đỉnh

B dọc theo các đường trên lưới ô vuông kích thước 4 4  như hình vẽ dưới đây

” (Hình 1)

Trước hết ta cần tìm hiểu: Thế nào là đường đi ngắn nhất? Khi nào thì hai đường

đi được gọi là khác nhau? Đường đi ngắn nhất từ A đến B là đường đi chỉ đi lên và sang phải Hai đường đi được gọi là khác nhau nếu có ít nhất một bước đi khác nhau (đi qua 1 nút khác nhau hay 1 cạnh khác nhau) Một đường đi ngắn nhất gồm bao nhiêu bước, trong đó có bao nhiêu bước đi lên, bao nhiêu bước sang phải? Có 8 bước đi, trong đó có 4 bước đi lên và 4 bước sang phải Ta có thể phát biểu bài toán tương đương dưới dạng khác không? Ta có thể phát biểu bài toán tương đương như sau:

Có bao nhiêu cách tô màu đỏ cho 4 hình tròn trong 8 hình tròn ở hình vẽ dưới đây?

(Hình 2)

Ta có thể chia nhỏ bài toán thành các trường hợp nhỏ không?

Ta có thể chia nhỏ bài toán thành 5 trường hợp đường đi là A-C-B; A-D-B;…

như sau:

9

(Hình 3)

Bằng phương pháp điền số, ta bắt đầu từ những hình kích thước nhỏ hơn như sau:

(Hình 4)

Như vậy, ta có thể chọn được 3 chiến lược để giải bài toán:

Cách 1 Mỗi đường đi đều phải đi qua 8 bước, trong đó có 4 bước đi lên và có 4

bước sang phải do đó số đường đi chính là số cách chọn 4 bước đi lên trong 8 bước

Khai thác 2.Phát biểu bài toán dưới dạng khác

Ta phát biểu bài toán dưới dạng khác, gắn liền với đời sống thì HS sẽ hứng thú học tập hơn, chẳng hạn: Một con chuột đang đứng ở vị trí ô vuông A và có một miếng pho mát ở vị trí ô B trên lưới ô vuông kích thước 5 5  như hình vẽ phía dưới Con chuột chỉ đi lên trên và đi sang phải, mỗi bước đi qua một ô và lần lượt đi qua các ô vuông kích thước 1 1 để đi vào ăn pho mát ở ô B Hỏi có bao nhiêu đường đi khác nhau mà con chuột có thể đi?

10

(Hình 5)

Khai thác 3 Bổ sung thêm điều kiện

Ta có thể bổ sung thêm điều kiện là đường đi không được đi qua một nút nào đó,

hoặc bổ sung thêm chiều của đường đi như sau:

(Hình 6)

Khai thác 4.Thay đổi hình dạng của lưới và quy luật đi

Có bao nhiêu đường đi từ A đến B dọc theo các đoạn thẳng có chiều đi như hình vẽ dưới đây?

(Hình 7)

Khai thác 5.Mở rộng sang bài toán đi trong không gian ba chiều:

Một con kiến đi từ A đến B dọc theo các cạnh của khối lập phương kích thước

2 2 2   theo chiều lên trên, sang phải, hướng vào trong theo chiều như hình vẽ dưới đây Biết con kiến đi qua mỗi cạnh không quá một lần thì con kiến có tất cả bao nhiêu đường đi từ A đến B?

11

Quan điểm cho rằng năng lực là một lượng bất biến, khó có thể thay đổi theo

sự phát triển về mặt sinh học của con người và ít phụ thuộc vào môi trường xã hội:

Phải kể đến trường phái di truyền học ở phương Tây cuối thế kỉ 19 đầu thế kỉ 20, A Binet (dẫn theo [7, tr.45-52]) thì năng lực phụ thuộc tuyệt đối vào tính bẩm sinh di truyền của gen mà không phụ thuộc vào điều kiện xã hội cũng như các hoạt động hàng ngày của con người Hoặc theo trường phái tâm lí học hành vi thì J.B Watson cho rằng năng lực của con người là sự thích nghi về mặt sinh vật đối với môi trường sống Sau này một số người theo quan điểm xã hội học thì E Durkheim lại cho rằng năng lực được quyết định bởi môi trường xã hội Nhìn chung các cách tiếp cận và nghiên cứu trên bước đầu cho chúng ta một số kết quả đáng ghi nhận

Quan điểm cho rằng năng lực có thể phát triển được:Các nhà tâm lí học

Mácxit và Xô viết tiêu biểu như A.G Côvaliov, B.M Chieplôv,… khi nghiên cứu

về năng lực lại cho rằng năng lực là tổng hòa của hai yếu tố Yếu tố thứ nhất là đặc điểm tâm lí của cá nhân, mỗi cá thể khác nhau có năng lực khác nhau về cùng một lĩnh vực Yếu tố thứ hai là kết quả của một hoạt động nào đó được hoàn thành có

tính hướng đích Karl Marx cho rằng: “Sự khác nhau giữa năng lực của cá nhân thể hiện qua sự phân công lao động và kết quả lao động”[C Mac, Bản thảo kinh tế triết học năm 1884, NXB Sự thật, Hà Nội, 1962, Tr 167] Còn Angel cho rằng:

“Lao động sáng tạo ra con người”[8, tr 641] Tóm lại, quan điểm tâm lí học và triết học Marx: Không tuyệt đối hóa vai trò của yếu tố bẩm sinh di truyền đối với năng lực (coi nó là điều kiện cần) mà nhấn mạnh đến yếu tố hoạt động và hoạc tập trong quá trình hình thành và phát triển năng lực Năng lực có thể biến đổi thông qua hoạt động

Ở nước ta, các công trình nghiên cứu về năng lực đều nhấn mạnh đến

tính có ích của hoạt động Theo từ điển tiếng Việt, năng lực là khả năng, điều kiện chủ quan có sẵn để thực hiện một hoạt động nào đó Năng lực là khả năng thực hiện

có trách nhiệm và hiệu quả các hành động, giải quyết các nhiệm vụ, vấn đề trong các tình huống khác nhau thuộc các lĩnh vực nghề nghệp, xã hội hay cá nhân trên cơ

sở hiểu biết, kĩ năng, kĩ xảo và kinh nghiệm cũng như sự sẵn sàng hành động [9, tr 68] Theo Phạm Minh Hạc thì Năng lực là tổ hợp các đặc điểm tâm lý của một con người Tổ hợp này vận hành theo một mục đích nhất định và tạo ra kết quả của một hoạt động nào đấy [10, tr 145]

Như vậy, từ những cách tiếp cận khác nhau, các nhà nghiên cứu đã cho ta một cái nhìn toàn diện và hệ thống về nội hàm của khái niệm “năng lực” Tóm lại

có thể quan niệm: Năng lực của mỗi người là tổ hợp đặc điểm tâm lí cá nhân thể hiện trong một hoạt động nào đó đáp ứng yêu cầu thực hiện một nhiệm vụ đặt ra và

12

có kết quả tốt Với quan niệm trên đây cho thấy năng lực của mỗi người được hình

thành và phát triển trong hoạt động và bộc lộ trong quá trình hoạt động nên năng lực

có các dấu hiệu được thể hiện ở kiến thức, kĩ năng, thái độ có liên quan đến hoạt động Nhờ các dấu hiệu này mà có thể nhận biết và đánh giá năng lực của mỗi người Một điều qua trọng là thời điểm phát lộ và năng lực dễ thay đổi nhất là thời điểm nào? Theo quan điểm của tác giả thì thời điểm dễ thay đổi năng lực là từ 13 tuổi đến 15 tuổi

1.1.4.2 Các mức độ của năng lực

Năng lực có thể chia là ba mức độ

- Mức độ thứ nhất là năng lực cơ bản Đó là khả năng của một cá nhân ở một

thời điểm nào đó có thể hoàn thành một nhiệm vụ nào đó mà nhiều người khác có cùng điều kiện hoàn cảnh cũng có thể thực hiện được Ví dụ như một HS lớp 6 phát hiện ra sự khác nhau giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân, đồng thời trong lớp cũng

có nhiều HS phát hiện ra điều này thì ta có thể xem HS đó có năng lực cơ bản

- Mức độ thứ hai là tài năng Đó là khả năng của cá nhân có thể hoàn thành

một nhiệm vụ nào đó một cách sáng tạo nhưng vẫn nằm trong khuôn khổ hoặc không vượt quá xa những thành tựu của xã hội tại thời điểm đó Có thể so sánh cùng lứa tuổi hay không cùng lứa tuổi để nói một người tài năng, khi cá nhân còn ít tuổi thì người ta thường gọi là tài năng trẻ Ví dụ một HS lớp 9 có thể tự giải được bài toán của HS giỏi lớp 12 có thể coi là một tài năng Toán học, các HS tham dự các kì thi Olympic Quốc tế cũng có thể coi là những tài năng trẻ

- Mức độ cao nhất của năng lực là thiên tài Đó là một năng lực đặc biệt mà

kết quả của sự hoạt động vượt xa thành tựu của xã hội và mang ý nghĩa lịch sử đối với loài người Ví dụ như Anh-xtanh, Mô-za, Licklider (chính là cha đẻ của Internet), Steve Jobs ( sáng lập Apple), … là những thiên tài trong lĩnh vực của họ

Có thể so sánh cùng lứa tuổi hay không cùng lứa tuổi để nói một người tài năng, khi cá nhân còn ít tuổi thì người ta thường gọi là thần đồng

1.1.4.3 Phân loại năng lực

- Xét về mặt hình thức: có hai loại là năng lực chủ chốt và năng lực chuyên biệt

Năng lực chủ chốt là “những năng lực cần thiết để cá nhân có thể tham gia hiệu quả trong nhiều loại hoạt động và các bối cảnh khác nhau của đời sống xã hội” Năng lực chủ chốt gồm năng lực nhận thức (thuần tâm thần) và năng lực phi nhận thức (pha trộn giữa tâm thần và phẩm chất nhân cách) Năng lực chủ chốt cần thiết cho tất cả mọi người Năng lực chuyên biệt thường hay còn gọi là “năng khiếu” thường gắn với một môn học cụ thể (ví dụ: năng lực tưởng tượng không gian trong môn Toán, .) hoặc một lĩnh vực hoạt động có tính chuyên biệt (ví dụ: năng khiếu âm

13

nhạc, năng khiếu đá bóng; ) Năng khiếu chuyên biệt “cần thiết ở một hoạt động cụ thể, đối với một số người hoặc cần thiết ở những bối cảnh nhất định” Các năng lực chuyên biệt không thể thay thế các năng lực chủ chốt Hai loại năng lực này luôn tồn tại và bổ sung, hỗ trợ nhau Năng lực chủ chốt là tiền đề cho năng lực chuyên môn và ngược lại năng lực chuyên biệt phát triển kéo theo năng lực chung

Do khi nói đến năng lực ta thường đặt trong một hoạt động cụ thể nào đó nên năng lực chuyên môn thường được quan tâm hơn Tuy nhiên chúng ta cũng cần chú ý là không tách rời hai loại năng lực này

- Xét về cấu trúc: có hai loại là năng lực chung và năng lực riêng (cụ thể) Năng lực

chung, là khả năng thực hiện những hành động thành phần (năng lực riêng/ năng lực thành phần), giữa các năng lực riêng có sự lồng ghép và liên qua chặt chẽ với nhau Tuy nhiên, khái niệm “chung” hay “riêng” hoàn toàn chỉ là tương đối, bởi vì một năng lực gồm các năng lực riêng và năng lực riêng lại là năng lực chung của một số năng lực cụ thể [11, tr 13]

1.1.4.4 Mối quan hệ giữa năng lực với bẩm sinh di truyền, kiến thức, kĩ năng, và thái độ

Bẩm sinh di truyền là cơ sở, là điều kiện cần cho hình thành và phát triển năng lực Đặc biệt nó là yếu tố quyết định đến đỉnh cao của lĩnh vực hoạt động của các nhân đó khi có yếu tố thiên bẩm Trong luận văn này ta coi yếu tố cơ sở bẩm sinh di truyền là như nhau và ở mức bình thường

Một năng lực là tổ hợp đo lường được các kiến thức, kĩ năng và thái độmà một người cần vận dụng để thực hiện một nhiệm vụ trong một bối cảnhthực và có nhiều biến động Để thực hiện một nhiệm vụ, một công việc có thểđòi hỏi nhiều năng lực khác nhau Vì năng lực được thể hiện thông qua việcthực hiện nhiệm vụ nên người học cần chuyển hóa những kiến thức, kĩ năng,thái độ có được vào giải quyết những tình huống mới và xảy ra trong môitrường mới

Như vậy, có thể nói kiến thức là cơ sở để hình thành năng lực, là nguồnlực

để người học tìm được các giải pháp tối ưu để thực hiện nhiệm vụ hoặc cócách ứng

xử phù hợp trong bối cảnh phức tạp Khả năng đáp ứng phù hợp vớibối cảnh thực là đặc trưng quan trọng của năng lực, tuy nhiên, khả năng đó cóđược lại dựa trên sự đồng hóa và sử dụng có cân nhắc những kiến thức, kĩnăng cần thiết trong từng hoàn cảnh cụ thể

Những kiến thức là cơ sở để hình thành và rèn luyện năng lực là nhữngkiến thức mà người học phải năng động, tự kiến tạo, huy động được Việchình thành và rèn luyện năng lực được diễn ra theo hình xoáy trôn ốc, trongđó các năng lực có

Kiến thức, kĩ năng là cơ sở cần thiết để hình thành năng lực trong mộtlĩnh vực hoạt động nào đó Không thể có năng lực về Toán nếu không có kiếnthức và được thực hành, luyện tập trong những dạng bài toán khác nhau Tuynhiên, nếu chỉ

có kiến thức, kĩ năng trong một lĩnh vực nào đó thì chưa chắcđã được coi là có năng lực, mà còn cần đến việc sử dụng hiệu quả các nguồnkiến thức, kĩ năng cùng với thái độ, giá trị, trách nhiệm bản thân để thực hiệnthành công các nhiệm vụ và giải quyết các vấn đề phát sinh trong thực tiễnkhi điều kiện và bối cảnh thay đổi

1.1.4.5 Năng lực giải quyết vấn đề của HS trong họcToán ở bậc phổ thông

1.1.4.5.1 Năng lực Toán học

Theo nhiều tác giả, trong đó có Nguyễn Hữu Châu: “Năng lực Toán học là

khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trò của kiến thức Toán trong cuộc sống; khả năng vận dụng tư duy Toán học để giải quyết các vấn đề của thực tiễn đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai một cách linh hoạt; khả năng phân tích, suy luận, lập luận khái quát hóa, trao đổi thông tin một cách hiệu quả thông qua việc đặt

ra, hình thành và giải quyết vấn đề Toán học trong các tình huống, hoàn cảnh khác nhau…”

Như vậy năng lực Toán là những đặc điểm tâm lí của người học trong hoạt động Toán học Khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trò của Toán học trong đời sống giúp họ hiểu rõ các khái niệm, các định lí và mối quan hệ giữa chúng, tạo động cơ húng thứ trong học tập… đồng thời cũng giúp họ nhận thức nhiệm vụ học tập môn Toán Khả năng vận dụng giúp họ hình thành kĩ năng, kĩ xảo Khả năng phân tích, suy luận, lập luận, trao đổi thông tin giúp họ hình thành và phát triển tư duy để giải quyết các tình huống không những trong Toán học mà còn trong cuộc sống

Còn theo A V Krutexki nhìn nhận thì năng lực Toán học dưới góc độ thu thập và xử lí thông tin được phân chia năng lực Toán học gồm 4 thành tố căn bản là:

a) Thu nhận thông tin Toán học Gồm có:

Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu Toán học

Năng lực nắm bắt cấu trúc hình thức của bài toán

b) Năng lực chế biến thông tin Toán học Gồm có:

Tính linh hoạt trong quá trình tư duy

Năng lực sửa sai lại nhanh và dễ dàng trong quá trình từ tư duy thuận

sang chiều ngược lại

c) Năng lực lưu trữ thông tin Toán học Gồm có:

Năng lực trí nhớ khái quát về hệ thống Toán học

Năng lực trí nhớ về đặc điểm bài toán, phân loại bài toán

Năng lực trí nhớ về sơ đồ suy luận chứng minh, phương pháp giải toán Nắm vững nguyên tắc, đường lối giải toán

d) Khuynh hướng Toán học của trí tuệ

Là thành phần tổng hợp khái quát [12, tr 168]

Cũng có thể phân chia cấu trúc năng lực Toán học theo hai nhóm sau đây:

Nhóm các năng lực trí tuệ chung:

Năng lực hệ thống hóa và trừu tượng hóa Toán học

Năng lực sử dụng hệ thống tín hiệu và những cái trừu tượng

Năng lực suy luận lôgic hợp lý, tuần tự

Năng lực khái quát hóa Toán học và tri giác tình huống

Năng lực phân tích cấu trúc Toán học, tái phối hợp các yếu tố của nó

Tính linh hoạt của quá trình tư duy

Năng lực hệ thống hóa các thông tin Toán học

Năng lực ghi nhớ lôgic và sử dụng nhanh chóng các thông tin đã ghi nhớ

Năng lực diễn đạt chính xác ý nghĩa Toán học

* Tất cả những năng lực này không chỉ vận dụng đối với các đối tượng Toán học

Nhóm các năng lực trí tuệ đặc thù:

Năng lực tưởng tượng không gian

Năng lực biểu diễn trực quan các quan hệ phụ thuộc trừu tượng

Năng lực tư duy sâu sắc và cặn kẽ trong các hoạt động Toán

Năng lực trực giác Toán học

Những năng lực theo cấu trúc ở trên mới dừng lại ở nghĩa hẹp Trong thực tế, năng lực cần được hiểu theo nghĩa rộng có thể bao gồm các nhóm thành phần như cảm xúc, ý chí và thể chất [13, tr 30]

Theo E L Thorndike đã xác định bảy thành tố của năng lực Đại số gồm:

16

Hiểu và thiết lập các công thức

Biểu diễn các tương quan số lượng thành hình dạng công thức

Thiết lập các phương trình biểu diễn các quan hệ số lượng đã cho

Giải các phương trình

Thực hiện các phép toán biến đổi đại số đồng nhất

Biểu diễn bằng đồ thị sự phụ thuộc hàm của hai đại lượng [14, tr 18]

Theo Từ Đức Thảo thì “Nhóm năng lực giải quyết vấn đề trong học Hình học

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ, kí hiệu, vẽ hình, “đọc” hình vẽ;

- Năng lực tính toán, năng lực suy luận và chứng minh;

- Năng lực hệ thống hoá vấn đề;

- Năng lực quy kết quả giải quyết vấn đề đúng tình huống, đúng giới hạn vấn đề;

- Năng lực sửa chữa sai lầm

- Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ bài toán trong nội tại Hình học cũng như từ các bài toán Đại số, Giải tích, Lượng giác, Tổ hợp, … về bài Hình học và ngược lại để giúp cho việc giải quyết vấn đề được thuận lợi hơn, đa dạng hơn.”

1.1.4.5.2 Năng lực giải quyết vấn đề của HS trong học Toán ở bậc phổ thông

Năng lực giải quyết vấn đề của HS là một trong những năng lực cụ thể thuộc nhóm năng lực nhận thức Cơ chế của sự phát triển nhận thức là tuân theo quy luật

“lượng chất”, “lượng đổi thì chất đổi và ngược lại”, trong đó “lượng” chính là số lượng những vấn đề được lĩnh hội theo kiểu giải quyết vấn đề, “chất” chính là năng lực giải quyết các vấn đề nảy sinh trong quá trình học tập, trong hoạt động thực tiễn thực tiễn

Hiện nay theo nhiều góc độ khác nhau mà có nhiều cách hiểu và quan điểm khác nhau về năng lực giải quyết vấn đề Tuy nhiên, chưa có định nghĩa nào về năng lực giải quyết vấn đề của HS có được sự thống nhất cao

Qua các phân tích ở trên, năng lực không mang tính chung chung mà khi nói

về năng lực ta thường nói đến năng lực thuộc một hoạt động cụ thể nào đó Chẳng hạn năng lực học tập, nghiên cứu Toán học, năng lực biểu diễn, diễn đạt…

Từ góc độ nghiên cứu phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho HS khối THCS trong dạy học Tổ hợp theo hướng tiếp cận quá trình giải quyết vấn đề với nền tảng là kiến thức, kĩ năng và qua các ý kiên vừa nêu, chúng tôi đề xuất rằng: Năng lực giải quyết vấn đề là một bộ phận của năng lực Toán học, là một tổ hợp các đặc điểm tâm lí thể hiện ở việc sử dụng tri thức, kĩ năng, kinh nghiệm, tư duy và các hoạt động khác nhằm giải quyết mâu thuẫn nhận thức

Cũng có thể hiểu năng lực giải quyết vấn đề là khả năng vận dụng kiến thức, kĩ năng, kinh nghiệm để giải quyết một vấn đề trong học tập cũng như trong thực tiễn

17

Vì giải quyết vấn đề là một quá trình từ phát hiện, khám phá, đề ra chiến lược giải, giải và kiểm tra, đánh giá, nhìn lại, mở rộng bài toán nên năng lực giải quyết vấn đề cũng có những năng lực thành phần tương ứng Chúng tôi xin đưa ra các nhóm năng lực sau:

a) Nhóm năng lực phát hiện và khám phá vấn đề Gồm có:

+ Năng lực phát hiện mâu thuẫn, nhận ra dấu hiệu bản chất tình huống,

nhận ra mối quan hệ về mặt Toán học của các đối tượng

+ Năng lực Toán học hóa tình huống bằng ngôn ngữ, kí hiệu Toán học

+ Năng lực liên tưởng đến một sự vật, hiện tượng nào đó có liên quan

đến vấn đề mà mình đang tìm cách giải quyết

+ Năng lực chuyển đổi các mối quan hệ giữa các đối tượng trong giả

thiết và kết luận sang các mối quan hệ Toán học và các phép toán

b) Nhóm năng lực giải quyết bài toán đã được mô hình hóa Toán học.Gồm có:

+ Năng lực sử dụng ngôn ngữ, kí hiệu, hình vẽ

+ Năng lực suy luận có lí và chứng minh

+ Năng lực tính toán

+ Năng lực hệ thống hóa vấn đề

c) Nhóm năng lực kiểm tra, đánh giá quá trình giải quyết vấn đề Gồm có:

+ Năng lực phát hiện sai lầm

+ Năng lực sửa chữa sai lầm

+ Năng lực giới hạn vấn đề

+ Năng lực tương tự hóa, khái quát hóa bài toán

+ Năng lực tạo ra vấn đề mới, tức là năng lực phát triển bài toán

1.1.4.6 Mối liên hệ giữa năng lực giải quyết vấn đề với các năng lực khác

Năng lực giải quyết vấn đề là một thành phần của năng lực Toán học Nó không tồn tại độc lập trong cấu trúc này mà có mối liên hệ mật thiết với các năng lực thành phần khác Lập luận, diễn đạt, mô hình hóa, sử dụng ngôn ngữ, kí hiệu, phép toán hay sử dụng các phương tiện hỗ trợ là các năng lực tiền đề để có năng lực đặt và giải quyết vấn đề Ngược lại năng lực tư duy và suy luận, đặc biệt là tư duy sáng tạo hay năng lực biểu diễn đòi hỏi sự phát triển năng lực giải quyết vấn đề ở mức độ cao

1.1.5 Dạy học giải quyết vấn đề

1.1.5.1 Các quan niệm về dạy học giải quyết vấn đề

Có nhiều tài liệu nghiên cứu vấn đề này và sử dụng những thuật ngữkhác nhau như: “Dạy học nêu vấn đề”, “Dạy học phát hiện và giải quyết vấnđề”… Trong luận văn này, chúng tôi thống nhất sử dụng thuật ngữ “Dạy họcgiải quyết vấn đề”

18

Theo Nguyễn Bá Kim: “Trong dạy học giải quyết vấn đề, thầy giáo tạora những tình huống gợi vấn đề, điều khiển HS phát hiện vấn đề, hoạtđộng tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo để giải quyết vấn đề, thông qua đómà kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng và đạt được những mục tiêu học tậpkhác” [2, tr 188]

Dạy học giải quyết vấn đề là cách thức dạy học tích cực trong đó HS sử dụng kiến thức, kĩ năng, kinh nghiệm sẵn có để giải quyết vấn đề đặt ra mà trước đó họ chưa biết cách giải Vấn đề ở đây có thể do GV đặt ra hoặc nảy sinh trong quá trình hoạt động của HS Dạy học giải quyết vấn đề có thể coi là một quan điểm dạy học vì hai lído sau: Thứ nhất nó không cho ta một phương pháp cụ thể nào để đạt được mục tiêu dạy học Tức là nó có tính khái quát cao.Thứ hai là nó có thể xuất hiện trong các phương pháp dạy học kể cả các phương pháp dạy học truyền thống và không truyền thống Chẳng hạn trong phương pháp dạy học vấn đáp, mỗi câu hỏi không phải là câu hỏi tái hiện đều là một vấn đề, trong dạy học theo tình huống thì mỗi tình huống cũng là một vấn đề…

1.1.5.2 Bản chất của dạy học giải quyết vấn đề

Trong cuốn sách Phương pháp dạy học giáo dục học, tác giả Phan Thị Hồng Vinh cho rằng: “Dạy học nêu và giải quyết vấn đề là một quan điểm dạy học, là kiểu dạy học nhằm khắc phục dạy học giáo điều, truyền thụ một chiều Trên cơ sở xây dựng tình huống có vấn đề và hướng dẫn người học giảiquyết vấn đề, GV phát triển tư duy biện chứng, tư duy sáng tạo cho người học, hình thành và rèn luyện phẩm chất của người làm công tác nghiên cứu khoahọc: độc lập, ý chí, sáng tạo [15,

tr 67]

1.1.5.3 Đặc điểm của dạy học giải quyết vấn đề

Dạy học giải quyết vấn đề có cá đặc điểm sau:

HS được đặt vào một tình huống gợi có vấn đề chứ không phải được thông báo tri thức dưới dạng có sẵn

HS hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo, tận dụng tri thức và khả năng của mình để phát hiện và giải quyết vấn đề chứ không nghe GV giảng một cách thụ động

Mục tiêu của dạy học giải quyết vấn đề không chỉ làm cho HS lĩnh hội kết quả đạt được sau quá trình mà còn giúp họ phát triển năng lực tiến hành những quá trình tương tự Nói cách khác HS được học bản thân việc học [2, tr 189]

1.1.5.4 Quá trình dạy học giải quyết vấn đề

Dạy học giải quyết vấn đề là dạy học lấy các hoạt động của HS làm trung tâm, GV chỉ là người tổ chức, điều khiển nên quá trình dạy học giải quyết vấn đề cũng là quá trình giải quyết vấn đề đã nêu ở trên

Chọn phương pháp và chương trình giải

Giải Đánh giá Khai thác

Người học độc lập phát hiện và giải quyết vấn đề

Đây là hình thức dạy học mà tính độc lập của người học được phát huy cao độ Người thầy chỉ tạo ra các tình huống gợi vấn đề, người học tự phát hiện và giải quyết vấn đề đó Như vậy, trong hình thức này, người học độc nghiên cứu vấn đề và thực hiện tất cả các khâu cơ bản của quá trình nghiên cứu này

Người học hợp tác phát hiện và giải quyết vấn đề

Hình thức này chỉ khác hình thức thứ nhất ở chỗ quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề không diễn ra một cách đơn lẻ ở một người học, mà có sự hợp tác giữa những người học với nhau, chẳng hạn dưới hình thức học nhóm,học tổ, dự án …

Thầy trò vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề

Trong vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề, học trò làm việc không hoàn toàn độc lập mà có sự gợi ý dẫn dắt của thầy khi cần thiết Phương tiện để thực hiện hình thức này là những câu hỏi của thầy và những câu trả lời hoặc hành động đáp lại của trò Như vậy, có sự đan kết, thay đổi sự hoạt động của thầy và trò dưới hình thức vấn đáp Với hình thức này, ta thấy dạy học giải quyết vấn đề có phần giống với phương pháp vấn đáp Tuy nhiên, hai cách dạy này thật ra không đồng nhất với nhau Nét quan trọng của dạy học giải quyết vấn đề không phải là ở các câu hỏi mà tình huống gợi vấn đề Trong một giờ học nào đó, thầy giáo có thể đặt nhiều câu hỏi, nhưng nếu các câu hỏi này chỉ đòi hỏi tái hiện kiến thức thì giờ học cũng không phải là dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề Ngược lại trong một số trường hợp,

20

việc phát hiện vấn đề của HS có thể diễn ra chủ yếu là nhờ tình huống gợi vấn đề chứ không phải là các câu hỏi thầy đặt ra

GV thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề

Ở hình thức này, mức độ độc lập của HS thấp hơn ở các hình thức trên Thầy giáo tạo ra tình huống gợi vấn đề, sau đó chính bản thân thầy giáo phát hiện vấn đề

và trình bày suy nghĩ giải quyết (không đơn thuần là trình bày lời giải) Tri thức được trình bày không ở dạng có sẵn mà là trong quá trình con người phát hiện ra nó Quá trình này như là một sự mô phỏng và rút gọn quá trình thực sự [2, tr 189-191]

1.1.5.6 Một số biện pháp tạo tình huống có vấn đề

Để thực hiện tốt việc dạy học giải quyết vấn đề, điểm xuất phát là tạo ra được tình huống có vấn đề Một số GV cho rằng dạy học giải quyết vấn đề tuy hay nhưng có

vẻ khó thực hiện vì khó tạo ra được nhiều tình huống có vấn đề Để tháo gỡ cho suy nghĩ này, chúng tôi đưa ra một số cách tạo tình huống thông dụng sau:

1 Dự đoán nhờ nhận xét trực quan hay thực nghiệm

2 Lật ngược vấn đề

3 Xem xét tương tự

4 Khái quát hóa

5 Phát biểu vấn đề tương tự ( mô hình hóa)

6 Giải bài tập mà HS chưa biết thuật giải

7 Tìm sai lầm trong lời giải

8 Phát hiện nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm

1.2 Nội dung Tổ hợp ởTHCS

1.2.1 Tổ hợp

Toán học rời rạc (tiếng Anh: discrete mathematics) là tên chung của nhiều ngành toán học có đối tượng nghiên cứu là các tập hợp rời rạc, các ngành này được tập hợp lại từ khi xuất hiện khoa học máy tính làm thành cơ sở toán học của khoa học máy tính Nó còn được gọi là toán học dành cho máy tính Người ta thường kể đến trong Toán học rời rạc Lý thuyết Tổ hợp, Lý thuyết Đồ thị, Lý thuyết độ phức tạp, Đại số Boole

Một quan điểm rộng rãi hơn, gộp tất cả các ngành toán học làm việc với các tập hữu hạn hoặc đếm được vào toán học rời rạc như Số học modulo m, Lý thuyết nhóm hữu hạn, Lý thuyết mật mã,

Toán học Tổ hợp (hay Giải tích Tổ hợp, Đại số Tổ hợp, Lý thuyết Tổ hợp) là một ngành Toán học rời rạc, nghiên cứu về các cấu hình kết hợp các phần tử của một tập

21

hữu hạn phần tử Các cấu hình đó là các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, các phần tử của một tập hợp

1.2.2 Vai trò của Tổ hợp trong chương trình toán ởTHCS

Như đã trình bày ở phần Lí do chọn đề tài, Việt Nam không đưa kiến thức

Tổ hợp vào chương trình chính khóa nhưng trên thế giới thì có nhiều nước cho kiến thức Tổ hợp trong chương trình dạy như Đài Loan, Singapore, và đặc biệt ở Mỹ áp dụng dạy Tổ hợp cho HS bắt đầu từ lớp 5, tiêu biểu có tác giả Anna Bugaro với tác phẩm Mathesmatical Circle Diaries dành cho dạy HS từ lớp 5 đến lớp 7 Tuy nhiên

ở Việt Nam thì việc học nội dung Tổ hợp được học chính thức ở lớp 11, tức là so với thế giới, nhất là Mỹ thì HS Việt Nam làm quen với Tổ hợp chậm hơn khoảng từ

4 đến 6 năm, đây là một khoảng thời gian rất dài, nhất là trong giai đoạn phát triển nhất của đời người

Toán rời rạc nói chung và Toán Tổ hợp nói riêng bao gồm các bài toán có đặc trưng phát biểu và cách giải rất đơn giản, không cần nhiều kỹ thuật Việc giải các bài toán này đòi hỏi sự sắc bén trong tư duy, sự trong sáng trong cách suy nghĩ Mỗi bài toán rời rạc, Tổ hợp thường mang tính "riêng biệt", khó có thể hệ thống chúng lại với nhau Và rất nhiều bài toán đem lại cho người đọc một cảm giác thú vị

vì lời giải của chúng rất đẹp, đơn giản và đầy bất ngờ

Tổ hợp là chủ đề khó không chỉ đối với HS cấp THCS mà cả trong chương trình trung học phổ thông chuyên Trong các kì thi HS giỏi Toán các cấp, Tổ hợp thường chiếm tới 20 đến 40 phần trăm tổng số bài Tuy nhiên, HS Việt Nam nói chung cả ở cấp THCS và cấp trung học phổ thông còn tương đối yếu về mảng toán này Nguyên nhân chính là các bài toán này thường không yêu cầu nhiều kiến thức nhưng mỗi bài toán lại đòi hỏi những suy luận, sáng tạo riêng để giải quyết vấn đề Hơn nữa vì Tổ hợp thường là các bài toán khó nhất, mang tính phân loại HS nên HS của chúng ta cũng thường có tư tưởng "sợ" Tổ hợp và vì vậy không dám dành thời gian thỏa đáng để nghiên cứu, học tập và giải toán Tổ hợp Hệ quả của nó là HS Việt Nam thường yếu phần tổ hợp, kể cả các HS đội tuyển dự thi Toán quốc tế (IMO)

1.2.3 Một số dạng bài tập và phương pháp trong Tổ hợp

Thực tế cho thấy, cả GV lẫn HS hiện nay khi dạy và học Tổ hợp thường mới chỉ dừng lại ở mức độ tổng hợp bài tập và lời giải chứ chưa xây dựng được một hệ thống các phương pháp để phát triển tư năng lực giải quyết của HS trong chủ đề này Điều này dẫn đến khi HS gặp một bài toán Tổ hợp được phát biểu hơi khác những gì đã được học sẽ gặp những lúng túng nhất định, thậm chí là không phát hiện ra sự liên kết với các bài toán có liên quan

22

Trong mục này tác giả xin giới thiệu sơ lược một số dạng bài tập Tổ hợp, rời rạc và các phương pháp giải chúng:

Phương pháp đếm bằng các quy tắc cơ bản

Đây là các bài toán đếm số lượng các phần tử thỏa mãn một điều kiện cho trước nào đó mà các kiến thức cần huy động chỉ xoay quanh các quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp, chỉnh hợp lặp, quy tắc cộng tổng quát Trong phần này điều quan trọng trong thực hành là HS phải biết cách phân chia công việc của mình thành các công đoạn đếm đơn giản với một thứ tự thực hiện tối ưu

Ta xét một ví dụ là bài toán số 1 trong đề thi Essay (có 13 bài toán cần trình bày lời giải) của kì thi IMSO 2015 tại Thái Lan như sau: “ Có bao nhiêu số nguyên dương có ba chữ số abc thỏa mãn a   b c? ”

Phương pháp đếm bằng hai cách

Hiểu đơn giản giống như ta đếm số phần tử của một bảng ô vuông hình chữ nhật theo hai cách: cộng theo dòng hoặc cộng theo cột, từ đó có thể sử dụng để đếm kết quả bài toán hoặc để chứng minh các đẳng thức Tổ hợp

Phương pháp phản chứng

Chứng minh phản chứng là phương pháp chứng minh dựa trên kết quả của mệnh đề logic: A B  B A

Nội dung phương pháp chứng minh phản chứng được trình bày như sau:

Chấp nhận giả thiết B (Nghĩa là coi B đúng )

Từ giả thiết A và B ta suy ra hai kết quả mâu thuẫn nhau: C và C(Hoặc một kết quả nào đó mâu thuẫn với một kết quả đã biết)

Từ đó suy ra có B là sai nên B đúng

Đây là phương pháp quan trọng vì bản chất là thay đổi giả thiết để ta kết hợp với các phương pháp khác để giải toán

Phương pháp sử dụng nguyên lý Dirichlet

Phương pháp này xoay quanh nội dung lý thuyết rất đơn giản, ai cũng biết về

số chuồng và số thỏ, chẳng hạn như:

- Nhốt 7 ““con thỏ”” vào 3 “cái lồng” thì có một lồng chứa không ít hơn 3

““con thỏ”” hoặc cất 11 “quyển sách” vào 10 “ngăn kéo” thì có một “ngăn kéo”

chứa không ít hơn hai “quyển sách”

- Cất n “quyển sách” vào k “ ngăn kéo” ( với n, k∈N*, n>k và n không chia hết

cho k) thì có một “ngăn kéo” chứa không ít hơn n

23

Tô màu thực chất là phân chia ( Phân hoạch) các đối tượng thành các nhóm

có các tính chất khác nhau để từ đó chứng minh một đối tượng không thỏa mãn điều kiện đề bài yêu cầu hoặc là tìm ra tính chất của đối tượng thỏa mãn Đương nhiên điều quan trọng nhất ở đây là nên chia các đối tượng này theo tính chất nào, cũng có nghĩa là nên tô màu như thế nào?

Ta xét ví dụ sau: “Có thể phủ kín bàn cờ 6 6  bằng 9 quân tetrôminô kích thước

1 4  không?”

Vì miếng lát của ta có kích thước 1 4  nên một cách tự nhiên nhất ta có thể nghĩ đến việc dùng 4 màu để tô màu bảng ô vuông Để mỗi miếng lát chắc chắn luôn phủ đúng 4 màu khác nhau ta nghĩ đến việc tô màu theo cách "so le": 4 ô vuông cạnh nhau ( hai ô vuông cạnh nhau là hai ô vuông có cạnh chung) trên cùng một dòng sẽ

có màu theo kiểu 1, 2, 3, 4 hoặc "xoay vòng" 2, 3, 4, 1 hoặc 3, 4, 1, 2 hoặc 4, 1, 2, 3

và tương tự như vậy cho 4 ô vuông cạnh nhau trên cùng một cột Và với cách tô này

ta có thể hoàn thành bài toán.Ta tô bàn cờ bằng 4 màu xanh (X), đỏ (Đ), tím (T), vàng (V) như hình vẽ dưới đây

(Hình 9)

Với cách tô màu này, mỗi quân tetrôminô sẽ phủ đúng 4 ô có màu khác nhau Như vậy 9 quân tetrôminô sẽ phải phủ 9 ô màu xanh, 9 ô màu đỏ, 9 ô màu tím, 9 ô màu vàng Tuy nhiên, trong bảng có 9 ô màu xanh, 10 ô màu đỏ, 9 ô màu tím, 8 ô màu vàng Vậy không thể phủ được bàn cờ thỏa mãn

Phương pháp sử dụng đại lượng bất biến, đơn biến

Nhiều bài toán cho biết thực hiện một số thao tác trên một hệ đối tượng nào

đó có thể rất phức tạp nhưng ẩn chứa đại lượng nào đó không thay đổi sau mỗi thao tác, chẳng hạn: tính chẵn lẻ, tổng các số không đổi, hiệu hai không đổi, tích các số không đổi, … hoặc tính chất số học hoặc đại số nào đó không đổi, …hoặc đại lượng nào đó luôn tăng nhưng tăng một lượng không đổi Nhờ việc phát hiện ra các đại lượng không đổi hay cố tình đưa ra đại lượng không đổi mà ta gọi chung là

đại lượng bất biến này cùng với lập luận ta đưa ra kết luận của bài toán Việc vận dụng đại lượng không đổi để giải toán gọi là phương pháp đại lượng bất biến

Phương pháp sử dụng đại lượng cực biên

24

Trong tập hợp hữu hạn khác rỗng các số tự nhiên, các số thực … đều tồn tại

số nhỏ nhất và số lớn nhất (hai số này còn được gọi là phần tử cực biên) Nhờ nguyên lí sắp thứ tự của số học mà ta có thể xét các phần tử cực biên làm mấu chốt

cho xuất phát và lí luận giải một số bài toán nên gọi là nguyên lí cực biên hoặc nguyên lícực hạn Đại lượng cực biên trong mỗi bài toán cụ thể là khác nhau, chẳng

hạn:

+ Trong n số nguyên dương đôi một khác nhau thì có số nhỏ nhất và số lớn nhất, giả

sử a1 là số nhỏ nhất, an là số lớn nhất Ta có thể sắp thứ tự n số này như sau:

a1< a2< a3< …< an-1< an

+ Trong tập hữu hạn các đoạn thẳng, các góc thì có đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất,

có đoạn thẳng có độ dài lớn nhất, có góc có số đo nhỏ nhất, có góc có số đo lớn nhất

+ Trong tập hữu hạn các khoảng cách giữa hai điểm hoặc khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng thì có khoảng cách nhỏ nhất, có khoảng cách lớn nhất

Việc vận dụng nguyên lí này vào giải toán được gọi là phương pháp cực hạn hoặc phương pháp phần tử cực biên Ta xét việc vận dụng nguyên lí này thông qua việc

giải ví dụ sau: “ Trên mặt phẳng cho 2n điểm trong đó có n điểm đã được tô màu đỏ

và n điểm còn lại được tô màu xanh Chứng minh có thể kẻ được n đoạn thẳng, mỗi đoạn thẳng có 2 mút được tô màu khác nhau và 2 đoạn thẳng bất kì không có điểm chung.”

Phương pháp sử dụng lý thuyết đồ thị

Phương pháp này chuyển cách phát biểu của bài toán về cách phát biểu theo ngôn ngữ đồ thị Ở dạng đơn giản nhất thì chỉ cần sử dụng các khái niệm, kết quả khá hiển nhiên xoay quanh bậc của các đỉnh Ở các mức độ cao hơn có thể sử dụng các định lý, kết quả kinh điển như: Ramsey, Euler, Hamilton, …

Các bài toán trên mạng lưới nguyên

Bài toán trên mạng lưới nguyên có liên quan đến bài toán về bảng ô vuông

và các bài toán về đường đi, đếm hình, tô màu, cắt ghép hình

Các bài toán trên bàn cờ

Giống bài toán trên mạng lưới nguyên, tuy nhiên các bài toán ở phần này còn

đa dạng hơn do còn có cách di chuyển đặc trưng rất khác nhau của các quân cờ

Các bài toán về trò chơi

Phần này chỉ ra các đặc tính chung về tình huống thắng, tình huống thua, cách suy nghĩ đi tìm chiến thuật trong trò chơi, chẳng hạn: chiến thuật đối xứng, chiến thuật bất biến, chiến thuật tính ngược từ cuối

25

Các bài toán về phủ hình

Các bài toán về phần này khá tổng hợp và liên quan nhiều đến các bài toán mạng lưới nguyên, bất biến, Dirichlet, và đặc biệt là bài toán tô màu khi có rất nhiều bài toán phủ hình giải được bằng phương pháp này

Các bài toán khác

Với đặc thù của hai từ "rời rạc" thì cũng còn có rất nhiều bài toán có những lời giải đặc biệt khác mà khó có thể tổng hợp hay hệ thống chúng một cách tối ưu nhất Đây cũng là điều làm nên sự thú vị và khó của các bài toán Tổ hợp, rời rạc

Ta xét qua các ví dụ sau: “Lớp học có 38 HS và có 19 bàn học, mỗi bàn có hai chỗ ngồi Sau mỗi tháng GV đổi chỗ ngồi của các HS sao cho hai bạn trước đây đã ngồi cùng bàn thì sau này thì không được ngồi cùng bàn Hỏi GV có thể xếp chỗ ngồi như vậy được nhiều nhất là bao nhiêu tháng?”

Ta đánh số các HS là 1, 2, 3, 4, …, 38

(Hình 10)

Sơ đồ sắp xếp chỗ ngồi các tháng thứ 1, thứ 2, thứ 3, …như hình vẽ trên Từ đó có thế sắp xếp chỗ ngồi theo yêu cầu bài ra đúng 37 tháng Đây cũng chính là số tháng nhiều nhất vì mỗi bạn lần lượt ngồi với nhiều nhất là 37 bạn

1.2.4 Mối liên hệ giữa dạy học Tổ hợp và sự phát triển năng lực giảiquyết vấn đề

Ở phần trên ta thấy nội dung tổ hợp thường gắn liền với các vấn đề thực tiễnmà theo quan điểm của triết học Mác-Lênin, tri thức bắt nguồn từ thựctiễn và cuối cùng phải trả về thực tiễn Tức là xuất phát từ thực tiễn, conngười vận dụng vốn hiểu biết, kĩ năng và kinh nghiệm vốn có của mình đểgiải quyết các vấn đề trong nảy sinh trong lao động sản xuất, khám phá thếgiới Từ đó đúc kết ra những tri thức mới, kĩ năng mới, tích lũy kinh nghiệm

Ngược lại, những tri thức, kĩ năng, kinh nghiệm này được con người sử dụngđể giải quyết những nhu cầu mới hơn, cao hơn nhằm mục đích cao nhất là cảitạo thế giới, cải tạo chính mình từ đó hình thành năng lực cá nhân trong đó cónăng lực giải quyết vấn đề

Như vậy, có thể nói những bài toán tổ hợp là cơ sở, là khởi nguồn để hìnhthành năng lực giải quyết vấn đề vì nhữn bài toán trong tổ hợp thường có nội dung gắn với cuộc sống đời thường, đó chính là động cơ, lànhu cầu để HS tìm ra

38

36

371

5 4 3 2

6 5

3 4

37 36 35

38 38

35

3637

4 3 2 1

26

những giải pháp giải quyết trên cơ sở kiến thức, kĩnăng vốn có của mình Qua các bài toán đó, HS hứng thú học tập, trảinghiệm, khám phá thế giới xung quanh, tự kiến tạo kiến thức, do đó kiến thứcmang tính bền vững là điều kiện hình thành năng lực cho mình

Ngược lại năng lực giải quyết vấn đề được phản ánh qua các qua cáchoạt động thực hành cụ thể của HS Mỗi hoạt động này được gắn vớimột tình huống của cuộc sống hàng ngày, tình huống này có thể thuộc mộtlĩnh vực chuyên môn hay đời thường, trong đó có những bài toán tổ hợp hoặc liên quan

Dạy học theo xu hướng phát triển năng lực HS là xu hướng tấtyếu trong nền giáo dục phát triển Không chỉ chú ý tích cực hóa HS vềhoạt động trí tuệ mà còn chú ý đến rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề gắnvới những tình huống của cuộc sống và nghề nghiệp Đồng thời phải gắn hoạtđộng trí tuệ với thực hành, thực tiễn

1.3 Thực trạng dạy học giải quyết vấn đề và dạy học Tổ hợp, dạy học phát triển năng lực giải quyết vấn đề qua dạy học Tổ hợp ở cấp THCS

1.3.1 Thực trạng dạy học giải quyết vấn đề

Để có được bức tranh thực trạng về dạy học giải quyết vấn đề trong môn Toán ở cấp THCS, chúng tôi đã tiến hành điều tra bằng cách phỏng vấn câu hỏi đốivới 30 GV của các trường THCS như sau: Hà Nội – Amsterdam, Giảng Võ, Trưng Vương, Ngô Sĩ Liên, Cầu Giấy, Lê Quý Đôn, Nguyễn Trường Tộ, Chu Văn

An và Lê Lợi ( Hà Đông)

Kết quảđiều tra số 1:

Thường xuyên

Đôi khi

Ít khi

Cao Bình

thường

Thấp

GV đặt vấn đề, nêucách giải quyết

vấn đề, thực hiệnviệc giải quyết

GV cung cấp thông tin để tạo tình

huống có vấn đề, HS thảo luận

Tổng số

GV

Mất nhiều thời gian chuẩn bị

cũng như thời gian trên lớp

Như vậy, qua số liệu ở hai bảng trên theo chúng tôi, dạy học giải quyết vấn

đề của các thầy cô bộ môn Toán trong nhà trường đã được áp dụng, tuy nhiên về mức độ sử dụng còn chưa cao do còn gặp nhiều những khó khăn, trở ngại Đặc biệt

là khó khăn về mặt thời gian do quy định của chương trình dạy học đặt ra và sĩ số trong một lớp quá đông

Tiếp theo chúng tôi chúng tôi đã tiến hành điều tra bằng phiếu hỏi đối với

300 HS các trường THCS như sau: Hà Nội – Amsterdam, Giảng Võ, Trưng Vương, Ngô Sĩ Liên, Cầu Giấy, Lê Quý Đôn, Nguyễn Trường Tộ, Chu Văn An và Lê Lợi (

Đôi khi Hiếm

khi

thức, kinh nghiệm của mình

thức, kinh nghiệm của mình

Từ bảng kết quả trên, chúng tôi cho rằng đa số học

sinh có mong muốn tự giải quyết vấn đề nào đó và muốn được thảo luận, nhưng do một số lí do mà điều mong muốn này còn bị hạn chế phần nào

1.3.2 Thực trạng dạy Tổ hợp ở cấp THCS

Hiện nay, trong chương trình THCS thì không có một tiết học chính khóa nào về nội dung tổ hợp Chỉ có trường Trung học phổ thông chuyên HÀ Nội - Amsterdam với khung chương trình riêng cho khối THCS chất lượng của trường thì

có tất cả 43 tiết học cho cả 4 năm học 6, 7, 8, 9 cụ thể chương trình khối 6 có 28 tiết, khối 7 có 6 tiết, khối 8 có 9 tiết và khối 9 thì không có tiết nào

29

Ở các trường còn lại việc học Tổ hợp hoàn toàn phụ thuộc vào GV và các đơn vị kiến thức rời rạc, HS chỉ được học kết hợp trong một số bài học trên lớp Chẳng hạn, khi học về phép chia hết ở lớp 6 và khi luyện tập bài toán chứng minh chia hết thì một số GV có thể lồng ghép dạy Nguyên lí Dirichlet thông qua một vài bài tập nhỏ như sau: “Chứng minh trong bốn số nguyên bất kì ta luôn chọn được hai

số có cùng số dư khi chia cho 3.”Hoặc khi sử dụng tính chẵn lẻ để giải toán Số học thì GV có thể lồng ghép dạy nguyên lí Dirichlet thông qua bài tập như sau: “Chứng minh trong ba số tự nhiên bất kì ta luôn chọn được hai số có cùng tính chẵn lẻ.”

1.3.3 Thực trạng dạy học phát triển năng lực giải quyết vấn đề qua dạy học Tổ hợp

Thực tế việc sử dụng phương pháp dạy học phát triển năng lực trong Tổ hợp, rời rạc vẫn còn rất hạn chế Các thầy, cô giáo vẫn chủ yếu chỉ dừng lại ở phương pháp giảng dạy theo hướng giải các bài toán, chưa gây được hứng thú học tập cho

HS Các vấn đề, bài toán được đưa ra còn khá riêng lẻ, ít có tính hệ thống, ít có khả năng toát lên được đường lối chung, phương pháp chung để giải Các bài toán còn mang tính độc lâp, chưa được xâu chuỗi với nhau và chưa được tiếp tục nghiên cứu đào sâu thêm sau khi giải hoàn chỉnh bài toán Do đó khi HS gặp một bài toán về bản chất giống như bài toán cũ nhưng được phát biểu khác đi, có hình thức thay đổi thì không nhận ra hoặc rất lúng túng trong việc định hướng để giải Điều này đương nhiên làm cho HS vốn đã có tư tưởng sợ Tổ hợp lại càng không dám dành thời gian hợp lý để nghiên cứu, tìm tòi và tất nhiên sẽ dẫn đến hiệu quả học tập phân môn Tổ hợp không cao

1.4 Kết luận chương 1

Trong chương 1, luận văn đã hệ thống hóa các quan điểm của một số nhà nghiên cứu về vấn đề, năng lực giải quyết vấn đề, dạy học giải quyếtvấn đề Đồng thời luận văn cũng đã làm rõ các mối quan hệ giữa các kháiniệm trên

Cũng trong chương 1, luận văn đã nêu được một số phương pháp và dạng toán thường gặp trong Tổ hợp, các đặc điểm và quy trình giải một bài toán theo hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đềcùng với một số ví dụminh họa Đặc biệt luận văn đã chỉ ra mối liên hệ giữa dạy học Tổ hợp và sự phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho HS

Cuối cùng, luận văn đã điều tra, phân tích và đánh giá được tình trạng dạy học giải quyết vấn đề, dạy học Tổ hợp, dạy học phát triển năng lực giải quyết vấn

đề

Tất cả cơ sở lí luận và thực trạng trên nhằm mục đích cho việc nghiên

30 cứu các biện pháp sẽ được trình bày trong chương 2

31

CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG VÀ ĐỀ XUẤT MỘT SỐ BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI MÔN TOÁN CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ QUA DẠY HỌC TỔ HỢP 2.1 Các căn cứ để xây dựng biện pháp

2.1.1 Căn cứ vào cơ sở lí luận

Cơ sở lí luận để căn cứ xây dựng các biện pháp đã được trình bày trong

chương 1 của luận văn Đây là căn cứ chủ yếu, xuyên suốt quá trình xây

dựng các biện pháp

2.1.2 Căn cứ vào mục tiêu của cấp học

Ngoài mục tiêu phổ cập giáo dục cấp THCS còn có mục tiêu phát hiện và bồi dưỡng nhân tài, cung cấp nguồn HS giỏi cho các trường Trung học phổ thông chuyên nên ngoài việc trang bị cho HS những kiến thức phổ thông trong sách giáo khoa thì chúng ta cần chọn lọc một số chuyên đề bồi dưỡng HS giỏi không những giúp các em rèn luyện tư duy, phát triển năng lực và còn thấy được vẻ đẹp thực sự của Toán học Hơn nữa, giúp các em thấy được sự bổ trợ của môn Toán, nhất là Tổ hợp rất cần thiết cho nhiều khoa học từ Tin học, Khoa học máy tính,… đến Kinh tế, Sinh học, Hóa học, Xã hội học,

2.1.3 Căn cứ vào điều kiện thực tiễn

Điều kiện thực tiễn ở đây đề cập đến điều kiện tại đơn vị chúng tôi dự kiến thực nghiệm sư phạm Đó là 9 trường THCS được đánh giá có chất lượng cao, có nhiều HS thi vào các trường THPT chuyên trên địa bàn thành phố Hà Nội , thi Toán quốc tế cấp THCS trong nhiều năm qua như sau: THCS Giảng Võ, quận Ba Đình; khối THCS của trường THPT chuyên Hà Nội Amsterdam, THCS Cầu Giấy, THCS

Lê Quý Đôn, quận Cầu Giấy; THCS Trưng Vương, THCS Ngô Sỹ Liên, quận Hoàn Kiếm; THCS Nguyễn Trường Tộ, quận Đống Đa; THCS Chu Văn An, quận Tây Hồ; THCS Lê Lợi, quận Hà Đông

2.1.4 Căn cứ vào tính khả thi

Tính khả thi thể hiện ở chỗ trong điều kiện của nhà trường, điều kiện của xã hội và đặc biệt là sự phát triển của công nghệ thông tin có thể triển khai các biện pháp này một cách hiệu quả Tính khả thi còn thể hiện không những áp dụng hiệu quả cho đơn vị thực nghiệm mà còn có thể nhân rộng cho các trường THCS trong

cả nước

2.2 Yêu cầu về kiến thức và kỹ năng

2.2.1 Yêu cầu về kiến thức

- HS cần hiểu và vận dụng được các quy tắc cộng, quy tắc nhân, chỉnh hợp,

tổ hợp, …

32

- HS cần hiểu và vận dụng được phương pháp cơ bản để giải các dạng toán điển hình ở mức độ dễ và trung bình của Tổ hợp, ví dụ như: Phản chứng, Dirichlet, bất biến, cực hạn, tô màu, …

2.2.1.1 Các kiến thức cơ sở

Cụ thể HS cần biết và hiểu rõ các kiến thức như sau:

- Tập hợp, tập hợp con,số phần tử của một số tập hợp, nguyên lí bù trừ ở dạng đơn giản (Tập hợp A có hữu hạn phần tử thì số phần tử của A được kí hiệu là: A

hoặc n A  .Xét A B C , , là 3 tập hợp hữu hạn, khi đó: A B A B A Bvà

A  B C A B C         A B B C C A A B C )

- Quy tắc cộng, quy tắc nhân, Quy tắc cộng

- Giai thừa, Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp

2.2.1.2 Một số phương pháp giải cơ bản

Trong luận văn chúng tôi chỉ đề cập đến phương pháp phản chứng, nguyên lí Dirichlet, nguyên lí đại lượng bất biến và dừng lại ở mức HS THCS Cụ thể:

Phương pháp phản chứng

hứng minh phản chứng là phương pháp chứng minh dựa trên kết quả của mệnh đề logic: A B  B A

Nội dung phương pháp chứng minh phản chứng được trình bày như sau:

Chấp nhận giả thiết B (Nghĩa là coi B đúng )

Từ giả thiết A và B ta suy ra hai kết quả mâu thuẫn nhau: C và C(Hoặc một kết quả nào đó mâu thuẫn với một kết quả đã biết)

Từ đó suy ra có B là sai nên B đúng

Phương pháp phản chứng thường được sử dụng kèm theo các phương pháp khác

Nguyên lí Dirichlet (tên đầy đủ là Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, là người

Đức, sinh năm 1805 và mất năm 1859)

Nguyên lý chuồng bồ câu, nguyên lý hộp hay nguyên lý ngăn kéo Dirichlet được phát biểu như sau: nếu n con chim bồ câu được đặt vào m chuồng, với n > m, thì ít nhất một chuồng có nhiều hơn 1 con Người đầu tiên đề xuất ra nguyên lý này được cho là nhà toán học người Đức, tên đầy đủ là Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet khi ông đề cập tới nó với tên gọi nguyên lý ngăn kéo Vì vậy, nguyên lý ngăn kéo Dirichlet hay gọn hơn là nguyên lý Dirichlet là những cách khác nói về

nguyên lý chuồng bồ câu Nguyên lí Dirichlet thường được phát biểu dưới dạng như

sau:

 Cất n “quyển sách” vào k “ ngăn kéo” ( với n, k∈N*, n>k và n không chia hết

cho k) thì có một “ngăn kéo” chứa không ít hơn n

 Nguyên lý ngăn kéo Dirichlet cũng đúng cho tập hợp vô hạn phần tử Cụ thể,

ta có khẳng định sau: giả sử số lƣợng vô hạn các phần tử chứa trong n (hữu hạn) tập hợp Khi đó, tồn tại ít nhất một tập hợp chứa vô hạn phần tử

Phương pháp sử dụng đại lượng bất biến

Nhiều bài toán cho biết thực hiện một số thao tác trên một hệ đối tƣợng nào

đó có thể rất phức tạp nhƣng ẩn chứa đại lƣợng nào đó không thay đổi sau mỗi thao tác, chẳng hạn: tính chẵn lẻ không đổi, tổng các số không đổi, hiệu hai không đổi, tích các số không đổi, … hoặc tính chất số học hoặc đại số nào đó không đổi Nhờ việc phát hiện ra các đại lƣợng không đổi hay cố tình đƣa ra đại lƣợng không đổi

mà ta gọi chung là đại lượng bất biến này cùng với lập luận ta đƣa ra kết luận của

bài toán

Việc vận dụng đại lƣợng không đổi để giải toán gọi là phương pháp đại lượng bất biến

34

2.2.2 Yêu cầu về kỹ năng

- HS biết cách nhận dạng một số bài toán Tổ hợp

- HS có thể dự đoán được phương pháp để giải một bài toán Tổ hợp, rời rạc tương đối điển hình

- HS có thể quy một bài toán có hình thức tương đối khác biệt về một bài toán quen thuộc hơn, đơn giản hơn có cùng bản chất

- HS có thể tìm cách khai thác và mở rộng bài toán chẳng hạn như thay đổi hình thức phát biểu, thay đổi cách nhìn, tương tự hóa, tổng quát hóa, đặc biệt hóa một bài toán đã được giải để có một bài toán mới theo nghĩa có thể chỉ đơn giản là mới

Bất cứ người GV nào trước khi xây dựng kịch bản cho giờ lên lớp của mình đều đặt những câu hỏi: Đối tượng nghe, Nội dung dạy, Không gian học tập và Phương thức truyền đạt như thế nào?

Một giờ học Toán sẽ thật nhàm chán nếu GV chỉ đưa ra những khái niệm, định lí, công thức một cách khô khan, hàn lâm Giờ học sẽ coi như thất bại nếu như HS không tìm thấy động cơ hứng thú học tập, thật là vô bổ nếu HS không trả lời được câu hỏi học những thứ này để làm gì Vậy phải làm thế nào để có sự hào hứng trong học tập Trước hết là sự giáo dục cho HS niềm tin, hoài bão, sự cố gắng phấn đấu, nhưng như thế là chưa đủ Phải làm cho HS thỏa mãn với nhu cầu của chính họ, nhu cầu hiểu biết, nhu cầu giải quyết các vấn đề nảy sinh trước mắt cũng như sau này Một số lưu ý khi thiết kế bài dạy:

Các tình huống gợi vấn đề phải gắn với mục tiêu của bài dạy như mụctiêu về kiến thức, kĩ năng, tư duy, tình cảm, thái độ… đã đề ra

Các tình huống phải trực quan, sinh động bằng cách sử dụng hình ảnh, trò chơi…