Dạy học nội suy đa thức trong lớp các đa thức với hệ số nguyên cho học sinh khá giỏi thpt01

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤCCHU ĐỨC MINH DẠY HỌC NỘI SUY ĐA THỨC TRONG LỚP CÁC ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SỸ SƯ P

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

CHU ĐỨC MINH

DẠY HỌC NỘI SUY ĐA THỨC TRONG

LỚP CÁC ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN

CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI - NĂM 2016

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

CHU ĐỨC MINH

DẠY HỌC NỘI SUY ĐA THỨC TRONGLỚP CÁC ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN

CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌCCHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60.14.01.11

Người hướng dẫn khoa học

GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Văn Mậungười đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo tôi trong quá trình nghiêncứu và thực hiện đề tài này

Tôi xin chân thành cảm ơn Khoa sau đại học − Đại học giáo dục, Đạihọc Quốc gia Hà Nội và các thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy tại Khoa

đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, các thầy cô tổ Toán − Tintrường THPT Việt Đức đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong quá trình giảngdạy thực nghiệm tại trường

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, xong luận văn chắc chắn không thể tránhkhỏi những thiếu sót, hạn chế Tôi rất mong nhận được sự đóng góp quý báucủa thầy cô,và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Hà nội, Tháng 10 năm 2016

Chu Đức Minh

Danh sách bảng

1.1 Tần suất dạy nội suy đa thức 141.2 Cách học nội suy đa thức của học sinh 171.3 Mức độ quan tâm của học sinh đối với nội suy đa thức 174.1 Cách học nội suy đa thức của học sinh 724.2 Mức độ quan tâm của học sinh đối với nội suy đa thức 724.3 Điểm kiểm tra sau thực nghiệm 73

Danh mục các ký hiệu, chữ viết tắt

Mục lục

1.1 Đặc điểm công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi trong trường

trung học phổ thông 9

1.1.1 Học sinh giỏi và bồi dưỡng học sinh giỏi 9

1.1.2 Khó khăn trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường THPT không chuyên 10

1.2 Nội suy trong lớp các đa thức với hệ số nguyên ở bậc trung học phổ thông 11

1.3 Thực trạng việc dạy và học nội suy trong lớp các đa thức với hệ số nguyên ở một số trường trung học phổ thông 12

2 Một số vấn đề liên quan đến đa thức với hệ số nguyên và bài toán nội suy 20 2.1 Một số tính chất của đa thức với hệ số nguyên 20

2.1.1 Nghiệm nguyên và nghiệm hữu tỷ của đa thức với hệ số nguyên 20

2.1.2 Phân tích đa thức thành nhân tử 21

2.2 Một số bài toán nội suy 22

2.2.1 Nội suy Lagrange 22

2.2.2 Nội suy Abel − Newton 27

3 Một số ứng dụng của nội suy trong lớp các đa thức với hệ số

3.1 Một số dạng bất đẳng thức và cực trị trên tập số nguyên 31

3.1.1 Các bất đẳng thức với ràng buộc tổng không đổi 31

3.1.2 Các bất đẳng thức với ràng buộc về tích không đổi 45

3.1.3 Các bất đẳng thức khác 46

3.1.4 Một số bất đẳng thức và cực trị liên quan 50

3.2 Một số dạng toán liên quan 52

3.2.1 Phân thức nhận giá trị hữu tỷ 52

3.2.2 Nội suy và đồng dư thức 59

4 Thực nghiệm sư phạm 68 4.1 Mục đích, tổ chức và nội dung của thực nghiệm sư phạm 68

4.1.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 68

4.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 68

4.1.3 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 68

4.1.4 Nội dung thực nghiệm 69

4.2 Đánh giá kết quả thực nghiệm 70

4.2.1 Phương pháp đánh giá kết quả thực nghiệm 70

4.2.2 Đánh giá kết quả thực nghiệm 71

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 4 tháng 11 năm 2013, Hội nghị lần thứ

8 Ban Chấp hành Trung ương Đảng khoá XI về đổi mới căn bản, toàn diệngiáo dục và đào tạo nêu rõ: " Đối với giáo dục phổ thông, tập trung pháttriển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất năng lực công dân, phát huy vàbồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh Phát triển khảnăng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời"

Toán học là một trong các môn học luôn được ưu tiên và chú trọng pháttriển hàng đầu trong mỗi nền giáo dục Bởi ngoài những ứng dụng thiết thựctrong cuộc sống hay khi mang vai trò là công cụ không thể thiếu cho nhiềumôn học khác thì Toán học còn là môn học giúp rèn khả năng tư duy chohọc sinh Với khối lượng lớn về kiến thức và tính logic, chặt chẽ về nội dung

mà trong quá trình học tập môn Toán, học sinh phải không ngừng lỗ lực tìmtòi, vận dụng và liên kết các nội dung kiến thức, từ đó giúp cho tư duy củacác em trở nên nhanh nhạy, kích thích sự sáng tạo

Tuy nhiên không phải học sinh nào cũng thực sự yêu thích và học tốtmôn học này, do vậy nhiệm vụ của người giáo viên bộ môn Toán là hết sứcquan trọng Ngoài việc giảng dạy, định hướng cho các em tiếp cận các nộidung kiến thức mới thì việc cung cấp cho các em hệ thống đầy đủ về cơ sở lýthuyết, đưa ra một số hướng ứng dụng cơ bản để các em tìm tòi và phát triển

là rất cần thiết Bởi nếu có một hệ thống lý thuyết đầy đủ, một số hướngứng dụng cơ bản thì các em sẽ tự củng cố và khắc sâu kiến thức, có được nềntảng tốt để tiếp cận đến những vấn đề phức tạp hơn, từ những hướng ứngdụng ban đầu, các em sẽ hứng thú hơn, có động lực để tìm tòi, phát triểnsâu sắc hơn những ứng dụng và tìm ra các ứng dụng mới, từ đó tăng cườngkhả năng tư duy và kích thích sự sáng tạo

Các bài toán nội suy và các vấn đề liên quan đến nó là một phần quantrọng của đại số và giải tích toán học Các học sinh thường phải đối mặt vớinhiều dạng toán loại khó liên quan đến chuyên đề này Các bài toán nội suy

có vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ như những đối tượng để nghiêncứu mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của các mô hình liêntục cũng như các mô hình rời rạc của giải tích trong lý thuyết phương trình,

lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn

Trong hầu hết các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic toán khu vực

và quốc tế, các bài toán liên quan đến nội suy (thường chỉ dừng lại ở nộisuy Lagrange và khai triển Taylor) rất hay được đề cập và thuộc loại khó vàrất khó Các bài toán về khai triển, đồng nhất thức, ước lượng và tính giátrị cực trị của tổng, tích cũng như các bài toán xác định giới hạn của mộtbiểu thức cho trước thường có mối quan hệ ít nhiều đến các bài toán nội suytương ứng

Các bài toán nội suy và đặc biệt các bài tập về ứng dụng công thức nộisuy thường ít được đề cập ở các giáo trình cơ bản và sách tham khảo về đại

số và giải tích toán học Các bài toán nội suy là một chuyên đề chọn lọc cầnthiết cho giáo viên và học sinh khá, giỏi bậc trung học phổ thông

Vì vậy tôi quyết định chọn đề tài “dạy học nội suy đa thức trong lớp các

đa thức với hệ số nguyên cho học sinh khá, giỏi trung học phổ thông” làm

đề tài luận văn của mình

2 Mục tiêu nghiên cứu

- Tìm hiểu những khó khăn khi dạy và học nội dung chủ đề nội suy đathức trong lớp đa thức với hệ số nguyên

- Tìm hiểu những vấn đề liên quan đến nội suy đa thức trong lớp các

đa thức với hệ số nguyên và một số ứng dụng

- Đề xuất các biện pháp cần thiết nhằm giúp học sinh giải quyết đượcmột lớp các bài toán liên quan đến nội suy đa thức trong lớp các đa thức với

hệ số nguyên

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Đưa ra được những khó khăn khi dạy và học nội suy đa thức trong lớpcác đa thức với hệ số nguyên ở bậc trung học phổ thông

- Đưa ra được các vấn đề cơ bản về nội suy đa thức trong lớp các đathức với hệ số nguyên

- Đưa ra được một số ứng dụng của nội suy đa thức trong lớp các đa

thức với hệ số nguyên trong dạy học bậc trung học phổ thông.

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

- Khách thể nghiên cứu: Giáo viên và học sinh trung học phổ thông

- Đối tượng nghiên cứu: Nội suy trong lớp đa thức với hệ số nguyên

5 Phạm vi nghiên cứu

Nội suy trong lớp đa thức với hệ số nguyên ở bậc trung học phổ thông

6 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận:

Đọc các tài liệu liên quan tới nội suy trong lớp đa thức với hệ số nguyên,

từ đó xây dựng chuyên đề học tập về chủ đề này

- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn:

Sử dụng phương pháp điều tra bằng bộ câu hỏi trắc nghiệm kết hợp vớiphỏng vấn

7 Giả thuyết khoa học

Nếu được hệ thống đầy đủ các cơ sở lý thuyết và ứng dụng của bài toánnội suy đa thức trong lớp các đa thức với hệ số nguyên, học sinh sẽ dễ dàngtiếp cận hơn, có hứng thú hơn đối với chủ đề này

8 Đóng góp mới của đề tài

Bài toán nội suy luôn là đề tài được quan tâm trong công tác giảng dạy

và bồi dưỡng học sinh giỏi Tuy nhiên hầu hết các đề tài đề nghiên cứu bàitoán nội suy mà chưa có đề tài nào nghiên cứu về "bài toán nội suy tronglớp các đa thức với hệ số nguyên" cũng như việc dạy và học chủ đề này ở bậctrung học phổ thông Vì vậy trong đề tài "dạy học nội suy trong lớp đa thứcvới hệ số nguyên cho học sinh khá giỏi THPT", tôi tiến hành nghiên cứu vàđưa ra được những kết quả sau:

- Việc dạy và học chủ đề nội suy trong lớp các đa thức với hệ số nguyên

- Cơ sở về lý thuyết và một số ứng dụng của "nội suy trong lớp các đathức với hệ số nguyên"

9 Cấu trúc của luận văn

Cấu trúc của luận văn gồm ba phần: phần mở đầu, phần nội dung vàphần kết luận

Nội dung luận văn gồm bốn chương:

- Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

- Chương 2: Một số vấn đề liên quan đến đa thức với hệ số nguyên và

- Chương 3: Một số ứng dụng của nội suy trong lớp các đa thức với hệ

số nguyên

- Chương 4: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1 Đặc điểm công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi

trong trường trung học phổ thông

Từ xa xưa ông cha ta đã có câu “Hiền tài là nguyên khí quốc gia” và

đó dường như đã trở thành kim chỉ nam cho con đường phát triển đất nước.Thực tế lịch sử phát triển của xã hội loài người nói chung và lịch sử dân tộcViệt Nam nói riêng đã khẳng định được vai trò của “người tài” Họ chính làlực lượng khởi đầu cho sự phát triển kinh tế - xã hội, đem đến cho mỗi quốcgia nền văn minh, tiến bộ không ngừng Ngày nay, trong thời kỳ công nghiệphóa - hiện đại hóa đất nước, nhất là trong nền kinh tế tri thức, vai trò của

“người tài” càng tăng lên gấp bội Chính vì thế, bồi dưỡng học sinh giỏi làbước đi đầu tiên để đào tạo nhân tài cho đất nước và là nhiệm vụ quan trọngcủa ngành giáo dục Công tác này được xác định là một hoạt động mũi nhọntrong việc nâng cao dân trí, đào tạo nguồn nhân lực chất lượng cao và đangđược Đảng, Nhà nước cùng toàn thể xã hội đặc biệt quan tâm

1.1.1 Học sinh giỏi và bồi dưỡng học sinh giỏi

Học sinh giỏi là những học sinh có năng khiếu, tài năng, năng lực tốt ởmột hay nhiều môn học hay lĩnh vực nào đó, ngoài ra học sinh giỏi còn cần

có sự sáng tạo, phải thể hiện động cơ học tập mãnh liệt và đạt được trình

Bồi dưỡng học sinh giỏi chính là hoạt động nhằm nâng cao trình độ,kiến thức, kỹ năng cho học sinh một cách có hệ thống trong một số môn họcnhất định để phục vụ cho việc học tập ở mức cao hơn và phát huy được hếtnăng lực của học sinh trong lĩnh vực đó Bồi dưỡng học sinh giỏi được thựchiện ở tất các các cấp học và ở các trường và cơ sở giáo dục trong cả nước.Bồi dưỡng học sinh giỏi là tạo ra môi trường và những điều kiện thíchhợp cho người học có thể phát huy hết năng lực của mình, cùng với việc tiếpnhận một cách thông minh, hiệu quả ngoại lực với vai trò quan trọng hàngđầu của người thầy mà cốt lõi là phải giúp được cho người học về phươngpháp học, cách nghiên cứu, tư duy, biết tự đánh giá, đồng thời biết sử dụngphương tiện hiện đại để tìm kiếm, thu thập, xử lý thông tin nhằm mục đích

• Thứ nhất, do không có chương trình riêng như học sinh chuyên, cáctài liệu đều do các giáo viên tự nghiên cứu, tự sưu tầm, tự soạn trongđiều kiện nhiều giáo viên cùng tham gia giảng dạy nên còn thiếu tính

hệ thống, tính liên thông trong chương trình dạy

• Thứ hai, chưa có các quy chế ưu tiên cho các học sinh giỏi, nên học sinhchưa yên tâm đầu tư thời gian, công sức cho các môn thế mạnh củamình

• Thứ ba, phần nhiều kiến thức còn tương đối xa lạ đối với học sinh giỏikhông chuyên, nhiều kiến thức không có trong chương trình −sách giáokhoa Do đó, việc tiếp cận đối với học sinh gặp nhiều khó khăn

1.2 Nội suy trong lớp các đa thức với hệ số nguyên

ở bậc trung học phổ thông

Ở lớp 8, học sinh đã được làm quen với đa thức và đa thức với hệ sốnguyên Một số định lý về nghiệm của đa thức cũng đã được dạy trong chươngtrình chính khóa (quy tắc nhẩm nghiệm, nghiệm của đa thức bậc hai, định

lý Viet ), và chương trình bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi (định lý Bezout,tính chất nghiệm nguyên, hữu tỷ )

Ở lớp 11, học sinh được làm quen với những khái niệm cơ bản về giảitích như giới hạn, đạo hàm Mặc dù các bài toán nội suy nói chung và nộisuy trong lớp các đa thức với hệ số nguyên không được đề cập trong chươngtrình chính khóa nhưng những tiền đề cơ bản của nội dung này học sinh đãđược chuẩn bị đầy đủ

Các bài toán nội suy và các vấn đề liên quan là một phần quan trọngtrong đại số và giải tích toán học Các bài toán nội suy có vị trí đặc biệttrong toán học, không chỉ như là những đối tượng để nghiên cứu mà cònđóng vai trò như là một công cụ đắc lực của các mô hình liên tục cũng nhưcác mô hình rời rạc của giải tích trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp

xỉ, lý thuyết biểu diễn

Trong hầu hết các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic toán khu vực

và quốc tế, các bài toán nội suy rất hay được đề cập và thuộc loại khó và rấtkhó Các bài toán về khai triển, đồng nhất thức, ước lượng và tính giá trịcác cực trị của các tổng, tích cũng như bài toán xác định giới hạn của mộtbiểu thức cho trước thường có mối quan hệ ít nhiều đến các bài toán nội suytương ứng

Do đó, chuyên đề về nội suy nói riêng và nội suy trong lớp các đa thứcvới hệ số nguyên là một chuyên đề cần thiết cho học sinh khá, giỏi bậc trunghọc phổ thông

1.3 Thực trạng việc dạy và học nội suy trong lớp các

đa thức với hệ số nguyên ở một số trường trung học phổ thông

Để tìm hiểu thực trạng việc dạy học nội suy trong lớp các đa thức với

hệ số nguyên của giáo viên ở một số trường trung học phổ thông tôi đã tiếnhành phỏng vấn và phát phiếu câu hỏi cho 31 giáo viên Toán Trung học phổthông ở các trường trên địa bàn thành phố Hà Nội: trường THPT chuyênAmsterdam, trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, trường THPT Thăng Long,trường THPT Việt Đức, THPT Trần Phú

Phiếu câu hỏi với các câu hỏi có nội dung như sau:

D Không bao giờ.

Câu 2 Theo các thầy cô đối tượng học sinh nào sẽ thích hợp với việcdạy học nội dung nội suy và nội suy trong lớp đa thức với hệ số nguyên?

A Chỉ những học sinh thi học sinh giỏi;

B Học sinh có lực học giỏi trở lên;

Thu thập và tổng kết lại các phiếu trả lời, tôi thu được kết quả như sau:

• Về tần suất dạy học nội suy và nội suy trong lớp đa thức với hệ sốnguyên của 31 giáo viên như sau:

Tần suất dạy học Số lượng giáo viên Tỉ lệ

Bảng 1.1: Tần suất dạy nội suy đa thức trong lớp đa thức với hệ số nguyên

Nhận xét 1.1 Phần lớn giáo viên (26/31) không bao giờ dạy học nộidung này Nguyên nhân theo tôi là trong cấu trúc chương trình toántrung học phổ thông không trực tiếp đề cập tới nội dung này nên không

có phân bố thời lượng, thêm vào đó nội suy và nội suy trong lớp các đathức với hệ số nguyên là một nội dung khó, không phải học sinh nàocũng có thể tiếp thu được trong khi quỹ thời gian thì có hạn 5 giáo viên

có dạy nội dung này đều là các giáo viên ở các trường chuyên Điều đócho thấy đã có sự quan tâm đến việc dạy học nội suy nhưng chỉ dừng lại

ở các trường chuyên

• Về quan điểm của các thầy cô về lựa chọn đối tượng học sinh để dạy họcnội dung nội suy và nội suy trong lớp đa thức với hệ số nguyên: 100 %giáo viên đều cho rằng chỉ nên dạy cho học sinh thi học sinh giỏi Lý dođược đưa ra là nội dung này quá khó, các học sinh khác gặp quá nhiềukhó khăn khi tiếp cận nội dung này Theo ý kiến cá nhân tôi, nếu cóphương pháp hợp lý và chọn lọc kiến thức phù hợp, ta vẫn có thể dạynội dung này cho tất cả học sinh giỏi có niềm đam mê với toán (khôngnhất thiết phải nằm trong các đội tuyển)

• Về thời gian được các giáo viên lựa chọn để dạy nội dung nội suy và nộisuy trong lớp đa thức với hệ số nguyên: cả 5 giáo viên trên đều cho rằngnên dạy ở cuối lớp 10, đầu năm lớp 11 Tại thời điểm này, các học sinh

chuyên đều đã học xong các kiến thức cơ bản của giải tích, đủ khả năngtiếp nhận Tất cả các giáo viên còn lại đều thống nhất rằng nên dạy ởgiai đoạn cuối lớp 11 đầu lớp 12 do tới thời điểm này các em mới đượchọc về giải tích.

• Về phương pháp, các giáo viên đều thống nhất sử dụng phương phápthuyết trình kết hợp với tự nghiên cứu tài liệu là chủ yếu

• Về thuận lợi và khó khăn:

– Thuận lợi: Đây là chủ đề kích thích trí tò mò và thu hút được sựquan tâm của khá nhiều các học sinh muốn chinh phục những khókhăn, muốn khẳng định mình

– Khó khăn: Đây là một chủ đề khó, đòi hỏi ở cả người giáo viên vàhọc sinh phải được trang bị kiến thức chuyên môn rất vững vàng,nhận diện được bài toán và vận dụng các kiến thức đó để giải bàitoán Và không phải học sinh nào, thậm chí không phải tất cả giáoviên ai cũng đáp ứng được yêu cầu đó Vì vậy bên cạnh việc có khánhiều học sinh bị thu hút bởi đề tài này thì cũng rất nhiều học sinh

tỏ ra bất lực, chán trường và không quan tâm tới nội dung này

Để tìm hiểu về thực trạng việc học nội dung nội suy và nội suy trong lớp

đa thức với hệ số nguyên, tôi đã tiến hành phát phiếu điều tra 197 học sinhmột số trường THPT trên địa bàn Hà Nội: Lớp 11T1, 11T2, 11 Sinh trườngTHPT Chuyên dại học Sư Phạm Hà Nội, lớp 11T1 trường THPT chuyên HàNội − Amsterdam, đội tuyển toán các trường THPT Thăng Long, trườngTHPT Trần Phú, THPT Việt Đức

Nội dung các phiếu điều tra như sau:

Phiếu số 2Câu 1 Em đã được dạy nội dung nội suy và nội suy đa thức với hệ sốnguyên bao giờ chưa?

A Chưa bao giờ

B Đã được thầy cô dạy

Câu 2 Em học nội dung nội suy và nội suy đa thức với hệ số nguyênnhư thế nào?

A Chỉ học qua thầy cô giáo

B Thông qua thầy cô giáo và các tài liệu tham khảo

C Chỉ biết đến qua các tài liệu tham khảo

D Chưa bao giờ học nội dung trên

Câu 3 Các em có quan tâm đến nội dung nội suy và nội suy đa thứcvới hệ số nguyên không?

Kết quả điều tra như sau:

• Câu hỏi 1: có 105 HS trả lời đã được thầy cô giáo dạy chiếm tỷ lệ 53.3%

Tỷ lệ này rất cao so với tỷ lệ giáo viên dạy nội dung này Tuy nhiêntất cả các học sinh này đều thuộc lớp 11T1, 11T2 trường THPT chuyênĐHSP và lớp 11T1 trường THPT chuyên Hà Nội − Amsterdam

• Câu hỏi 2:

Số lượng Tỷ lệ

Học thông qua thầy cô giáo và tài liệu tham khảo 48 24.62%Chỉ biết đến qua các tài liệu tham khảo 20 10.25%

Bảng 1.2: Cách học nội suy đa thức trong lớp các đa thức với hệ số nguyên

Không quan tâm 67 34.36%

Bảng 1.3: Mức độ quan tâm của học sinh đối với nội suy đa thức trong lớp các đa thức với hệ số nguyên

Kết quả điều tra đối với học sinh cho thấy mức độ quan tâm của họcsinh dành cho nội dung này khá lớn (trong đó hầu hết là học sinh chuyên,ngoài ra còn có 1 tỷ lệ nhỏ những học sinh không chuyên học nội dung nàyqua các tài liệu tham khảo, thậm chí chưa nghe đến nội dung này nhưng

có quan tâm và mong muốn được học) Bên cạnh đó, cũng có một số lượngkhông nhỏ học sinh không quan tâm, hoặc ít quan tâm đến chủ đề này (trong

đó có cả 1 số học sinh chuyên)

Kết luận chương 1

Trong chương 1, qua nghiên cứu thực tế, tôi đã rút ra được một số kếtquả quan trọng về thực trạng dạy và học nội dung nội suy và nội suy đa thứcvới hệ số nguyên cho học sinh bậc trung học phổ thông

• Thứ nhất, về vị trí của nội dung nội suy và nội suy đa thức với hệ sốnguyên trong chương trình Toán trung học phổ thông, mặc dù nội dungnày không được đề cập trực tiếp trong chương trình Toán trung học phổthông nhưng đây là một nội dung quan trọng, có ứng dụng trong nhiềuchuyên ngành khác nhau trong toán, nếu được dạy, học sinh sẽ có điềukiện thuận lợi cho việc tiếp nhận kiến thức toán ở các bậc học tiếp theo

• Thứ hai, không có phân phối thời gian chương trình để học nội dungnày, do đó đây là một thách thức khó khăn cho cả thầy và trò Hơn baogiờ hết, việc tự học, chủ động tìm tòi lĩnh hội kiến thức ở học sinh là

vô cùng cần thiết

• Thứ ba, đây là một nội dung khó, một mặt nó thu hút được học sinh,kích thích sự tò mò, hiếu kì, kích thích sự tìm tòi khám phá lời giải,song cũng là một khó khăn thách thức vì đòi hỏi sự nắm vững một cáchđầy đủ và chắc chắn hệ thống phương pháp giải cùng các kiến thức liênquan, khả năng quan sát, nhìn nhận vấn đề, xác định phương hướnggiải Điều này gây cản trở cho việc tự học của học sinh

Từ những ý kiến trên và theo quan điểm cá nhân của tôi thì việc dạyhọc nội suy và nội suy trong lớp các đa thức với hệ số nguyên ở trung họcphổ thông là cần thiết mặc dù không có phân phối thời gian trong chươngtrình học Khi dạy cho các em học sinh, người giáo viên phải kết hợp nhiềuphương pháp dạy, bên cạnh việc sử dụng phương pháp thuyết trình còn sửdụng các phương pháp như vấn đáp gợi mở, hướng dẫn học sinh tự đọc tàiliệu Bài dạy không chỉ hướng tới đối tượng tham gia đội tuyển học sinhgiỏi mà nên lựa chọn sắp xếp kiến thức cho các đối tượng có học lực giỏi và

có niềm đam mê dối với toán Và yếu tố quyết định tới sự thành công trongdạy học nội dung này vẫn là việc tự học của các em học sinh Việc tự họccủa các em là biện pháp khắc phục hiệu quả nhất cho thách thức về sự eo

hẹp của thời gian khi mà không có phân phối thời gian cho nội dung này.Hơn nữa, việc tự học giúp các em chủ động tìm tòi lĩnh hội kiến thức, tựnhìn nhận định hướng lời giải của mỗi bài toán theo cách riêng của mình Để

hỗ trợ các em tự học hiệu quả và cũng là giải pháp cho thách thức về việcmuốn học tốt nội dung này thì đòi hỏi các em phải nắm vững các kiến thứcnền tảng về nội suy và nội suy trong lớp các đa thức với hệ số nguyên

Và vì vậy mà ở các chương tiếp theo, tôi sẽ trình bày các kiến thức cơbản và một số ứng dụng của nội suy đa thức với hệ số nguyên Đây là tàiliệu tham khảo hỗ trợ giáo viên và học sinh trong việc dạy và học nội dungnày

Chương 2

Một số vấn đề liên quan đến đa thức với hệ số nguyên và bài toán nội suy

2.1 Một số tính chất của đa thức với hệ số nguyên

2.1.1 Nghiệm nguyên và nghiệm hữu tỷ của đa thức với hệ số

nguyên

Định nghĩa 2.1 (Đa thức) Cho A là một vành giao hoán có đơn vị

Đa thức (trên A) bậc n, biến x là một biểu thức có dạng

P (x) = anxn+ an−1xn−1 + · · · + a1x + a0trong đó a0, a1, · · · , an−1, an ∈ A và an 6= 0

Tập hợp các đa thức trên vành A và các phép toán cộng, nhân đa thứclập thành một vành giao hoán, được ký hiệu là A[x] Nếu A là một trườngthì A[x] là vành giao hoán có đơn vị

Ta thường xét A = Z, A = Q, A = R, A = C, khi đó ta có vành đathức tương ứng là Z[x],Q[x],R[x],C[x]

Định nghĩa 2.2 (Nghiệm của đa thức) a ∈ A được gọi là nghiệm của đathức P (x) ∈ A[x] nếu P (a) = 0

Định lý 2.1 Nếu phân số tối giản p

q là nghiệm của đa thức với hệ số nguyên

f (x) = anxn+ an−1xn−1 + · · · + a1x + a0thì p là ước của a0 và q là ước của an

Chứng minh Giả sử phân số tối giản p

q là nghiệm của đa thức f (x) Khi đó,

ta có:

f

pq

Từ (2.1) suy ra anpn chia hết cho q, mà (p, q) = 1 nên an chia hết cho q

Từ (2.2) suy ra a0qn chia hết cho p, mà (p, q) = 1 nên a0 chia hết cho p 2.1.2 Phân tích đa thức thành nhân tử

Định nghĩa 2.3 (Ước của đa thức) Cho đa thức P (x) ∈ A[x] Nếu

P (x) = g(x)q(x) với g(x), q(x) ∈ A[x] và deg g(x), deg q(x) > 0thì ta nói g(x) là ước của P (x) Ký hiệu g(x)|P (x) hoặc P (x) g(x)

Định nghĩa 2.4 (Ước chung) Cho P (x) và Q(x) ∈ A[x]

(i) Đa thức g(x) ∈ A[x] được gọi là ước chung của P (x) và Q(x) nếug(x)|P (x) và g(x)|Q(x)

(ii) g(x) được gọi là ước chung lớn nhất của hai đa thức P (x) và Q(x) nếug(x) chia hết cho mọi ước chung khác của P (x) và Q(x)

Định nghĩa 2.5 (Đa thức nguyên tố cùng nhau) Hai đa thứcP (x) và Q(x)được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu chúng chỉ có ước chung là các đa thứcbậc 0.

Nếu(f (x), g(x)) = 1thì(fm(x), gn(x)) = 1với mọim, nnguyên dương

2.2 Một số bài toán nội suy

2.2.1 Nội suy Lagrange

Định lý 2.2 (Lagrange) ChoP (x)là đa thức bậcntrên Avàx0, x1, x2, , xn

là n + 1 phần tử phân biệt trong A Khi đó, ta có

Đa thức Q(x) có bậc không quá n mà có n + 1 nghiệm nên Q(x) = 0 Vậy

Cho n số thực x1, x2, , xn phân biệt và n số thực a1, a2, , an tùy ý.Khi đó, tồn tại duy nhất một đa thức P (x) có bậc không quá n − 1 thỏamãn điều kiện P (xj) = ai, với mọi j = 1, 2, , n Đa thức đó có dạng:

Đa thức trên được gọi là đa thức nội suy Lagrange Các sốx1, x2, , xn đượcgọi là các nút nội suy

Ý nghĩa hình học của công thức nội suy Lagrange:

Công thức nội suy Lagrange chính là phương trình đường cong đi qua cácđiểm (x1, a1), (x2, a2), , (xn, an)

Bài toán 2.1 Xác định đa thức bậc hai thỏa mãn

(x + 1)(x − 0)(3 + 1)(3 − 0)

2(x − a)(x − b)(c − a)(c − b) = x

(x − a)(x − b)(c − a)(c − b).

Từ đó suy ra đồng nhất thức (2.4)

Thay x = a + b + c vào đồng nhất thức (2.4) ta được đồng nhất thức

quen thuộc sau:

a2(a + b)(a + c)

(a − b)(a − c)+ b

2(b + c)(b + a)(b − c)(b − a)+ c

2(c + a)(c + b)(c − a)(c − b) = (a + b + c)

Dễ thấy rằng vế phải của (2.8) là đa thức có hệ số tương ứng với xn−1là

c3(c − a)(c − b) = a + b + c. (2.10)Định lý 2.3 Cho x1, x2, , xm là các giá trị tùy ý đôi một khác nhau Đặt

ck(c − a)(c − b).

2.2.2 Nội suy Abel − Newton

Định lý 2.4 Cho P (x) là đa thức bậc n trên A[x] và n phần tử tùy ý

x1, x2, , xn ∈ A Khi đó tồn tại các phần tử a0, a1, , an ∈ A để

P (x) = a0+a1(x−x1)+a2(x−x1)(x−x2)+· · ·+an(x−x1)(x−x2) · · · (x−xn).Chứng minh Trước hết, các đa thức

1, x − x1, (x − x1)(x − x2), · · · , (x − x1)(x − x2) · · · (x − xn)

lập thành một cơ sở của A[x] Do đó, luôn tồn tại a0, a1, , an ∈ A để

P (x) = a0+a1(x−x1)+a2(x−x1)(x−x2)+· · ·+an(x−x1)(x−x2) · · · (x−xn)

Bài toán nội suy Abel-Newton

Cho n + 1 số thực x1, x2, , xn, xn+1 phân biệt và n + 1 số thực

b1, b2, , bn, bn+1 tùy ý Khi đó, tồn tại duy nhất một đa thức P (x) cóbậc không vượt quá n thỏa mãn điều kiện P (xj) = bj, với mọi j = 1, n + 1

Đa thức đó có dạng

P (x) = a0+a1(x−x1)+a2(x−x1)(x−x2)+· · ·+an(x−x1)(x−x2) · · · (x−xn).Thật vậy, đặt

Ta tìm a0, a1, , an sao cho f (xi) = bi với mọi i = 1, n + 1 Ta có:

Vậy

P (x) = a0+a1(x−x1)+a2(x−x1)(x−x2)+· · ·+an(x−x1)(x−x2) · · · (x−xn)

Bài toán 2.4 Xác định đa thức P (x) có bậc 3, biết rằng khi chia P (x) cho

x − 1, x − 2, x − 3 đều được dư bằng 6 và P (−1) = −18

Lời giải Từ giả thiết suy ra P (1) = P (2) = P (3) = 6 Theo công thức nộisuy Newton−Abel, tồn tại a0, a1, a2, a3 sao cho:

P (x) = a0 + a1(x − 1) + a2(x − 1)(x − 2) + a3(x − 1)(x − 2)(x − 3)

2.2.3 Nội suy Taylor

Định lý 2.5 (Taylor) Cho P (x) là đa thức bậc n ≥ 0 trên trường A và

a ∈ A Khi đó, ta có:

P (x) = P (a) +P

0(a)1! (x − a) +

P ”(a)2! (x − a)

2+ · · · +P

(n)(a)n! (x − a)

n (2.11)

Chứng minh Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo bậc của đa thức

Dễ kiểm tra được trường hợp n = 0

Giả sử (2.11) đúng cho tất cả các đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằngn − 1 Xét

đa thức P (x) có bậc n Đặt

f (x) = P (a) + P

0(a)1! (x − a) +

P ”(a)2! (x − a)

2 + · · · + P

(n)(a)n! (x − a)

n.Khi đó,

f0(x) = P0(a) + P ”(a)

1! (x − a) +

P ”(a)2! (x − a)

2+ · · · + P

(n−1)(a)n! (x − a)

2

+ · · · +P

(n−1)(a)n! (x − a)

n−1

P (x) = P (a) + P

0(a)1! (x − a) +

P ”(a)2! (x − a)

2 + · · · + P

(n)(a)n! (x − a)

n

Bài toán 2.5 Khai triển đa thức P (x) = x4 − 5x3 + 5x2 + x + 2 theo lũythừa của x − 2

Lời giải Áp dụng công thức khai triển Taylor với a = 2, ta được

f (x) = f (2) + f

0(2)1! (x − 2) +

f ”(2)2! (x − 2)

2

+ · · · + f

(4)(2)4! (x − 2)

4

= −7(x − 2) − (x − 2)2 + 3(x − 2)3 + (x − 2)4

Kết luận chương 2

Trong chương 2, luận văn đã:

• trình bày một số kiến thức cơ bản về đa thức thức với hệ số nguyên

• trình bày các bài toán nội suy cơ bản: nội suy Lagrange, nội suy Abel

− Newton, nội suy Taylor

• thiết lập một số đồng nhất thức

Mục này đề cập tới một số bài toán bất đẳng thức và cực trị trên tập

số nguyên Do đặc thù của tập số đang xét, nhiều bài toán cực trị (trong tậprời rạc) cần đến sự điều chỉnh cách giải thì mới giải quyết được Chẳng hạn,khi tổng hai số tự nhiên bằng 7, thì tích của nó lớn nhất không thể xảy rakhi a = b được

3.1.1 Các bất đẳng thức với ràng buộc tổng không đổi

Bài toán 3.1 Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn a + b = 7 Tìmgiá trị lớn nhất của P = ab

Lời giải Không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b Khi đó a ≥ 4 Ta có:

q(3a)(4b) ≤ 3a + 4b

2

⇒√12ab ≤ 4(a + b) − a

2

⇒ab ≤ 12.

Vậy max ab = 12, đạt được tại (a, b) = (4, 3)

Bài toán 3.2 Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn a + b = 7 Tìmgiá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ab

Lời giải Không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b

Nếu b ≥ 2 thì a ≤ 5 Khi đó P = ab ≥ 5.2 = 10 > 6

Nếu b = 1 thì a = 6 Khi đó P = ab = 6

Vậy min P = 6, đạt được tại (a, b) = (6; 1)

Một cách tổng quát, ta có hai bài toán sau:

Bài toán 3.3 Cho x, y là các số nguyên dương thỏa mãn x + y = k với k

là số nguyên dương, k ≥ 2 Tìm giá trị lớn nhất của P = xy

2

= k

2

4 .Suy ra max P = k

k2



⇒ a + b = k và a − b = 1 Ta sẽ chứng minhmax P = ab

Không mất tính tổng quát, giả sử x ≥ y Khi đó x ≥ a Ta có

q(bx)(ay) ≤ bx + ay

Vậy max P = ab, đạt được khi x = a, y = b.

Nhận xét: Bài toán trên có thể được giải theo cách khác như sau

Do (x, y) nhận hữu hạn giá trị nên tồn tại giá trị lớn nhất của biểu thức

P = xy Giả sử, P đạt giá trị lớn nhất khi x = a và y = b Ta sẽ chứng minh

a − b ≤ 1 Thật vậy, giả sử a − b ≥ 2, ta xét x = a − 1, y = b + 1 Khi đó:

P = xy = (a − 1)(b + 1) = ab + a − b − 1 > ab

(mâu thuẫn với P đạt giá trị lớn nhất khi x = a, y = b)

Do đó, a − b ≤ 1 Với k chẵn thì a − b = 0 và k lẻ thì a − b = 1

Bài toán 3.4 Cho x, y là các số nguyên dương thỏa mãn x + y = k với k

là số nguyên dương, k ≥ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của P = xy

Lời giải Ta sẽ chứng minh min P = k − 1

Không mất tính tổng quát, giả sử x ≥ y ⇒ x ≥

k2

+ 1

*)TH1: Giả sử y ≥ 2 Khi đó P = xy ≥ 2



k2

+ 1

3

⇒3

q(33a)(34b)(34c) ≤ 34(a + b + c) − a

Bài toán 3.6 Cho a, b, c là các số nguyên dương và a + b + c = 100 Tìmgiá trị nhỏ nhất của biểu thức P = abc.

Lời giải

Không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b ≥ c Khi đó a ≤ 34

*) TH1: Nếu c > 1 thì c ≥ 2 và b ≥ 2 Khi đó abc ≥ 34.2.2 > 98

*) TH2: Nếu c = 1 thì a + b = 99 và P = ab Do a ≥ b nên a ≥ 50

Nếu b > 1 thì b ≥ 2 nên P = ab ≥ 50.2 = 100 > 98

Nếu b = 1 thì a = 98 nên P = 98

Vậy min P = 98, đạt được khi (a, b, c) = (98, 1, 1)

Bài toán 3.7 Cho a, b, c nguyên dương thỏa mãn a + b + c = 11 Tìm giátrị lớn nhất của biểu thức: P = abc

Vậy max P = 48, đạt được (a, b, c) = (4, 4, 3)

Một cách tổng quát, ta có hai bài toán sau:

Bài toán 3.8 Cho x, y, z nguyên dương thỏa mãn x + y + z = k với k ≥ 3.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = xyz

Lời giải Không mất tính tổng quát, giả sử x ≥ y ≥ z

*)TH1: Nếu k chia hết cho 3 thì xyz ≤



x + y + z3

+ 1,b =

k3

 Khi đóa + 2b = k Ta

sẽ chứng minh P = xyz ≤ ab2 Thật vậy, từ điều kiện x ≥ y ≥ z ⇒ x ≥ a

Ta có:

3

q((bx)(ay)(az)) ≤ bx + ay + az

Suy ra max P = ab2, đạt được tại x = a, y = b, z = c

*) TH3: Nếu k chia 3 dư 2 Đặt a =

k3

+ 1, b =

k3

 Khi đó 2a + b = k

Ta sẽ chứng minh P = xyz ≤ a2b Thật vậy, từ điều kiện x ≥ y ≥ z ⇒ z ≤

b ⇒ x + y ≥ 2a Ta có:

3

q((bx)(by)(az)) ≤ bx + by + az

Suy ra max P = a2b, đạt được tại x = y = a, z = b

Nhận xét: Bài toán trên có thể được giải theo cách khác như sauKhông mất tính tổng quát, giả sử x ≥ y ≥ z Do (x, y, z) nhận hữu hạn giátrị nên tồn tại giá trị lớn nhất của P = xyz Giả sử P đạt giá trị lớn nhấttại x = a, y = b, z = c Khi đó a + b + c = k và a ≥ b ≥ c

*)Giả sử a − c > 1, ta xét các khả năng xảy ra: Nếu a = b > c + 1, ta xét

bộ số (x, y, z) = (a, b − 1, c + 1) có x + y + z = k và

P = xyz = a(b − 1)(c + 1) = abc + a(b − c − 1) > abc

Nếu a > b > c, ta xét bộ số (x, y, z) = (a − 1, b, c + 1) có x + y + z = k và

P = xyz = (a − 1)b(c + 1) = abc + b(a − c − 1) > abc

(mâu thuẫn với min P = abc)

Nếu a − 1 > b = c, xét bộ số (x, y, z) = (a − 1, b + 1, c) có x + y + z = k và

P = xyz = (a − 1)(b + 1)c = abc + c(a − b − 1) > abc

(mâu thuẫn với min P = abc)

Cả ba khả năng trên đều không xảy ra nên a − c ≤ 1 Khi đó: Khi đó:

Nếu k chia hết cho 3 thì a = b = c = k

3 ⇒ max P = k

3

27.Nếukchia 3 dư 1 thìa = k + 2

Lời giải Ta sẽ chứng minh min P = k − 2

Không mất tính tổng quát, giả sử x ≥ y ≥ z ⇒ x ≥

k3

+ 1

• Nếu z ≥ 2 thì P = xyz ≥



k3

+ 1

.2.2 > k − 2

• Nếu z = 1 thì x + y = k − 1 nên x ≥



k − 12

+ 1.Nếu y ≥ 2 thì P = xyz ≥ 2



k − 12

+ 1



> k − 2.Nếu y = 1 thì x = k − 2 ⇒ P = (k − 2).1.1 = k − 2

Vậy min P = k − 2, đạt được tại (x, y, z) = (k − 2, 1, 1)

Bài toán 3.10 Cho a, b, c là các số nguyên dương a + b + c = 100 Tìm giátrị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a2 + b2 + c2.

Lời giải Không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b ≥ c