Dạy học mô hình hóa toán học chủ đề hàm số trong chương trình trung học cơ sở

Quá trình này đòi hỏi các kỹ năng và thao tác tư duy Toán học như: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa...[28] Như vậy, có thể nói mô hình là một mẫu được thiết k

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LƯU THANH HÀ

DẠY HỌC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ

TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI - 2020

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LƯU THANH HÀ

DẠY HỌC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ

TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

BỘ MÔN TOÁN

Mã số: 8.14.01.11

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Chu Cẩm Thơ

HÀ NỘI - 2020

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo, Hội đồng khoa học, Ban giám hiệu Trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa học Đây không chỉ là nền tảng kiến thức cho quá trình hoàn thành luận văn mà còn là hành trang quý báu để tác giả vững bước trên con đường làm nghề dạy học

Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS Chu Cẩm Thơ, người thầy đã đồng hành, dìu dắt những bước đi đầu tiên trong sự nghiệp và hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này

Tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy, cô giáo tổ Toán, các em học sinh trường THCS Đông La - Hoài Đức - Hà Nội, cảm ơn Ban lãnh đạo, các anh chị

em đồng nghiệp tại công ty Cổ phần Phát triển Giáo dục POMath đã tạo những điều kiện thuận lợi nhất để tác giả có thể thực hiện đề tài và hoàn thành khóa học

Tác giả cũng xin được dành lời cảm ơn chân thành đến những người thân và bạn bè, đặc biệt là các học viên lớp cao học QH-2017S đã luôn quan tâm, cổ vũ, chia sẻ, động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Do thời gian và trình độ bản thân còn nhiều hạn chế, luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy, cô và các bạn để luận văn được hoàn chỉnh hơn

Xin trân trọng cảm ơn!

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ii

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ, HÌNH VÀ SƠ ĐỒ iii

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Phạm vi nghiên cứu 3

3 Mục đích nghiên cứu 3

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

5 Đối tượng nghiên cứu 3

6 Giả thuyết khoa học 3

7 Phương pháp nghiên cứu 4

8 Cấu trúc luận văn 4

Chương 1.CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Mô hình hóa toán học 5

1.1.1 Mô hình, mô hình toán học và mô hình hóa toán học 5

1.1.2 Quy trình mô hình hóa toán học 8

1.1.3 Phương pháp dạy học mô hình hóa 16

1.2 Vai trò của mô hình hóa trong dạy học môn Toán 17

1.2.1 Mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn 17

1.2.2 Vai trò của mô hình hóa trong dạy học môn Toán 21

1.3 Thực tiễn dạy học bằng mô hình hóa toán học ở cấp trung học cơ sở hiện nay 23

1.3.1 Thực trạng dạy học bằng mô hình hóa ở bậc trung học cơ sở hiện nay 23

1.3.2 Những thuận lợi và trở ngại, khó khăn c ủa dạy học bằng mô hình hóa 27

Kết luận chương 1 30

Chương 2 THIẾT KẾ MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ Ở CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ 31

2.1 Định hướng thiết kế 31

2.1.1 Nguyên tắc thiết kế 31

2.1.2 Biện pháp thiết kế 32

2.1.3 Định hướng sử dụng 34

2.2 Thiết kế một số hoạt động mô hình hóa chủ đề Hàm số ở cấp trung học cơ sở 36

2.2.1 Dạy học hàm số và đồ thị hàm số y ax a    0  cho học sinh lớp 7 .36

2.2.3 Mô hình trong dạy học hàm số và đồ thị hàm số y ax b a     0  cho học sinh lớp 9 44

2.2.4 Mô hình trong dạy học hàm số và đồ thị hàm số 2  0 y ax a   cho học sinh lớp 9 58

2.3 Xây dựng hệ thống bài tập mô hình hóa chủ đề Hàm số ở cấp trung học cơ sở 65

2.3.1 Bài tập mô hình hóa chủ đề Hàm số cho học sinh lớp 7 66

2.3.2 Bài tập chủ đề Hàm số cho học sinh lớp 9 70

Kết luận chương 2 86

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 88

3.1 Mục đích thực nghiệm 88

3.1.1 Mục đích thực nghiệm 88

3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 88

3.2 Tổ chức thực nghiệm 88

3.2.1 Kế hoạch thực nghiệm 88

3.2.2 Nội dung thực nghiệm 89

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 89

3.3.1 Cơ sở đánh giá kết quả thực nghiệm 89

3.3.2 Kết quả thực nghiệm sư phạm 89

Kết luận chương 3 93

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 94

1 Kết luận 94

2 Khuyến nghị 95

TÀI LIỆU THAM KHẢO .97 PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ, HÌNH VÀ SƠ ĐỒ

Hình 1.1 Mô hình gia tăng dân số của Maithus (1798) 7

Sơ đồ 1.2 Quy trình mô hình hóa 7 bước của Blum [1] 9

Sơ đồ 1.3 Quy trình mô hình hóa 7 bước của Stillman [1] 9

Sơ đồ 1.4 Quy trình mô hình hóa 5 bước của PISA (2006)[1] 10

Sơ đồ 1.5 Quy trình mô hình hóa 4 bước phỏng theo Coulange (1997)[9] 11

Sơ đồ 1.6 Quy trình mô hình hóa khép kín [28] 13

Sơ đồ 1.7 Cơ chế điều chỉnh trong quá trình mô hình hóa [28] 14

Sơ đồ 1.8 Các bước tổ chức hoạt động mô hình hóa [21] 16

Hình 1.9: Một phần bức tường ở quần thể cung điện Alhambra 19

Hình 1.10 Cách t ạo ra viên gạch lát từ hình tam giác đều 20

Hình 1.11 Một số tác phẩm của Escher 20

Hình 1.12 Một số ứng dụng của Lát mặt phẳng trong kiến trúc, xây dựng 20

Hình 1.13 Cách tính chiều cao kim tự tháp bằng tam giác đồng dạng 22

Biểu đồ 1.14 Kinh nghiệm giảng dạy của các giáo viên tham gia khảo sát 24

Biểu đồ 1.15 Thống kê về đánh giá tầm quan trọng của việc tăng cường các hoạt động liên hệ với thực tiễn trong dạy học môn Toán 24

Biểu đồ 1.16 Thống kê về việc thường xuyên quan tâm đến việc dạy học theo hướng tăng cường liên hệ Toán học với thực tiễn của giáo viên 24

Biểu đồ 1.17 Thống kê về việc thường xuyên tự tìm hiểu những ứng dụng của Toán học trong thực tế và liên hệ với các kiến thức Toán học đang được giảng dạy tại trường phổ thông 25

Biểu đồ 1.18 Thống kê về việc thường xuyên đưa các tình huống thực tiễn, các mô hình c ủa toán học trong thực tiễn vào dạy học Toán 25

Biểu đồ 1.19 Thống kê về việc thường xuyên thiết kế cho học sinh các hoạt động, bài tập theo hướng vận dụng mô hình toán học để giải quyết các bài toán thực tiễn 26

Biểu đồ 1.20 Thống kê về đánh giá tầm quan trọng của việc tăng các câu hỏi có nội dung thực tiễn vào kiểm tra, đánh giá môn Toán 26

Bảng 1.21 Thống kê ý kiến của giáo viên về những thuận lợi và khó khăn của việc

đưa tình huống thực tiễn vào dạy học môn toán 27

Sơ đồ 2.1 Quy trình thiết kế hoạt động mô hình hóa 34

Hình 2.2 Dấu chân đi bộ của một người 36

Hình 2.3 Vận động viên Phạm Thị Thu Trang tại Seagames 30 37

Hình 2.4 Bảng giá sản phẩm tại cửa hàng HLT MUSIC 40

Hình 2.5 Bảng giá cước Taxi 5 chỗ (dòng xe Vios) của hãng taxi G 49

Hình 2.6 Bảng giá cước Taxi Vios 5 chỗ, hãng taxi M 49

Hình 2.7 Bảng thành tích giành huy chương Vàng nội dung 100m nam tại các kì Olympic mùa hè từ năm 1900 đến năm 2012 54

Hình 2.8 Cầu Trường Tiền 58

Hình 2.9 Nhịp cầu Trường Tiền 58

Bảng 2.10 Mối tương quan giữa điểm số trên lớp và thời gian học tập ở nhà của một học sinh 61

Hình 2.11 Tốc độ truyền dịch 67

Hình 2.12 Bảng giá bán lẻ xăng tháng 9/2019 của tập đoàn Petrolimex 68

Hình 2.13 Turbin gió 79

Hình 2.14 Cổng Arch tại thành phố St Louis - Mỹ 81

Hình 2.15 Tượng Merlion - Singapore 84

Bảng 3.1 Kết quả học tập môn Toán năm học 2018 - 2019 89

Bảng 3.2 Kết quả thực nghiệm lớp 7A1 90

Bảng 3.3 Kết quả thực nghiệm lớp 9 90

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Thực hiện Nghị quyết số 29/NQ-TW của Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (khóa XI), Nghị quyết số 88/2014/QH13 của Quốc hội và Quyết định số 404/QĐ-TTg của Thủ tướng Chính phủ, ngày 26 tháng 12 năm 2018,

Bộ Giáo dục và Đào tạo đã ban hành thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT về việc ban hành chương trình giáo dục phổ thông Theo đó, chương trình giáo dục phổ thông

mới đã nêu rõ mục tiêu: Chương trình giáo dục phổ thông cụ thể hoá mục tiêu giáo

dục phổ thông, giúp học sinh làm chủ kiến thức phổ thông, biết vận dụng hiệu quả kiến thức, kĩ năng đã học vào đời sống và tự học suốt đời, có định hướng lựa chọn nghề nghiệp phù hợp, biết xây dựng và phát triển hài hoà các mối quan hệ xã hội,

có cá tính, nhân cách và đời sống tâm hồn phong phú, nhờ đó có được cuộc sống có

ý nghĩa và đóng góp tích cực vào sự phát triển của đất nước và nhân loại [4] So

với chương trình giáo dục phổ thông hiện hành, chương trình giáo dục phổ thông tổng thể mới được ban hành có nhiều điểm mới, khác biệt mà điểm khác biệt căn bản nhất là chương trình giáo dục phổ thông mới được xây dựng theo mô hình phát triển năng lực, thông qua những kiến thức cơ bản, thiết thực, hiện đại và các phương pháp tích cực hóa hoạt động của người học, giúp học sinh hình thành và phát triển những phẩm chất và năng lực mà nhà trường, xã hội kỳ vọng Theo đó, chương trình giáo dục phổ thông đã đưa ra các yêu cầu cần đạt bao gồm 5 phẩm chất (yêu đất nước, yêu con người, chăm chỉ, trung thực, trách nhiệm) và 10 năng lực cốt lõi (Bao gồm 3 năng lực chung là: năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo và 7 năng lực chuyên môn là: năng lực ngôn ngữ, năng lực tính toán, năng lực khoa học, năng lực công nghệ, năng lực tin học, năng lực thẩm mỹ, năng lực thể chất)

Năng lực Toán học bao gồm các thành tố cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học và năng lực sử dụng công cụ, phương tiện toán học Trong

đó, năng lực mô hình hóa toán học hướng tới việc giúp học sinh biết sử dụng các

mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị …) để mô tả các

tình huống đặt ra trong các bài toán thực tế; biết giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập, biết thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực

tế Đây là những điều rất cần thiết, không chỉ để phát triển năng lực toán học, năng lực tính toán mà còn giúp các em học sinh phát triển và hoàn thiện bản thân để tham gia vào cuộc sống lao động sau này

Một trong những phương pháp để phát triển tốt năng lực mô hình hóa toán

học cho học sinh chính là phương pháp dạy học bằng mô hình hóa Phương pháp

này giúp học sinh tìm hiểu, khám phá và giải quyết các tình huống thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ Toán học với sự hỗ trợ của các phần mềm dạy học Qua đó, việc học Toán của học sinh trở nên có ý nghĩa hơn, có động cơ và niềm ham thích hơn với môn Toán Từ đây, học sinh cũng có thể tự mình tìm thêm những đáp án thuyết phục hơn cho câu hỏi: “Học Toán để làm gì?”, bên cạnh những đáp án mà bấy lâu nay ai cũng thường trả lời: Học Toán để thi, học Toán để lên lớp; học Toán

vì phải học; …

Về mặt thực tiễn, việc dạy học phát triển năng lực mô hình hóa Toán học và việc dạy học bằng mô hình hóa Toán học cho học sinh đã được quan tâm và thực hiện ở nhiều quốc gia trên thế giới Tuy nhiên, ở Việt Nam, việc dạy học định hướng phát triển năng lực còn khá mới và chỉ được quan tâm rộng rãi sau khi có quyết định về việc đổi mới chương trình, sách giáo khoa phổ thông theo hướng phát triển năng lực người học

Hơn nữa, chương trình giáo dục phổ thông hiện hành được xây dựng theo mô hình định hướng nội dung, nặng về truyền thụ kiến thức, chưa chú trọng giúp học sinh vận dụng kiến thức học được vào thực tiễn Theo mô hình này, kiến thức vừa là

“chất liệu”, “đầu vào”; vừa là “kết quả”, “đầu ra” của quá trình giáo dục Vì vậy, học sinh phải học và ghi nhớ rất nhiều nhưng khả năng vận dụng vào đời sống thực tiễn rất hạn chế Giáo viên cũng khó lòng có thể có nhiều thời gian dành cho các hoạt động phát triển các năng lực cho học sinh

Đối với chương trình và sách giáo khoa Toán hiện hành và nói riêng đối với chủ đề Hàm số ở cấp trung học cơ sở, các tình huống thực tiễn liên quan đến nội dung kiến thức được học có được đưa vào trong các hoạt động mở đầu, dẫn nhập hoặc

trong các bài tập Tuy nhiên, các tình huống này chưa nhiều và giáo viên cũng chưa khai thác triệt để hoặc chưa tìm hiếm, thiết kế các tình huống tương tự trong quá trình dạy học cho học sinh, dẫn đến học sinh rất hạn chế khi vận dụng Toán học vào thực tiễn

Vì những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là: “Dạy học mô hình hóa toán học chủ đề Hàm số trong chương trình trung học cơ sở”

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận về mô hình hóa toán học, phương pháp dạy học bằng mô hình hóa

- Tìm hiểu tình hình dạy học bằng mô hình hóa ở cấp trung học cơ sở hiện nay

- Nghiên cứu nội dung chương trình, sách giáo khoa môn Toán trung học cơ

sở để thiết các thành các hoạt động mô hình hóa trong dạy học chủ đề Hàm số

- Thiết kế, xây dựng một số hoạt động mô hình hóa trong dạy học chủ đề Hàm số ở cấp trung học cơ sở

- Tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của các hoạt động đã được thiết kế cũng như việc vận dụng phương pháp dạy học mô hình hóa trong quá trình dạy học chủ đề Hàm số ở cấp trung học cơ sở

5 Đối tượng nghiên cứu

- Quá trình dạy học chủ đề Hàm số cấp trung học cơ sở bao gồm: chương trình, nội dung, phương pháp dạy học

6 Giả thuyết khoa học

Nếu xây dựng được các hoạt động, hệ thống bài tập mô hình hóa và thực hiện được phương pháp dạy học mô hình hóa trong quá trình dạy học thì sẽ giúp

học sinh vận dụng được các kiến thức được học vào giải quyết các tình huống thực tiễn Qua đó, học sinh được hình thành và phát triển năng lực mô hình hóa Toán học đồng thời thấy được ý nghĩa của môn Toán trong đời sống cũng như trong các môn học khác, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán

7 Phương pháp nghiên cứu

7.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận

- Nghiên cứu các bài báo khoa học, sách chuyên khảo, các luận án, luận văn

về mô hình hóa, phương pháp dạy học bằng mô hình hóa, phát triển năng lực mô hình hóa trong môn Toán

7.2 Phương pháp điều tra, quan sát

- Quan sát, điều tra, tìm hiểu thực tế dạy học bằng mô hình hóa ở cấp trung học cơ sở

- Đánh giá mức độ quan tâm, yêu thích của giáo viên và học sinh với việc liên hệ Toán học và thực tiễn cũng như việc dạy học bằng mô hình hóa

7.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

- Thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi của các biện pháp đề xuất

8 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn gồm:

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2 Thiết kế một số hoạt động mô hình hóa trong dạy học chủ đề

Hàm số ở cấp trung học cơ sở

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Mô hình hóa toán học

1.1.1 Mô hình, mô hình toán học và mô hình hóa toán học

Theo từ điển Tiếng Việt thì mô hình là vật cùng hình dạng nhưng được làm thu nhỏ lại nhiều lần, mô phỏng cấu tạo và hoạt động của một vật khác, thường nhằm mục đích để trình bày, nghiên cứu [20,Tr.665] Ví dụ: Mô hình ô tô, mô hình khu công nghiệp, mô hình công viên nước, …

Ngoài ra, mô hình còn được hiểu là hình thức diễn đạt hết sức ngắn gọn, theo một ngôn ngữ nào đó, các đặc trưng chủ yếu của một đối đối tượng, để nghiên cứu đối tượng ấy Ví dụ: Mô hình của một câu đơn (gồm một nòng cốt câu với hai bộ phận chính là chủ ngữ và vị ngữ)

Theo Nguyễn Thị Tân An (2012), mô hình là một mẫu, một kế hoạch, một đại diện, một minh họa được thiết kế để mô tả cấu trúc, cách vận hành của một đối tượng, một hệ thống hay một khái niệm Mô hình theo ý nghĩa vật lí của nó, đó là bản sao, thường thì nhỏ hơn của một đối tượng Mô hình đó có cùng nhiều tính chất với đối tượng gốc: nó có cùng những điểm đặc trưng, có thể là màu sắc thậm chí cả chức năng với đối tượng mà mô hình đó biểu diễn Một mô hình lí thuyết của một

sự vật hiện tượng là một tập hợp các quy tắc biểu diễn sự vật hiện tượng đó trong đầu của người quan sát [1]

Như vậy, mô hình có thể hiểu như là một vật, một mẫu được thiết kế mà thông qua chúng, ta có thể thấy được các đặc điểm đặc trưng của vật thể gốc Từ đó,

ta có thể nghiên cứu, tìm hiểu và khám phá các đặc trưng của vật thể mà không cần tạo ra vật thể thật Tuy nhiên điều này còn phụ thuộc vào ý đồ của người thiết kế

mô hình và bối cảnh áp dụng của mô hình đó

Mô hình toán học, theo từ điển Tiếng Việt, là hệ thống các công thức, phương trình, ký hiệu toán học diễn đạt các đặc trưng chủ yếu của một đối tượng, dùng để nghiên cứu đối tượng ấy [20,Tr.665]

Theo Nguyễn Danh Nam (2015), mô hình toán học (mô hình sử dụng trong dạy Toán) là một mô hình trừu tượng sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả về một

hệ thống nào đó Nó có thể hiểu là các hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, hệ phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hay thậm chí cả các mô hình ảo trên máy vi tính [18]

Theo Từ điển bách khoa toàn thư, MHH là sự chuyển đổi trừu tượng một thực tiễn cụ thể nhằm mục đích mô tả thế giới trực giác hay thế giới đã được quan niệm hóa bằng ngôn ngữ tự nhiên Sự chuyển đổi này được đặt dưới sự kiểm tra của

tư duy lôgic hay tư duy toán học

MHH toán học là sự giải thích toán học cho một hệ thống ngoài toán học nhằm trả lời cho những câu hỏi mà người ta đặt ra trên hệ thống này

MHH toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận [1]

MHH trong dạy học Toán là quá trình giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ toán học với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin và các công cụ trực quan khác Quá trình này đòi hỏi các kỹ năng và thao tác tư duy Toán học như: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa [28]

Như vậy, có thể nói mô hình là một mẫu được thiết kế để nhìn ra được các đặc điểm từ vật thể, tình huống gốc ban đầu; mô hình Toán học là mô hình sử dụng ngôn ngữ Toán học để mô tả một tình huống nào đó thông qua quá trình MHH toán học, tức là quá trình tạo ra các mô hình để giải quyết các vấn đề Toán học liên quan đến các tình huống thực tiễn

Mô hình toán học và MHH có vai trò hết sức quan trọng, không chỉ trong nội

bộ môn Toán và nó còn được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau

 Trong sinh học: Mô hình về sự phát triển của dân số [32]

Một mô hình đơn giản cho bài toán này là Mô hình gia tăng dân số của

Maithus (1798) Đây là mô hình mô tả sự tăng trưởng của dân số theo hàm mũ dựa

trên sự bất biến của tỉ lệ của hệ số phức Nó được xác định bởi công thức:

  rt

0

P t P e Trong đó:

+P t : Là dân số tại thời điểm t  

+P : Là dân số ban đầu (tức là tại thời điểm t = 0) 0

+r: Là tỉ lệ gia tăng dân số tại thời điểm t

Hình 1.1 Mô hình gia tăng dân số của Maithus (1798)

Hình 1.1 thể hiện ba kịch bản thay đổi dân số theo thời gian: Nếu tỉ lệ r0thì dân số tăng dần, nếu r0thì dân số giảm dần, nếu r 0 thì dân số sẽ giữ nguyên Về mặt trực quan thì ta thấy điều này là hợp lí vì nếu r 0 tức là tỉ lệ sinh lớn hơn tỉ lệ tử, nghĩa là dân số sẽ tăng và ngược lại

Tuy nhiên, vì sự đơn giản nên mô hình này chỉ phù hợp hữu ích cho việc dự đoán trong khoảng thời gian ngắn, và không tốt nếu áp dụng cho khoảng thời gian

10 hay 20 năm hoặc lâu hơn Bởi lẽ, mô hình đã không tính đến thực tế những điều kiện tự nhiên (môi trường sống, tài nguyên, …) cũng chỉ hạn chế trong một giới hạn Khi dân số tăng đến một ngưỡng nào đó thì những điều kiện tự nhiên này không đáp ứng được nhu cầu sinh hoạt của người dân (lương thực thiếu hụt, ô nhiễm môi trường, …) Dẫn đến tỉ lệ sinh giảm mà tỉ lệ tử tăng Khi đó, mô hình này không còn phản ánh đúng thực tế nữa Để khắc phục yếu điểm này Pierre

Francois Verhulst đã phát triển mô hình hàm logistic vào năm 1838 và vẫn được sử dụng đến ngày nay:



Trong đó:

+P t : Là dân số tại thời điểm t  

+P : Là dân số ban đầu (tức là tại thời điểm t = 0) 0

+ C: Là ngưỡng chặn trên của dân số

 Trong cơ học cổ điển:

Mô hình dao động của dây, của màng; mô hình chuyển động của tên lửa; mô hình chuyển động của tàu ngầm Một dạng đặc biệt của dao động có chu kỳ chiếm

vị trí quan trọng trong thực tế là dao động điều hòa Về mặt động học dao động điều hòa được miêu tả bởi hệ thức:

+ kt  : Là pha dao động với α là pha ban đầu; k là tần số (riêng) dao động

Ngoài ra, mô hình toán học còn được ứng dụng trong khoa học máy tính (mô hình kiến trúc mạng, mô hình dữ liệu, đồ họa máy tính ), trong kinh tế (mô hình

mô tả hành vi (có lí trí) của một khách hàng…), trong điện tử (mô hình quang phổ,

mô hình năng lượng, ),…

1.1.2 Quy trình mô hình hóa toán học

Khi mô tả về quy trình MHH toán học, đã có nhiều sơ đồ được đưa ra để chỉ

ra một cách tương đối rõ ràng về bản chất của MHH toán học, trở thành một hướng dẫn để thiết kế các hoạt động MHH trong quá trình dạy học Một số quy trình mà luận văn đã tìm hiểu được là:

* Quy trình của Blum (2005):

Sơ đồ 1.2 Quy trình mô hình hóa 7 bước của Blum [1]

Quy trình gồm 7 bước:

Bước 1: Đọc hiểu tình huống thực và xây dựng mô hình cho tình huống đó; Bước 2: Xây dựng mô hình thực của tình huống bằng cách đơn giản hóa và xác định các biến phù hợp;

Bước 3: Chuyển từ mô hình thực sang mô hình toán;

Bước 4: Giải bài toán trong nội bộ môn toán để tìm kết quả;

Bước 5: Chuyển kết quả toán thành kết quả thực;

Bước 6: Kiểm tra tính phù hợp của kết quả với mô hình thực;

Bước 7: Trình bày và trả lời cho tình huống thực

* Quy trình của Stillman (2007):

Sơ đồ 1.3 Quy trình mô hình hóa 7 bước của Stillman [1]

Trong quy trình trên, các mục từ A đến G biểu diễn các bước của quá trình MHH; các mũi tên đậm biểu thị sự chuyển đổi giữa các bước, các mũi tên nhạt thể hiện sự tồn tại của hoạt động phản ánh (trong trường hợp không thể chuyển sang bước tiếp theo thì quay lại xem xét các bước phía trước của chu trình) Quá trình MHH bắt đầu từ bước 1 và kết thúc bởi việc thể hiện kết quả MHH hoặc tiếp tục một chu trình MHH khác nếu kết quả là không thỏa đáng ở một phương diện nào đó

* Quy trình của PISA (2006):

Sơ đồ 1.4 Quy trình mô hình hóa 5 bước của PISA (2006)[1]

Quy trình gồm 5 bước:

Bước 1: Bắt đầu từ một vấn đề được đặt ra trong thực tế;

Bước 2: Nhận ra các kiến thức toán phù hợp với vấn đề, tổ chức lại vấn đề theo các khái niệm toán học;

Bước 3: Không ngừng cắt tỉa các yếu tố thực tế để chuyển vấn đề thành một bài toán mà thể hiện trung thực cho tình huống;

Bước 4: Giải quyết bài toán;

Bước 5: Làm cho lời giải của bài toán có ý nghĩa đối với tình huống thực tế, xác định những hạn chế của lời giải

* Quy trình phỏng theo Coulange (1997) của Lê Thị Hoài Châu (2015):

Sơ đồ 1.5 Quy trình mô hình hóa 4 bước phỏng theo Coulange (1997)[9]

Quy trình gồm 4 bước:

Bước 1 Xây dựng mô hình phỏng thực tiễn của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất trong hệ thống và xác lập những quy luật phải tuân theo

Bước 2 Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả lại dưới dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình phỏng thực tiễn (Có thể có nhiều mô hình toán học khác nhau ứng với vấn đề đang xem xét, nên khi lựa chọn mô hình, cần xem xét kĩ các yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ nào giữa chúng là quan trọng)

Bước 3 Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở bước 2

Bước 4 Kiểm tra, đánh giá các kết quả thu được trong bước 3 (xác định mức

độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế, nếu không phù hợp thì quá trình lặp lại từ bước 1)

Cả 4 quy trình giới thiệu trên đây, dù khác nhau về số lượng các bước và mô

tả thực hiện ở mỗi bước nhưng đều có chung 4 giai đoạn: Toán học hóa tình huống thực tiễn; Làm việc và giải quyết bài toán trong nội bộ môn Toán; Chuyển đổi thành kết quả cho bài toán thực tiễn ban đầu và Phản ánh, đánh giá kết quả thu được Các giai đoạn này cũng mô tả các hoạt động chính của HS cần thực hiện trong quá trình MHH

Tuy nhiên, thực tế dạy học, không phải lúc nào việc thực hiện quá trình MHH cũng suôn sẻ và cần thiết một sự hướng dẫn về việc “phải điều chỉnh như thế nào nếu gặp khó khăn?” hay nói cách khác, cần phải có một cơ chế điều chỉnh trong quy trình MHH để làm đơn giản hóa và làm vấn đề trở nên dễ hiểu hơn với HS Trong 4 quy trình được nêu bên trên, chỉ có quy trình của Stillman (2007) là đề cập đến vấn đề này một cách có chủ đích hơn trong sơ đồ Tuy nhiên, việc mô tả cơ chế điều chỉnh còn chưa rõ ràng nên khó để HS có thể hình dung

Vì vậy, đối với quy trình MHH toán học, luận văn lựa chọn trình bày theo Trần Trung (Ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông vào dạy học môn Toán) [28] Ở đó, ngoài một quy trình MHH toán học, các tác giả còn thiết kế riêng một cơ chế điều chỉnh trong quá trình MHH toán học

Quy trình này gồm bốn giai đoạn sau đây:

 Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng, phác thảo tình huống và nhận ra các yếu

tố quan trọng (như biến số, tham số) có tác động đến vấn đề

 Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố dưới góc nhìn

của Toán học Từ đó phác họa mô hình toán học tương ứng

 Giai đoạn 3: Áp dụng các phương pháp, công cụ Toán học phù hợp để

MHH các vấn đề và phân tích mô hình

 Giai đoạn 4: Thông báo kết quả, đối chiếu mô hình với thực tiễn và kết luận

MHH có thể xem là một quy trình khép kín Nó được nảy sinh từ các tình huống thực tiễn và kết quả của nó được dùng để giải thích và cải thiện các vấn đề trong thực tiễn Có thể minh họa quy trình trên bằng sơ đồ dưới đây:

Sơ đồ 1.6 Quy trình mô hình hóa khép kín [28]

Thực hiện quy trình trên, trong quá trình dạy học Toán, GV cần giúp HS nắm được yêu cầu cụ thể của từng giai đoạn:

 Toán học hóa: Quan sát, hiểu tình huống thực tế, đơn giản hóa tình huống

bằng cách thành lập các giả thuyết, mô tả và diễn đạt lại tình huống bằng ngôn ngữ toán học

Đây là quá trình chuyển các tình huống thực tế sang tình huống toán học bằng cách tạo ra các mô hình toán học tương ứng của chúng (Từ giai đoạn 1 sang giai đoạn 2) Quá trình này yêu cầu HS phải quan sát, liên hệ để hiểu được tình huống (có độ phức tạp khác nhau) Từ đó, HS lập các giả thuyết, đơn giản hóa các vấn đề để chuyển hóa tình huống thành bài toán toán học HS cũng phải xác định các khái niệm toán học liên quan, các biến số, tham số tác động đến vấn đề; biểu diễn vấn đề bằng ngôn ngữ toán học và lập mô hình toán học như bảng biểu, hình

vẽ, đồ thị, hàm số hay phương trình, công thức toán học

 Giải bài toán: Áp dụng các phương pháp, công cụ Toán học phù hợp để

giải bài toán

Đây là quá trình giải quyết bài toán toán học (xây dựng được ở bước 1) trong nội bộ môn Toán (Từ giai đoạn 2 sang giai đoạn 3) Ở đó, đòi hỏi HS lựa chọn, sử dụng các phương pháp và công cụ toán học thích hợp để thành lập và giải quyết vấn

đề sử dụng ngôn ngữ toán học

 Thông hiểu: Hiểu lời giải của bài toán đối với tình huống trong thực tiễn

(bài toán ban đầu)

Đây là quá trình HS sử dụng kết quả (ở bước 2) để “thông dịch” và trả lời cho bài toán ban đầu (Từ giai đoạn 3 sang giai đoạn 4) Ở bước này, HS cần hiểu được ý nghĩa lời giải của bài toán trong thực tiễn, bao gồm cả việc HS nhận ra được những hạn chế và khó khăn có thể có khi áp dụng kết quả của bài toán này vào tình huống thực tiễn ban đầu

 Đối chiếu: Đánh giá lại các giả thuyết, hạn chế của mô hình toán học và lời giải

của bài toán, từ đó cải tiến mô hình đã xây dựng

Ở giai đoạn này, muốn đánh giá lại các giả thuyết, hạn chế của mô hình và cải tiến mô hình đã xây dựng thì trước hết HS cần phải có những hiểu biết rõ về các công cụ toán học, đồng thời phải biết lựa chọn sử dụng công cụ có chức năng phù hợp để giải quyết các vấn đề thực tiễn

Tuy nhiên, trong thực tế dạy học quy trình MHH ở trên luôn tuân theo một

cơ chế điều chỉnh phù hợp nhằm làm đơn giản hóa và dễ hiểu hơn đối với HS ở trường phổ thông Cơ chế điều chỉnh này cho thấy mối liên hệ mật thiết giữa toán học với các vấn đề trong thực tiễn:

Sơ đồ 1.7 Cơ chế điều chỉnh trong quá trình mô hình hóa [28]

Cơ chế điều chỉnh trên bao gồm các bước cụ thể như sau:

- Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giản hóa vấn đề, xác định giả thuyết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thực tế;

- Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác nhau đã đưa ra;

- Lựa chọn và sử dụng hiệu quả phương pháp giải quyết vấn đề và quá trình MHH;

- Lựa chọn và sử dụng các mô hình toán học phù hợp với tình huống thực tế cũng như tính toán đến sự phức tạp của nó;

- Tìm hiểu các ưu điểm và hạn chế của mô hình đã đưa ra, sau đó cải tiến mô hình cho phù hợp với thực tiễn;

- Hiểu được ý nghĩa của mô hình toán học trong hoàn cảnh thực tế có độ phức tạp cao hơn;

- Kiểm tra tính hợp lí và tối ưu của mô hình đã xây dựng

Từ quy trình MHH và cơ chế điều chỉnh trên, luận văn đề xuất các bước tổ chức hoạt động MHH trong dạy học môn Toán như sau:

 Bước 1 (Tìm hiểu vấn đề thực tiễn): Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng

tỏ, phân tích, đơn giản hóa vấn đề, xác định giả thuyết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thực tế

 Bước 2 (Lập giả thuyết): Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác

nhau đã đưa ra

 Bước 3 (Xây dựng bài toán): Xây dựng bài toán bằng cách lựa chọn và sử

dụng ngôn ngữ toán học mô tả tình huống thực tế cũng như tính toán đến độ phức tạp của nó

 Bước 4 (Giải bài toán): Sử dụng các công cụ toán học thích hợp để giải bài

toán

 Bước 5 (Hiểu lời giải bài toán): Hiểu được lời giải của bài toán, ý nghĩa của

mô hình toán học trong hoàn cảnh thực tế

 Bước 6 (Kiểm nghiệm mô hình): Kiểm nghiệm mô hình (ưu điểm và hạn

chế), kiểm tra tính hợp lý và tối ưu của mô hình đã xây dựng

 Bước 7 (Thông báo, giải thích, dự đoán): Thông báo, giải thích, dự đoán,

cải tiến mô hình hoặc xây dựng mô hình có độ phức tạp cao hơn sao cho phù hợp với thực tiễn [18]

Sơ đồ 1.8 Các bước tổ chức hoạt động mô hình hóa [18]

1.1.3 Phương pháp dạy học mô hình hóa

Nâng cao năng lực giải quyết các vấn đề thực tiễn cho HS là một trong những ưu tiên hàng đầu của giáo dục hiện nay Do đó, trong quá trình dạy học môn Toán, GV không chỉ dừng lại ở việc giúp HS lĩnh hội được các tri thức Toán mà còn phải giúp HS áp dụng các kiến thức được học vào giải quyết các vấn đề trong cuộc sống Qua đó, HS thấy được ý nghĩa của môn học và có hứng thú, động lực học tập với môn học hơn Phương pháp dạy học MHH là một trong những công cụ giúp GV đạt được mục tiêu này

Bàn về phương pháp dạy học MHH, tác giả Lê Văn Tiến (2005) đã đưa ra hai tiến trình tổ chức dạy học:

Trình bày tri thức toán học lý thuyết (giới thiệu định nghĩa, khái niệm hay định lý, công thức) → Vận dụng tri thức vào việc giải quyết các bài toán thực tiễn,

ở đó phải xây dựng mô hình toán học

Xuất phát từ một vấn đề thực tiễn → Xây dựng mô hình toán học → Câu trả lời cho bài toán thực tiễn → Thể chế hóa tri thức cần giảng dạy bằng cách nêu định nghĩa hay định lý, công thức → Vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác mà tri thức đó cho phép xây dựng một mô hình toán học phù hợp [25]

Tiến trình dạy học thứ nhất gọi là dạy học MHH, tuy gọn gàng nhưng lại

làm mất đi nguồn gốc thực tiễn của các tri thức toán học, và do đó làm mất nghĩa của tri thức Mặt khác, tổ chức dạy học MHH sẽ “vô tình” định hướng HS đến việc xây dựng một mô hình toán học phù hợp với tri thức vừa học Điều này giúp HS có thể đi đúng hướng ngay từ đầu và giải quyết nhanh được bài toán Tuy nhiên, nếu không biết trước tri thức phù hợp với bài toán thực tiễn, liệu HS có thể xây dựng được mô hình toán học phù hợp hay không thì chưa chắc

Tiến trình dạy học thứ hai gọi là dạy học bằng MHH, bản chất là dạy học

toán thông qua dạy học MHH, cho phép khắc phục khiếm khuyết nói trên Trong

đó, xuất phát từ việc nghiên cứu các vấn đề thực tiễn, sau khi tìm lời giải và trả lời cho vấn đề thực tiễn thì tri thức được nảy sinh (với tư cách là kết quả hay phương tiện giải quyết vấn đề)

Như vậy, phương pháp dạy học MHH là một trong những biện pháp để nâng cao năng lực hiểu biết toán cho HS Do đó, cần thiết phải quan tâm đến vấn đề MHH trong dạy học

1.2 Vai trò của mô hình hóa trong dạy học môn Toán

1.2.1 Mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn

Toán học là môn học có tính trừu tượng cao Theo Nguyễn Bá Kim (2011) tính trừu tượng của toán học và của môn Toán trong nhà trường phổ thông do chính đối tượng của toán học quy định Theo Ăng - ghen, “Đối tượng của toán học thuần túy là những hình dạng không gian và những quan hệ số lượng của thế giới khách quan” [15,Tr.35]

Tuy nhiên, do toán học có nguồn gốc từ thực tiễn nên tính trừu tượng chỉ che lấp chứ không hề làm mất đi tính thực tiễn của nó Theo Nguyễn Bá Kim (2011) thì liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học Toán là một trong ba phương hướng thực hiện nguyên lí giáo dục Cụ thể là:

 Nguồn gốc thực tiễn của Toán học: số tự nhiên ra đời do nhu cầu đếm, hình học xuất hiện do nhu cầu đo đạc lại ruộng đất sau những trận lụt bên bờ sông Nile (Ai Cập), …

 Sự phản ánh thực tiễn của Toán học: khái niệm vector phản ánh những đại lượng đặc trưng không phải chỉ bởi bằng số đo mà còn bởi hướng, chẳng hạn vận tốc, lực,… khái niệm đồng dạng phản ánh những hình cùng hình dạng nhưng khác nhau về độ lớn,…

 Các ứng dụng thực tiễn của Toán học: ứng dụng lượng giác để đo khoảng cách không tới được, đạo hàm ứng dụng để tính vận tốc tức thời, tích phân

để tính thể tích, diện tích, …[15,Tr.62]

Toán học nghiên cứu những mối quan hệ về số lượng và hình dạng trong không gian của thế giới khách quan Toán học có vai trò rất quan trọng và được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y học, vật lý, thiên văn học, quân sự, …

- Trong thiên văn học: Từ rất lâu, các nhà khoa học đã phát hiện ra các

hành tinh trong hệ mặt trời chuyển động theo một quỹ đạo nhất định và họ tin rằng quỹ đạo các hành tinh là một hình tròn hoàn hảo Cho đến thế kỉ 17, những tính toán chi tiết từ dữ liệu quan sát của quỹ đạo Sao Hỏa giúp Kepler nhận ra quỹ đạo của hành tinh này phải là hình elip thì mới phù hợp Từ đây, ông suy luận tương tự cho các hành tinh khác quay quanh Mặt Trời cũng có quỹ đạo elip Ba định luật Kepler (1609 - 1619) và kết quả phân tích dữ liệu quan sát của ông là một thách thức lớn cho mô hình địa tâm của Aristotle và Ptolemy (một mô hình được chấp thuận từ rất lâu), và ủng hộ cho mô hình nhật tâm của Nicolaus Copernicus (mặc dù quỹ đạo elip theo Kepler khác với các quỹ đạo tròn theo Copernicus), với bằng chứng là Trái Đất quay quanh Mặt Trời, vận tốc của các hành tinh trên quỹ đạo là biến đổi, và quỹ đạo có hình elip hơn là hình tròn

- Trong quân sự: Pháo là một loại vũ khí không thể thiếu trong chiến tranh,

nó cơ động, có sức sát thương lớn và tầm hoạt động lên tới hàng chục kilomet Lần đầu tiên pháo được sử dụng trên chiến trường với đạn đẩy bằng thuốc nổ được ghi nhận vào ngày 28 tháng 1 năm 1132 khi tướng Hàn Thế Trung của Nam Tống dùng thang mây và hoả pháo để đánh thành Kiến Châu (nay là Kiến Âu) Loại vũ khí nhỏ thô sơ này đã du nhập vào vùng Trung Đông rồi đến châu Âu vào thế kỷ 13 Trải qua nhiều thế kỷ, các nhà khoa học kỹ thuật đã không ngừng cải tiến các khẩu pháo

cả về tầm bắn, tính chính xác lẫn sức công phá Với sự phát triển của toán học, người ta đã viết được phương trình bay của viên đạn sau khi ra khỏi nòng pháo:

  ; trong đó v0 là vận tốc khi viên đạn ra khỏi nòng pháo

và  là góc mà nòng pháo tạo với phương nằm ngang [12]

- Trong hội họa - kiến trúc: Ứng dụng về phép biến hình trong Toán học

cũng có thể tạo ra những bức tranh với những chi tiết lặp đi lặp lại nhưng tuyệt đẹp

- đó là Lát mặt phẳng (Tessellation)

Quần thể cung điện Alhambra, Granada, Tây Ban Nha là công trình do những người Maroc (người lai Arab và Berber) đến từ Tây Bắc châu Phi từng thống trị ở Tây Ban Nha thời trung cổ xây dựng Nơi đây còn đặc biệt ấn tượng với những viên gạch lát lạ mắt, ẩn chứa những kiến thức toán học thú vị

Hình 1.9: Một phần bức tường ở quần thể cung điện Alhambra

Nếu nhìn kĩ, ta sẽ thấy những viên gạch lát tường không phải có hình vuông, hình lục giác như thường thấy, mà chúng có hình dạng vô cùng đặc biệt Người thì gọi đó là hình cánh quạt, hình con chim đang xòe đôi cánh, hình người đang nhảy, hình con cá, …

Điều đặc biệt là “viên gạch lát” này lại được tạo ra từ một đa giác rất quen thuộc, đó là tam giác đều:

Hình 1.10 Cách tạo ra viên gạch lát từ hình tam giác đều

Tesselltion được ứng dụng nhiều trong các công trình kiến trúc, hội họa mà bậc thầy của nghệ thuật này là Maurits Cornelis Escher (1898 - 1972) - một họa sĩ người Hà Lan

Hình 1.11 Một số tác phẩm của Escher

Hình 1.12 Một số ứng dụng của Lát mặt phẳng trong kiến trúc, xây dựng

Tóm lại, Toán học có nhiều ứng dụng trong đời cũng như trong sự phát triển của nhiều lĩnh vực khác Việc vận dụng Toán học vào thực tiễn thực chất là vận dụng Toán học vào giải quyết các tình huống thực tế: Từ những thông tin của tình

huống ban đầu, sử dụng những công cụ Toán học phù hợp để nghiên cứu, tìm hiểu

để đưa về một bài toán toán học rồi dùng kết quả của bài toán để đưa ra kết luận, thông báo về một yếu tố chưa biết trong tình huống ban đầu, nhằm đạt một mục đích đã đề ra

1.2.2 Vai trò của mô hình hóa trong dạy học môn Toán

1.2.2.1 Góp phần hoàn thành mục tiêu, nhiệm vụ dạy học môn Toán

Chương trình giáo dục phổ thông mới xây dựng theo “mô hình” chân dung học sinh cũng đã đưa ra các yêu cầu cần đạt bao gồm 5 phẩm chất và 10 năng lực cốt lõi Với riêng năng lực Toán học thì một trong những thành tố cốt lõi là năng lực MHH toán học Năng lực hướng tới việc HS sử dụng các mô hình toán học để

mô tả các tình huống thực tế, giải quyết trong môi trường toán học và biết đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế

Cùng với đó, thế giới đã bước thời kì cách mạng công nghiệp 4.0 với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ đòi hỏi người lao động phải chủ động dám nghĩ, dám làm, linh hoạt trong lao động, hòa nhập với cộng đồng xã hội

Do đó, việc dạy học bằng MHH trong quá trình dạy học môn Toán không chỉ phục vụ trực tiếp việc phát triển năng lực MHH cho HS mà còn có ý nghĩa to lớn trong việc thực hiện yêu cầu của mục tiêu giáo dục nói chung và mục tiêu môn Toán nói riêng

1.2.2.2 Giúp học sinh thấy được ý nghĩa của môn Toán trong đời sống

Toán học có nguồn gốc thực tiễn nên sự phát triển của thực tiễn đã có tác dụng lớn đối với toán học Thực tiễn là cơ sở để nảy sinh, phát triển và hoàn thiện các lí thuyết Toán học

HS sẽ hình thành được quan điểm duy vật về nguồn gốc Toán học, thấy rõ Toán học không phải là một sản phẩm thuần tuý của trí tuệ mà được phát sinh và phát triển do nhu cầu thực tế cuộc sống Đồng thời cũng giúp HS nghiệm ra rằng mâu thuẫn biện chứng là động lực của sự phát triển

Ngược lại, toán học lại xâm nhập vào thực tiễn thúc đẩy thực tiễn phát triển Với vai trò là công cụ, Toán học sẽ giúp giải quyết các bài toán do thực tiễn đặt ra

Ví dụ: Để tính chiều cao chính xác của Kim tự tháp Ai Cập vào hơn 2600 năm trước, không có một công cụ đo nào có thể thực hiện được (cho dù có thể bò lên đến đỉnh tháp) Nhưng nhờ những kiến thức Toán học về tam giác đồng dạng, Ta-lét (nhà Toán học, Triết học nổi tiếng người Hy Lạp), với chỉ một cái cọc và một cây thước đã đo được chiều cao của Kim tự tháp Khufu

Hình 1.13 Cách tính chiều cao kim tự tháp bằng tam giác đồng dạng

1.2.2.3 Phát triển kĩ năng, năng lực Toán học và thái độ học tập của học sinh

Ở nhà trường hiện nay, GV thường chỉ chú trọng, quan tâm việc dạy HS những kiến thức, lí thuyết quy định trong Chương trình và Sách giáo khoa mà sao nhãng việc giúp các em thực hành kiến thức Toán vào thực tế Hệ quả là rất nhiều

HS gặp khó khăn, lúng túng trong việc vận dụng kiến thức Toán vào tình huống thực tiễn và là một trong những nguyên nhân khiến “môn Toán là môn khô khan, khó học” trong suy nghĩ của HS

Việc vận dụng Toán học vào thực tiễn với các hoạt động như: thu thập tài liệu trong thực tế, tương tự hóa hoặc đặc biệt hóa để đưa ra dự đoán rồi dùng quy nạp toán học để chứng minh tính đúng đắn của các dự đoán; thu thập tài liệu thống

kê trong sản xuất, quản lí kinh tế trong xã hội để tìm quy luật chung, ước lượng một

số dấu hiệu từ mẫu thống kê đến tập hợp tổng quát về năng suất vụ mùa, năng suất lao động, bình quân nhân khẩu, phế phẩm, số lượng cỡ hàng, giúp HS thực hành tốt các kỹ năng toán học (như tính nhanh, tính nhẩm, kỹ năng đọc biểu đồ, năng lực

tư duy, lập luận, )

Toán là môn học trừu tượng nhiều cấp độ, chính vì vậy để HS tiếp thu tốt, rất cần sự liên hệ gần gũi bằng những tình huống, những vấn đề thực tế Những hoạt

động thực tế đó vừa có tác dụng rèn luyện năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn, vừa giúp HS tích cực hóa trong học tập để lĩnh hội kiến thức

Bình thường, để kích thích việc học ở HS, GV thường dùng các biện pháp như cho điểm tốt, tặng sao, khen chê, tổ chức thi đua, tặng quà,… Tuy nhiên, các biện pháp này cũng giảm dần hiệu quả khi HS lớn hơn Lí do là các em đã bắt đầu chuyển hướng mục đích từ việc học để lấy điểm tốt, để được khen… sang học để biết tri thức đó để làm gì, ứng dụng được gì trong thực tiễn Nói cách khác, nhu cầu tìm hiểu về ý nghĩa của tri thức được học (cũng là ý nghĩa của việc học) tỉ lệ với độ trưởng thành của HS Do đó, việc tăng cường liên hệ với thực tiễn trong giảng dạy Toán học sẽ giúp HS có được câu trả lời cho bản thân; từ đó tích cực hóa trong việc lĩnh hội kiến thức

Ví dụ: Bài toán “Cho hai điểm P và Q nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ

là đường thẳng a M là một điểm bất kì di chuyển trên a Tìm vị trí điểm M để MP +

MQ là nhỏ nhất” có thể thay thế bằng tình huống sau “Nhà Minh có hai mảnh vườn cách nhau a (mét) nhưng lại cùng nằm về một bên của mương tưới tiêu Khoảng cách

từ hai mảnh vườn đến mương nước lần lượt là b và c (mét) Muốn có nước tưới cây trong vườn, bố Minh cần phải đặt một máy bơm nước ở bờ mương để lấy và dẫn nước

về vườn Biết chi phí cho 1 mét dây bơm là t (nghìn đồng) Em hãy giúp bố Minh tìm vị trí đặt máy bơm để số tiền sử dụng là ít nhất” Rõ ràng, bản chất của hai bài toán là

như nhau nhưng bài toán sau gây hứng thú cho HS hơn rất nhiều Đồng thời, bước đầu hình thành cho HS một biểu tượng đúng về tri thức được học

1.3 Thực tiễn dạy học bằng mô hình hóa toán học ở cấp trung học cơ sở hiện nay

1.3.1 Thực trạng dạy học bằng mô hình hóa ở bậc trung học cơ sở hiện nay

Thông qua Phiếu hỏi dành cho GV (xem phần phụ lục 1), chúng tôi đã tiến hành trao đổi, điều tra 29 GV dạy toán cấp THCS về việc hiểu biết, tìm hiểu các ứng dụng thực tế của môn Toán và việc đưa các tình huống thực tiễn vào quá trình dạy học môn Toán Theo đó, kinh nghiệm giảng dạy của các GV được thể hiện ở biểu đồ sau:

Biểu đồ 1.14 Kinh nghiệm giảng dạy của các giáo viên tham gia khảo sát

Đối với mỗi câu hỏi được hỏi ý kiến GV được sẽ trả lời bằng cách cho điểm tùy theo mức độ đồng ý của bản thân Sau khi thu lại các phiếu và thống kê, kết quả thu được được thể hiện qua các biểu đồ dưới đây:

Biểu đồ 1.15 Thống kê về đánh giá tầm quan trọng của việc tăng cường các hoạt

động liên hệ với thực tiễn trong dạy học môn Toán

Biểu đồ 1.16 Thống kê về việc thường xuyên quan tâm đến việc dạy học theo hướng

tăng cường liên hệ Toán học với thực tiễn của giáo viên

Dựa vào biểu đồ trên, ta thấy hầu hết GV đều đánh giá cao mức độ quan trọng của việc liên hệ với thực tiễn trong dạy học môn toán (97%) Tuy nhiên, khi

đánh giá về mức độ thường xuyên quan tâm đến việc dạy học theo hướng tăng cường liên hệ Toán học với thực tiễn của bản thân thì chỉ có (79%) GV đạt mức thường xuyên (4 điểm) trở lên Dẫu vậy, con số 79% cũng là một tín hiệu đáng mừng về sự thay đổi trong nhận thức của GV về vấn đề này

Biểu đồ 1.17 Thống kê về việc thường xuyên tự tìm hiểu những ứng dụng của Toán học trong thực tế và liên hệ với các kiến thức Toán học đang được giảng dạy tại

trường phổ thông

Qua biểu đồ, ta thấy mặc dù GV đều nhận thức được tầm quan trọng của việc liên hệ với thực tiễn trong dạy học môn toán nhưng chỉ có 49% GV được khảo sát

đã chú trọng tới việc tự tìm hiểu những ứng dụng của Toán học trong thực tế và liên

hệ với các kiến thức Toán học đang được giảng dạy tại trường phổ thông và vẫn còn hơn một nửa GV chưa chủ động trong việc này (48% thỉnh thoảng làm và 3% hiếm khi làm) Như vậy, bài toán đi từ “nhận thức tốt” đến “hành động tốt” vẫn là một câu chuyện khá xa với GV

Biểu đồ 1.18 Thống kê về việc thường xuyên đưa các tình huống thực tiễn, các mô

hình của toán học trong thực tiễn vào dạy học Toán

Dựa vào biểu đồ, ta thấy sự tương đồng rất lớn với biểu đồ 1.17: Những GV thường xuyên tự tìm hiểu những ứng dụng của Toán học trong thực tế và liên hệ với các kiến thức Toán học đang được giảng dạy, đều có “chất liệu” và “động lực” để đưa các tình huống thực tiễn, các mô hình của toán học trong thực tiễn vào dạy học

Có 38% GV thường xuyên và 10% GV rất thường xuyên thực hiện việc này Ngược lại, có 52% GV thỉnh thoảng hoặc hiếm khi làm

Biểu đồ 1.19 Thống kê về việc thường xuyên thiết kế cho học sinh các hoạt động, bài tập theo hướng vận dụng mô hình toán học để giải quyết các bài toán thực tiễn

Kết quả biểu đồ về việc thường xuyên thiết kế cho HS các hoạt động, bài tập theo hướng vận dụng mô hình toán học để giải quyết các bài toán thực tiễn không tương đồng với việc thường xuyên đưa các tình huống thực tiễn vào dạy học (chỉ có 27% GV thường xuyên làm việc này) Kết quả này có thể xuất phát từ một số nguyên nhân như: Việc thiết kế các hoạt động, bài tập mất nhiều thời gian, công sức; nguồn “chất liệu” từ thực tiễn chưa nhiều; GV chưa rõ biện pháp thiết kế,…

Biểu đồ 1.20 Thống kê về đánh giá tầm quan trọng của việc tăng các câu hỏi có nội

dung thực tiễn vào kiểm tra, đánh giá môn Toán

Qua biểu đồ ta thấy GV thống đều đồng ý với việc cần tăng cường các câu hỏi có nội dung thực tiễn vào kiểm tra, đánh giá môn Toán

1.3.2 Những thuận lợi và trở ngại, khó khăn của dạy học bằng mô hình hóa

Bảng 1.21 Thống kê ý kiến của giáo viên về những thuận lợi và khó khăn của việc

đưa tình huống thực tiễn vào dạy học môn toán

Thuận lợi Khó khăn

1 Về mức độ quan tâm: Việc tăng

cường các tình huống thực tiễn, mô hình

toán học trong việc dạy học toán ngày

càng được quan tâm, trú trọng

2 Về điều kiện cơ sở vật chất: Công

nghệ thông tin phát triển, cơ sở vật chất

ngày càng hiện đại là điều kiện để phát

triển dạy học theo hướng tăng cường

thực tiễn, MHH

3 Về sự ủng hộ của HS: HS yêu thích

việc dạy học gắn với thực tiễn hơn là

học lý thuyết chay nên dễ có được sự

- Chương trình và SGK môn Toán hiện nay chưa giúp GV và HS hiểu rõ về ứng dụng của mô hình hoá trong dạy và học

- Hình thức kiểm tra, đánh giá vẫn còn nặng kiến thức hàn lâm, đòi hỏi HS muốn làm tốt thì phải luyện giải thật nhiều

3 Về tài liệu tham khảo:

- Nguồn tham khảo hạn chế

- Khó tìm được các tình huống thực tiễn,

mô hình toán học phù hợp (đơn giản, dễ gây liên tưởng) với nội dung dạy học và đối tượng HS

thực tiễn, đặc biệt là HS lớp 9

- HS chưa có tinh thần hợp tác và tìm tòi HS thường lười suy nghĩ và chủ yếu giải toán theo các bước giải theo ví dụ

có sẵn Khả năng chuyển từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ toán học rất hạn chế

- GV chịu áp lực từ đạt kết quả của HS trong các kì thi buộc phải cân đối tiết dạy, chuyển sang hướng dạy học phục

vụ các kì thi; từ đó việc gắn toán học với thực tiễn phải cắt giảm để phù hợp

Mặc dù MHH rất có ích trong việc tổ chức dạy học toán học ở trường phổ thông nhưng cũng có không ít trở ngại:

- Những trở ngại từ quan điểm của GV: Làm thế nào để lựa chọn được

vấn đề phù hợp với vốn hiểu biết, kinh nghiệm cũng như sự quan tâm của HS? Làm sao để chuyển hóa vấn đề đó thành một tình huống để giảng dạy và với mức độ như thế nào cho hợp lí? Do đó, để dạy học thông qua MHH, người GV phải thực sự tâm huyết, quyết tâm, đầu tư thời gian công sức để làm chủ được tình huống và điều chỉnh được tình huống trong thực tế giảng dạy GV cũng phải thay đổi cách quản lí, điều chỉnh, hướng dẫn HS tiếp cận với phương pháp mới và những bài toán có câu hỏi mở

- Những trở ngại từ quan điểm của HS: MHH đòi hỏi HS không chỉ là vốn

tri thức đời sống mà còn yêu cầu cả sự hiểu biết sâu sắc về các tri thức toán đã được học, khả năng tổng hợp, liên kết các tri thức toán với tình huống thực tiễn Do đó, các hoạt động, bài tập MHH luôn làm cho bài học được yêu cầu cao hơn, cách định hướng để làm bài cũng khó dự đoán hơn chứ không còn thuộc dạng này, dạng kia… quen thuộc như HS đã từng biết Điều này dẫn đến tâm lí ngại thay đổi, ngại khó, không muốn tiếp cận với một phương pháp học tập mới

Qua hai trở ngại trên ta thấy việc thiết kế những hoạt động MHH trong dạy học môn Toán làm tài liệu tham khảo cho GV trong việc áp dụng vào thực tế dạy học là một cần thiết Việc thiết kế này không chỉ là đưa ra các hoạt động MHH mà còn đòi hỏi phải xây dựng được một qui trình thiết kế theo một phương pháp luận chặt chẽ và phải được thực nghiệm kiểm chứng để GV có thể tự mình xây dựng nhiều hoạt động MHH khác

- Những trở ngại từ quan điểm dạy và đánh giá: Dạy học Toán thông qua

các hoạt động MHH yêu cầu cao ở cả GV và HS đầu tư thời gian, công sức hơn hẳn các phương pháp dạy học truyền thống Việc đánh giá kết quả thực hiện hoạt động MHH cũng có những khó khăn nhất định, đặc biệt khi đánh giá là một công cụ để đảm bảo cả GV và HS đều thực hiện nghiệm túc việc này

Trở ngại này cho thấy để các hoạt động MHH trong dạy học ở trường phổ thông nói chung và môn Toán nói riêng, cần thiết phải thay đổi cách kiểm tra, đánh giá Nếu kiểm tra, đánh giá chỉ dựa trên việc đánh giá kiến thức toán học của HS thì việc dạy học MHH sẽ khó được thực hiện bởi ảnh hưởng của tư tưởng “học để thi” Ngược lại, nếu các đề thi, đề kiểm tra tập trung vào việc kiểm tra khả năng MHH toán học của HS (khả năng áp dụng toán học vào giải quyết các vấn đề thực tiễn, khả năng xây dựng mô hình toán học, …) thì MHH sẽ được quan tâm thực hiện hơn rất nhiều trong dạy học ở trường phổ thông

Kết luận chương 1

Trong Chương 1, luận văn đã trình bày và làm rõ được khái niệm mô hình toán học, MHH toán học, quy trình MHH, quy trình tổ chức hoạt động MHH trong dạy học Trong đó, MHH toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận; quy trình MHH gồm 4 giai đoạn (Toán học hóa - Giải bài toán - Thông hiểu - Đối chiếu) và quy trình tổ chức hoạt động MHH trong dạy học gồm 7 bước (Tìm hiểu vấn đề thực tiễn - Lập giả thuyết - Xây dựng bài toán - Giải bài toán - Hiểu lời giải bài toán - Kiểm nghiệm mô hình - Thông báo, giải thích, dự đoán)

Luận văn cũng đề cập đến vai trò của MHH đối với việc dạy học môn Toán, những thuận lợi và khó khăn khi áp dụng dạy học MHH trong thực tế cũng như trình bày một phần thực trạng nhu cầu và việc tìm hiểu các ứng dụng toán, đưa các tình huống thực tiễn vào quá trình dạy học của GV hiện nay Khảo sát cho thấy GV

đã và đang quan tâm đến việc tìm hiểu các ứng dụng của Toán học trong thực tế của

HS, quan tâm đến việc thiết kế các hoạt động dạy học, các bài tập chứa đựng các tình huống thực tiễn Tuy nhiên, GV vẫn còn gặp khó khăn trong phương pháp, định hướng cụ thể Đây sẽ là cơ sở quan trọng để thiết kế một số hoạt động MHH và bài tập chủ đề Hàm số được trình bày ở Chương 2

Chương 2 THIẾT KẾ MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC

CHỦ ĐỀ HÀM SỐ Ở CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ 2.1 Định hướng thiết kế

2.1.1 Nguyên tắc thiết kế

- Đảm bảo mục tiêu dạy học

Các hoạt động MHH cần đảm bảo học sinh đạt được mục tiêu của bài học

HS có thể giải quyết được bài toán bằng các tri thức thu được từ bài học cũng như

các tri thức đã học trước đó

- Đảm bảo tính khoa học, chính xác của nội dung

Các mô hình được thiết kế cần đảm bảo tính khoa học, tính chính xác và mô

tả được các tình huống trong thực tiễn HS sử dụng các phương pháp toán học để giải bài toán, từ đó đối chiếu kết quả với thực tiễn để điều chỉnh mô hình toán học

cho phù hợp

- Làm rõ mô hình toán học và cách dạy học trong thực tiễn

Các hoạt động MHH cần thiết kế để làm rõ mô hình toán học (chính là tri thức toán học) mà HS sử dụng để giải quyết bài toán, bằng việc thực hiện một quy trình hoạt động theo từng bước mà qua mỗi bước đó, HS có thể định hướng, điều

chỉnh cách tư duy để tìm được lời giải

- Đảm bảo tính khả thi và tính vừa sức

Tính khả thi của hoạt động MHH và hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn được hiểu là khả năng thực hiện được (xây dựng được, sử dụng được) Điều này phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố: chương trình, sách giáo khoa, kế hoạch dạy học và quỹ thời gian thực hiện, trình độ, nhận thức chung của HS, khả năng và trình độ thực hiện của GV, sự tương hợp giữa các nội dung thực tiễn chứa đựng trong các tình huống, Vì vậy, các hoạt động và hệ thống các bài tập MHH cần được chọn

lọc phù hợp về mức độ và số lượng

Các bài tập MHH tình huống thực tiễn cần được sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Do đó, khi thiết kế các hoạt động và hệ thống bài tập, GV

cần chú ý đến các cấp độ sau đây:

- Cấp độ 0: HS không hiểu tình huống;

- Cấp độ 1: HS chỉ hiểu tình huống thực tiễn nhưng không biết cấu trúc và

MHH tình huống;

- Cấp độ 2: Sau khi tìm hiểu vấn đề thực tiễn, HS tìm được mô hình thật

thông qua cấu trúc, nhưng chưa biết chuyển đổi thành một vấn đề toán học;

- Cấp độ 3: HS có thể tìm ra mô hình thật, MHH thành vấn đề toán học,

nhưng không giải quyết được vấn đề;

- Cấp độ 4: HS thiết lập được vấn đề toán học từ tình huống thực tiễn, giải

bài toán và có kết quả cụ thể;

- Cấp độ 5: HS có thể trải nghiệm quá trình MHH toán học và kiểm nghiệm

lời giải bài toán trong mối liên hệ với tình huống đã cho

Tùy từng đối tượng HS mà GV giao nhiệm vụ ở những cấp độ phù hợp, vừa sức với HS nhưng cũng tạo động lực cho HS tìm tòi cái mới, nhằm nâng cao hiệu quả của hoạt động MHH toán học trong dạy học môn Toán cũng như phát triển các

kĩ năng, năng lực cho HS

Tóm lại, để thiết kế được các hoạt động MHH, cần phải dựa trên các nguyên tắc nêu trên Tuy nhiên, không phải hoạt động nào nào cũng phải đầy đủ các nguyên

tắc này mà còn tùy vào nội dung bài học và mục tiêu dạy học

2.1.2 Biện pháp thiết kế

Các hoạt động và bài tập MHH thực tiễn nói chung và với nội dung hàm số nói riêng, chiếm tỉ trọng khá thấp trong hệ thống chương trình SGK Toán hiện hành Vì vậy, ngoài việc sử dụng các bài tập trong SGK, sách bài tập, GV còn phải

tự chủ động tìm hiểu những ứng dụng thực tế của Toán học rồi sử dụng chúng như

“nguyên liệu” để nhào nặn, sắp xếp tạo ra hệ thống các tình huống, hoạt động MHH phù hợp với mục tiêu dạy học, vừa sức với năng lực của HS

Quy trình thiết kế hoạt động MHH bao gồm các bước như sau: