Xây dựng mô hình bài toán trọng lực phục vụ giảng dạy vật lý trong chương trình trung học phổ thông

Sơ đồ khối chương trình tính bài toán thuận đối với hình trụ nằm ngang tiết diện chữ nhật kéo dài vô hạn... Đồ thị biểu diễn x, ?? với mô hình đối tượng trụ ngang tiết diện chữ nhật 01.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

PHẠM ĐÌNH THÀNH

Xây dựng mô hình bài toán trọng lực phục vụ giảng dạy

vật lý trong chương trình trung học phổ thông

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH SƯ PHẠM VẬT LÝ

Hà Nội, 2020

Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong Bộ môn Vật lý Địa cầu – Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội đã trang bị kiến thức, đóng góp những kiến thức khoa học hết sức quý báu cho em Em cũng xin cảm

ơn trường Đại học Giáo dục đã tạo điều kiện, hoàn cảnh thuận lợi để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

Cuối cùng cho phép em bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và bạn bè, những người

đã luôn quan tâm, động viên và là chỗ dựa tinh thần vững chắc cho em

Em xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng 06 năm 2020

Sinh viên

Phạm Đình Thành

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 3.1 Số liệu đối tượng cầu 01

Bảng 3.2 Số liệu đối tượng cầu 02

Bảng 3.3 Số liệu đối tượng cầu 03

Bảng 3.4 Số liệu đối tượng trụ 01

Bảng 3.5 Số liệu đối tượng trụ 02

Bảng 3.6 Số liệu đối tượng trụ 03

Bảng 3.7 Số liệu đối tượng trụ ngang tiết diện chữ nhật 01

Bảng 3.8 Số liệu đối tượng trụ ngang tiết diện chữ nhật 02

Bảng 3.9 Số liệu đối tượng trụ ngang tiết diện chữ nhật 03

Bảng 3.10 Số liệu đối tượng hai trụ ngang tiết diện chữ nhật 01

Bảng 3.11 Số liệu đối tượng hai trụ ngang tiết diện chữ nhật 02

Bảng 3.12 Số liệu đối tượng hai trụ ngang tiết diện chữ nhật 03

Bảng 3.13 Số liệu đối tượng hai trụ ngang tiết diện chữ nhật 04

Hình 2.7 Dải thẳng đứng cao hữu hạn

Hình 2.8 Vỉa thẳng đứng cắm xuống vô cực

Hình 3.3 Mô hình đối tượng cầu 02

Hình 3.4 Mô hình đối tượng cầu 03

Hình 3.5 Đồ thị biểu diễn ( x, 𝛥𝑔) với mô hình đối tượng cầu 01

Hình 3.6 Đồ thị biểu diễn (x, Wxz) với mô hình đối tượng cầu 01

Hình 3.7 Đồ thị biểu diễn (x, Wzz) với mô hình đối tượng cầu 01

Hình 3.8 Đồ thị biểu diễn ( x, 𝛥𝑔) với mô hình đối tượng cầu 02

Hình 3.9 Đồ thị biểu diễn (x, Wxz) với mô hình đối tượng cầu 02

Hình 3.10 Đồ thị biểu diễn (x, Wzz) với mô hình đối tượng cầu 02

Hình 3.11 Đồ thị biểu diễn ( x, 𝛥𝑔) với mô hình đối tượng cầu 03

Hình 3.12 Đồ thị biểu diễn (x, Wxz) với mô hình đối tượng cầu 03

Hình 3.13 Đồ thị biểu diễn (x, Wzz) với mô hình đối tượng cầu 03

Hình 3.14 Sơ đồ khối chương trình tính bài toán thuận đối với hình trụ tròn, thanh nằm ngang kéo dài vô hạn

Hình 3.15 Mô hình đối tượng trụ 01

Hình 3.16 Mô hình đối tượng trụ 02

Hình 3.17 Mô hình đối tượng trụ 03

Hình 3.18 Đồ thị biểu diễn ( x, 𝛥𝑔) với mô hình đối tượng trụ 01

Hình 3.19 Đồ thị biểu diễn (x, Wxz) với mô hình đối tượng trụ 01

Hình 3.20 Đồ thị biểu diễn (x, Wzz) với mô hình đối tượng trụ 01

Hình 3.21 Đồ thị biểu diễn ( x, 𝛥𝑔) với mô hình đối tượng trụ 02

Hình 3.22 Đồ thị biểu diễn (x, Wxz) với mô hình đối tượng trụ 02

Hình 3.23 Đồ thị biểu diễn (x, Wzz) với mô hình đối tượng trụ 02

Hình 3.24 Đồ thị biểu diễn ( x, 𝛥𝑔) với mô hình đối tượng trụ 03

Hình 3.25 Đồ thị biểu diễn (x, Wxz) với mô hình đối tượng trụ 03

Hình 3.26 Đồ thị biểu diễn (x, Wzz) với mô hình đối tượng trụ 03

Hình 3.27 Sơ đồ khối chương trình tính bài toán thuận đối với hình trụ nằm ngang tiết diện chữ nhật kéo dài vô hạn

Hình 3.28 Mô hình đối tượng trụ ngang tiết diện chữ nhật 01

Hình 3.29 Mô hình đối tượng trụ ngang tiết diện chữ nhật 02

Hình 3.30 Mô hình đối tượng trụ ngang tiết diện chữ nhật 03

Hình 3.31 Đồ thị biểu diễn ( x, 𝛥𝑔) với mô hình đối tượng trụ ngang tiết diện chữ nhật 01

Hình 3.32 Đồ thị biểu diễn ( x, 𝛥𝑔) với mô hình đối tượng trụ ngang tiết diện chữ nhật 02

Hình 3.33 Đồ thị biểu diễn ( x, 𝛥𝑔) với mô hình đối tượng trụ ngang tiết diện chữ nhật 03

Hình 3.34 Sơ đồ khối chương trình tính bài toán thuận đối với hai hình trụ nằm ngang tiết diện chữ nhật kéo dài vô hạn

Hình 3.35 Mô hình đối tượng hai trụ ngang tiết diện chữ nhật 01

Hình 3.36 Mô hình đối tượng hai trụ ngang tiết diện chữ nhật 02

Hình 3.37 Mô hình đối tượng hai trụ ngang tiết diện chữ nhật 03

Hình 3.38 Mô hình đối tượng hai trụ ngang tiết diện chữ nhật 04

Hình 3.39 Đồ thị biểu diễn ( x, 𝛥𝑔) với mô hình đối tượng hai trụ ngang tiết diện chữ nhật 01

Hình 3.40 Đồ thị biểu diễn ( x, 𝛥𝑔) với mô hình đối tượng hai trụ ngang tiết diện chữ nhật 02

Hình 3.41 Đồ thị biểu diễn ( x, 𝛥𝑔) với mô hình đối tượng hai trụ ngang tiết diện chữ nhật 03

Hình 3.42 Đồ thị biểu diễn ( x, 𝛥𝑔) với mô hình đối tượng hai trụ ngang tiết diện chữ nhật 04

Hình 3.43 Sơ đồ khối chương trình tính bài toán thuận đối với hình trụ tròn, thanh nằm ngang áp dụng phương pháp vi phân

Hình 3.44 Mô hình đối tượng trụ 01 bằng vi phân

Hình 3.45 Mô hình đối tượng trụ 02 bằng vi phân

Hình 3.46 Mô hình đối tượng trụ 03 bằng vi phân

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

DANH MỤC CÁC BẢNG ii

DANH MỤC CÁC HÌNH iii

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT PHƯƠNG PHÁP TRỌNG LỰC 2

1.1 Lực và thế hấp dẫn 2

1.1.1 Biểu thức của trọng lực trên bề mặt địa cầu thể 3

1.1.2 Đạo hàm bậc cao của thế trọng lực 4

1.2 Các hiệu chỉnh trọng lực 5

1.2.1 Hiệu chỉnh độ cao (hiệu chỉnh khoảng không tự do) 6

1.2.2 Hiệu chỉnh Bughe 7

1.2.3 Hiệu chỉnh địa hình 7

1.2.4 Hiệu chỉnh đẳng áp 8

1.3 Các phương pháp đo trọng lực 8

1.3.1 Đo giá trị trọng lực tuyệt đối 9

1.3.2 Đo giá trị trọng lực tương đối 9

1.4 Mật độ của đất đá 12

1.5 Trường trọng lực của vật thể 13

CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN THUẬN TRỌNG LỰC 17

2.1 Khái niệm: 17

2.2 Bài toán thuận đối với một số vật thể ba chiều 18

2.2.1 Biểu thức tổng quát cho các vật thể hình dạng bất kỳ 18

2.3 Bài toán thuận đối với các vật có hình dạng hình học đơn giản ba chiều 19

2.3.1 Hình cầu đặc 19

2.3.2 Hình hộp chữ nhật 20

2.4 Bài toán thuận đối với một số vật thể 2 chiều 22

2.4.1 Hình trụ tròn, thanh nằm ngang kéo dài vô hạn 23

2.4.2 Hình trụ nằm ngang tiết diện chữ nhật kéo dài vô hạn 24

2.4.3 Thanh thẳng đứng, hình trụ thẳng đứng hữu hạn 25

2.4.4 Dải mỏng nằm ngang 26

2.4.6 Dải thẳng đứng cao hữu hạn 27

2.4.7 Vỉa thẳng đứng cắm xuống vô cực 28

2.4.8 Bậc thẳng đứng 30

2.4.9 Vỉa nằm nghiêng 31

2.5 Bài toán thuận đối với vật có dạng bất kỳ 33

2.5.1 Palet Young (Palet cực) 33

2.5.2 Palet Hamburgsev 35

2.5.3 Phương pháp xấp xỉ thể bằng tập hợp các vật cơ bản có dạng hình học đơn giản 35

CHƯƠNG 3: LẬP CHƯƠNG TRÌNH VÀ THỬ NGHIỆM TRÊN CÁC MÔ HÌNH BÀI TOÁN THUẬN 39

3.1 Mô hình bài toán với một số vật thể có hình dạng xác định 39

3.1.1 Hình cầu đặc 39

3.1.2 Hình trụ tròn, thanh nằm ngang kéo dài vô hạn 47

3.1.3 Mô hình bài toán hình trụ nằm ngang tiết diện chữ nhật kéo dài vô hạn 54 3.2 Mô hình bài toán 2D với vật thể có tiết diện nằm ngang bất kỳ 61

3.2.1 Mô hình bài toán hai hình trụ nằm ngang tiết diện chữ nhật kéo dài vô hạn 62

3.2.2 Mô hình bài toán hình trụ tròn, thanh nằm ngang kéo dài vô hạn áp dụng phương pháp vi phân 72

KẾT LUẬN 77

TÀI LIỆU THAM KHẢO 78

PHỤ LỤC 79

MỞ ĐẦU

Thăm dò trọng lực là một trong những phương pháp nghiên cứu cấu trúc bên trong Trái Đất, cấu tạo địa chất, tìm kiếm và thăm dò các loại khoáng sản Thăm dò trọng lực kết hợp cùng với các phương pháp thăm dò khác đã góp phần giải quyết các vấn đề phân vùng, kiến tạo, thạch học, phát hiện ra các vùng có triển vọng khoáng sản để tiến hành các công tác thăm dò địa chất, địa vật lý chi tiết Thực tế, hiện nay ở nước ta, phương pháp thăm dò trọng lực được áp dụng thường xuyên và phổ biến như một trong các phương pháp cơ bản nhất trong việc nghiên cứu địa chất cũng như tìm kiếm khoáng sản, tài nguyên thiên nhiên: dầu mỏ, hơi đốt, than đá, quặng sắt, cromit, măng gan… Đặc biệt, để xác định độ sâu của các ranh giới phân chia mật độ và độ sâu tới móng kết tinh, một nhiệm vụ quan trọng trong việc xác định cấu trúc của Trái Đất, phương pháp trọng lực cho phép thu được kết quả với độ chính xác cao và giá thành rẻ

Trong quá trình phân tích và xử lý số liệu trọng lực, việc giải bài toán thuận có vai trò rất quan trọng Trong bản khóa luận này, em sử dụng ngôn ngữ lập trình C thực hiện thử nghiệm giải một số bài toán thuận xác định dị thường trọng lực và các đạo hàm bậc cao của nó cho các đối tượng gây dị thường là các vật thể có hình dạng xác định và các vật thể 2D có hình dạng không xác định

Mở rộng hơn, từ việc xây dựng mô hình bài toán trọng lực, chúng ta có thể áp dụng vào việc giảng dạy vật lý trong chương trình trung học phổ thông

Khóa luận được chia làm ba chương sau:

+ Chương 1: Cơ sở lý thuyết phương pháp trọng lực

+ Chương 2: Bài toán thuận trọng lực

+ Chương 3: Lập chương trình và thử nghiệm trên mô hình bài toán thuận

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT PHƯƠNG PHÁP TRỌNG LỰC

Thăm dò trọng lực là một trong những phương pháp nghiên cứu cấu trúc địa chất, tìm kiếm và thăm dò khoáng sản thông qua trường hấp dẫn.[3]

Trên mặt đất, lực hấp dẫn cộng với lực ly tâm do chuyển động quay của trái đất tạo nên trường trọng lực.[3]

1.1 Lực và thế hấp dẫn

Theo định luật Niuton (Isaac Newton), hai chất điểm với khối lượng m và m1

nằm cách nhau một khoảng r sẽ hút nhau với một lực bằng: 1

2

  (6) Với M – khối lượng trái đất; R – khối lượng trái đất; R – bán kính trái đất Tích phân lấy theo thể tích V của trái đất [3]

Lực ly tâm C được tính theo công thức: 2

- vĩ độ của điểm quan sát

w- vận tốc góc của trái đất (w= 2

86400

)

Chiếu lực ly tâm lên phương của lực hấp dẫn ta có: [3]

   (9) Trong đó: 2 2 2

(x y )

1.1.1 Biểu thức của trọng lực trên bề mặt địa cầu thể

Các công thức tính trọng lực và thế trọng lực chỉ gần đúng vì ta coi trái đất là quả cầu gồm các lớp đồng tâm Trên thực tế, trái đất có dạng elipxoit tròn xoay – địa cầu

thể - với độ dẹp: [1] 1 (

298

a c

a a

    bán trục lớn tại mặt phẳng xích đạo, c – bán

trục nhỏ đi qua địa cực) [3]

Nếu ta coi địa cầu thể là gồm những lớp đồng tâm thì công thức tính trường trọng lực bình thường 0sẽ là: [3]

0 g0(1 1sin 2sin 2 )

      (10) Trong đó:

 quá nhỏ nên thường bị bỏ qua Nếu gọi 1= thì ta có định lý Clero (Clairaut Alexis-Claude): [3]

1.1.2 Đạo hàm bậc cao của thế trọng lực

Ngoài đạo hàm bậc nhất của thế trọng lực g W

z





 ( trục z hướng tâm) người ta

còn nghiên cứu đạo hàm bậc hai của chúng Đó là các gradien của thế trọng lực: [3]

x y





  (15)

Thứ nguyên của các đạo hàm bậc hai là 2

T Đơn vị của nó trong hệ CGS là 2

1/ sec (đơn vị thường dùng 9 2

1E1.10 / sec gọi là etvot – Roland Eotvos 1848 – 1919) [3]

1 etvot tương ứng với sự thay đổi của giá trị trọng lực dọc theo bề mặt trái đất bằng 0,1 mgl/1km (một loại đại lượng tương đối nhỏ) [3]

 - giá trị trọng lực bình thường, tức là giá trị lý thuyết trên bề mặt địa cầu thể

Như vậy, giá trị trọng lực g đo được trên mặt đất không thể dùng để so sánh với nhau ngay được, và cũng chưa thể sử dụng để nghiên cứu các khối mật độ nằm dưới mặt đất, vì các giá trị này chưa được đưa về bề mặt địa cầu thể Ngoài ra, các giá trị trọng lực đo đạc này còn chịu ảnh hưởng của độ cao điểm đo, của hình dạng mặt địa hình…[3]

Để có thể sử dụng được các giá trị trọng lực đo đạc, cần phải thực hiện các phép

1.2.1 Hiệu chỉnh độ cao (hiệu chỉnh khoảng không tự do)

Hiệu chỉnh độ cao (g F)còn gọi là hiệu chỉnh Phai (Faye), là hiệu chỉnh cần thiết

để đưa giá trị trọng lực đo được tại điểm quan sát A, ở độ cao H trên bề mặt vật lý (giá trị g H)về bề mặt địa cầu thể: [3]

( )(1 (1 )

Trên thực tế, lớp đất đá nằm giữa điểm quan sát A và mặt địa cầu thể vẫn tồn tại (sau đây ta sẽ gọi lớp này là lớp giữa) Lớp giữa này dường như bị cách tính toán hiệu chỉnh của ta nén xuống dưới bề mặt địa cầu thể, và vì vậy lực hấp dẫn của nó vẫn thể hiện trong dị thường Phai, làm cho dị thường Phai phụ thuộc rõ rệt vào độ cao của

điểm quan sát Điều này đặc biệt dễ thấy khi ta đo giá trị trọng lực trong vùng rừng núi [3]

Dị thường Phai được sử dụng khi ta muốn bảo toàn khối lượng thực tế của trái đất [3]

Thực vậy, trong khi tính hiệu chỉnh độ cao ta không hề xâm phạm đến khối lượng của trái đất - ở đây là của lớp giữa Lớp giữa này bị né xuống dưới bề mặt địa cầu thể,

và thay vào chỗ của nó ta coi là một lớp không khí Vì vậy hiệu chỉnh (dị thường) Phai còn có tên là hiệu chỉnh (dị thường) khoảng không tự do – anomalie à air libre, hoặc free – air anomaly [3]

1.2.2 Hiệu chỉnh Bughe

Hiệu chỉnh Bughe (Bougouer) có tác dụng khử bỏ tác dụng trọng lực của lớp giữa vừa nói trên đây Điều đó cũng giống như ta dùng cách nào đó để lấy đi tất cả các khối đất đá nằm trong lớp giữa này, từ độ cao của điểm quan sát đến bề mặt địa cầu thể [3]

Hiệu chỉnh Bughe đặc biệt cần thiết khi ta sử dụng trọng lực để nghiên cứu các khối dị thường nằm bên dưới mặt đất, ví dụ với mục đích tìm kiếm, thăm dò [3]

Hiệu chỉnh Bughe g B được tính theo công thức: [3]

Các hiệu chỉnh trọng lực mà ta vừa xem xét trên đây à đúng cho trường hợp bề dày vật lý của trái đất tại điểm quan sát là bằng phẳng Nếu địa hình xung quanh điểm quan sát là địa hình lồi hoặc lõm thì giá trị trọng lực đo được đều bị giảm [3]

Việc tính toán hiệu chỉnh địa hình g DH rất công phu Người ta thường dùng các palet hoặc toán đồ (bản tính) để tính hiệu ứng trọng lực của từng khối nhỏ địa hình lồi hoặc lõm xung quanh điểm quan sát rồi cộng chúng lại [3]

Sau khi tính được g DH, ta đưa hiệu chỉnh này vào giá trị trọng lực đo được (cùng với hiệu chỉnh Phai và Bughe) để có dị thường trọng lực đã được hiệu chỉnh và có thể sử dụng vào việc nghiên cứu cấu trúc địa chất Dị thường trọng lực đã được hiệu chỉnh Phai, Bughe và địa hình có tên gọi là dị thường Bughe ( trùng tên và ký hiệu của dị thường Bughe trên đây), tức là lấy tên của phép hiệu chỉnh đặc trưng nhất: [3]

      (21) Với g Bcó giá trị âm và g F,g DH có giá trị dương [3]

Về phương pháp đo, có phương pháp tĩnh và phương pháp động (áp dụng cho

cả cách đo tuyệt đối và tương đối) [3]

1.3.1 Đo giá trị trọng lực tuyệt đối

Có nhiều cách để xác định giá trị tuyệt đối của trọng lực g như: đo chu kỳ dao

động của con lắc toán học T 2 1

Tuy vậy, việc đo đạc giá trị tuyệt đối g trong điều kiện thực địa vẫn không dễ dàng, vì các trọng lực kế kiểu con lắc dễ bị hư hỏng và giảm độ chính xác khi phải

di chuyển nhiều lần đến các điểm đo ngoài thực địa, lại đòi hỏi điều kiện làm việc rất khắt khe (chỗ đặt máy phải vững chãi, không được nghiêng, lún, rung lắc trong lúc đo, nhiệt độ nơi đặt máy phải ổn định để hạn chế sự nở dài của dây treo con lắc…).[3]

1.3.2 Đo giá trị trọng lực tương đối

Trong nghiên cứu cấu trúc địa chất, ngừi ta ít quan tâm đến giá trị tuyệt đối của trọng lực trái đất tại khu vực nghiên cứu Đại lượng có ý nghĩa địa chất là gia số của trọng lực g tại điểm quan sát so với các điểm khác (g) trong khu vực nghiên cứu

Vì vậy việc đo đạc giá trị trọng lực tuyệt đối g chậm chạp và tốn kém trở nên không cần thiết Người ta chỉ cần đo giá trị tương đối của trọng lực [3]

Khi đo gia số của trọng lựcg, có thể dùng trọng ực kiế kiểu cân lò xo Trong một số trường hợp hạn chế, người ta cũng đo gbằng trọng lực kế kiểu con lắc [3] Nếu dùng trọng lực kế kiểu con lắc để đo giá trị trọng lực tại hai điểm A và B,

ta có: [3]

2 1- là hằng số của máy đo

T T A, B - là chu kỳ của con lắc tại điểm đo A và B

Như đã nói trên, trọng lực kế kiểu con lắc thường cồng kềnh, lại đòi hỏi thời gian lắp đặt và đo đạc lâu hơn nhiều so với các cân lò xo nên việc đo tương đối giá trị trọng lực được thực hiện hầu như chỉ bằng các cân lò xo [3]

Cân lò xo hoạt động theo nguyên tắc biến dạng đàn hồi của lò xo dưới tác dụng của trọng lực (tác động vào vật nặng treo dưới lò xo) [3]

Vật liệu thích hợp để làm các lò xo, khung tro và dây treo vật nặng (vật nặng trong cân lò xo có dạng con lắc, để tạo momen xoắn cho lò xo) là đá thạch anh, loại vật liệu có hệ số nở nhiệt thấp hơn kim loại nhiều lần [3]

Hệ thống đàn hồi của máy được thiết kế theo nguyên tắc không ổn định để tăng

độ nhạy của trọng lực kế lò xo thạch anh [3]

Hệ thống đàn hồi không ổn định hoạt động như sau: [3]

- Tại vị trí xuất phát, đòn bẩy và lò xo chính ở vị trí 1;

- Nếu trọng lực giảm đi, đòn bẩy và con lắc được nâng lên dưới tác dụng của lò

xo chính Lúc này bề dày của cánh tay đòn lò xo chính (hình chiếu của d lên

phương nằm ngang) được tăng lên nên vật nặng và đòn bẩy lại thu thêm một dịch chuyển phụ lên trên

- Ngược lại, nếu trọng lực tăng, cánh tay đòn và vật nặng được hạ xuống Lúc này hình chiếu của cánh tay đòn d lên phương nằm ngang bị ngắn lại Momen lực của lò xo chính giảm đi và vật nặng lại thu thêm một dịch chuyển phụ xuống dưới

Kết quả là độ nhạy của trọng lực kế tăng lên, ta dễ quan sát được các thay đổi dù nhỏ của trường trọng lực, để dễ dàng hơn trong việc lấy số đo trọng lực [3]

Khi lấy số đo gngười ta luôn chỉnh cho con lắc trở về vị trí nằm ngang bằng vít vi chỉnh nối với lò xo chính [3]

Giá trị gcần đo được tính bằng tích số giữa góc xoay của vít với hằng số máy [3]

Trong các trọng lực kế loại này, để đo giá trị trọng lực (bằng cách làm cho đòn bẩy trở lại vị trí ban đầu), người ta còn dùng cách thay đổi góc nghiêng của hệ thống nhạy so với phương nằm ngang và đánh giá g thông qua góc nghiêng đó [3] Khi góc nhỏ, hệ thống đàn hồi còn ở trạng thái ổn định Phương trình cân bằng của hệ thống là: [3]

( ) mglcos( ) 0

Trong đó:  - hệ số xoắn của sợ dây; -góc xoắn ban đầu

m – khối lượng đòn bẩy

l - Khoảng cách từ trục quay của đòn bẩy đến trọng tâm của nó

 - góc lệch của đòn bẩy so với vị trí xuất phát

 - góc nghiêng của hệ thống so với mặt phẳng nằm ngang

Khi = 0 (khung đỡ của dây xoắn thẳng đứng) ta có: [3]

(1 sin ) cos

g dg

cossin

cos là hàm chẵn nên  có thể lấy giá trị dương hoặc âm, tức là ta có thể

nghiêng hệ thống đàn hồi về hai phía để làm cho đòn bẩy và con lắc trở về vị trí nằm ngang [3]

Như vậy: g  f( ) tức là ta có thể nhận làm số đo trọng lực

Giới hạn đo của loại cân trọng lực thường không quá vài trăm miligal Có loại cân đặc biệt, giới hạn đo chỉ vài mgl [3]

Điều cần quan tâm đối với cân lò xo là phải làm giảm tối đa ảnh hưởng của nhiệt

độ đến số đo của máy Thường người ta bố trí hệ thống bù nhiệt độ rất công phu để đạt được sai số dưới 0,2 mgl/độ và đặt toàn bộ hệ thống nhạy trong một lớp vở cách nhiệt tốt Nhờ vậy, khi nhiệt độ bên ngoài máy thay đổi hơn 10 độ (biên độ nhiệt độ trong ngày ở nước ta), nhiệt độ bên trong hộp thay đổi chưa đến 1 độ [3]

Ngoài ra, người ta còn thiết kế cả hệ thống bù áp suất để số đo của máy không

bị ảnh hưởng của áp suất không khí bên ngoài [3]

1.4 Mật độ của đất đá

Mật độ đất đá là tham số quan trọng nhất trong thăm dò trọng lực, Mật độ đất

đá ( ) được xác định bởi tỷ số giữa khối lượng và thể tích mẫu vật, nói khác đi đó

là khối lượng của một đơn vị thể tích: m

Phương pháp xác định mật độ cơ bản nhất là phương pháp sử dụng cân kỹ thuật [2]

Giả sử cân mẫu trong không khí được trọng lượng p1, bọc mẫu bằng paraphin cân trong không khí được trọng lượng p2, cân mẫu bọc paraphin trong nước được trọng lượng p3 Mật độ mẫu được tính theo công thức: [2]

3 1

2 1

2 3

/( )

Khoảng cách r (x x 1)2 (y y1)2 (z z1)2 [3] (30)

Từ đó ta có đạo hàm của thế theo phương thẳng đứng (trường trọng lực): [3]

1 3 1

dxdydz r

Như vậy, để chuyển bài toán ba chiều về bài toán hai chiều ta cho một biến số chạy từ đến , còn hai biến số còn lại ( , )x y thay đổi trong giới hạn của tiết diện ngang S của vật thể [3]

Ví dụ: xét trường hợp Wzcủa vật thể hai chiều: [3]

CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN THUẬN TRỌNG LỰC 2.1 Khái niệm:

Bài toán thuận của thăm dò trọng lực là bài toán đi tìm các thành phần của trọng trường, căn cứ vào sự phân bố biết trước của nguồn - khối lượng hấp dẫn, Thành phần của trọng trường được hiểu là thế và đạo hàm các bậc của nó theo các tọa độ x, y, z Một khi đã biết trước dị vật, với hình dạng, kích thước, mật độ, tọa độ, thế nằm xác định, thì ta tìm được biểu thức giải tích xác định các thành phần của trọng trường ở không gian bên ngoài dị vật và cả trong lòng dị vật Biểu thức giải tích chứa các tham số cụ thể của mỗi dị vật [1]

Trường ngoài thường gặp trong thăm dò Khi trọng lực hầm lò phát triển, người ta có dịp nghiên cứu đến trường trong (dưới mặt đất) Một khi đã có biểu thức giải tích phụ thuộc tọa độ quan sát, thì ứng với một tọa độ quan sát, ta có một giá trị duy nhất của trường Đó là tính chất đơn trị của bài toán thuận [1]

Vì máy đo trọng lực luôn đạt theo phương thẳng đứng z so với mặt phẳng quan sát, là phương của trọng lực Trái đất, cho nên đạo hàm bậc nhất của thế hấp dẫn của dị vật theo z là Wz được đồng nhất với dị thường trọng lực g đã được lọc bỏ ảnh hưởng của các yếu tố địa chất khác xung quanh [1]

Thành phần ngang của lực tác dụng của dị vật, là các đạo hàm theo phương ngang x và y của thế hấp dẫn là W , Wx y Đạo hàm bậc cao hơn của thế hấp đẫn

W , W , W , W , zx zy zz zzz v v gọi là các gradient của trọng lực, được đo bằng máy chuyên đo gradient [1]

Trong quá trình giải bài toán thuận cho các dị vật có dạng hình học đơn giản,

ta thừa nhận các điều kiện: [1]

- Vật thể gây trường có mật độ đồng nhất

- Vật thể có dạng hình học đơn giản hai, ba chiều tiện lấy tích phân: hình cầu, hình hộp chữ nhật, hình trụ tiết diện tròn, chữ nhật, thang, v.v

- Trường hợp dị vật có hình dạng phức tạp, ta xấp xỉ nó bằng tập hợp các dị vật cơ sở, có dạng hình học đơn giản Do tính chất chồng chất của trường, lực tác dụng của dị vật dạng phức tạp lên điểm đo bằng tổng lực tác dụng của các khối lượng cơ sở mà ta xấp xỉ hình học dị vật đó [1]

2.2 Bài toán thuận đối với một số vật thể ba chiều

2.2.1 Biểu thức tổng quát cho các vật thể hình dạng bất kỳ

Bài toán thuận, chung quy là bài toán lấy tích phần để có biểu thức giải tích

cụ thể cho thế và đạo hàm của thế đối với từng dị vật cụ thể Công thức tổng quát cho thế hấp dẫn của vật thể khôi có thể tích  và dạng bất kỳ là: [1]

r  x   y   z (39) Khối lượng vi phân dm     d  d d d trong đó  là mật độ dư, thường là hằng và d ddyd là thể tích vi phân [1]

Đạo hàm theo X và y có dạng tương tự: Đạo hàm bậc hai của V nhân được bằng cách lấy tiếp đạo hàm của biểu thức theo tọa độ mong muốn, ví dụ theo x: [1]

Trong đó   , , là tọa độ tâm quả cầu

Để đơn giản, ta đặt quả cầu sao cho tâm của nó nằm trên trục z và ở độ sâu  ( còn    0) Người ta quan sát trên trục z sẽ có biểu thức: [1]

3 4

2.4 Bài toán thuận đối với một số vật thể 2 chiều

Để chuyển từ bài toán 3 chiều về bài toán 2 chiều thì trong các công thức cho các vật thể 3 chiều ở trên cần cho một biến số mà vật kéo dài theo đó chạy từ 

Nếu đặt biến số mới  như sau: [1]

Cũng như trong trường hợp 3 chiều, nếu đặt điểm quan sát tại gốc tọa độ, tức là cho x = y = 0 thì công thức được đơn giản: [1]

2.4.1 Hình trụ tròn, thanh nằm ngang kéo dài vô hạn

Trước tiên, ta xét trường hợp thanh dài hữu hạn nằm ngang dọc trục y từ  1

đến 2, độ sâu  Tại vị trí quan sát x bất kỳ ta có: [1]

2

1 2

1

2

1 2

2.4.2 Hình trụ nằm ngang tiết diện chữ nhật kéo dài vô hạn

Đây là trường hợp hình hộp chữ nhật mà cận của là  Thay cận như vậy, công thức cho kết quả: [1]

Hình 2.4 Hình trụ nằm ngang tiết diện chữ nhật dài vô tận

Sau đây là ví dụ gcho trường hợp này Hình trụ có chiều dài vô tận theo y Ta bắt đầu công thức, kết quả tích phân có thể viết sau: [1]

2 2 1

2

2 2

2 2 1

2 2

W (00) ln

2ln( )

Trường hợp thanh hữu hạn cắm thẳng đứng theo trục z, có chiều dài từ 1 đến , quan sát dọc theo trục x, ta có các công thức: [1]

Trường hợp dải mỏng phẳng, thẳng đứng có chiều cao hữu hạn 2 1, chia kéo dài vô tận theo trục y ta có: [1]

Hình 2.7 Dải thẳng đứng cao hữu hạn

2.4.7 Vỉa thẳng đứng cắm xuống vô cực

Vỉa có bề dày 2 1và kéo dài vô tận theo trục y Xét trường hợp cắm xuống

vô cực là trường hợp ma hình trụ chữ nhật có hạn 2   Áp dụng các công thức đầu ở mục 3.2 với việc thay 2  vào đó, ta có: [1]

Hình 2.8 Vỉa thẳng đứng cắm xuống vô cực

Về mặt toán học ta có kết quả   g Tuy nhiên, trên thực tế và về vật lý, lực hấp dẫn của vật dài vô tận không phải bằng vô cực Để khắc phục các vô cực, ta khai triển lnx thành chuỗi và giới hạn hai số hạng đầu: [1]

2 2 1

2 2

2 2 2

2 2 1

.ln sin cos ( ) ( ) sin cos ( )