Xây dựng chương trình máy tính xác định hiệu ứng trọng lực của một số vật thể phục vụ giảng dạy vật lý phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH MÁY TÍNH XÁC ĐỊNH HIỆU ỨNG TRỌNG LỰC CỦA MỘT SỐ VẬT THỂ PHỤC VỤ GIẢNG DẠY VẬT LÝ PHỔ THÔNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP N

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH MÁY TÍNH XÁC ĐỊNH HIỆU ỨNG TRỌNG LỰC CỦA MỘT SỐ VẬT THỂ PHỤC VỤ GIẢNG DẠY VẬT

LÝ PHỔ THÔNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH SƯ PHẠM VẬT LÝ

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đỗ Đức Thanh

Sinh viên thực hiện khóa luận: Phạm Thảo Ngân

Hà Nội – 2018

LỜI CẢM ƠN

Để có thể hoàn thành tốt khoá luận tốt nghiệp, lời đầu tiên tôi xin gửi lời cảm

ơn chân thành đến thầy giáo PGS.TS Đỗ Đức Thanh, người đã luôn tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện để tôi có thể hoàn thành đề tài này một cách tốt nhất

Ngoài ra, tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy, cô tại bộ môn Vật lý Địa cầu – khoa Vật lý – trường Đại học Khoa học Tự nhiên, bạn bè và người thân đã luôn ở bên động viên, khích lệ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu giúp tôi hoàn thành khoá luận tốt nghiệp Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến trường Đại học Giáo dục đã tạo cho chúng tôi những hoàn cảnh, điều kiện thuận lợi nhất để chúng tôi hoàn thành bản khoá luận này

Mặc dù đã rất cố gắng nhưng với vốn kiến thức còn hạn chế, bản khoá luận của tôi không tránh khỏi những thiếu sót Vì thế, tôi rất mong nhận được những lời nhận xét và góp ý của các thầy, cô để bản khoá luận của tôi được hoàn thiện hơn và tôi có thêm những kinh nghiệm quý báu nhất

Xin kính chúc quý thầy, cô lời chúc sức khỏe, thành công, may mắn trong cuộc sống cũng như trong công việc

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 22 tháng 05 năm 2018

Sinh viên

Phạm Thảo Ngân

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 TRƯỜNG TRỌNG LỰC CỦA TRÁI ĐẤT 2

1.1 Những kiến thức thuộc chương trình phổ thông trung học 2

1.1.1 Định luật vạn vật hấp dẫn 2

1.1.2 Biểu thức của gia tốc rơi tự do 2

1.1.3 Trường hấp dẫn, trường trọng lực 3

1.2 Những kiến thức nâng cao về trường trọng lực của Trái Đất 3

1.2.1 Lực hấp dẫn và trọng lực 3

1.2.1.1 Lực hấp dẫn Newton 4

1.2.1.2 Lực ly tâm 6

1.2.2 Thế của lực hấp dẫn và trọng lực 7

1.2.3 Khai triển thế trọng lực thành chuỗi, ý nghĩa vật lý của cá số hạng được khai triển 10

1.2.4 Geoit 15

1.2.5 Biểu thức của trọng lực trên mặt Geoit 18

1.2.6 Các công thức để tính trọng lực bình thường trên mặt Geoit 21

Chương 2 HIỆU ỨNG TRỌNG LỰC CỦA CÁC VẬT THỂ CÓ DẠNG HÌNH HỌC ĐỀU ĐẶN 26

2.1 Các biểu thức tích phân tổng quát về đạo hàm của thế trọng lực cảu vật thể bất kỳ 26

2.2 Bài toán thuận cho những vật thể có dạng hình học 29

2.2.1 Hình cầu hoặc điểm vật chất 29

2.2.2 Thanh vật chất nằm ngang, hình trụ tròn nằm ngang 31

2.2.3 Nửa mặt phẳng vật chất nằm ngang 32

2.2.4 Hình hộp vuông góc 34

2.2.5 Lăng trụ thẳng đứng 35

2.2.6 Bậc thẳng đứng 36

2.2.7 Bậc nghiêng 38

Chương 3 XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH MÁY TÍNH XÁC ĐỊNH HIỆU ỨNG TRỌNG LỰC CỦA CÁC VẬT THỂ CÓ DẠNG HÌNH HỌC ĐỀU ĐẶN 41

3.1 Hình trụ tròn nằm ngang 41

3.1.1 Các thông số của mô hình và tuyến đo 41

3.1.2 Kết quả tính toán 41

3.2 Hình cầu vật chất 43

3.2.1 Các thông số của mô hình và tuyến đo 43

3.2.2 Kết quả tính toán 44

3.3 Nửa mặt phẳng vật chất nằm ngang 47

3.3.1 Các thông số của mô hình và tuyến đo 47

3.3.2 Kết quả tính toán 48

3.4 Bậc thẳng đứng 49

3.4.1 Các thông số của mô hình tuyến đo 49

3.4.2 Kết quả tính toán 50

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 53

TÀI LIỆU THAM KHẢO 54

PHỤ LỤC 55

DANH MỤC BẢNG

Bảng 3.1 Các thông số của hình trụ

Bảng 3.2 Kết quả tính toán đối với hình trụ

Bảng 3.3 Các thông số của hình cầu

Bảng 3.4 Kết quả tính toán đối với hình cầu

Bảng 3.5 Các thông số của nửa mặt phẳng vật chất nằm ngang

Bảng 3.6 Kết quả tính toán đối với nửa mặt phẳng vật chất nằm ngang Bảng 3.7 Các thông số của bậc thẳng đứng

Bảng 3.8 Kết quả tính toán đối với bậc thẳng đứng

Hình 2.1 Xác định thế các đạo hàm của một chất điểm

Hình 2.2 Xác định thế và đạo hàm của vật thể hai chiều

Hình 2.3 Xác định thế và các đạo hàm của vật thể hình cầu

Hình 2.4 Trường trọng lực của hình cầu

Hình 2.5 Trường trọng lực của hình trụ tròn nằm ngang

Hình 2.6 Xác định thế và các đạo hàm của nửa mặt phẳng vật chất nằm ngang Hình 2.7 Trường trọng lực của nửa mặt phẳng vật chất nằm ngang

Hình 2.8a, 2.8b Bậc thẳng đứng

Hình 2.9 Trường trọng lực trên bậc thẳng đứng

Hình 2.10 Bậc nghiêng

Hình 3.1 Trường trọng lực của hình trụ tròn nằm ngang

Hình 3.2 Các đạo hàm nằm ngang và thẳng đứng của trường trọng lực của hình trụ tròn nằm ngang

Hình 3.3 Trường trọng lực của hình cầu trên tuyến

Hình 3.4 Các đạo hàm nằm ngang và thẳng đứng của trường trọng lực của hình cầu trên tuyến

Hình 3.5 Kết quả biểu diễn 3D dị thường trọng lực của hình cầu vật chất

Hình 3.6 Kết quả biểu diễn 3D các đạo hàm nằm ngang và thẳng đứng Vxz,Vzz của hình cầu

Hình 3.7 Dị thường trọng lực của nửa mặt phẳng nằm ngang

Hình 3.8 Các đạo hàm thẳng đứng và nằm ngang của dị thường trọng lực của nửa mặt phẳng nằm ngang

Hình 3.9 Dị thường trọng lực của bậc thẳng đứng

Hình 3.10 Các đạo hàm thẳng đứng và nằm ngang của dị thường trọng lực của bậc thẳng đứng

Vì những nguyên nhân trên, tôi đã tiến hành nghiên cứu và thực hiện bản khoá

luận với đề tài: “Xây dựng chương trình máy tính xác định hiệu ứng trọng lực của

một số vật thể phục vụ giảng dạy Vật lý phổ thông” Thông qua đề tài này, ngoài việc

tìm hiểu về các kiến thức về trường trọng lực của Trái Đất, qua việc lập bộ chương trình máy tính viết bằng ngôn ngữ Matlab, ta còn có thể giúp cho học sinh thấy được bức tranh cụ thể, trực quan về sự phân bố của trường trọng lực của Trái Đất cũng như của một số đối tượng gây trọng trường khác

2 Cấu trúc khoá luận

Ngoài phần ở đầu và kết luận bài khoá luận bao gồm 3 chương:

Chương 1 Trường trọng lực của Trái Đất

Chương 2 Hiệu ứng trọng lực của các vật thể có dạng hình học đều đặn Chương 3 Xây dựng chương trình máy tính xác định hiệu ứng trọng lực của các vật thể có dạng hình học đều đặn

Chương 1

TRƯỜNG TRỌNG LỰC CỦA TRÁI ĐẤT

1.1 Những kiến thức thuộc chương trình phổ thông trung học

1.1.1 Định luật vạn vật hấp dẫn

Cuối thế kỷ XVII, trên cơ sở nghiên cứu của sự rơi của các vật cũng như chuyển động của Mặt Trăng xung quanh Trái Đất và của hành tinh quanh Mặt Trời, Newton đi tới nhận định: Mọi vật trong tự nhiên đều hút nhau với một lực gọi là Lực

hấp dẫn Với những vật có thể coi là chất điểm, lực này tuân theo định luật vạn vật

hấp dẫn: “Lực hấp dẫn giữa hai vật (coi như chất điểm) có độ lớn tỉ lệ thuận với

tích của hai khối lượng của chúng và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng.”

1 2 2

Trong đó 𝑚1, 𝑚2 là khối lượng của hai vật, r là khoảng cách giữa chúng

Hệ số tỉ lệ G là một hằng số chung cho mọi vật, gọi là hằng số hấp dẫn Vào năm 1798, nhà bác học người Anh Ca – ven – đi – sơ đã dùng một cân xoắn rất nhạy

để đo lực hấp dẫn giữa hai quả cầu, từ đó xác định được G Giá trị của G ta thường dùng là:

1.1.2 Biểu thức của gia tốc rơi tự do

Lực hấp dẫn do Trái Đất tác dụng lên một vật gọi là trọng lực của vật đó.Nếu coi Trái Đất như một quả cầu đồng tính thì lực hấp dẫn do nó tác dụng lên một vật khối lượng m ở độ cao h so với mặt đất có độ lớn là:

trong đó M, R là khối lượng và bán kính của Trái Đất

Vì lực này cũng là trọng lực của vật, nên nếu đối chiếu (1.2) với công thức

𝑃 = 𝑚𝑔, ta tính được gia tốc g của sự rơi tự do ở độ cao h:

=

+

GM g

1.1.3 Trường hấp dẫn, trường trọng lực

Mỗi vật luôn tác dụng lực hấp dẫn lên các vật xung quanh Ta nói xung quanh

mỗi vật đều có một trường hấp dẫn

Trường hấp dẫn do Trái Đất gây ra xung quanh nó gọi là trường trọng lực (hay

trọng trường)

Từ (1.3) có thể thấy một đặc điểm của trọng trường: Nếu nhiều vật khác nhau lần lượt đặt tại cùng một điểm thì trọng trường gây ra cho chúng cùng một gia tốc rơi

tự do g như nhau

Vậy g là một đại lượng đặc trưng cho trọng trường tại mỗi điểm Nó còn được

gọi là gia tốc trọng trường [2]

1.2 Những kiến thức nâng cao về trường trọng lực của Trái Đất

Ở phần 1.1 chúng ta đã thấy được những kiến thức cơ bản về trường trọng lực của Trái Đất mà học sinh đã học ở chương trình phổ thông trung học Để học sinh có được cái nhìn cụ thể, bao quát hơn thì học sinh cần được cung cấp những kiến thức nâng cao hơn về trường trọng lực của Trái Đất

1.2.1 Lực hấp dẫn và trọng lực

Tại mỗi điểm trên mặt Trái Đất trọng lực 𝑔⃗, đối tượng nghiên cứu của chúng

ta là lực tổng hợp của hai lực: Lực hấp dẫn Newton 𝐹⃗ và lực ly tâm 𝐶⃗ do Trái Đất quay xung quanh trục của nó gây ra (H.1.1)

=

So với lực hấp dẫn, lực ly tâm rất bé và không liên hệ gì với sự phân bố các khối ở trong Trái Đất

1.2.1.1 Lực hấp dẫn Newton

Theo định luật vạn vật hấp dẫn của Newton: Nếu như ta có hai chất điểm với khối lượng bằng m và 𝑚1 nằm cách nhau một khoảng r chúng sẽ hút nhau một lực

1 2

10−3gal và microgal (1𝜇𝑔𝑎𝑙 = 10−6𝑔𝑎𝑙)

Trọng lực 𝑔⃗, lực hấp dẫn 𝐹⃗ và lực ly tâm 𝐶⃗

Để dễ dàng cho việc tính toán ta dùng hệ thống toạ độ vuông góc, trong đó trục z trùng với trục quay của Trái Đất, còn các trục x,y nằm trong mặt phẳng xích đạo

2 3

Hoàn toàn tương tự, dễ dàng khẳng định rằng các thành phần của trọng lực

𝑔𝑥, 𝑔𝑦,𝑔𝑧 theo các trục toạ độ là các đạo hàm riêng tương ứng theo x,y,z của hàm số

Hàm số W giới nội kể cả khi điểm B nằm trong Trái Đất và khi 𝜌 -> 0 Muốn vậy chúng ta sẽ chứng minh rằng W -> 0 khi 𝜌 -> 0 Từ điểm B lấy yếu tố nón với góc đặc dτ (H.1.3) Thể tích của yếu tố này là 𝜌2 dτd𝜌 và vì vậy:

Từ bất đẳng thức (1.20) ta thấy rằng khi 𝜌 giảm đến không thì tích phân 𝑘 =

∫ 𝑑𝑚 𝜌⁄ cũng sẽ tiến đến không và điều đó cũng có nghĩa là hàm số thế trọng lực tiến tới không

Biểu thức (1.17) là trường hợp riêng trong tính chất của các hàm số thế Nếu

gọi dW là số gia của hàm số thế W khi dịch từ điểm B với toạ độ là x + dx, y + dy, z + dz theo phương s thì,

( )

[ ( , ) ( , ) , , y ( , ) ( , ) ,

(1.26)

Từ biểu thức (1.26) chúng ta thấy rằng đạo hàm của hàm số thế W theo hướng

s chính là hình chiếu của trọng lực trên hướng ấy

Hãy xét trường hợp đặc biệt khi hướng s thẳng góc với hướng của g Trong trường hợp này

cos(g, s)=0

do đó: 𝜕𝑊

𝜕𝑠 = 0

Như ta đã biết W là hàm số của các toạ độ x,y,z do đó biểu thức (1.27) chính

là phương trình của một mặt nào đó mà tại mỗi điểm của mặt này trọng lực luôn luôn thẳng góc với nó Gọi mặt này là mặt mức Chúng ta sẽ thu được các mặt mức khác nhau nếu cho hằng số trong (1.27) nhận các giá trị khác nhau Với một giá trị xác định nào đó của hằng số, mặt mức trùng với mặt đại dương yên tĩnh Mặt này được

gọi là mặt geoit Như trên (H.2.l) chúng ta thấy B là điểm nằm trên mặt geoit, 𝐵𝐶 là lực ly tâm, 𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗ là lực hấp dẫn 𝐵𝑔⃗⃗⃗⃗⃗⃗ là trọng lực, lực này thẳng góc với mặt geoit

Cần chú ý rằng trên mặt geoit thế W có giá trị không đổi, còn g là đại lượng biến đổi, ở đây g chỉ thẳng góc với mặt geoit mà thôi

Xét thêm một trường hợp khác khi cos (g,s) = 1 lúc dó

 =



W g

 =

(1.30)

Từ (1.30) ta thấy rằng khoảng cách giữa hai mặt mức ∆s theo phương pháp tuyến tỳ lệ với 1/g Chúng ta biết g trên mặt mức thay đổi từ điểm này đến điểm khác nên khoảng cách giữa hai mặt mức không thể là một đại lượng cố định được

1.2.3 Khai triển thế trọng lực thành chuỗi, ý nghĩa vật lý của cá số hạng được

Trái Đất có hình dáng là một hình cầu với khối lượng bằng M và bán kính là R thì biểu thức của thế W trên mặt đất bằng:

Nếu ta so sánh biểu thức g thu được bằng cách tính toán với giá trị g quan sát được trên mặt Trái Đất ta có thể xác định được các hệ số trong các biểu thức khai triển

Ta sắp đặt hệ thông toạ độ như (H.1.4) khoảng cách từ điểm A mà tại đó có yếu tố khối dm đến gốc toạ độ là R, còn từ điểm B đến gốc toạ độ là r, góc giữa các bán kính véc tơ r và R là 𝛹

Hình 1.4 Hệ toạ độ

Ta thấy rằng các hệ số của các số hạng chứa R/r với các dấu mũ khác nhau là các hàm số cầu Các hàm số này đóng vai trò rất lớn trong nhiều lĩnh vực của vật lý toán học đặc biệt là trong lý thuyết thế Nếư như ta sử dụng công cụ toán học về hàm

số cầu thì ta có thể viết lại (1.34) dưới dạng sau:

Như 𝑅

𝑟 <1, khi 𝑅

𝑟 > 1 thì phân kỳ, trong trường hợp 𝑅

𝑟 = 1 chuỗi cũng hội tụ chỉ trừ điểm mà tại dó 𝑐𝑜𝑠𝛹 = -1 (nếu 𝑐𝑜𝑠2𝛹 <1 chuỗi hội tụ tại khắp mọi nơi)

Lấy tích phân chuỗi (1.38) theo từng số hạng ta có:

Tích phân được lấy trên toàn bộ Quả Đất Bây giờ ta hãy xét đến ý nghĩa vật

lý của một số số hạng cơ bản của khai triển (1.39) Nếu gọi M là khối lượng của Quả Đất thì:

Số hạng thứ nhất trong khai triển (1.39) sẽ được hiểu diễn bằng công thức sau:

Đây chính là thế hấp dẫn của một quả cầu có khối lượng bằng M

Ở số hạng thứ hai, ta tính cos𝛹 theo toạ độ của điểm A và B

ξx ηy ζz cos

Rr

+ +

 

trong đó x,y,z là toạ độ của điểm B, còn ξ, η, ζ là toạ dộ của điểm A (H.2.4) Từ đó

có thể tính số hạng thứ hai như sau:

Các toạ độ trọng tâm được xác định bằng các tích phân dạng này

Trong trường hợp của chúng ta, gốc toạ độ được đặt tại tâm của Quả Đất do

dó cả ba toạ độ trọng tâm phải bằng không, điều dó có nghĩa là cả ba tích phân trên phải bằng không và do đó:

Khi tính biểu thức chứa (ξx + ηy + ζz)2 ta sẽ gặp các tích phân dạng

2 ∫ 𝜉𝑥𝜂𝑦𝑑𝑚, 2 ∫ 𝜉𝑥𝜁𝑧𝑑𝑚, 2 ∫ 𝜂𝑦𝜁𝑧𝑑𝑚 Trong cơ học các tích phân này được gọi

là tích quán tính và nếu ta hướng các trục toạ độ theo các trục quán tính chính thì các tích phân này sẽ bằng không Trong trường hợp đó ta có thể viết:

Nếu gọi các mômen quán tính đối với các trục x, y, z, tương ứng là A, B và

C Theo như lập luận của ta ở trên thì đây là các mômen quán tính chính

cos cos cos sin sin

Nhờ tính được các số hạng theo các công thức (1.39), (1.40), (1.41) và (1.45)

ta có thể viết lại biểu thức của thế trọng lực ở dạng sau:

2 3

về phương xích đạo, còn số hạng thứ ba có chứa kinh độ phản ánh sự phân bố không đồng nhất theo phương kinh tuyến

1.2.4 Geoit

Như trên dã nói nếu như cho hàm số W bằng một hằng số nào đó thì ta thu được phương trình của mặt mức Muốn cho mặt mức này trùng với mặt mức đại dương yên tĩnh (mặt geoit) ta phải cho hằng số nhận một giá trị nhất định Để tìm hằng số này ta lấy một điểm nào đó trên mặt geoit và đặt toạ độ của điểm đó vào vế phải của đẳng thức (1.46) Giả sử điểm đó chính là giao điểm của trục x với mặt geoit Toạ độ của điểm đó là: 𝜑 = 0; λ = 0; r = a (a là bán kính Quả Đất tại xích đạo)

Nếu gọi số hạng

thì ta có thể viết hàm sô thế trọng lực W ở dạng sau:

Quả Đất vể hình dạng gần với vật tròn xoay vì vậy mà các mômen quán tính

A và B gần với nhau, đại lượng m rất bé vì vậy ta có thể bỏ qua nó:

So sánh hai phương trình (1.54) và (1.55) ta thấy rằng geoit với độ chính xác

đại lượng bé hạng hai có dạng spheroid với độ dẹt α bằng:

3 / 2

Trong quá trình chứng minh các công thức để đi đến kết luận này ta không chú

ý đến sự phân bố mật độ trong Quả Đất mà chỉ giả thiết rằng Quả Đất là vật tròn xoay

có hình dạng khác ít với hình cầu Tất nhiên kết luận trên đúng với điều kiện là tất cả các khối của Quả Đất nằm trong geoit vì chỉ trong trường hợp này ta mới có thể khai triển được thế trọng lực thành chuỗi

Việc xác định geoit chính xác hơn là một vấn đề phức tạp Vấn để này dược giải quyết trên cơ sở tài liệu về trắc địa và trọng lực theo các đo đạc về quỹ đạo các

vệ tinh nhân tạo của Quả Đất

1.2.5 Biểu thức của trọng lực trên mặt Geoit

Từ định nghĩa về trọng lực ta suy ra rằng trên mặt mức trọng lực hướng theo pháp tuyến của mặt đó Vì vậy để xác định trọng lực g ta cần phải lấy đạo hàm hàm

số W theo phương pháp tuyến ngoài tức là:



=



W g

Nhưng vì trong biểu thức của hàm số thế không chứa một cách rõ ràng biến số

n mà chứa biến số r Đối với geoit hướng của n và của r rất gần nhau Trong các biểu thức của hàm số thế mà ta nêu trên, góc 𝜑 chính là góc giữa hướng r với mặt phẳng xích đạo (vĩ độ địa tâm) Còn góc giữa pháp tuyến với mặt phẳng xích đạo mới là vĩ

độ địa lý, góc giữa hướng n và r bằng không tại xích đạo và tại các cực, và bằng 11’6 tại vĩ độ 45 Vì những lý do đó mà ta có thể xem phương của n và của r trùng nhau, nhưng có hướng ngược nhau:



 −



W g

3 1

e e

1.2.6 Các công thức để tính trọng lực bình thường trên mặt Geoit

Các phương trình Clero (1.69), (1.70), (1.71) chính xác đến đại lượng bé hạng hai Ta có thể thử được các công thức chính xác hơn nếu ta khai triển hàm số thế đến

số hạng cao hơn Biểu thức tổng quát của trọng lực trên mặt geoit là:

1    2  2 cos 2 

Ngoài ra nếu thừa nhận Quả Đất có dạng spheroit thì ta có thể tính được công thức chính xác về sự phân bố trọng lực trên mặt đó Nhà trắc địa người Ý Somilen dã tính được công thức về trọng lực trên mặt spheroit:

số không lớn các phương trình Người ta chia toàn bộ Quả Đất thành từng vùng lớn

và lấy trung bình các giá trị đo được trên vùng dó ta thu dược một giá trị Với các giá trị này cỏ thể tìm được các hệ số

Các hệ số 𝛽, 𝛽1liên hệ với độ dẹt của Quả Đất vì vậy ta có thể xác định chúng bằng cách khác Ví dụ nếu cho mặt mức là spheroit với một độ dẹt tương ứng và theo giá trị của độ dẹt đó ta tính được các hệ số 𝛽, 𝛽1còn các giá trị trọng lực quan sát được sử dụng dể tìm ge Giải hệ thống phương trình ta tính dược ge, 𝛽, 𝛽1.Thay các giá trị của các hệ số này vào trong các phương trình (1.68) hoặc (1.70) ta tìm được sự phân bố trọng lực trên mặt mức dạng spheroit dồng thời mỗi mặt mức có độ dẹt xác định

Giá trị lý thuyết của trọng lực tính được theo các công thức có hệ số bằng số

kể trên được gọi là giá trị trọng lực bình thường và được ký hiệu bàng chữ γ Còn

chính bản thân công thức được gọi là công thức trọng lực bình thường Giá trị trọng lực bình thuờng ứng với spheroit được ký hiệu bằng 𝛾0 Có nhiều tác giả đã đưa ra nhiều công thức khác nhau để tính các giá trị trọng lực bình thường, nhưng chỉ còn một số trong các công thức ấy hiện nay đang còn được sử dụng

Năm 1884 Genmơt đã đưa ra công thức tính trọng lực bình thường dầu tiên Công thức này có dạng:

0 978, 030 1 0, 005302 0, 000007 2

Công thức này ứng với độ dẹt α = 1/298,2

Năm 1915 trên cơ sở 410 giá trị xác định trọng lực được chọn cẩn thận từ 2000 giá trị trọng lực Geomơt đã đưa ra công thức thứ ba:

Công thức này dược xâv dựng trên cơ sở của công thức Sômilen theo kích thước về ellipsoid dã dược quốc tế thừa nhận

Điều đó có nghĩa là các hệ số 𝛽, 𝛽1 được tính theo công thức (1.70) để cho spheroit với độ dẹt bằng α =1/297, còn 𝑔𝑒 được tính từ các số liệu trọng lực quan sát được

Trong thời gian gần dây một số tác giả đã đưa ra thêm một số công thức khác

để tính trọng lực bình thường

Năm 1952, Rongolovis trên cơ sở 26.000 quan sát trọng lực đã đưa ra công thức mới, ông chia toàn bộ Quả Đất ra thành 410 vùng Trong số đó 229 vùng có giá trị trọng lực Tại mỗi vùng ông tính giá trị trung bình từ các giá trị trọng lực quan sát được Sử dụng các tài liệu này cùng vối việc khai triển trường trọng lực thành chuỗi các hàm cầu ông ta đã tìm ra dược công thức để cho Quả Đất có dạng spheroit:

0 978, 0573 1 0, 0052837 0, 0000059 1/ 296, 6

Ngoài ra một sô tác giả khác đã lập được một số công thức về trường trọng lực bình thường khác nữa như Grusinski Notila v.v Theo Notila khi nghiên cứu trường trọng lực tại Bắc và Nam bán cầu ta thấy có hiện tượng bất đôi xứng giữa hai miền này, vì vậy ông đã xác định sự phân bố trọng lực hình thường riêng biệt cho chúng Sau đó ông đã xác định trường trọng lực bình thường cho toàn bộ Quả Đất

Trường trọng lực bình thường tại Bắc bán cầu