Phân loại các dạng toán tổ hợp xác suất ở trường phổ thông

Lý do chọn đề tài Các bài toán tổ hợp – xác suất thường xuất hiện nhiều trong các đề thi học sinh giỏi Quốc gia, Quốc tế và luôn được xem là một trong những dạng toán khó đối với phần l

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP XÁC SUẤT

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của Khóa luận, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Nhụy, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo để tôi có thể hoàn thành tốt Khóa luận này Tôi cũng xin gửi lời tri ân tới toàn thể các thầy cô giáo khoa Toán – Cơ – Tin, Trường Đại học Khoa học

Tự nhiên, cùng các thầy cô Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội đã dạy dỗ tôi trong quãng thời gian học tập tại trường, để tôi có được kết quả như ngày hôm nay

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên cạnh cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện Khóa luận tốt nghiệp

Mặc dù đã cố gắng nhưng Khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót, tôi mong thầy cô và các bạn có thể sửa chữa, cho ý kiến và đóng góp, bổ sung

để tôi có thể tiến bộ hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, ngày 6 tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Trần Thu Trang

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, VIẾT TẮT

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc đề tài 2

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ TỔ HỢP – XÁC SUẤT 3

1.1 Tổ hợp 3

1.1.1 Tập hợp 3

1.1.2 Tổ hợp 4

1.2 Xác suất 6

1.2.1 Biến cố và mối quan hệ giữa các biến cố 6

1.2.2 Xác suất của biến cố 8

1.2.3 Công thức Bernoulli 9

1.2.4 Công thức xác suất có điều kiện và quy tắc nhân tổng quát 10

1.2.5 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes 10

1.2.6 Biến ngẫu nhiên rời rạc 11

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ NGUYÊN LÝ TRONG TỔ HỢP 13

2.1 Nguyên lý cực hạn 13

2.2 Nguyên lý Dirichlet 14

CHƯƠNG 3: CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP – XÁC SUẤT 16

3.1 Các dạng toán tổ hợp 16

3.1.1 Các bài toán đếm số 16

3.1.2 Các bài toán sắp xếp vị trí, lựa chọn vật, người 22

3.1.3 Các bài toán sử dụng nguyên lý trong tổ hợp 29

3.2 Các dạng toán xác suất 38

3.2.1 Các bài toán tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển 38

3.2.2 Các bài toán tính xác suất bằng cách dùng công thức nhân và cộng xác suất 42 3.2.3 Các bài toán tính xác suất bằng công thức xác suất có điều kiện – quy tắc nhân tổng quát 46 3.2.4 Các bài toán tính xác suất bằng công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes 50 3.2.5 Các bài toán tính xác suất theo công thức Bernoulli 53 3.2.6 Các bài toán tính xác suất dựa vào bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc 57

KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Các bài toán tổ hợp – xác suất thường xuất hiện nhiều trong các đề thi học sinh giỏi Quốc gia, Quốc tế và luôn được xem là một trong những dạng toán khó đối với phần lớn học sinh Bên cạnh đó, Tổ hợp – xác suất cũng mang tính ứng dụng thực tế rất cao trong nhiều lĩnh vực của khoa học cũng như trong đời sống thực tiễn, góp phần nâng cao năng lực sáng tạo, tư duy nhạy bén của học sinh

Toán Tổ hợp – Xác suất chỉ xuất hiện một cách chính thức trong chương trình học kì 1 – lớp 11 ở bậc Phổ thông Đặc điểm của toán Tổ hợp là không cần nhiều công thức cồng kềnh, quá phức tạp để giải mà chủ yếu dựa vào tư duy là chính, đặc biệt là các bài toán hình học tổ hợp Xác suất có nhiều công thức hơn, nhưng cũng bắt nguồn từ nền tảng của Tổ hợp Chúng

có mối quan hệ mật thiết với nhau Khi tập trung giải các bài toán này, người quan tâm sẽ cảm thấy hết sức thú vị, hấp dẫn và bổ ích

Trong vai trò là một sinh viên Sư phạm Toán và sắp trở thành một Giáo viên tương lai, thấy được tầm quan trọng của Tổ hợp – Xác suất trong môn Toán cũng như thực tiễn, tôi đã lựa chọn đề tài “Phân loại các dạng toán tổ hợp xác suất ở trường phổ thông”, nhằm hệ thống một cách tương đối rõ ràng

về các dạng toán Tổ hợp – Xác suất, đồng thời bổ sung một số bài toán hay, phục vụ cho mục đích nghiên cứu, dạy học trong thời gian tới và hỗ trợ cho việc giải bài tập của học sinh

2 Mục đích nghiên cứu

Cung cấp một số dạng toán tổ hợp – xác suất thường gặp, giúp cho người học hạn chế được những khó khăn khi giải toán Tổ hợp – Xác suất và hình thành tư duy toán học

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Hệ thống lại các dạng bài tập Tổ hợp – Xác suất bao gồm cả các dạng thông thường, và một số dạng phức tạp hơn ở phổ thông

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

4.1 Đối tượng nghiên cứu: Các kĩ thuật giải toán Tổ hợp – xác suất

4.2 Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán Tổ hợp – Xác suất trong chương trình

cơ bản và nâng cao, dành cho học sinh giỏi

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý luận: đọc, nghiên cứu tài liệu và giáo trình

liên quan đến kiến thức Tổ hợp – Xác suất

Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giáo viên trực tiếp

hướng dẫn và các giáo viên khác

6 Cấu trúc đề tài

Cấu trúc của Khóa luận bao gồm 3 phần như sau:

Phần mở đầu

Trình bày lí do chọn đề tài và cấu trúc khóa luận

Phần nội dung: Gồm 3 chương

Chương 1: Cơ sở lý thuyết về Tổ hợp – Xác suất: Trình bày những kiến

thức lý thuyết căn bản về Tổ hợp – Xác suất

Chương 2: Một số nguyên lý trong Tổ hợp: Trình bày hai nguyên lý cơ

bản của tổ hợp là nguyên lý cực hạn và nguyên lý Dirichlet

Chương 3: Các dạng toán Tổ hợp – Xác suất : Trình bày những dạng

toán cơ bản ở trường phổ thông, đồng thời bổ sung một số dạng toán đặc biệt

Phần kết luận

Phần tài liệu tham khảo

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ TỔ HỢP – XÁC SUẤT

Nếu a là phần tử của tập hợp X , ta viết aX ( a thuộc X ) Nếu a

không phải là phần tử của X , ta viết aX ( a không thuộc X )

Để viết một tập hợp, thường có hai cách sau:

- Liệt kê các phần tử của tập hợp

- Chỉ rõ các tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp

Định nghĩa 1 Tập con

Tập A được gọi là tập con của tập B và kí hiệu là AB nếu mọi phần

tử của tậpA đều là phần tử của tập B

A     B x A x B

Định nghĩa 2 Hai tập hợp bằng nhau

Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau và kí hiệu là AB nếu mỗi phần tử của A là một phần tử của B và mỗi phần tử của B cũng là một

phần tử của A

A B AB B A 1.1.1.2 Các phép toán trên tập hợp

Phép hợp

Hợp của hai tập hợp A và B , kí hiệu là AB, là tập hợp bao gồm tất

cả các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B

A B {x | xA hoÆc xB}

Phép giao

Giao của hai tập hợp A và B , kí hiệu là AB, là tập hợp bao gồm tất

cả các phần tử vừa thuộc A , vừa thuộc B

A B {x | xA vµ xB}

Phép lấy phần bù

Cho A là tập con của tập E Phần bù của A trong E , kí hiệu là C E A ,

là tập hợp tất cả các phần tử của E mà không là phần tử của A

Hiệu của hai tập hợp A và B , kí hiệu là A B\ , là tập hợp bao gồm tất cả các

phần tử thuộc A nhưng không thuộc B

A A A Có n cách thực hiện phương án1 A , 1 n cách thực hiện phương 2

án A ,… và 2 n cách thực hiện phương án k A Khi đó, công việc có thể thực k

hiện bởi n1  n2 n k cách

1.1.2.2 Quy tắc nhân

Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A A1, 2, ,A Công k

đoạn A có thể thực hiện theo 1 n cách, 1 A có thể thực hiện theo 2 n cách,…, 2 A k

có thể thực hiện theo n cách Khi đó công việc có thể hiện theo k n n1 2 n cách k 1.1.2.3 Hoán vị

Cho tập hợp A có n n ( 1) phần tử Khi sắp xếp n phần tử này theo

một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tậpA (gọi tắt là một hoán vị

củaA )

Kí hiệu P là số các hoán vị của tập hợp có n phần tử Ta có định lý n

Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 k n Khi lấy

ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp

chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A )

Kí hiệu A là số các chỉnh hợp chập n k k của một tập hợp có n phần tử

Định lý 2: Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử

(1 k n) là

k n

n A

A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A ) Tức, một tổ hợp chập k của A

chính là lấy ra k phần tử của A (không quan tâm đến thứ tự)

Kí hiệu C là số các tổ hợp chập n k k của một tập hợp có n phần tử

Định lý 3: Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 k n) là một tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 k n) là:

A n n C

n C

- Kết quả của nó không đoán trước được

- Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó

Phép thử thường được kí hiệu bởi chữ T Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và được kí

hiệu bởi chữ 

Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay

không xảy ra của A còn tùy thuộc vào kết quả của T

Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra, được gọi là một kết quả thuận lợi cho A Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là A

Khi đó người ta nói biến cố A được mô tả bởi tập A

Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T Biến

cố chắc chắn được mô tả bởi tập  và được kí hiệu là 

Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi phép thử T được

thực hiện Biến cố không thể được mô tả bởi tập  và được kí hiệu là 

1.2.1.2 Mối quan hệ giữa các biến cố

Kéo theo: Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B nếu khi A xảy ra thì B cũng xảy ra Nếu biểu diễn A và B bởi hai tập con của  thì A kéo theo B nghĩa là AB

Biến cố đối: biến cố được gọi là biến cố đối của A nếu nó xảy ra khi

và chỉ khi A không xảy ra Biến cố đối của A kí hiệu à A với A \ A

Giao của các biến cố:

Giao của hai biến cố A và B , kí hiệu AB , là biến cố xảy ra nếu cả A

và B xảy ra Giao của nhiều biến cố A A1, 2, ,A là các biến cố xảy ra nếu tất n

cả các biến cố A A1, 2, ,A đều xảy ra, và kí hiệu là n A A1 2 A n

Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu

việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia

Nhận xét:

+ Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì A và B; A và B ; A

vàB cũng độc lập với nhau

+ n biến cố A A1, 2, ,A được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay n

không xảy ra của mỗi nhóm biến cố tùy ý trong các biến cố đã cho không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của các biến cố còn lại

Biến cố xung khắc: Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu A

và B không đồng thời xảy ra Nói cách khác A và B xung khắc nếu

AB 

1.2.2 Xác suất của biến cố

1.2.2.1 Định nghĩa

Định nghĩa 3: Giả sử phép thử T có không gian mẫu là  là một tập

hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng Nếu A là một biến cố liên

quan với phép thử T và A là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất của A là một số, kí hiệu là P( )A , được xác định bởi công thức

P( )A  A

Chú ý:

- Tổng quát: Cho các biến cố A A1, 2, ,A sao cho chúng xung khắc từng n

Định nghĩa 4: Dãy phép thử Bernoulli là dãy n phép thử thỏa mãn 3

điều kiện sau:

+ Các phép thử của dãy độc lập với nhau Nghĩa là kết quả của phép thử sau không phụ thuộc vào các phép thử trươc đó

+ Trong mỗi phép thử chỉ có hai biến cố A hoặc A xảy ra

+ Xác suất để biến cố A xảy ra trong mọi phép thử của dãy là như nhau

Quy tắc nhân tổng quát:

Với A và B là hai biến cố bất kì, ta có:

P(AB)P( ).P( / )A B A

Một cách tổng quát: Với n biến cố bất kì A A1, 2, ,A ta có: n

P(A A A n)P( )P(A A / A)P(A / A A ) P(A n / A A A n)

1.2.4 Công thức xác suất có điều kiện và quy tắc nhân tổng quát

Định nghĩa 5: Giả sử A là một biến cố, B là một biến cố khác Xác

suất của B được tính trong điều kiện biết rằng A đã xảy ra được gọi là xác suất của B với điều kiện A và được kí hiệu là P( / )B A

Định lý 5: Cho A và B là hai biến cố bất kì, trong đó P( )A 0 Khi

đó xác suất có điều kiện P B A( / ) được tính theo công thức sau

P( )P( / )

 Xác suất có điều kiện P( / )B A có thể tính trực tiếp từ bối cảnh bài toán

mà không cần thông qua công thức trên

1.2.5 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes

Định nghĩa 6: Các biến cố B B1, 2, ,B được gọi là một hệ đầy đủ các n

biến cố nếu chúng đôi một xung khắc với nhau (B B i j   nếu i j) và hợp của chúng là biến cố chắc chắn

1 2 n

Định lý 6: (Công thức xác suất đầy đủ) Nếu B B1, 2, ,B là một hệ đầy n

đủ thì với mỗi biến cố A ta có

Định lý 7: (Công thức Bayes) Nếu B B1, 2, ,B là một hệ đầy đủ các n

biến cố và A là một biến cố với P( )A 0 thì với mỗi k  1, 2, ,n

1

P( )P( / )P( / )

1.2.6 Biến ngẫu nhiên rời rạc

1.2.6.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc

Đại lượng X được gọi là một biến ngẫu nhiên rời rạc nếu có nhận giá

trị bằng số thuộc một tập hữu hạn nào đó và giá trị ấy là ngẫu nhiên, không dự

đoán trước được Tập giá trị của X được kí hiệu bởi X( )

VD1: Gieo một đồng xu 5 lần liên tiếp Kí hiệu X là số lần xuất hiện mặt

ngửa, X là một biến ngẫu nhiên rời rạc Ta có X( ) {0;1;2;3;4;5} 

1.2.6.2 Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Giả sử X là một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị{ x ,x , ,x 1 2 n}Xác suất để X nhận giá trị x kí hiệu là P( k X x k) p k với k 1, 2, ,n

Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X là một bảng, trên đó ta

ghi các giá trị mà X có thể nhận kèm theo các xác suất để nó nhận các giá trị

đó Bảng được thể hiện như sau:

ở đó p i P(X x i), (i1,2, , )n

Ý nghĩa: E( )X cho ta một ý niệm về giá trị trung bình của X Vì thế kì

vọng E( )X còn được gọi là giá trị trung bình của X

1.2.6.4 Phương sai và độ lệch chuẩn

a Phương sai

Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là{ x ,x , ,x 1 2 n}

Phương sai của X , kí hiệu làV( )X , là một số được tính theo công thức

2 1

( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ,

Ý nghĩa: Phương sai là một số không âm, thể hiện mức độ phân tán các

giá trị của X xung quanh giá trị trung bình Phương sai càng lớn thì độ phân

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ NGUYÊN LÝ TRONG TỔ HỢP

VD2: (Bài toán Sylvester) Cho tập hợp M gồm 10 điểm trên mặt phẳng

không cùng thuộc một đường thẳng Kẻ các đường thẳng đi qua từng cặp hai điểm trong 10 điểm đó Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng đi qua

đúng hai điểm của tập hợp M

Giải

Xét các khoảng cách khác 0 trừ mỗi điểm của tập hợp M đến tất cả các

đường thẳng được kẻ, chọn ra khoảng cách nhỏ nhất (theo đề bài, tồn tại khoảng cách khác 0 vì 10 điểm không cùng thuộc một đường thẳng, tồn tại khoảng cách nhỏ nhất vì số các khoảng cách là hữu hạn)

Giả sử khoảng cách nhỏ nhất là khoảng cách từ điểm A đã cho đến

đường thẳng d (như hình vẽ) Ta sẽ chứng minh rằng đường thẳng d chỉ chứa đúng hai điểm của tập hợp M

Dùng phương pháp phản chứng: Giả sử đường thẳng d đi qua là

, ,

B C D Kẻ AH d Tồn tại một trong hai tia gốc H chứa hai điểm, chẳng

hạn đó là C và D Không mất tính tổng quát, giả sử HC HD Gọi CK là khoảng cách từ C đến AD Dễ thấy CK  AH (thật vậy, vẽ CE d thì

CK CE AH ) Như vậy, khoảng cách từ điểm đã cho C đến AD nhỏ hơn

khoảng cách từ điểm đã cho A đến BD , trái với cách chọn điểm A và đường

tổ hợp Dạng đơn giản nhất của nguyên lý Dirichlet, hay còn được gọi là nguyên lý nhốt thỏ vào lồng, như sau: nếu nhốt n 1 con thỏ vào n lồng thì

tồn tại một lồng có ít nhất hai con thỏ

Nguyên lý Dirichlet: Cho m tập hợp mà hợp của chúng là một tập hợp

có n phần tử khác nhau Khi đó:

+ Nếu nm thì có ít nhất một tập hợp có số phần tử lớn hơn hoặc bằng

2

+ Nếu nm và các tập rời nhau thì có ít nhất một tập hợp là tập hợp rỗng

Tổng quát:

+ Nếu nk m k (  *) thì có ít nhất một tập hợp có số phần tử lớn hơn hoặc bằng k 1

+ Nếu nk m k (  *) và các tập hợp rời nhau thì có ít nhất một tập hợp

có số phần tử nhỏ hơn hoặc bằng k  1

VD3: Một năm có nhiều nhất 365 ngày Do vậy, trong số 366 người bất kì

bao giờ cũng có người cùng ngày sinh nhật (không xét năm nhuận)

VD4: Thang điểm bài kiểm tra từ 0 đến 10, tức là có 11 mức điểm Do vậy,

trong số 12 sinh viên bất kì của một lớp sẽ có ít nhất 2 người có số điểm giống nhau

VD5: Viết 16 số, mỗi số có giá trị bất kì là 1,2,3,4 Ghép thành từng cặp hai

số được 8 cặp số Khi đó tồn tại hai cặp số mà tổng các số trong hai cặp đó bằng nhau

Giải thích: Tổng hai số của mỗi cặp trong 8 cặp có giá trị nhỏ nhất là 1 1 2  ,

có giá trị lớn nhất là 4 4 8 Như vậy 8 tổng đó nhận 7 giá trị {2;3;4;5;6;7;8} Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại hai tổng bằng nhau, tức là tồn tại hai cặp số mà tổng các số trong hai cặp đó đằng nhau

CHƯƠNG 3: CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP – XÁC SUẤT

Bước 1: Gọi số cần tìm là na a1 2 a n

Bước 2: Liệt kê các tính chất của số cần tìm theo yêu cầu bài toán

Bước 3: Chia trường hợp nếu cần

Bước 4: Sắp xếp thứ tự đếm lần lượt như sau

+ Đếm các chữ số có mặt trong tính chất

+ Đếm các chữ số đầu tiên nếu nó chưa được đếm hoặc tập hợp ban đầu

có chứa chữ số 0

+ Đếm các chữ số còn lại

Bước 5: Sử dụng quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân

Một số dấu hiệu chia hết của số tự nhiên:

+ Số chia hết cho 2: có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8

+ Số chia hết cho 3: có tổng các chữ số chia hết cho 3

+ Số chia hết cho 4: có tận cùng là 00 hoặc hay chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4 (ví dụ: 1300, 1312, 19308)

+ Số chia hết cho 5: có chữ số tận cùng là 0, 5

+ Số chia hết cho 6: số chia hết cho cả 2 và 3

+ Số chia hết cho 8: có tận cùng là 000 hoặc 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8 (ví dụ: 17000, 7016)

+ Số chia hết cho 9: có tổng các chữ số chia hết cho 9

+ Số chia hết cho 10: có chữ số tận cùng là 0

Bài toán 1: Xét các số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau, lập nên từ các

chữ số 1,2,3,4,5 Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số thỏa mãn điều kiện sau:

Từ năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5, ta có thể lập được 5! 120 số có năm chữ số khác nhau

Gọi n235a a4 5 là số có năm chữ số khác nhau bắt đầu bằng 345

Ta có:2 cách chọn a 4

1 cách chọn a 5

Có 2.1  2 số bắt đầu bằng 345

Vậy số các số không bắt đầu bằng 345 là 120   2 118 số

Bài toán 2: Cho tập A{1;2;3;4;5;6;7} Có bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số khác nhau sao cho:

Bài toán 3: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, ta có thể lập được bao nhiêu số có 6

chữ số khác nhau mà chữ số 1 và chữ số 6 không đứng cạnh nhau?

Giải

Ta đồng nhất chữ số 1 và 6 thành 1 phần tử A

Gọi tập hợp M {A;2;3;4;5}

Số các số có 6 chữ số khác nhau lập được từ 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 là 6!

Gọi số có 6 chữ số lập được từ 6 phần tử của M là na a a a a a1 2 3 4 5 6

Xếp 5 phần tử vào 5 vị trí có 5! cách Trong mỗi cách xếp trên, mỗi hoán vị của 1 và 6 lại tạo thêm 1 cách xếp mới, ta có 2 hoán vị

Có 2.5! số các số n

Vậy số các số cần tìm là 6!  2.5!  480 số

Bài toán 4: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau và chia hết cho

Vậy trường hợp này có 1.8.A85 53760 số n

Vậy tất cả có 60480  53760 114240  số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau và chia hết cho 5

Bài toán 5: Cho tập A{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} Hỏi có bao nhiêu số có 6 chữ

số khác nhau sao cho luôn có 3 chữ số chẵn trong các số tạo thành?

Vậy ở trường hợp này có C C42 53(6! 5!) 36000 số thỏa mãn

Vậy có tất cả 28800  36000  64800 số thỏa mãn yêu cầu đề bài

Bài toán 6: Từ tập các số 0, 1, 2, 6, 7, 8, 9, có thể lập được bao nhiêu số tự

nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau, lớn hơn 5000?

kiện các chữ số đó không lặp lại?

Bài 3: Có thể lập được bao nhiêu số gồm 9 chữ số sao cho chữ số 3 có mặt 3

lần, các số khác có mặt đúng một lần?

Bài 4: Cho các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 Có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số

sao cho các chữ số chẵn không đứng liền nhau?

Bài 5: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau biết rằng:

a Các số này chia hết cho 6?

b Trong các số này phải có mặt ba chữ số 0, 1, 2?

Bài 6: Với sáu số 2, 3, 6, 7, 8, ta có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số

Giải tương tự dạng toán đếm số Ta cần chia nhỏ bài toán thành các bước chọn, sau đó sử dụng các quy tắc cộng, nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Lưu ý:

 Xếp n phần tử khác nhau vào n vị trí có n! cách xếp

 Xếp k phần tử giống nhau vào n vị trí có C cách ( n k 1 k n )

 Xếp n phần tử giống nhau vào n vị trí có 1 cách xếp

Bài toán sắp xếp vị trí thỏa mãn một điều kiện cho trước: Để giải dạng

toán này, thông thường ta thường mô phỏng bài toán thành về một tập hợpM , sau đó cấu tạo một tập con A từ tập nguồn M ban đầu Lưu ý:

- Các phần tử thuộc tập nguồn M có dấu hiệu để phân biệt rõ sự khác

biệt hoặc không thể phân biệt khi sử dụng vào sự tạo thành tập con A

cần tìm

- Đối với các phần tử thuộc tập con A cần tìm, ta phải xem xét các góc

độ sau:

+ Có sự phân biệt không?

+ Có sự sắp xếp thứ tự hay không? Nếu sắp thứ tự thì theo chuẩn mực nào? Chuẩn mực đó có hợp lý hay không?

+ Giả sử trong tập con A có y phần tử không thể phân biệt thì các hoán vị riêng của y phần tử này không tạo ra sự khác biệt cho sự sắp thứ tự của tập A

+ Để ý sự vô nghĩa, có nghĩa, ý nghĩa của các vị trí trong tập A

Bài toán 7: Một lớp học có 19 học sinh nam, 11 học sinh nữ (tất cả đều hát

rất hay) Vậy lớp học đó có bao nhiêu cách chọn 1 đôi song ca (1nam, 1 nữ)

để dự thi văn nghệ của trường

Giải

Giai đoạn 2: Chọn 1 bạn học sinh giỏi khối 11, có 43 cách chọn

Giai đoạn 3: Chọn 1 bạn học sinh giỏi khối 10, có 59 cách chọn

Theo quy tắc nhân có: 26.43.59  65962cách chọn một nhóm ba bạn có đầy

đủ 3 khối

Bài toán 9: Có hai dãy ghế, mỗi dãy 5 ghế Xếp 5 nam, 5 nữ vào 2 dãy ghế

trên, có bao nhiêu cách, nếu :

a Nam và nữ được xếp tùy ý

b Nam 1 dãy ghế, nữ 1 dãy ghế

Bước 2: Xếp các bạn trong khối 12 có 4! cách

Bước 3: Xếp các bạn trong khối 11 có 5! cách

Bước 4: Xếp các bạn trong khối 10 có 6! cách

Theo quy tắc nhân có 3!.4!.5!.6! 12441600  cách xếp thỏa yêu cầu bài toán

Bài toán 11: Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau, 3 viên bi xanh có bán

kính giống nhau vào một dãy bảy ô trống được đánh số thứ tự từ 1 đến 7 Hỏi:

a Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?

b Có bao nhiêu cách xếp sao cho 3 viên bi đỏ cạnh nhau, 3 viên bi xanh cạnh nhau?

Giải

a Gọi 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau lần lượt là D D D ; 3 viên bi 1, 2, 3xanh có bán kính giống nhau lần lượt là X X X, ,

Xếp 3 bi đỏ, 3 bi xanh vào 7 ô trống thì còn một ô trống, Gọi ô trống đó là T

Đặt tập hợp M {D D1; 2;D X X X T3; ; ; ; }

Xếp 7 phần tử của M vào 7 ô trống có 7! cách

Mỗi hoán vị của 3 bi xanh không tạo nên một cách xếp mới Có 3! Hoán vị

của 3 viên bi xanh Vậy số cách xếp cần tìm là 7! 840

3! cách

b Gọi 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau lần lượt là D D D 1, 2, 3

Đồng nhất 3 viên bi xanh không phân biệt đứng cạnh nhau là phần tử X Đồng nhất 3 viên bi đỏ có phân biệt đứng cạnh nhau là phần tử D

Gọi 1 ô trống là phần tử T

Xét tập M {X,T,D}

Xếp các phần tử của M vào 3 ô có 3! cách Trong mỗi cách xếp này, mỗi

hoán vị của 3 phần tử D D D của D cho một cách xếp mới, nên có 3! hoán 1, 2, 3

vị Vậy số cách xếp cần tìm là 3!.3! 36 

Bài toán 12: Một nhóm học sinh gồm 7 nam, 3 nữ ngồi vào một dãy ghế gồm

10 chỗ có đánh số từ E đến 1 E Hỏi có bao nhiêu cách xếp để có 3 nữ ngồi 10

Bài toán 13: Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ, 4 nhà Vật lý nam

Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn công tác 3 người gồm cả nam và nữ, cả Toán và Vật lý?

Bài toán 14: Đoàn tàu nhỏ gồm 4 toa, có 4 khách bước lên tàu Hỏi có bao

nhiêu khả năng trong đó 2 khách lên cùng một toa, 2 khách kia mỗi người lên một toa khác?

Bài 1: Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm 1 món ăn

trong 5 món, 1 loại quả tráng miệng trong 5 loại quả tráng miệng và một nước uống trong 3 loại nước uống Hỏi có bao nhiêu cách chọn thực đơn?