Trắc nghiệm, bài giảng pptx các môn chuyên ngành Y dược và các ngành khác hay nhất có tại “tài liệu ngành Y dược hay nhất”; https://123doc.net/users/home/user_home.php?use_id=7046916. Slide bài giảng môn giải tích ppt dành cho sinh viên chuyên ngành Y dược và các ngành khác. Trong bộ sưu tập có trắc nghiệm kèm đáp án chi tiết các môn, giúp sinh viên tự ôn tập và học tập tốt môn giải tích bậc cao đẳng đại học ngành Y dược và các ngành khác
Trang 1BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG
-DÃY SỐ - GIỚI HẠN
DÃY SỐ
Trang 2NỘI DUNG
- 1- KHÁI NIỆM
DÃY SỐ
2- DÃY TĂNG, GIẢM, BỊ CHẶN,
DÃY CON
3- GIỚI HẠN
DÃY SỐ
4- TÍNH CHẤT GIỚI
HẠN 5- TIÊU CHUẨN WEIRSTRASS: DÃY ĐƠN ĐIỆU, BỊ CHẶN
6- GIỚI HẠN
KẸP
Trang 3KHÁI NIỆM GIỚI HẠN (PHỔ THÔNG –
ĐẠI HỌC)
-
-Giới hạn: Khái niệm cơ bản của Giải tích “Không có giới hạn thì giải tích không tồn tại Mỗi khái niệm của giải tích đều là giới hạn theo một nghĩa nào đó” Đạo hàm (theo định nghĩa):
giới hạn y / x
Ứng dụng hình học: Hsgóc tiếp tuyến = lim Hsgóc dây cung
Ứng dụng vật lý: Vận tốc tức thời = lim Vận tốc trung bình
Độ dài đường cong = lim độ dài
đường gấp khúc nội tiếp
Diện tích hình thang cong (tích phân) = lim
S hình chữ nhật
Giới
hạn:
số hàm hạn
Giới
số dãy hạn
Giới
Trang 4DÃY SỐ THỰC
-
-Tập hợp vô hạn các số được đánh số từ 1 đến : x 1 , x 2 … x n … Dãy số {x n } n 1 (hoặc từ 0 đến : x VD: Dãy số nguyên dương:1, 2, 3, 4 … Dãy 0 , x 1 … x n … {x n } n 0 ) số chẵn: 2, 4, 6 … Câu hỏi: Tìm số hạng cuối
cùng của 1 dãy số?
Thông thường, dãy số được xác định theo 1 công thức tổng quát dành cho số hạng thứ n
VD:
Dãy
1 4
3 , 3
2 , 2
1
n n
n x
n n
x n 1 n nn0 0, 1, 2 1 n1 n 1
x n-1 : số hạng thứ n của {x n } n
0 !
Trang 5CÔNG THỨC TỔNG QUÁT – SỐ HẠNG
THỨ n
-
-VD: Tìm số hạng tổng quát (số hạng thứ n) của các dãy {x n } n1 :
, 8
1 , 4
1
,
2
1
/
4
3 , 3
2 ,
2
1 /
b c /1,3,5,
1/ Dãy hằng 1, 1 … 1 …: Hữu hạn giá trị & vẫn vô hạn phần tử 2/ Dãy các số nguyên tố: 1, 2, 3, 5 … : Công thức tổng quát?
Có thể xem dãy số {x n } với số hạng tổng quát: x n = f(n) như hàm số từ tập số nguyên dương N* R VD: Dãy số chính phương 1, 4, 9, 16 … x n
= n 2 f(x) = x 2
ĐS
a
2
1 /
1
1
/ 1
n
n
b n c / 2n 1
Maple: > n^2 $n = 1 5; > array( [ [n, n^2]$ n = 1 5 ]);
Trang 6DÃY TĂNG – GIẢM: ĐƠN ĐIỆU
-
-x n TĂNG: x n x n+1 n 1 Tổng quát: x n
x n+1 n N 0
VD:
n n
n
x
a 1 : 1
2
1 1 / chứaTỔNG nênxét HIỆU
x n GIẢM: x n x n+1 n 1 Tổng quát: x n
x n+1 n N 0
n
n n
x
x n
n
2
1
:dương,dạngTÍCH Xét THƯƠNG
Dãy x n LUÔN tăng hoặc LUÔN giảm (từ N 0 nào đó): dãy ĐƠN ĐIỆU
: 4 3
3
2 /
n
n x
4 3
3
2
f x
x x
f tính xét
SỐ HÀM
giống
bthức
Trang 7DÃY BỊ CHẶN – DÃY CON
-
k k
k n
x 1,, k , , 1 , lim
x n Dãy
con
VD:
Dãy
5
4 , 4
3 , 3
2 , 2 1
x n bị chặn trên: x n M n 1 Tổng quát: x n M n N 0
Dãy bị chặn trên lẫn dưới: gọi chung
bị chặn m x n M
x n bị chặn dưới: x n m n 1 Tổng quát: x n m n N 0
VD: Xét tính bị chặn
của các dãy
b n
a / 12 / 3n / 1 n
a/ Bị chặn Trên: 1, Dưới: 0 b/ Dưới: 0 c/ K0
bị chặn trên, dưới
Chú ý: Từ dãy {x n } Hay xét 2 dãy
con {x 2n – 1 } & {x 2n }
Dãy con
5
4 , 3
2
&
: 4
3 , 2
1
Trang 8GIỚI HẠN DÃY SỐ: ĐỊNH NGHĨA “DỄ
CHỊU”
-
-Lập bảng giá trị 2 dãy số sau Quan
sát và rút ra kết luận
1
/
n
n x
a n
1
1
/
n
n y
b n n
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
5 0.835 -0.835
15 0.940 -0.940
25 0.960 -0.960
Nhận xét: n tăng, x n đến gần 1 còn y n đến gần 1 Khi n : Giá trị x n 1, còn
y n KHÔNG đến gần giá trị cụ thể nào!
Định nghĩa (“dễ chịu”): Dãy {x n } có giới hạn bằng a x n a khi n đủ lớn Mánh: n đủ lớn (n
= 1000) & MTBTúi 0.50025 (b)!
: 2
sin
lim 2
2 3
n n
n
n
n
0 /
a b /1 2 1
/
c d /
Trang 9GIỚI HẠN DÃY SỐ: ĐỊNH NGHĨA CHẶT
CHẼ
-
-Có ghạn: Hội tụ K0
(hoặc lim
= ): phân kỳ
Dãy x n hội tụ
về a
0
0 : ,
0 N N x n a n N
0
0 : ,
0 N a x n a n N
hạn hữu
:
lim x n a
n
a
a a
1
x
1000
x
0
N
x
1
0
N
x
ngữ – N 0 ):
x n “rất gần” a, n đủ lớn > 0 N 0 : |
x n – a | < n N 0
VD: Xét dãy {n/(n + 1)} a/
“Đoán” lim x n
b/ Với lim vừa đoán & = 10 -2 ,
10 c/ Chứng minh chặt -3 N 0 = ?
chẽ (a)
1 1
lim
n
n
n
Đoán"
"
?
10
1 1
0
1
N n
n n
Trang 10GIỚI HẠN VÔ CÙNG – DÃY PHÂN KỲ
-
-0
0 : ,
lim x n M N N x n M n N
n
lớn bất kỳ
Giới hạn = (vẫn là phân kỳ):
Không thể xét | x n – a | !
Định nghĩa x n phân kỳ: Phủ định (lôgich) mệnh đề hội tụ
Hội
: 0
R
a n
a R, 0: N0 N n N0 đểx n a
Phân
kỳ:
0
0 : ,
(
n
âm)tuỳ ý
Thực tế tìm giới hạn: Ít dùng cách chứng minh = định nghĩa!
Trang 11TÍNH CHẤT GIỚI HẠN
-
0 lim
&
0 lim
lim
0 lim
lim lim
lim
lim lim
lim lim
, lim
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n
n n
n n
n n
n
n n
n n
x x
x x
y y
x y
x
y x
y x
y x
n : ĐK
: ĐK
lim tổng (hiệu, tích, thương, căn v.v…) = Tổng (hiệu … ) lim
lim x n = a Mọi dãy con của x n
đều a:
a
x
k
n
lim
Dãy x n phân
kỳ
một dãy con phân kỳ của x hai dãy con hội tụ n
có lim nhau VD: Chứng tỏ dãy {x n } = {(–
1) n } phân kỳ
Trang 12GIỚI HẠN CƠ BẢN
-
-
0 lim
1 0
lim 1
n n
n n
a a
a a
0 lim
0
lim 0
n
n
n
mũ:
Lũy
thừa:
2 lim
/ n
a
n / lim 1 2 lim 1 0
b
n n
VD: (Tổng cấp
số nhân)
1 4
1 2
1 1
:
2 2
1 1
1
n q q q
lim
Tổng
quát:
Hdẫ
q q
q
n n
1
1 1
1
Số
e:
a n
n
n
n
a e
n
1 1 & lim 1
n
n n
Hay gặp:
0 3
1 lim
&
2 lim
n n
n n
c
Trang 13NGUYÊN TẮC TÍNH GIỚI HẠN
-
-Biến đổi biểu thức cần tính lim về giới hạn cơ bản & thay vào
VD: Tính giới
1
2 lim 2
2
n
n
n n
n 4 2 5
2 5
3 lim
lim 1
n
Giả
i:
0
2 1
lim 1
1 lim 2
1 1
1
2 lim
1
1
2
2
2 2
2 2
2
2
n n
n
n
n n
n
n
n n
n
3 2
5 4 5
5 2 3
5 lim 5
2 4
2 5
3
n n
n n
n
n n
n
1 lim
1
1 lim
1
n
n n
n
n n
n
Thực
tế:
: 1
1
2 lim 1
1
2
2
2
2
x n
n
x n
Giới hạn hàm Lôpitan …
Trang 14GIỚI HẠN KẸP
-
-Cho 3 dãy x n,
y n, z n
N n
z y
x
n n
n n
n n
n
lim lim
0
a y
y n
n
n
& lim lim
n n
n y z
x
a
Hệ quả (hay
sử dụng):
0 lim
0 lim
&
n n
x
VD:
1
sin lim 2
n
n
n
n
n
n n
1000 lim
n
n n
n!
lim
VD
:
n
n n
lim
0
1 2
1
!
n n
n n
n n
n
n
0 1
1
sin
n
n n
n
2000:
0 2
1
1000
n n
n
Cô si:
1
1
1 1
1
1
n
n
n n
n
n n
Trang 15TIÊU CHUẨN WEIRSTRASS
-
Weirstrass:
Dãy tăng & chặn trên thì hội tụ
Dãy giảm & chặn dưới thì hội tụ
Chứng minh dãy hội tụ Hay dùng: Tính đơn điệu & bị chặn
VD: Chứng minh tồn tại
giới hạn (số e)
n
n n
1 1 lim
Giải: Dãy
1 1
1 1 1
1 1
1
1
n n
n
n n
n
Bđt
Côsi:
1
1 1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
n n
n
n n
n n
n
n
Bị chặn trên: Xem SGK, Đỗ Công
Khanh, trang 18 – 19
Trang 16TỔNG KẾT
-
-Các kỹ thuật chứng minh
dãy hội tụ
Chứng minh dãy phân kỳ: Chỉ ra 2 dãy con có lim khác nhau hoặc tối thiểu một dãy con không có giới hạn
Giải |x n a|
chất 3 dãy kẹp
Chứng minh dãy tăng & chặn trên (giảm & chặn dưới)
Tính giới hạn: Đưa về biểu thức theo các giới hạn cơ bản
BT: Sách giáo khoa & Bổ sung
(xem trên web)
Maple: >limit( …, n=infinity); VD: limit( n/ (n+1), n=infinity)