HINH HOC 9 CHUONG 2 BAI 1 5 PHAT TRIEN NHIEU CAU TOAN THCS VN

Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang 3O là trung điểm của AB chứng minh trên.. Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook

Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang 1

Bài 1 Cho đường tròn tâm O , bán kính R , đường kính AB Trên tia đối của tia AB lấy

điểm

BC cắt nửa đường tròn tại I Chứng minh :

1) Tứ giác AICD là hình chữ nhật

2) DNCM

3) AD BC CM CN

4) BC2CD2DA2 2AD BC AB2

5) Từ P vẽ 2 tiếp tuyến PK , PH với đường tròn Chứng minh 2

6) Chứng minh PA PB PM PN

7) Cho MON 900và OP3R Tính PM theo R 8) Từ O vẽ vuông góc với PB , cắt PK PH tại ,, I J Một tiếp tuyến của  O cắt các đoạn

,

PK PH tại X L Cho , PIJ Tính XOL

9) Chứng minh OX OL chia tứ giác , IXLJ thành ba tam giác đồng dạng

10) Cho IJ 2a Tính tích XI LJ

11) Tiếp tuyến XL ở vị trí nào thì XILJ nhỏ nhất?

Hướng dẫn:

1) Chứng minh tứ giác AICDlà hình chữ nhật

90

Do AB là đường kính của đường tròn ( ) O  O là trung điểm của AB 

IO là

2

Mặt khác OAOBOI( cùng bán kính của đường tròn ( )O ) 1

2

ABI

90

Tứ giác AICD có: ADCBCDAIC900 Do đó AICD là hình chữ nhật

2) Chứng minh DNCM

Vẽ OEMN (EMN)

Đường tròn ( )O có: OEMN suy ra E là trung điểm của MN (liên hệ giứa đường kính và dây của đường tròn)

 MEEN(1)

Có ADMN, BCMN (gt) AD/ /BC (Từ vuông góc đến song song)

 Tứ giác ABCD là hình thang

Mà OEMN OE AD BC// //

E

I D

C

A

M

N K

H

P

Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang 3

O là trung điểm của AB (chứng minh trên)

thang)

ECENNC

MEEN, ECED

3 Chứng minh: AD BC CM CN

Chứng minh tương tự câu 1 ta có ANB 900

Xét AND vuông tại D và NBCvuông tại C có

 AD BC = NC ND

4 Chứng minh: BC2CD2DA2 2AD BC AB2 Có: BC2CD2DA2 2AD BC AB2



Tứ giác AICDlà hình chữ nhật ( chứng minh trên )

;

Vì BCADBCICBI Do AIB vuông nên AB2AI2 BI2

Suy ra BC2CD2DA2 2AD BC AB2

5 Từ P vẽ 2 tiếp tuyến PK , PH với đường tròn Chứng minh: PK2 PA PB

Đường tròn ( )O có: OK OBR

OKB

Mà PK là tiếp tuyến của ( ) O tại điểm K

Xét PKA và PBK có:



BPKlà góc chung ;

PKAPBK cmt

2

6) Chứng minh PA PB PM PN

PNPEEN PEEM ( Vì EM ENtheo chứng minh trên )

2 2

Vì OEMNsuy ra OPEvà OME vuông tại O

2 2 2

2 2 2

Chứng minh tương tự có EM2OM2OE2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

Mà OM OK( cùng là bán kính của đường tròn ( )O )

2 2 2 2

Ta có

Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang 5

Mà OAOB( cùng là bán kính của đường tròn ( )O )

2 2

Mà OAOK( cùng là bán kính của đường tròn ( )O )

2 2

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra PA PB PM PN

7) Cho MON 900và OP3R Tính PM theo R

Vì MON 900  MON vuông tại O ( Định nghĩa )

Mà OM ON ( cùng là bán kính của đường tròn ( )O )

MON

2 2 2

2 2 2 2

Có: E là trung điểm của MN ( Chứng minh trên )

2

MON

 vuông cân tại O, Có OE là đường trung tuyến ( E là trung điểm của

MN)

2

OE

POE

2 2 2

2

2 2

2 2 2 2 2 2 17

34 2

R PE

2

R

8) Từ O vẽ vuông góc với PB , cắt PK PH tại ,, I J Một tiếp tuyến của  O cắt các đoạn ,

PK PH tại X L Cho , PIJ Tính XOL

Có PK PH là hai tiếp tuyến của đường tròn ( ), O tại K và H ( gt )

OHOKRO thuộc trung trực của KH

PO

 là trung trực của KH

,

PK PH là hai tiếp tuyến của đường tròn ( ) O tại K và H ( gt ) PO

 là tia phân giác của KPH Hay PO là tia phân giác của JPI

Mà JI PB tại O suy ra IPJ cân tại P

Ta có PK PH XL là ba đường tiếp tuyến của đường tròn ; ;  O lần lượt tại , ,

K H G

Suy ra OKPK tại K ; OHPJ tại H ; XLOG tại G

180

IPJPIJPJI  ( Định lí tổng 3 góc trong tam giác ) (1)

Tứ giác PHOK có KPH  PHOPKOKOH 3600

90

PHOPKO (vì OHPJ tại H; OKPI tại K )

180

180

IPJHOK (2)

Từ 1; 2HOKPIJ  2PJI 

* Xét đường tròn  O có + XG và XK là hai tiếp tuyến cắt nhau tại X nên OX là tia phân giác của góc KOG

2

KOG XOG

J

I

L

X

A

K

H

P

G

Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang 7

+ Chứng minh tương tự ta có: 

 2

HOG



9) Chứng minh OX OL chia tứ giác , IXLJ thành ba tam giác đồng dạng

Ta cần chứng minh ba tam giác : JOL, LOX, XOI đồng dạng với nhau Xét đường tròn  O có :

LH và LG là hai tiếp tuyến cắt nhau tại L nên LO là tia phân giác của XLJ

XLOOLJ Xét JOL và LOX có:

XLOOLJ (cmt),

OX

Chứng minh tương tự ta có: IXO∽O LX

10) Cho IJ 2a Tính tích XI LJ

JOL ∽ OXL∽ IXO ( chứng minh trên )

XI LJ IO JO

IPJ

 cân tại P ( Chứng minh trên )

PO là tia phân giác của góc IPJ ( Chứng minh trên )

J

I

L

X

A K

H

P

G

Suy ra POlà trung trực của JI

 O Là trung điểm của JI

2

2

11) Tiếp tuyến XL ở vị trí nào thì XILJ nhỏ nhất?

Ta có : Tích XI LJ a2 không đổi nên Tổng XILJ nhỏ nhất khi và chỉ khi

XI LJ

Khi đó tiếp tuyến XL song song với JI

Bài 2 Cho đường tròn ( )O đường kính AB Trên cùng nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB,

dựng hai tiếp tuyến Ax , By Lấy M O sao cho MAMB Tiếp tuyến tại M của ( )O cắt

Ax, By lần lượt tại C và D

trên AB Chứng minh bốn điểm O , K, I, H cùng thuộc một đường tròn

3

QBA  Tính AD theo R

11 Chứng minh S AB CD 2R2

Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang 9

Lời giải

Ta có CA , CM là hai tiếp tuyến của  O nên CACM và CO là phân giác của  MOA

Tương tự DB, DM là hai tiếp tuyến của  O nên DBDM và DO là phân giác của  MOB

Lại có CDMCMD (do M nằm giữa C và D)

Do đó CDCABD (đpcm)

Ta có AOMBOM180 (2 góc kề bù)

Suy ra 2COM2MOD 180  ( do OC , OD lần lượt là phân giác của  MOA và  MOB )

Suy ra COMDOM90 COD90 Do đó COD vuông tại O (đpcm)

Ta có

cmt









nên OC là đường trung trực của AM,

suy ra OCAM tại I là trung điểm của AM

Chứng minh tương tự ta có ODBM tại K là trung điểm của MB

Tao có OIM vuông tại I và MKO vuông tại O nên bốn điểm O , K, I, H cùng thuộc một

đường tròn đường kính OM

OI OCOM (hệ thức lượng)

Chứng minh tương tự ta có OK OD OM2

Xét COD vuông tại O đường cao OM ta có MC MD OM2((hệ thức lượng)

Từ ba điều trên ta có OI OC OK OD AC BD (đpcm)

Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang

Ta có AMB nội tiếp đường tròn  O đường kính AB nên AMB vuông tại M

Vì CACMcmt nên CAM cân tại C , suy ra  CAM CMA

Mà CAMCGM 90  , CMA CMG 90 

Suy ra CMG cân tại C Do đó CGCM mà CM CAcmt nên CACG

Suy ra C là trung điểm của AG ( do C nằm giữa A và G ) (đpcm)

Xét GAO và ABD có

Suy ra GAOABD(c.g.c)

Ta có OAN AGO GAO” ABD và AGO 90AON   (do AGO vuông tại A)

Xét OAC vuông tại A, đường cao AI ta có OI OC OA2

Xét OAG vuông tại A , đường cao AN ta có ON OG OA2

Xét ONI và OCG có



NOI chung

Gọi T là trung điểm của CD

Ta có COD vuông tại O nên O thuộc đường tròn  T đường kính CD

Ta có AC//BD( do cùng AB ) nên ACDB là hình thang

mà O là trung điểm của AB, T là trung điểm của CD

nên OT là đường trung bình của hình thang ABDC

Do đó OM//AC TOAB (do ACAB)

Suy ra AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD (đpcm)

Xét CQA có BD CA// (cmt) nên QA AC

QD  MD(cmt) nên MQ//AC

Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang

11

Vì MQ//AC (cmt) và AC AB nên MQAB mà MH AB (gt) suy ra M , Q, H thẳng hàng

Xét MAB có I là trung điểm của MA, K là trung điểm của MB

IK

 là đường trung bình của MAB IK//AB

Chứng minh tương tự ta có IQ//AH hay IQ//AB

Do đó ba điểm I, Q, K thẳng hàng

3

QBA  Tính AD theo R

AC

AB

Lại có

2 2

1 3

AC

R

ABD

 vuông tại B có AD2  AB2BD2 (Pytago)

Suy ra AD2 4R29R2 13R2ADR 13

2 2

ABDC

AB

Ta có GMA GAB(g-g)

Suy ra AFI ALO (g.g)

Suy ra LFO90 (do OIA90 )

Suy ra LF//AB

Mà AB AG nên LF//AG

Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang

đường kính CDcủa đường tròn

a).Chứng minh 4 điểm , , ,A B O C thuộc một đường tròn

b).Chứng minh OABC AO; / /BD

c).Gọi E là giao điểm của AD với ( ) O ( ED), AOBC H Chứng minh

AD AEAH AO

d).Chứng minh  AHEOED

e).Chứng minh HB là phân giác củaEHD

d).Từ E kẻ đường thẳng song song với BD cắt AB BC lần lượt tại , M N Chứng minh E là , trung điểm của MN

g).Gọi r là bán kính của đường tròn nội tiếp ABC Tính BD theo , R r

Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang

13

ĐÁP ÁN

a).Chứng minh 4 điểm , , , A B O C thuộc một đường tròn

Xét ( )O có MA là tiếp tuyến ABBO ABOvuông tại O

 3 điểm , ,A B O thuộc đường tròn đường kính AO

Tương tự : 3 điểm , ,A C O thuộc đường tròn đường kính AO

 4 điểm , , ,A B O C thuộc đường tròn đường kính AO

b).Chứng minh OABC AO BD; //

Xét ( )O có AB AC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại A (gt) ,

Có OBOCRO thuộc đường trung trực của BC

OA

 là trung trực của BCOABC(1)

Xét ( )O có BCDnội tiếp đường tròn ( )O có CD là đường kính BCD vuông tại B

(2)

Từ (1) , (2)AO/ /BD

c).Gọi E là giao điểm của AD với ( ) O ( ED), AOBC H Chứng minh AD AE AH AO Xét ( )O có ECDnội tiếp đường tròn ( )O có CDlà đường kính CDE vuông tại E

Xét AECvà ACDcó



EAC chung

2

Xét ACOvuông tại C, đường cao CHcó AC2 AH AO (4)

I N

C

B

O A

D

Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang

Từ (3); (4) AD AE AH AO

d).Chứng minh  AHEOED

Xét AHE và ADOcó



AD  AO( cmt)

( )

Mà ODOER OEDcân tại OOED ODEOED AHE

e).Chứng minh HB là phân giác của EHD

Chứng minh tương tự câu d ta có:  AHD∽AEO c g c( )AHDAEO

Mà AEODEO1800( 2 góc kề bù)

  mà AHEEHB90 ;o DHO BHD90o

d).Từ E kẻ đường thẳng song song với BD cắt AB BC lần lượt tại , M N Chứng minh E là trung ,

điểm của MN

Xét HED có HI là phân giác EI EH

(6)

Xét ABO vuông tại B , đường cao BH có

2

( )

Lại có AHEDHO( câu e)EHOAHD(8)

Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang

15

E

g).Gọi r là bán kính của đường tròn nội tiếp ABC Tính BD theo , R r

Có OCF OFC( OFCcân tại O)

90

90

AF là phân giác của BAC ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

F

 là tâm đường tròn nội tiếp ABCFH r mà FORHOR r

Xét BCDcó Olà trung điểm của CD

OH

1

2

đường tròn, qua A vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Bx Cy lần lượt tại , M N ,

a) Chứng minh MON 900

c) Chứng minh tích BM CN không đổi

d) Chứng minh OM/ /AC

e) Kẻ AH BC tại H , AHMC I Chứng minh I là trung điểm của AH

f) Tìm vị trí của A để chu vi tứ giác BMNCnhỏ nhất

g) Tìm vị trí của A để S OMNnhỏ nhất

h) Gọi ACBx D Chứng minh ODBN

Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang

ĐÁP ÁN

a) Xét ( )O có MA MB là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M (gt) ,

OM

 là phân giác của AOB

Xét ( )O có NA NC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại , N(gt)

ON

 là phân giác của AOC

Mà AOB ;  AOC là 2 góc kề bù

 MON 900

b) Xét ( )O có MA MB là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M (gt) ,

Xét ( )O có NA NC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại , N(gt)

c) Vì MON 900 MONvuông tại O

XétMONvuông tại O, đường cao OA có

2

2

 tích BM CN không đổi

d) Có MAMB( CM câu b)Mđường trung trực của AB

OAOB( CM câu b)Ođường trung trực của AB

MO

N

M

O

A D

Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang

17

Xét ABCnội tiếp nửa đường tròn ( )O có BClà đường kính

ABC

Từ (1) ; (2)MO/ /AC

e) Có BxBC(gt)

CyBC(gt)

AHBC(gt)

/ / / /



I

 là trung điểm của AH

f) Có Bx/ /CyMB/ /NC Tứ giác BMNClà hình thang, mà MBC 900 Tứ giác BMNC

là hình thang vuông

Chu vi BMNCnhỏ nhất khi MNnhỏ nhất

Kẻ MKNCtại K MNMK(6)

K F

I

N

M

O

A

H D

Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang

90

Từ (6), (7)MN BCmà BC2Rkhông đổi

MN

Vậy A thuộc nửa đường tròn sao cho AOBCthì chu vi tứ giác BMNCnhỏ nhất

OMN

OMN

Kẻ MKNCtại K MNMK(6)/

90

Từ (6), (7)MN BCmà BC2Rkhông đổi

MN

Vậy A thuộc nửa đường tròn sao cho AOBCthì S OMNnhỏ nhất/

h) Gọi DOAB F / Chứng minh tương tự câu d ta có AB/ /ON

Vì MAMB(theo câu b)  MAB cân tại M   MABMBA

ANOMBA Xét ANO và ABD có

ANODBA (CM trên)

90

180

180

ANOOAC (cùng phụ 

NAC )

Mà ANOBAM(CM trên)

Từ (8) ; (9)  DAO∽BAN c g c( ) ADO ABN

90

Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang

19

Bài 5 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi D là hình chiếu của H trên AB , E

là hình chiếu của H trên AC Gọi  O là đường tròn đường kính HB ,  O là đường tròn

đường kính HC I là giao điểm của AH và DE Chứng minh rằng:

1) Điểm D thuộc đường tròn  O , điểm E thuộc đường tròn  O 2) Hai đường tròn  O và  O tiếp xúc ngoài

3) AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn  O và  O

5) DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn  O và  O

7) Diện tích tứ giác DEO O  bằng nửa diện tích tam giác ABC

Lời giải

1) Vì BDH   90  nên D thuộc đường tròn  O (đường tròn đường kính HB )

Vì CEH   90  nên E thuộc đường tròn  O (đường tròn đường kính HC )

I

O' O

E

D

H A

Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang

2) Ta có OOOH O H nên hai đường tròn  O và  O tiếp xúc ngoài

tuyến của đường tròn  O Vậy AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn  O và  O

ra AH DE

Do đó, IDH IHD

Mặt khác, ODH cân tại O nên  ODH OHD

Lại có IHD OHD 90  Suy ra IDHODH 90 

Tức là ODI 90

Cho nên, DE là tiếp tuyến của đường tròn  O

Hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được DE là tiếp tuyến của đường tròn  O

Vậy DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn  O và  O

6) Vì ID và IH là hai tiếp tuyến chung của đường tròn  O nên IO là tia phân giác của  DIH

Mặt khác, IH và IE là hai tiếp chung của đường tròn  O nên IO là tia phân giác của  EIH

Mà DIH và  EIH là hai góc kề bù Nên  OIO là góc vuông

2

OD O E

DE





Ta có

2

Từ  1 và  2 suy ra 1

2