HOC SINH GIOI TOAN 9 2020 2021 QUAN TAY HO CHU VAN AN TOAN THCS VN

8 điểm Cho ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH và phân giác ADcủa CAH.. 1 Chứng minh rằng tam giác BAD là tam giác cân.. Tính độ dài các đoạn thẳng BH AC ., 4 Vẽ đường phân giácAE của BA

UBND QUẬN TÂY HỒ

TRƯỜNG THCS CHU VĂN AN

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC: 2020 – 2021 Môn: Toán 9

Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)

Bài 1. (4,0 điểm)

Tính giá trị của biểu thức sau:

3 5 2 3 3 5 2 3

 

Bài 2. (4,5 điểm)

Tìm x thỏa mãn điều kiện :

1) x2 6x  9 4 5 x

2) 2x26x 8 2x24x 6 x 4 x 3

2 3) x  1 1 4x  3x

Bài 3. (2,0 điểm)

Cho hai số nguyên a , b thỏa mãn

58

5

14 40  a b Tính S a b

Bài 4. ( 8 điểm)

Cho ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH và phân giác ADcủa CAH

1) Chứng minh rằng tam giác BAD là tam giác cân

2) Chứng minh

3) Giả sử AB10cm, HC21cm Tính độ dài các đoạn thẳng BH AC ,

4) Vẽ đường phân giácAE của BAH Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để

DE

BC đạt giá trị

lớn nhất?

Bài 5. (1,5 điểm)

Cho tập A có các tính chất sau:

a Tập A chứa toàn bộ các số nguyên

b 2 3 A

c Với mọi ,x y A thì x y A  và x y A

Chứng minh

1

2 3A

 HẾT 

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 QUẬN TÂY HỒ

Bài 1. (4,0 điểm)

Tính giá trị của biểu thức sau:

3 5 2 3 3 5 2 3

 

Lời giải

2

 

 3 6 3  3 6 3 3 3

3 6 3



 

 3 6 3 3 3 6 3  3 6 3 1  3

1 3

Bài 2. (4,5 điểm)

Tìm x thỏa mãn điều kiện :

1) x2 6x  9 4 5 x

2) 2x26x 8 2x24x 6 x 4 x 3

2 3) x  1 1 4x  3x

Lời giải

1) x2 6x9 4 5  x

x 32 4 5x

3 4 5

   

TH1 : x  ta có 3

7

6

(loại)

TH2 : x  ta có 3

1

4

(nhận)

Phương trình có nghiệm duy nhất

1 4

x 

2) 2x26x 8 2x24x 6 x 4 x 3

       

2 x 1 x 4 2 x 1 x 3 x 4 x 3

, (ĐK : x  )1

2x 2 x 4 2x 2 x 3 x 4 x 3

2x 2 x 4 x 3 x 4 x 3 0

 

2 2 1 0 **

x

    

  



Phương trình (*) vô nghiệm vì x  1

(**)

3

2

Phương trình có nghiệm duy nhất

3 2

x 

2

3) x  1 1 4x  3x (x  )0

1 3

2 1 2 1

1 3

 

 

1 2

2 1 2 1

1 3

x



 

 

 

1 2 0 * 1

2 1 **

1 3

x

x







 *  1 2x 0 x12

Xét  **

ta có với x  thì 0 VT 0, VP 1  **

vô nghiệm

Phương trình có nghiệm duy nhất

1 2

x 

Bài 3. (2,0 điểm)

Cho hai số nguyên a , b thỏa mãn

58

5

14 40  a b Tính S a b

Lời giải

Ta có:

58

5

14 40  a b 29

5

7 10 a b



 

29 7 10

5



203 29 10 39a 39b 5

203 39a 39b 29 2 5

2

2

203 39

39 29 2 5

a

b



39 2.39 29 2 2.29

5

a

39 b 2.39 29 2 2.29b

Trường hợp 1: b 0  2  (vô lý)

Trường hợp 2: b 0 203 29 10 39a 

 203 39 a29 10

 10  (vô lý)

Vậy không có giá trị của a , b thỏa mãn điều kiện đề bài.

Bài 4. ( 8 điểm).

Cho ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH và phân giác ADcủa CAH

1) Chứng minh rằng tam giác BAD là tam giác cân

2) Chứng minh

3) Giả sử AB10cm, HC21cm Tính độ dài các đoạn thẳng BH AC ,

4) Vẽ đường phân giácAE của BAH Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để

DE

BC đạt giá trị

lớn nhất?

Lời giải

D

A

1) Vì ADlà phân giác HAC nên  HAD DAC

Vì ABC vuông tại A, vẽ đường cao AHnên BAH ACD (do cùng phụ B ).

Ta có BDA DAC DCA  (góc ngoài tam giác)

     

BDA DAC DCA HAD BAH    BAD hay BDA BAD , suy ra tam giácBAD là tam giác cân tại B(đpcm) BD AB

2) Vì ADlà phân giác HAC nên

DC BC ( T/chất) (1)

Áp dụng hệ thức lượng cho ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH ta có AB AC AH BC 

(2)

Từ (1) và (2) ta có

3) Đặt BH  x BC x 21, x  0

Áp dụng hệ thức lượng cho ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH ta có AB2 BH BC. hay

10 x x21  x 21x100 0

 

4 t/m

25 loai

x

x



 Vậy BH 4cm BC; 25cm

Áp dụng định lý pitago cho ABC ta có AB2AC2 BC2 hay

10 AC 25  AC 525 AC 525

4) Ta có CEA ABC BAE EAH CAE CAE       CAE cân, suy ra CE CA

Khi đó ta có: DE BD BE BA    BC CE  AB AC BC 

Suy ra

2



Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ABC vuông cân tại A

Bài 5. (1,5 điểm):

Cho tập A có các tính chất sau:

a Tập A chứa toàn bộ các số nguyên

b 2 3 A

c Với mọi ,x y A thì x y A  và x y A

Chứng minh

1

2 3A

Lời giải

Ta có 2 3 A   2 3   2 3A

 5 2 6 A

Vì 5 A  2 6A

Mà  1 A 2 6 1 A 2 6A

5 2 6 A

     3 22A

Giả sử 3 2A  3 22A

(mâu thuẫn) Vậy 3 2A

1

 (điều phải chứng minh)