một số bài toán véc tơ áp dụng trong giảng dạy học sinh giỏi toán 10

Với nguyện vọng giúp học sinh nâng cao tư duy về môn toán tôi tập trung khai tháccác bài toán khó về véc tơ thuộc kiến thức hình học 10.. Tên sáng kiến: MỘT SỐ BÀI TOÁN VÉC TƠ ÁP DỤNG TR

MỤC LỤC

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 2

1 Lời giới thiệu 2

2 Tên sáng kiến: 2

3 Tác giả sáng kiến: 2

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: 2

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: 2

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 2

7 Mô tả bản chất của sáng kiến: 2

7.1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 3

7.2 MỘT SỐ BÀI TẬP HAY LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHÉP TOÁN VÉC TƠ 4

7.3 MỘT SỐ BÀI TẬP HAY LIÊN QUAN ĐẾN TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ 10

8 Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): 19

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: 19

10 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được: 19

11 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): 19

KẾT LUẬN 20

TÀI LIỆU THAM KHẢO 21

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu.

Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vị trí, vai trò hết sức quan trọng, là môn học cơ bản, môn học công cụ Nếu học tốt môn Toán thì những tri thức cùng với phương pháplàm việc trong Toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác

Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết; môn toán còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo

và bồi dưỡng óc thẩm mĩ

Với nguyện vọng giúp học sinh nâng cao tư duy về môn toán tôi tập trung khai tháccác bài toán khó về véc tơ thuộc kiến thức hình học 10 Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúpcác bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh lớp 10 có thêm một phương pháp giải một số cácbài toán khó

2 Tên sáng kiến: MỘT SỐ BÀI TOÁN VÉC TƠ ÁP DỤNG TRONG GIẢNG DẠY HỌC SINH GIỎI TOÁN 10.

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Nguyễn Thị Minh Huệ

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Bình Xuyên

- Số điện thoại: 0915727568 E_mail:nguyenminhhue.c3binhxuyen.@vinhphuc.edu.vn

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Nguyễn Thị Minh Huệ

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Đề tài được sử dụng để giảng dạy và bồi dưỡng cho các em

học sinh giỏi lớp 10 vòng tỉnh hệ THPT và làm tài liệu tham khảo cho các thầy cô giảng dạycác lớp chọn Các thầy cô và học sinh có thể sử dụng các bài toán trong đề tài này làm bàitoán gốc để đặt và giải quyết các bài tập tương tự

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 9 năm 2019 khi tôi trực

tiếp giảng dạy lớp 10A2

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

- Về nội dung của sáng kiến được chia thành 3 phần

7.1 Kiến thức cơ bản.

7.2 Một số bài tập hay liên quan đến các phép toán véc tơ.

7.3 Một số bài tập hay liên quan đến tích vô hướng của hai véc tơ.

Sau đây, tác giả trình bày nội dung cụ thể của từng phần

7.1 KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Các phép toán véc tơ.

 Quy tắc ba điểm: với 3 điểm A, B, C tùy ý ta có: AC AB BC

 Quy tắc trừ: với 3 điểm A, B, C tùy ý ta có: AC BC  BA

 Quy tắc hình bình hành: ABCD là hình bình hành thì AB AD   AC

 Tính chất của trung điểm của đoạn thẳng:

+ M là trung điểm của đoạn thẳng AB  MA MB   0

+ M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm O ta có: 2OM  OA OB 

 Tính chất trọng tâm của tam giác:

+ G là trọng tâm tam giác ABC  GA GB GC    0

+ Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì với mọi điểm O ta có: 3OG OA OB OC    

 Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:

Cho hai vectơ avà b không cùng phương Khi đó mọi vectơ x đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ avà b, nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho x ha kb  

2 Tích vô hướng của hai vectơ

 Định nghĩa: a b a b. .cos , a b 

Đặc biệt: a a a  2 a  2

 Tính chất: Với a b c, ,  bất kì và kR, ta có:

+ a b b a.; + a b c a b a c.  ; + ka b k a b. .a kb. ; + a2 0;a2  0 a0 + a b2 a22 a b b 2; + a b 2a2 2 a b b2; + a2 b2 a b a b  .

7.2 MỘT SỐ BÀI TẬP HAY LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHÉP TOÁN VÉC TƠ Bài 1: (Đề thi hsg Hải Dương 2012-2013) Cho tam giác ABC Gọi D, E lần lượt là các điểm

Bài 2: (Đề thi hsg cấp trường – Con Cuông – Nghệ An 2014-2015) Cho tam giác ABC; M là

điểm thuộc cạnh BC sao cho MC = 2MB, N là điểm thuộc cạnh AC sao cho NA = 2NC Gọi

K là giao điểm của MA và BN Chứng minh rằng: AK = 6.KM

Bài 3: (Đề thi hsg cấp trường – Tân Kỳ – Nghệ An 2015-2016) Cho tam giác ABC M thuộc

cạnh AC sao cho MA  2 MC, N thuộc BM sao cho NB  3 NM , P thuộc BC sao cho

2

1 4

1

4

3

3

3

AC AB

AN

AN AM

AB AN

AM AN

AB NM

1

1

AC k

k AB k

k h k

Ta chứng minh bài toán sau:

Gọi E , F lần lượt là trung điểm của MN , PQ thì ta có: EF 12MQ NP 

Khi đó áp dụng kết quả của bài toán trên ta có: MN 12BC IK  

Bài 5: (Đề thi hsg cấp trường – Bình Xuyên – Vĩnh Phúc 2017-2018) Cho tứ giác ABCD

không là hình thang Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc cạnh AD, BC sao cho

Bài 6: (Đề thi hsg cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2014-2015) Cho tam giác ABC không cân nội tiếp

đường tròn tâm O và G là trọng tâm của tam giác ABC Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm tam giác OBC, OCA, OAB và G’ là trọng tâm tam giác MNP Chứng minh rằng O, G, G’ thẳng

Bài 7: Cho tam giác ABC có trực tâm H, D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC.Chứng minh rằng HA CD 

và AD CH

Lời giải:

Ta có: Vì D đối xứng với B qua O nên D thuộc đường tròn tâm (O)

AD // DH (cùng vuông góc với AB)

Bài 8: (Đề thi hsg cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2011-2012) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường

tròn tâm O Gọi M, N, P lần lượt là điểm đối xứng của O qua các đường thẳng BC, CA, AB; H

là trực tâm của tam giác ABC và L là trọng tâm tam giác MNP Chứng minh rằng

Ta thấy hai vecto AA A B







ngược hướng và độ dài mỗi vecto bằng AA nên

chúng là hai vecto đối nhau Vậy u  0

Bài 10: Cho tứ giác ABCD

a Xác định điểm O sao cho OB  4OC 2OD

Bài 11: Cho tam giác ABC, trọng tâm G , gọi I là trung điểm BC Tìm tập hợp điểm M

Vậy tập hợp điểm M thoả hệ thức trên là đường trung trực của IG

Bài 12: Cho ABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

I , A , N cố định nên tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I , bán kính AN

Bài 13: Cho tam giác ABC Tập hợp những điểm M sao cho: MA  2MB 6 MA MB

A

7.3 MỘT SỐ BÀI TẬP HAY LIÊN QUAN ĐẾN TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VEC

Suy ra b IB c IC b IH c IH a IH2  2  2  2   2

Kết hợp giả thiết suy ra 2 2

2a IA a IH  

hay 2.IA IH

 

Do đó điểm I thỏa mãn gt là I thỏa mãn A là trung điểm IH

Với x, y, z tùy ý thỏa mãn: x.IA y.IB z.IC 0     

(*) bình phương vô hướng 2 vế (*), chú ýrằng 2IA.IB IA 2IB2 AB2

 

ta có:

(x.IA y.IB z.IC )(x y z) xyc   xzb yza

Từ đó có ( 2a IA 2 2b IB2 2 c IC ) 3b c2 2  2 2

Mặt khác xMA2 x(IA IM) 2 x(IM2IA2 2IA.IM)

Dấu bằng xảy ra khi M trùng I

Bài 3: (Đề thi hsg Hà Tĩnh 2012-2013) Cho tam giác ABC có AB= c ,BC=a ,CA=b Trung

tuyến CM vuông góc với phân giác trong AL và 3 5 2 5

Bài 5: (Đề thi hsg cấp trường – Bình Xuyên – Vĩnh Phúc 2017-2018) Cho tam giác ABC

không cân, có trọng tâm G và ngoại tiếp đường tròn tâm I Biết BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh rằng IG vuông góc với IC khi và chỉ khi 2

Bài 6: (Đề thi hsg cấp trường – Bình Xuyên – Vĩnh Phúc 2017-2018) Cho tam giác ABC đều

cạnh a Gọi M, N lần lượt là các điểm trên cạnh AB, AC sao cho MA kMB và NC2NA

Tính độ dài đoạn thẳng AM theo a, biết rằng hai đường thẳng CM và BN vuông góc với

Bài 7: (Đề thi hsg cấp trường – Sáng Sơn – Vĩnh Phúc 2018-2019) Cho tam giác ABC có AB

=6; BC=7; CA=5 M là điểm thuộc cạnh AB sao cho AM= 2MB; N thuộc AC sao cho

Bài 9: (Đề thi hsg cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2010-2011) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy,

cho hai điểm A1; 2 và B4;3 Tìm tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho góc AMB bằng

Vậy ta có hai điểm cần tìm là M1;0 hoặc M5;0

Bài 10: (Đề thi hsg cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2012-2013) Cho tam giác nhọn ABC không cân, nội

tiếp đường tròn O R Gọi G và M lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và trung điểm cạnh; 

BC Chứng minh nếu đường thẳng OG vuông góc với đường thẳng OM thì

AC AB  BC  R

Áp dụng quy tắc trọng tâm và quy tắc trung điểm ta có:

Bài 11: (Đề thi hsg cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2013-2014) Cho tam giác ABC , dựng về phía ngoài

tam giác ABC hai tam giác vuông ABE và ACF với BAE CAF 900, sao cho tam giác

ABE đồng dạng với tam giác ACF Gọi M là trung điểm BC, chứng minh rằng AM vuônggóc với EF

Lời giải:

Bài 13: (Đề thi hsg cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2016-2017) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn

tâm O. Gọi I là trung điểm của AC và M là điểm thỏa mãn OMuuur=2OA OBuur uuur+ +2OCuuur.Biết rằng OM vuông góc với BI và AC2=3BC BA Tính góc ·ABC

Lời giải:

Ta có OM ^BIÛ 2OM BIuuur uur = Û0 (2OA OBuur uuur+ +2OC BA BCuuur uur uuur)( + )=0

5OB 2BA 2BC BA BC 0 5OB BA 5OB BC 2 BA BC 0

Û uuur+ uur+ uuur uur uuur+ = Û uuur uur+ uuur uuur+ uur uuur+ =

Gọi ,H K tương ứng là trung điểm của đoạn AB BC Khi đó ,

I là giao điểm của AM và CN Chứng minh rằng BIC 900

Gọi a là độ dài cạnh hình vuông ABCD Đặt DA u DC v               ;  

thì u v a và u v   0.Giả

sử DK  xDB x ( 0)

thì DK x u v   .Suy ra AKDK DA   (x1)u xv

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O bán kính R a

Bài 16: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Cho tam giác ABC với A1; 2 , B3; 4  , C5;2

Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng BC với đường phân giác ngoài của góc A

Nhận xét ABC và ABM có chung đường cao nên S ABC 4S ABM  CB4MB.

Mà M thuộc đoạn BC nên CB cùng hướng với MB

3 542







177

x

;07

M  

 

Cách 2: Lấy đối xứng A qua Ox ta được A2;3 Ta có MA MB MA MB A B    

Dấu bằng xảy ra khi M trùng với giao điểm của A B với Ox

Bài 20: Cho M   1; 2, N3; 2, P4; 1  Tìm E trên Ox sao cho EM EN EP   

nhỏ nhất

8 Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): Không

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Học sinh lớp 10 có học lực khá và tốt về

môn Toán và nắm chắc kiến thức Hình cơ bản của chương 1 lớp 10

10 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau:

10.1 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo

ý kiến của tác giả:

Đề tài của tôi được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giảimột số bài tập khó về véc tơ

10.2 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo

ý kiến của tổ chức, cá nhân:

Đề tài của được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải một sốbài tập khó về véc tơ

11 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có):

Số

TT

Tên tổ chức/cá nhân Địa chỉ Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng

sáng kiến

1 Nguyễn Thị Minh Huệ Tổ Toán – THPT Bình Xuyên - Giảng dạy bài tập nâng

cao hình véc tơ cho họcsinh lớp 10A2 trườngTHPT Bình Xuyên

Nguyễn Thị Minh Huệ

có kỹ năng giải các bài tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt

- Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót và hạn

chế Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và góp ý cho tôi Tôi xin chân thành cảm ơn !

2 KIẾN NGHỊ

- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều hơnnữa tài liệu sách tham khảo đổi mới vào phòng thư viện để giáo viên và học sinh có thểnghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ

- Tổ chuyên môn cần tổ chức các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy cũng như cácmảng chuyên đề hay trong các buổi họp tổ chuyên môn để học hỏi kinh nghiệm của nhau

- Học sinh cần tăng cường tính tự giác học tập, ôn bài tại nhà để nâng cao chất lượng học tập

Tôi xin chân thành cám ơn !

Bình Xuyên, ngày 31/12/2019

Tác giả sáng kiến(Ký, ghi rõ họ tên)

Nguyễn Thị Minh Huệ

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Website: http://dethi.violet.vn/

[2] Hình học 10 – Tác giả: Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoành và Trần Đức Huyên – Nhà xuất bản Đại học Sư phạm;

[3] Báo Toán học tuổi trẻ - Nhà xuất bản Giáo dục;

[4] Các đề thi thử chuyên đề Toán 10 của các trường chuyên trong cả nước

[5] Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 của các tỉnh những năm trước

 