Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng cao chất lượng bộ môn nên bản thân đã chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh giải một số dạng Toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau”.
Trang 1“ HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ
TỈ LỆ THỨC VÀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU ” Môn: Toán
Tác giả sáng kiến:
Trang 2
9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến 25
10 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu
được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả
25- 27
11 Danh sách những tổ chức/ cá nhân đã tham gia áp
dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu
Trang 3HS: Học sinh
Trang 4BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1 Lời giới thiệu
a Lý do chọn đề tài
Toán học là bộ môn khoa học, nó hình thành cho học sinh tư duy logic, tínhchính xác, tính hệ thống Vì vậy, việc nâng cao chất lượng và hiệu quả trongquá trình giảng dạy môn Toán là vấn đề mà mỗi giáo viên dạy Toán luôn tìmhiểu và không ngừng học hỏi
Trong chương trình Đại số lớp 7, dạng toán tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ
số bằng nhau là nội dung quan trọng, là cơ sở, nền móng để giải quyết các bàitoán về đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch.Trong phân môn Hình học,
để học được định lí Talet, tam giác đồng dạng ( lớp 8) thì không thể thiếu kiếnthức về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau Qua thực tế giảng dạynhiều năm, tôi thấy việc học tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau làkhông khó, nhưng vẫn còn nhiều học sinh làm sai hoặc chưa thực hiện được,chưa nắm vững các phương pháp giải, chưa hình thành kĩ năng đối với từng bàitoán cụ thể
b.Thực trạng của vấn đề
Thực tế, ở trường THCS Lũng Hòa một bộ phận học sinh tiếp thu bài cònchậm và vận dụng kiến thức từ lí thuyết vào làm bài tập còn hạn chế Các emcòn nhầm lẫn và chưa sử dụng thành thạo tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ sốbằng nhau, do thời lượng làm bài tập còn ít nên chưa giải được những dạng toán
mở rộng, nâng cao
Nguyên nhân học sinh còn tồn tại các khuyết điểm trên là :
- Do thời lượng luyện tập giờ còn ít, hơn nữa về nhà học sinh chưa chămhọc, vì vậy học sinh chưa có thời gian để ôn tập, làm bài tập, giải bài tập nhiều
- Học sinh nắm kiến thức chưa tốt, chưa sâu, một số chỉ học lí thuyết mộtcách máy móc mà không hiểu rõ bản chất nên gặp nhiều khó khăn trong quátrình làm bài tập
Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo
gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nângcao chất lượng bộ môn nên bản thân đã chọn đề tài:
“Hướng dẫn học sinh giải một số dạng Toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau”.
Trong phần nội dung của sáng kiến chủ yếu tôi chỉ ra một số dạng Toán về
tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau Ở mỗi dạng Toán tôi đưa ra một
số ví dụ ở mức độ cơ bản áp dụng đối với học sinh đại trà, với mỗi ví dụ tôi khaithác các bài tập tương tự giúp học sinh củng cố và nắm chắc kiến thức cơ bản vàmột số bài tập nâng cao dùng để bồi dưỡng học sinh thi học sinh giỏi
Trang 5b.Vấn đề mà sáng kiến cần giải quyết
- Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản
- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ
số bằng nhau
- Đưa ra nhiều cách giải ứng với các đơn vị kiến thức SGK, SBT
- Củng cố các kiến thức cơ bản và hoàn thiện các kĩ năng thực hành
- Tìm ra những cách giải hay, khai thác bài toán
6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:
Từ tháng 10 năm 2019
7 Mô tả bản chất của sáng kiến
A.Về nội dung của sáng kiến
7.1.Kiến thức cơ bản.
7.1.1 Tỉ lệ thức.
Trang 6a) Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số b a d c
- Tỉ lệ thức b a d c còn được viết a: b c:d
- Trong tỉ lệ thức a: b c:d , các số a;b;c;d được gọi là các số hạng của tỉ
lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ; b và c là các số hạng
trong hay trung tỉ
7.1.2 Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
* Tính chất 1: Từ dãy tỉ số bằng nhau b a d c ta suy ra:
d b
c a d b
c a d
e c a f d b
e c a f
e d
7.2 Một số dạng toán và phương pháp giải.
7.2.1.Dạng 1: TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT TRONG TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
1
4 x
( Bài 46 SGK trang 26- Toán 7- Tập 1)
Phương pháp chung: Sử dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức
d
c b
a
b,d 0
Trang 7a) 27x 3,62
27 2 6 , 3
x
6 , 3
27 2
38 , 16 52 , 0
61 , 1 4
1 4
8
5 )
( Đề thi giao lưu HSG Toán 7 huyện Vĩnh Tường năm học 2012-2013)
Trang 83 )
x
) 2 )(
2 ( ) 3 )(
1
4 2 2 3
2 1
x
3
1 2
1 2 2
1 2
x
0 ) 3
1 2
( Bài 54 trang 30 SGK Toán 7- Tập 1)
* Giáo viên xây dựng chương trình giải bằng cách gợi ý học sinh
Trang 9+ Bài toán trên gồm mấy phần?( HS: Bài toán gồm 2 phần- Phần 1 là một dãycác tỉ số bằng nhau 3x 5y và phần 2 là mối quan hệ giữa các biến x, y)
+Từ đó GV đưa ra phương pháp chung để giải
Cách 1: Đặt giá trị chung
- Đặt x y k
5 3
- Biểu diễn x, y theo k Từ đó thay vào điều kiện 2 để tìm k
- Thay k vào biểu thức chứa x, y rồi tính
Cách 2: Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
Cách 3: Sử dụng phương pháp thế
* Trình bày lời giải
Cách 1: Đặt x y k
5 3
16 5
3 10
5
8 : 16 16
5
8 16
Chú ý: GV lưu ý cho HS khi gặp các bài toán có dạng như trên nên lựa chọn
giải theo cách 2 sẽ nhanh và gọn hơn
Khai thác bài toán
Bài 1: Tìm hai số x và y biết:
Trang 105 2
Trang 11Từ 2x 5y 9
10
90 5 2 5
2
y x
với x ta có:
5 2
2 xy x
6
36 18
5
90
2
2 2
90 5 2 5
xy y x
y
6
6 1 24
y x
y x
y y
x
y y
y
3 9
4 1 ) 3 9 ( 2
) 4 1 ( 2 6 18
8 2 6
18
6 1 2 1 6
6 1 24
4 1
x x
y y
( thỏa mãn điều kiện)Vậy x 5
Ví dụ 3: Tìm x;y;zbiết: 4x 3y 9z và x 3y 4z 62
Giải Cách 1 (Đặt giá trị chung)
Đặt x y z k
9 3
9 4
Mà x 3y 4z 62 4k 9k 36k 62
2 62
.
8 2
4
z y
Trang 12Vậy x 8 ;y 6 và z 18
Cách 2 (Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 31
62 9 4 3 3 4
4 3 9
.
8 2
4
4
z z y z
y
3
1 9
3 9
9
4 62 4 3
1 3 9
31 558 36
9
8 18
15
z y
5 30
3 30
10 15 6 10
5 (
Trang 13Bài 2: Tìm x,y,z biết:
5
18 2
3 2
2
3 2
9 11
6
18 5
18 18 2
9 18 11
6 5
18 2
196 5
33 5
.
23 1 7
33
z y
Vậy x 231 ; y 28 và z 35
b)Ta có
2 8
34 50 16
6 30
) 3 ( 4 ) 1 ( 3 ) 5 ( 5 30
) 5 ( 5 16
) 3 ( 4 6
) 1 ( 3 6
5 4
4 2 4
8
3 3
3 3 3
3 3
Trang 14z y x y x
z z
x
y z
2 ) 3 (
) 2 (
) 1 (
3 2
x z
x z
y
z y x y
x
z z
x
y z
x
y z
x
x z
y
2 1 1 1
1 2
5 2
5 2
y x
x
1 2
3 3 2
3 2 2
x x
x
x
5 2
5 3 2
5 2 2
y y
y
y
5 2
5 3 2
5 2 2
1
z z
x
y z
a n
d
c b
a d
Trang 15Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức b a d c Chứng minh rằng a bb cd d
( Bài 102a trang 50 SGK Toán 7- Tập 1)
Giải Cách 1 (Phương pháp 1): Vì b a d c nên a d b.c
1 (
1 )
1 (
k d
k d d
d dk
d
d
c
k b
k b b
b bk
b a d
c b
Khai thác bài toán
Bài 1( Bài 102b,c,d,e,f trang 50 SGK Toán 7- Tập 1)
Từ tỉ lệ thức b a d c , hãy suy ra các tỉ lệ thức sau :
Trang 16Bài 3: Cho b a d c Chứng minh rằng :
a)
cd
ab d
2 2
b) c a d b cd ab
2 2
) (
) (
( Bài 8.4 trang 23 SBT Toán 7- Tập 1)
Bài 4: Cho tỉ lệ thức b a b c Chứng minh rằng ta có tỉ lệ thức:
c
a c b
b a
2 2
2 2
( Đề thi giao lưu HSG Toán 7 huyện Vĩnh Tường năm học 2009-2010)
az cx
2
) (
) (
)
.(
c
bx ay c b
az cx b a
( ) (
)
.(
2 2 2 2
bcx acy abz bcx acy abz c
bx ay c b
az cx b a
cy
bz
a
c b y a x
a x b
y c
a
x b
y c
Trang 172
3 5 3
5 2
) 5 2 ( 3 25
) 2
0 4
9 25
6 10 15 6 10 15 4
) 3 5 ( 2 9
) 5 2 ( 3 25
2 5
3 2
x z
y x
z y
Bài 2: Tìm x,y,z thỏa mãn
2
3 5 3
5 2 5
( Đề thi giao lưu HSG Toán 7 huyện Vĩnh Tường năm học 2018-2019)
Làm tương tự bài 1 Kết quả: x 4 ;y 6 ;z 10 hoặc x 4 ;y 6 ;z 10
Bài 3: Chứng minh rằng : Nếu a(yz) b(zx) c(x y) Trong đó a,b,c là các
x z b
x z
z y x z ab
bc
y x z y ac
ab
z x y x ab
y x ac
x z
y x a c b
x z c
Trang 18y x
.Tính giá trị của tỉ số y x
Giải Cách 1:
1 3
4
3 1
1 3
9 4 3 3 12 3 3
2 k 0
- Biểu diễn x,y,z theo k Từ đó thay vào P
Cách 2: Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
Giải Cách 1:
Đặt x y z k
4 3
k k k
Trang 19Vậy P = 35
Cách 2: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
4 3 2 2 4 3
x z y z y x x
z
y
Vậy P = 35
Khai thác bài toán:
Cho 4 x 3y và 6y 5z Tính giá trị của biểu thức A x x y y z z
5 4 3
4 3 2
- Từ 4x 3y 3x4y 15x 20y
24 20 6 5 5
d d
b a
c d
c a
b d
Trang 20Vậy M 4nếu abcd 0
hoặc M 4 nếu abcd 0
Khai thác bài toán:
Bài 1: Cho các số a,b,c,d thỏa mãn b c a d a c b d a b c d b c d a
P nếu abcd 0 hoặc P 1 nếu abcd 0
Bài 2: Cho a,b,cđôi một khác nhau và thỏa mãn
b
a c a
c b c
b b
a
Gợi ý
Làm tương tự ví dụ 3 ta được Q 1 nếu abc 0 hoặc Q 8 nếu abc 0
Bài 3: Cho các số a,b,ckhác 0 thỏa mãn a ab b b bc c c ca a
ca bc ab N
Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên có ba chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các
chữ số của nó tỉ lệ với 1; 2; 3
Trang 21Theo đề bài, 1a b2 3c
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
6 3
2 1
3
2
1
c b a c b a
3 2 1 3 2
c
Vì số phải tìm chia hết cho 2 nên chữ số tận cùng là 6
Vây số tự nhiên có ba chữ số cần tìm là 396 và 936
Ví dụ 2: Số M được chia thành ba số tỉ lệ theo :16
4
3 : 5
2
Biết tổng các bìnhphương của ba số đó là 24309 Tìm số M
3 5 2
c b a
3 5
k b
k a
6 4 5
24309 36
1 16
6
135 180
4
72 180
5
c b a
237 30 135
180 (
6
135 )
180 (
4
72 )
180 (
5
c b a
237 30
4 60 2
5 1
6 3
4 2 5 6
1 4
3 5
2
c b a c b a
c b a c b a
24309 100
Trang 223 9
.
72 3
24
3 (
72 )
3 (
24
c b
237 30
Khai thác bài toán : Một số M được chia thành ba phần, sao cho phần thứ nhất
và phần thứ hai tỉ lệ với 5 và 6 ; phần thứ hai và phần thứ ba tỉ lệ với 8 và 9.Biết phần thứ ba hơn phần thứ hai là 150 Tìm số M
( Đề thi giao lưu HSG Toán 7 huyện Vĩnh Tường năm học 2014-2015) Đáp số: M = 3550
Ví dụ 3: Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4 Ba chiều cao tương
ứng với ba cạnh tỉ lệ với ba số nào?
1 2
3 12
Khai thác bài toán :
Bài 1: Nếu một tam giác có độ dài hai đường cao là 32 ; 52 và đường cao thứ bacũng là số chính phương thì đường cao thứ ba là bao nhiêu ?
( Đề thi giao lưu HSG Toán 7 huyện Vĩnh Tường năm học 2013-2014)
1 3 2
Trang 23S b
2 25 2 9
Áp dụng bất đẳng thức tam giác có: a bcab
25
2 9
2 2 25
1 1
Vậy độ dài đường cao thứ ba của tam giác là 9
Bài 2: Ba đường cao của tam giác có độ dài lần lượt là 4; 12; x Biết rằng x là
Tính chất 1: Cho 2 số hữu tỉ b a và d c với b 0 ;d 0 thì a d b c
d
c b
a
d a d c
c d c b
b c b a a
Trang 24d
cd b
ab d d
d c b b
b a
cd ab b
cd ab b
B.Về khả năng áp dụng của sáng kiến
Trong chương trình Đại số 7 giáo viên cần chú ý dạy cho học sinh nắm vững chắc kiến thức về tỉ lệ thức ( định nghĩa, tính chất), tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, yêu cầu học sinh hiểu bản chất chứ không phải thuộc các tính chất một cách máy móc
Khi gặp bài toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, học sinh cần: Quan sát đặc điểm của bài toán, nhận dạng bài toán.Từ đó, chọn lựa phương pháp giải cho phù hợp
Xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận xét, đánh giá bàitoán theo quy trình nhất định, sử dụng thành thạo kĩ năng giải toán trong thực hành, rèn luyện khả năng tự học, tự tìm tòi sáng tạo
Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm những cách giải hay, cách giải khác
Để giải quyết được vấn đề trên tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu:
Trang 25Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 7, tài liệu có liên quan Nghiên cứu qua thực hành giải bài tập của học sinh.
Nghiên cứu qua theo dõi kiểm tra
Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy, học tập của từng đối tượng học sinh
8 Những thông tin cần được bảo mật
Qua giảng dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ sốbằng nhau, học sinh nắm vững và vận dụng được các cách giải góp phần nângcao hiệu quả giảng dạy của giáo viên và rèn học sinh khả năng tư duy toán, độlinh hoạt, sáng tạo và kĩ năng thực hành của học sinh
Cụ thể kết quả kiểm tra về dạng toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ
số bằng nhau được thống kê qua các giai đoạn ở các lớp 7A, 7B, 7C năm học
Trung bình trở lên
Số lượng Tỉ lệ (%)
Nhận xét: Đa số học sinh chưa nắm được kĩ năng phân tích bài toán, chưa sử
dụng thành thạo tỉ lệ thức cách trình bày bài giải còn lung tung, làm bài chưa cóphương pháp
Trung bình trở lên
Số lượng Tỉ lệ (%)Kết quả áp dụng giải pháp (lần 1) 106 65 61,32%
Trang 26Nhận xét: Học sinh đã hệ thống, nắm chắc kiến thức cơ bản về tỉ lệ thức vận
dụng khá tốt các tính chất của tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhautrong giải toán
Lần 2: Kiểm tra học kì I
Thời gian
Cuối học kỳ I
TSHS
Trung bình trở lên
Số lượng Tỉ lệ (%)Kết quả áp dụng giải pháp (lần 2) 106 80 75,47%
Nhận xét: Học sinh nắm vững các kiến thức về tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số
bằng nhau, vận dụng thành thạo kĩ năng biến đổi, phân tích, biết dựa vào các bàitoán đã biết cách giải truớc đó, linh hoạt biến đổi và vận dụng các tính chất của
tỉ lệ thức và đã trình bày bài giải hợp lí hơn có hệ thống và logic, chỉ còn một số
ít học sinh quá yếu, kém chưa thực hiện tốt
10.2 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức các nhân
Rèn cho học sinh thành thạo kĩ năng về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ sốbằng nhau là một nội dung hết sức quan trọng, là cơ sở nền móng cho việc họctoán Hình học 8 sau này Vì vậy đối với giáo viên cần :
- Thường xuyên nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo Sàng lọc các nội dunghay, tâm đắc và tích lũy thành kinh nghiệm cho bản thân
- Luôn luôn trao đổi học hỏi đồng nghiệp, lựa chọn phương án giảng dạy hiệuquả, phù hợp với từng đối tượng học sinh
- Tạo điều kiện để học sinh được phát triển tư duy một cách toàn diện, gợi sựsuy mê hứng thú học tập, tìm tòi sáng tạo, kích thích và khơi dậy khả năng tựhọc của học sinh, chủ động trong học tập
* Tóm lại
Từ thực tế giảng dạy khi áp dụng sáng kiến này tôi nhận thấy học sinhnắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ các cách giải toán ở dạng bài tập này Kinhnghiệm này đã giúp học sinh yếu giải được những bài tập ở mức độ cơ bản nhất,học sinh trung bình nắm vững chắc kiến thức trong chương trình đã học, rènluyện kĩ năng thực hành theo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức ở nhữngmức độ khác nhau thông qua một chuỗi bài tập Bên cạnh đó còn giúp cho họcsinh khá giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm một số cách giải khác, các dạng toánkhác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài năng toán học, phát huy tính tự học, tìmtòi, sáng tạo của học sinh trong học toán
Mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên đề tài cũng không tránhkhỏi những thiếu sót và hạn chế, rất mong Hội đồng khoa học góp ý xây dựng
để đề tài của tôi được hoàn thiện hơn
11.Danh sách những tổ chức /cá nhân đã tham gia áp dụng thử sáng kiến lần đầu
Trang 27STT Tên tổ chức/cá nhân Địa chỉ Phạm vi/Lĩnh
vực áp dụng sáng kiến
1 Lê Thị Hạnh Trường THCS Lũng Hòa Toán 7
2 Nguyễn Thị Thúy Vân Trường THCS Lũng Hòa Toán 7
3 Nguyễn Thị Thu Hằng Trường THCS Lũng Hòa Toán 7
Trang 28TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Sách giáo khoa Toán 7 – Tập 1
Tác giả: Phan Đức Chính ( Tổng chủ biên)-Tôn Thân (Chủ biên)-Vũ Hữu
Bình- Phạm Gia Đức - Trần Luận
2 Sách bài tập Toán 7 – Tập 1
Tác giả: Tôn Thân (Chủ biên)-Vũ Hữu Bình- Phạm Gia Đức-Trần Luận- Phạm Đức Quang
3 Sách ôn tập Đại số 7 – Nhà xuất bản giáo dục
Tác giả: Nguyễn Ngọc Đạm- Vũ Dương Thụy
4 Sách dạy học toán THCS theo hướng đổi mới lớp 7-Tập 1
Tác giả: Tôn Thân-Vũ Hữu Bình- Bùi Văn Tuyên
5 Sách các dạng toán và phương pháp giải toán 7- Tập 1
Tác giả :Tôn Thân-Vũ Hữu Bình- Nguyễn Hữu Thanh-Bùi Văn Tuyên
6 Sách nâng cao và phát triển toán lớp 7- Tập 1
Tác giả: Vũ Hữu Bình
7 Sách toán bồi dưỡng học sinh lớp 7
Tác giả: Vũ Hữu Bình- Tôn Thân
8 Một số đề thi giao lưu học sinh giỏi toán 7 huyện Vĩnh Tường-Tỉnh Vĩnh Phúc