GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7

Bài 6: Ba người cùng góp vốn kinh doanh được tổng số tiền là 180 triệu đồng.Biết rằng 3 lần số vốn của người thứ nhất bằng 2 lần số vốn của người thứ hai và 4lần số vốn của người thứ hai

+ Nếu - 2 ≤ x < -

2

3 Thì 2 x + 3 = x + 2 => - 2x - 3 = x + 2

=> x = -

3

5(Thoả mãn) + Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x − 2006 + 2007 − x Khi x thay đổi + Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006 ≤ x ≤ 2007

Cách 2 : Dựa vào hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau

- GV: Gọi học sinh trình bày

1 23

1 72

3 3

1 52

23

x x

x x

(5 2 0,5) : 2

A B

m

n n

Ta nhận thấy các luỷ thừa 5100 , 6100 thuộc về dạng cơ bản đ trình bày ở trên

nay còn lại các luỷ thừa mà cơ số là 2, 3 , 4 , 7 , 8 , 9

a) 12921997 = 12924 499 +1= (12924)499 1292 = A6 1292 =M2

b) 33331997 = 33334 499 +1 =(33334)499 +1 3333 = (B1 ) 499 3333 =D3

số có tận cùng là 1 và một số có tận cùng là 3 chẳng hạn ta sẽ có bài toán chứng minh tổng hai số đó chia hết cho 2 (vì chữ số tận cùng của tổng là 4)

Các bài toán cụ thể : Hãy chứng minh

Như vậy 16281997 + 12921997  10 (vì chữ số tận cùng của tổng này sẽ là 0)

Ta cũng có thể vận dung hiệu của hai số hoặc tích của hai số để ra các bài toán chứng minh tương tự

a) 4343-1717 chia hết cho 10

b) 3636 -910 chia hết cho 45

c) 71000 -71000 chia hết 10

d) (210+ 211+212) chia hết cho 7

a) 4343 = 434)10.433 = (số có tận cùng bằng 1)10.( số có tận cùng bằng 7)= (số có tận cùng bằng 7

1717 = 174.173 ( 1)4 = ( 7) = số có tận cùng bằng 7Vậy 4343-1717 có tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10b) 3636 có tận cùng bằng 6 và có tổng các chữ số chia hết cho 9

910= (81)5 có tận cùng bằng 1 và chia hết cho 9Vậy là sô có tận cùng bằng 5 => chia hết cho 5, mỗi số hạng chia hết cho 9 nên tổng chia hết cho 9

Số vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho 9 nên chia hết cho 45c) 71000 =(74)250 = ( 1)250 = tận cùng bằng 1

31000 = (34)250 =( 1)250 tận cùng bằng 1 Vậy hiệu tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10d) Đặt thừa số chung

e) Đặt thừa số chung

f) Chứng minh: 175+244-1321 M 10

g) Chứng minh: 71999-43M 100

h) Chứng minh rằng: A= 36 38 + 41 33 chia hết cho 77

i) Chứng minh rằng: Với n nguyên dương ta có:

j) S = 3n+ 2 − 2n+ 2 + 3n − 2n chia hết cho 10

Ngày soạn:

Ngày giảng:

Luỹ thừa của số hữu tỉ (tiếp)

Dạng 3: So sánh hai lũy thừa

I Phương pháp : Để so sánh hai luỹ thừa, ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa

- Ngoài ra để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu ( Nếu a > b và b >

c thì a > c ) , tính chất đơn điệu của phép nhân ( Nếu a > b thì ac > bc với c > 0 )

II Các ví dụ

Ví dụ 1 : So sánh 1619 và 825

Nếu m > n thì am > an ( a > 1 )

Nếu a > b thì an > bn ( n > 0 )

- Cách giải : Ta thấy các cơ số 16 và 8 tuy khác nhau nhưng đều là luỹ thừa của 2

nên ta tìm cách đưa 1619 và 825 về luỹ thừa cùng cơ số 2

- Cách giải: Ta thấy các số mũ 300 và 200 đều chia hết cho 100 nên ta tìm cách

đưa 2 số 2300 và 3200 về 2 cơ số có luỹ thừa bậc 100

- Cách giải: Ta thấy bài toán này không dùng cách như ví dụ 1 và ví dụ 2 được,

nên phải tìm cách so sánh gián tiếp qua một số khác ( hoặc có thể thêm, bớt, vận dụng một số tích chất khác )

Ta có thể tổng quát bài toán 1 thành bài toán sau:

Tính tổng: G= a + a2 + a3 + a4+…+an (với mọi a và n là số nguyên dương a ≠1)

5

1 5

1 5

Ta có thể tính tổng H theo bài toán 2 bằng cách đặt =a

5

1 thì

5

1 5

1 5

5

1 5

1 5

1

5

1

5

1 5

1 5

1

5 −

⇒ H = 20082008

5 4

a a

1

1 1 1

a a

(a-1)H = aH – H = (1 + 1 + 12 + 13 + + 1a−1

a a

a

a a

a a

1

1 1 1

3

=1- n

a

1 = n n

a

a − ⇒ 1 H = n n

a a

a

) 1 (

5

1 5

1 5

4 1

Từ bài toán 3 ta có: 4.I = 1- 2008

5

1 < 1 ⇒ I <

4 1

b Chứng minh rằng:

K= 2 3 2008

3

2008

3

3 3

2 3

4 3Đây là một bài toán khó hơn với lời giải như sau:

3K= 2 2007

3

2008

3

3 3

3

3 3

2

3

2008

3

3 3

2 3

1

+ +

1

3

1 3

1 3

3

1 3

1 3

3

1 3

1 3

1 + + + +

3

1

3

1 3

3

1 3

1

3

1

3

1 3

1 3

1

+ +

Từ (*) ta có: 2K< 1+L < 1+

2

1 =2 3

⇒ I <

4 3

Ta có thể dễ dàng chứng minh được các bài toán tổng quát sau:

Chứng minh: Với mọi a, n là các số nguyên dương a ≠1 thì:

a a

a a

1

1 1 1

16

a b c

1 3 3

1

3

12

5 5 2

1 4

3 3 2

? Hãy nêu thứ tự thực hiện phép tính

- GV: yêu cầu học sinh làm bài , gọi học sinh trình bày

Bài 3: Tính

8 0

15

12

6 3

1 9 3

1 15

4 7

15 16 81

15

12

6 3

1 9 3

1 15

4 7

8 8

3.2

3.2.31

= 35

b,

675 4

15 16 81

2 2 4 4 4 4

5.3.2

5.3.23.5

2 3 8

2 2 2 2 4

5.3.2

)13.5(5.3

=…

=

3.2

124

4 =

3 2

7 2

1 3 3

1 6

2003 2

3

12

5 5 2

1 4

3 3

54

13

121

13

511

57

311

373

+

−

+

−++

14

131

1.7/

1 4,5 : 47,375 26 18.0,75 2, 4 : 0,88

3

2 5 17,81:1,37 23 :1

1.3/ Thực hiện theo từng bớc đúng kết quả -2 cho điểm tối đa

1.4/ Thực hiện theo từng bớc đúng kết quả 14,4 cho điểm tối đa

* a = 2 => a = 2 hoÆc a = - 2 * a = 3 => a = 3hoÆc a = - 3

a = hoặc

f

e d

c b

a

=

= Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

*

d b

c a d b

c a d

c b

a

−

−

= +

+ +

=

=

=

f d b

e c a f d b

e c a f

e d

c b

a

VD1: Tìm x,y,z biết:

a)

4 3 2

z y x

=

= và x+y+z= 18; b)

4 3 2

z y x

+ +

=

=

=

8 4 2

6 3 2

4 2 2 2

9

18 4 3 2 4 3

2

z y

x z

y x z y

9 3 3

6 2 3 3

5

15 4 3 2 4 3 2

z y

x z

y x z y x

VD2: Tìm x, y,z biết:

a)

5 4 3

z y

5 4 3

z y

+ +

12 4 3

9 3 3 3

31

93 20

8 3

4 2 20

4 8

2 5 4 3

z y

x z

y x z y z y x

−

− +

8 4 2

6 3 2 2

17

34 15

4 6

3 2

15

3 6

2 5 4 3

z y

x z

y x z

x z y x

4 4

3 3

+ +

=

=

=

30 15 2

32 16 2

36 18 2 2

110

220 60 32 18

4 2 15

16 18

z y

x z

y x z y x

17

51 10 7

2 5

x y

x y

x

b) Từ

a

y b

x y b x

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

b x a

b

a b a b

y x a

z y x

24 6

2 1

1 24

24 4 3

.

z y

x k

k k

k k

z y

z y x

b) Từ

25 16 9 ) 1 ( 5 4 3

2 2

x z

z y

z y x

Tổng quát :

Tìm x,y,z biết

c

z b

y a

Với a,b,c,d,m,n,p,d,klà các số khác 0 k∈N* Phương pháp giải như sau:

k k

k k

k

pc

pz nb

ny ma

mx c

z b

y a

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho dãy tỉ số k

k k

k k

k

pc

pz nb

ny ma

k k k k

k k

k k

k

pc nb ma

d pc

nb ma

pz ny mx pc

pz nb

ny ma

mx

+ +

= + +

+ +

Bài 6: Ba người cùng góp vốn kinh doanh được tổng số tiền là 180 triệu đồng.

Biết rằng 3 lần số vốn của người thứ nhất bằng 2 lần số vốn của người thứ hai và 4lần số vốn của người thứ hai bằng 3 lần vốn của người thứ 3 Tính số vốn mà từngngười đã góp

Ngày soạn:

Ngày giảng:

TỔNG BA GÓC CỦA TAM GIÁC

Kiến thức cần nhớ :

1- Tổng 3 góc của một tam giác bằng 180 độ

2- Trong tam gíác vuông 2 góc nhọ phụ nhau

3- Mỗi góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó 4- Góc ngoài của tam giác lớn hơn 1 góc trong không kề với nó

BAÌ 1 a/ Chứng minh tổng 3 góc trong tam giác bằng 180 độ?(Bằng cách khác SGK)

b/ Chứng minh tổng các góc ngoài của một tam giác bằng 360 độ ?

c/ Chứng minh góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề ?BÀI 2: a/ Tính tổng các góc ở đỉnh của một ngôi sao năm cạnh ?

b/ Cho ∆ABC : AC >AB Vẽ phân giác AD ( D ∈ BC ) Chứng minh : Góc ADC - góc ADB = góc B - góc C ?

HD Sử dụng định lý góc ngoài của tam giác

BÀI 3 Cho ∆ABC có góc A = α

Vẽ tia phân giác BD và CE ( D tuộc AC; E thuộc AB ) cắt nhau tại O a/ Tính góc BOC theo α ?

b/ Vẽ phân giác ngoài tại B và C cẳt nhau tại I Tính góc BIC theo α ?

TH 1 C-C-C Cạnh huyền + Cạnh góc vuông

TH 2 C-G-C Hai cạnh góc vuông

TH 3 G-C-G Cạnh GV+ G.nhọn kề ; C.Huyền +G.nhọn

TAM GIÁC VÀ MỘT SỐ TAM GIÁC ĐẶC BIỆT :

Tam giác ∆ Cân ∆ ĐỀU ∆ VUÔNG ∆vuông cânĐịnh

b/ Kẻ tia AC x kề bù vơi góc ACB=> góc AC x = 162 độ => AC E = 81 độ và

(Thời gian làm bài 150 phút)

Bài 1 Tìm giá trị n nguyên dương:

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =x − 2006 + 2007 − x Khi x thay đổi

Bài 4 Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ

nằm đối diện nhau trên một đường thẳng

Bài 5 Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM Trên

tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I saocho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E.Chứng minh: AE = BC

Bài 2 Thực hiện phép tính: (4 điểm)

+ Nếu - 2 ≤ x < -

2

3 Thì x + 3 = x + 2 => - 2x - 3 = x + 2 => x = -

3

5(Thoả mãn)

+ Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x − 2006 + 2007 − x Khi x thay đổi

+ Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013

Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1 + Nếu 2006 ≤ x ≤ 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = 1

+ Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013

Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006 ≤ x ≤ 2007

Bài 4 Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ

nằm đối diện nhau trên một đường thẳng (4 điểm mỗi)

Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau trên một đường thẳng, ta có:

x – y =

3

1

(ứng với từ số 12 đến số 4 trên đông hồ)

và x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ)

3

1 11

y x 1

y 12

x 1

12 y

Bài 5 Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia

đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho

CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E

Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi)

Đường thẳng AB cắt EI tại F

∆ABM = ∆DCM vì:

AM = DM (gt), MB = MC (gt), ·AMB = DMC (đđ) => BAM = CDM

=>FB // ID => ID⊥AC

Và FAI = CIA (so le trong) (1)

IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong)

b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :

2 2

3n+ − 2n+ + − 3n 2nchia hết cho 10

Bài 2:(4 điểm)

D B

A

H

I

F E

M

b) Cho a c

c =b Chứng minh rằng: a22 c22 a

+ =+

Bài 4: (4 điểm)

Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC Trên tia đối của của tia MA lấy điểm

E sao cho ME = MA Chứng minh rằng:

1 23

Vì ∆AMC = ∆EMB ⇒·MAC = ·MEB

(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE)

Nên ∆AMI = ∆EMK ( c.g.c )

Suy ra ·AMI = ·EMK

Mà ·AMI + ·IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù )

A

C I

·BME là góc ngoài tại đỉnh M của ∆HEM

Nên ·BME = ·HEM + ·MHE = 15o + 90o = 105o

( định lý góc ngoài của tam giác )

Bài 5: (4 điểm)

a) Chứng minh ∆ADB = ∆ADC (c.c.c)

suy ra DAB DAC· = ·

Do đó DAB· = 20 : 2 10 0 = 0

b) ∆ABC cân tại A, mà µ 0

20

A= (gt) nên ·ABC= (180 0 − 20 ) : 2 80 0 = 0

∆ABC đều nên DBC· = 60 0

Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra ·ABD= 80 0 − 60 0 = 20 0

Tia BM là phân giác của góc ABD

nên ·ABM = 10 0

Xét tam giác ABM và BAD có:

BAM =ABD= ABM =DAB=

Vậy: ∆ABM = ∆BAD (g.c.g)

(Thời gian làm bài 150 phút)

Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết a 4≤

Câu 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn 9

D

3 71+3y 1+5y 1+7yb/

Câu 6: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng

AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC

a Chứng minh: DC = BE và DC ⊥BE

b Gọi N là trung điểm của DE Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA =

NM Chứng minh: AB = ME và ABC = EMA

2

+

+ +

a- 1 )

3

1 ( : 1 3

1 3 3

1

2003 2

3

12

5 5 2

1 4

3 3 2

a

a a

là số nguyênb- Tìm số nguyên x,y sao cho x-2xy+y=0

Câu 3 ( 2 điểm)

a- Chứng minh rằng nếu a+c=2b và 2bd = c (b+d) thì

d

c b

Cho tam giác ABC có góc B bằng 450 , góc C bằng 1200 Trên tia đối của tia

CB lấy điểm D sao cho CD=2CB Tính góc ADE

Câu 5 ( 1điểm)

Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2-2y2=1

ĐÁP ÁN ĐỀ 4

1.a Thực hiện theo từng bước đúng kết quả -2 cho điểm tối đa 1Điểm1.b Thực hiện theo từng bước đúng kết quả 14,4 cho điểm tối đa 1Điểm2.a

3 ) 1 (

+ +

= +

+ +

a

a a

a a

a

a a

là số nguyên khi

1

3 +

a là sốnguyên hay a+1 là ước của 3 do đó ta có bảng sau :

a

a a

Hay (1-2y)(2x-1) = -1

Vì x,y là các số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) là các số nguyên

0,25

1 2

1 2 1

y

x x

1 2

1 2 1

y

x x

y

Vậy có 2 cặp số x, y như trên thoả mãn điều kiện đầu bài

0,250,25

0,253.a Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta có: (a+c)d=c(b+d)

Hay ad=bc Suy ra

d

c b

a = ( ĐPCM)

0,5

0,53.b Giả sử số có 3 chữ số là aaa=111.a ( a là chữ số khác 0)

Gọi số số hạng của tổng là n , ta có :

a a

n

n

37 3 111 2

) 1 ( + = = Hay n(n+1) =2.3.37.a

Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và

n+1<74 ( Nếu n = 74 không thoả mãn )

Do đó n=37 hoặc n+1 = 37

Nếu n=37 thì n+1 = 38 lúc đó 703

2

) 1 (

= +

n n

không thoả mãn Nếu n+1=37 thì n = 36 lúc đó 666

2

) 1 (n+ =

n

thoả mãn Vậy số số hạng của tổng là 36

0,25

0,25

0,54

Tam giác BCH cân tại C ⇒CBH = 300 ⇒ ABH = 150

Mà BAH = 150 nên tam giác AHB cân tại H

Do đó tam giác AHD vuông cân tại H Vậy ADB =

450+300=750

0,5

0,51,01,0

nguyên tố thoả mãn

Nếu x không chia hết cho 3 thì x2-1 chia hết cho 3 do đó 2y2

chia hết cho 3 Mà(2;3)=1 nên y chia hết cho 3 khi đó x2=19

không thoả mãn

Vậy cặp số (x,y) duy nhất tìm được thoả mãn điều kiện đầu

bài là (2;3)

0,250,25

UBND HUYỆN TAM ĐƯỜNG

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2016-2017

Môn: Toán lớp 7

Thời gian làm bài: 150 phút

(Không kể thời gian chép đề)

1

4 3

1 3 2

1 2 1

1

+ + +

y

5 3

a

= Chứng minh rằng:

d c

d c b a

b a

−

+

=

− +

Câu 4(2,0 điểm): Cho abc− deg 7 M Chứng minh rằng : abcdeg 7 M

Câu 5(2,0 điểm): Tìm giá trị lớn nhất của A = 5 - 4x− 3

Câu 6(6,0 điểm):: Hai tam giác có chung cạnh BC và hai đỉnh A, D nằm

trong hai mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng BC Cạnh chung BC cũng là phân giác của các góc ABD và ACD

ĐỀ CHÍNH THỨC

0 : 0 17

Từ giả thiết:

12 9 4 3

y x y

x = ⇒ = (1)

20 12 5 3

z y z

y = ⇒ = (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

20 12 9

z y

x = = (*)

Ta có: x = y = z = 2x =3y = z = 2x−3y+z = 6 = 3

0.250.25

0.25

0.5

1 (

) 1 (

b

k b b kb

b kb b a

b a

(1)

1

1)

1(

)1(

d

k d d kd

d kd d c

d c

(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

d c

d c b a

b a

:

0.25 0.5

c

µ ¶

:

0.5 0.5 0.25 0.25

Lưu ý: HS làm theo cách khác đúng vẫn được điểm tối đa.

UBND HUYỆN TAM ĐƯỜNG

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017

Môn: Toán.Lớp 7

Thời gian làm bài: 150 phút

(Không kể thời gian chép đề)

15

27 2 7 6 2

.

5

8 3 4 9 4

1 4

1 3 1

3 − =+

HƯỚNG DẪN CHẤM Thi chọn học sinh giỏi Môn: Toán Lớp: 6 Câu Ý Nội dung Điểm

1

a

6 29 19

10

9 20 9

15

27 2 7 6 2 5

8 3 4 9 4 5

−

−

= 102.15192.919 2 2029 33..96

3 2 7 3 2 2 5

2 3 2 3 2 5

3 2 5 3 2

18 29

2 18

1 4

1 3 1

Ta có: 12.34 - 6.68 = 0 Nên:

1 4

1 3 1

1 4

1 3 1

3 7

x= y và x – y = – 16

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

− =

−

Từ 4 4.3 12 3

x

4 4.7 28 7

3 a

02

14

3 − =+

Thay x =

9

16 vào biểu thức A ta có:

9

25 vào biểu thức A ta có:

⇒ ∠MAC = ∠ MEB (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong ⇒ AC // EB

0.5 0.5

0.5 0.5

b Xét ∆ AIM và ∆ EKM có:

MA = ME (gt)