HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHỐI 11 TỰ TIN GIẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

ÔN TẬP TẠI NHÀ, KIẾN THỨC ĐI QUA MÙA DỊCH COVID-19TỰ TIN GIẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ @.Nhiệm vụ : Kế hoạch giúp đỡ học sinh học tốt phần bài tập giới hạn hàm số trong chương trình..

ÔN TẬP TẠI NHÀ, KIẾN THỨC ĐI QUA MÙA DỊCH COVID-19

TỰ TIN GIẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

@.Nhiệm vụ :

Kế hoạch giúp đỡ học sinh học tốt phần bài tập giới hạn hàm số trong chương trình Nắm vững và phân dạng được từng loại bài tập giới hạn hàm, đảm bảo tốt kiến thức phần bài tập giới hạn hàm trong các kỳ thi học kì

Chương IV: Giải quyết vấn đề:( tự học )

I/ Nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan:

A-KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Định nghĩa giới hạn của hàm số:

Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có

giới hạn là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (x n ), x nK và x n a ,

*

n

   mà lim(x n )=a đều có lim[f(x n )]=L.Kí hiệu:lim  

    .

2 Một số định lý về giới hạn của hàm số:

a Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất.

b Định lý 2:Nếu các giới hạn:          

x a f x L x a g x M thì:

 

 

 

 







lim

lim

x a

x a

x a

f x

M

c) Nguyên lý kẹp: Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng

K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x)f(x)h(x)  x K x a,  và

             .

2 Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số:

a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (x n ), lim(x n ) =

a , đều có lim[f(x n )]= thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí hiệu: lim  

x a f x

    b) Nếu với mọi dãy số (x n ) , lim(x n ) =  đều có lim[f(x n )] = L , thì ta nói f(x) có giới hạn là L khi x dần tới vô cực, kí hiệu:lim  

    c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (x n ), mà x n

> a   n * , thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu :

 

lim

x a f x



   Nếu chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (x n ), x n < a   n * thì

ta nói hàm số có giới hạn bên trái tại a , kí hiệu: lim  

x a f x



  

B- PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN

Trong quá trình giải bài tập giới hạn của hàm số ta thường gặp 3 trường hợp tìm giới hạn cơ bản sau:

Một là : Giới hạn của hàm số tại một điểm:  

  

lim

x a f x

Hai là: Giới hạn vô cực của hàm số :  

  

lim

Ba là: Giới hạn một bên của hàm số:      

Hiển nhiên lý do tôi phân thành 3 trường hợp cơ bản vì lúc này tôi

không xét tính chất của hàm số mà chỉ nhận dạng trường hợp bằng cách nhìn vào giá trị mà x đang tiến đến (một điểm xác định, vô cực, hay giới hạn trái, giới hạn phải)

Sau đây tôi sẽ trình bày phương pháp chung để giải từng dạng bài tập đã nêu trong

sơ đồ tư duy

 KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN TẠI MỘT ĐIỂM CỦA HÀM SỐ:  

    

lim

Quan sát chia trường hợp

Giới hạn vô cực

Dạng 1 : Dạng 2 :() Dạng 3 :()

ĐỀ BÀI

Giới hạn tại một điểm:

Dạng 1 : Tính

trực tiếp

 

lim ( )

x a f x f a

Dạng 2 

 

 

0 0

 

 



lim

x a

f x

g x

Dạng 1:  

Phương pháp:

Thay a trực tiếp vào biểu thức f(x) Kết luận:  

Ví dụ 1:Tính các giới hạn sau:

1/ Lim2 x 3

2

3/

3

1 Lim

2

x

x x





 4/

2 2

x -1

2x + 3x+1 Lim

-x + 4x + 2



BÀI GIẢI

1/Lim2 x 3 2 2 3 7

2



2

3

3/ Lim

x

x

x



0 2 1 4 1

1 1 3 1 2 2 x 4 x

1 x 3 x 2

2 2

2 1



















































Bài tập tương tự:

Bài tập 1:Tính các giới hạn sau:

1 x -1 lim(x +2x+1) 2

 2 lim(x+ 2 x +1) x 1

 3 lim 3 - 4x x 3 2



4

x 1

x +1

lim

2x - 1

2 5

x -1

x + x +1 lim

2x + 3



 



 

  

 

0

0

x a

f x

g x (ta tính nhẫm dạng bằng cách thay a vào f(x) và

g(x) Ta thấy f(x)=f(a)=0, g(x)=g(a)=0 nên  

 



x a

f x

g x lúc này có dạng

 

 

 

0

0

Phương pháp:

Phương pháp 1:Nếu f(x), g(x) là các hàm đa thức ta có thể chia tử số và

mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a) 2

Chú ý 1:

 Nếu f x( )ax2 bx c có 2 nghiệm  x x thì ta phân tích1, 2

 2     1  2

Phương pháp 2: Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và

mẫu cho các biểu thức liên hợp

Chú ý 2: Các biểu thức liên hợp thường gặp

3

2

3

2

Ví dụ 2:Tính các giới hạn sau:

2

3 2

2

1 3

1

2

1

2

2 2

7 / Lim

7 3

x x

x

x

x x

x

x











 

Bài giải.

2

   

2 2

 

2 2

2 3

2

2

x

x



4

x

x

x x

2

x

x





2 2

2 2

x

x



Bài tập tương tự:

Bài tập 2:Tính các giới hạn sau:

 

4 2

2 1

1 12 11 3

2

3

4 /

5 /

1 5

6 /

0

2

2

x x

x

x x

1+ 2x Lim

x

 





 









1 1

2 2 6

x 13/ Lim

x





 



2 2

3 1

2

x

x

x x

x





1

1

x m x x

x





 



 

  

L0.

x a

f x

g x (với L 0 ) Ta tính nhẫm dạng bằng cách

thay a vào f(x) và g(x) Ta thấy f(x)=f(a)=L, g(x)=g(a)=0 nên  

 



x a

f x

g x

lúc này có dạng  

L0 .

Phương pháp:

x a f x L (với L0 )

Bước 2: : Tínhlim ( ) 0 

x a g x và xét dấu biểu thức g(x) với x a

 



lim

x a

f x

g x

lim ( )

x a f x L

lim ( ) 0

 



lim

x a

f x

g x

Ví dụ 3:Tính các giới hạn sau:

Bài giải





4

2

1/ lim

4

x

x

x

Ta có:





















4

4

2 4

2 lim

4

x

x

x

x

x Vay

x

 





3

5 2/ lim

3

x

x

x

Ta có:

















 



3

3

2 4

5 lim

3

x

x

x

x

x Vay

x

 







2

lim

x

x

Ta có:

 

 

 











 

2

2

3 2

lim

x

x

x

x

x Vay

Bài tập tương tự:

Bài tập 3: Tính các giới hạn sau:



3

2

x

 KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ:  

    

lim

 

 





x

f x

g x

Phương pháp:

Chia tử và mẫu cho x k với k là lũy thừa cao nhất của tử hoặc mẫu Chú ý rằng nếu x   thì coi như x>0, nếu x    thì coi như x< 0 khi đưa x ra

hoặc vào khỏi căn bậc chẵn

Chú ý các giới hạn cơ bản sau:

  

 



 

  

2

2 1

1

x x

k

k x x

x

Ví dụ 4:Tính các giới hạn sau:

Lim

2

x

x x

  



1 Lim

1

x

x x

 





Lim

1

x

x x

 



 4/ 2 1

Lim

1

x

x x

  



 BÀI GIẢI

1/

2 2

x

x x



2/

2

2

2

2 2

1 1

x

x x





2

2

1

1

1

1

1

x

x x

x

x x





2

2

1

1

1

1

1

x

x x

x

x x







Bài tập tương tự:

Bài tập 4: Tính các giới hạn sau:

  





5

2

3 2

3

3

2

1 14

1

x

x

x

  





2

3 2

1 2

x

x im

x

Dạng 2:      

x f x g x

Phương pháp:

 

 





x

f x

g x

Sau đó sử dụng phương pháp của dạng 1 để giải

Chú ý: A B  A B2 với A B, 0

A B  A B2 với A0,B0

Ví dụ 5:Tính các giới hạn sau:

BÀI GIẢI

2 2

1

1 1 1

2

2

3

1

x

     

2

2 2

)

)

-2

3

3

x+1 2x+1 2x+1

2 1



Bài tập tương tự:

Bài tập 5: Tính các giới hạn sau:

2

3

 

Phương pháp:

Nhân (chia ) lượng liên hợp để đưa       

lim

x f x g x về dạng

   

 





lim

x

f x g x

f x g x hoặc

 





lim

x

f x g x

Nếu gặp căn bậc 3 ta cũng nhân (chia) dạng liên hợp thích hợp



0

A neu A

A neu A

Ví dụ 6:Tính các giới hạn sau:

   

BÀI GIẢI

2

2 1

x +

2

x x

x

 

  

 



 

 

  

2

2

x +

2

x m

 





  

   2  2 

2

2 1

x +

2

x x lim

-x

 

  

 



 

 

  

2 1

1 2

x +

2

x lim

 

   

  

x 1

1 1

1 1

2

2

2

x - x

x

x x

  

 

 

 

1 1

1 1

x

1-x 1-x



 

 

=

Cách 2

1

2

2

x +

lim x 1+

x x

 

       

1 1

x +lim x = + lim 1+x +

x x

       

x 1

1 1

1 1

2

2

2

x - x

x

x x

  

 

 

 

1 1

1 1 1

1

2

2

x 1+

x x



 

 





 Như vậy sau khi giải bài 4 của ví dụ 6 nhiều học sinh sẽ thắc mắc rằng bài 4 này có thể giải theo cách 2 của bài 3 như trên không?

Câu trả lời là không vì nếu giải theo giải theo cách 2 của bài 3 ta sẽ có:

1

2

2 x

lim x

1-x 1-x

  

               

Tới kết quả 1 2

x

lim x

1-x 1-x

  

 

sẽ dẫn đến dạng vô định (0  ) lại quay

về dạng 2 của trường hợp giới hạn hàm số ở vô cực mà việc khử dạng vô định(0  ) lại gây khó khăn cho một số em học sinh có học lực trung bình, yếu

Bài tập tương tự:

Bài tập 6: Tính các giới hạn sau:

8 9

2

x +

x +

x

 

 

* KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM

SỐ:   



 

 

lim

x a f x hoặc  





 

 

lim

x a f x .Cần lưu ý học sinh đây chỉ là trường hợp đặc

biệt của giới hạn tại một điểm, lúc này x không tiến đến a mà tiến đến bên trái

điểm a ( 



x a ), hoặc tiến về bên phải bên phải điểm a ( 



x a ).Bài tập Giới

hạn một bên:   



 

 

lim

x a f x hoặc  





 

 

lim

x a f x .chủ yếu rơi vào dạng 3 của trường

hợp Giới hạn tại một điểm là

 

 





 

  

 0

.

L

x a

f x

g x (với L0 ) Ta tính nhẫm dạng bằng cách thay a vào

f(x) và g(x) Ta thấy f(x)=f(a)=L, g(x)=g(a)=0 nên  

 





x a

f x

g x lúc này có

dạng  

 0 

.

L

Phương pháp:

Bước 1: Tínhlim ( )  

x a f x L (với L0 )



lim ( ) 0

x a g x và xét dấu biểu thức g(x) với x a hoặc



x a

 



lim

x a

f x

g x (bảng xét dấu

đã nêu ở dạng 3- trường hợp 1 Giới hạn tại một điểm)

Ví dụ 7: Tính các giới hạn sau:

BÀI GIẢI









1

1/ lim

1

x

x

x

Ta có:















1

1

x

x

x

Vậy 









1

lim

1

x

x

x









1

2/ lim

1

x

x

x

Ta có:















1

1

x

x

x

Vậy 





 



1

lim

1

x

x

x

Bài tập tương tự:

Bài tập 7: Tính các giới hạn sau:

5

2