MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO SỐ PHỨC Trong chương trình phổ thông,

MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO SỐ PHỨCTrong chương trình phổ thông, các bài toán số phức thường khá đơn giản,không quá khó.. Để giúp học sinh hiểu và vận dụng kiến thức có liên quan đến số

MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO SỐ PHỨC

Trong chương trình phổ thông, các bài toán số phức thường khá đơn giản,không quá khó Tuy nhiên cũng có những bài toán vận dụng và vận dụng cao màchúng ta nếu không nghiên cứu kĩ lưỡng, lần đầu tiên gặp sẽ rất khó giải quyết

Để giúp học sinh hiểu và vận dụng kiến thức có liên quan đến số phức để làmbài thi tốt hơn trong kỳ thi THPT Quốc gia 2019 tôi biên soạn một số bài toánvận dụng cao về số phức Trước khi đến với một số bài toán này chúng ta cùngnhắc lại các khái niệm cơ bản nhất

I Các khái niệm cơ bản nhất

1 Định nghĩa

- Một biểu thức dạng a bi với a b R i, � , 2   1 được gọi là một số phức

- Đối với số phức z a bi  , ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z.

- Điểm M a b ; trong hệ tọa độ vuông góc Oxyđược gọi là điểm biểudiễn của số phức z a bi 

Môđun của số phức

- Cho số phức z a bi  có điểm biểu diễn là M a b ; trên mặt phẳng tọa

độ Oxy Độ dài của véctơ OMuuuur

được gọi là mô đun của số phức z và kíhiệu là z.

Cho phương trình bậc hai ax 2   bx c 0 với a b c R, , � và a� 0. Phươngtrình này có biệt thức 2

 

-   0 phương trình có hai nghiệm thực phân biệt 1,2 .

2

b x

a

 � 



5 Acgumen của số phứcz� 0

Cho số phức z� 0 Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z

Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox,tia cuối OM được gọi làacgumen của z.

6 Dạng lượng giác của số phức

Xét số phức z a bi  � 0 ,a b�R. Kí hiệu r là mô đun của z và  của một acgumen của z (hình dưới) thì dễ thấy rằng: a r cos ,  b r sin 

Vậy z a bi  � 0 có thể viết dưới dạng z r cos + sin  i .

y

M (a+bi)

Dạng z a bi  � 0 ,a b�R , được gọi là dạng đại số của số phứcz.

Nhận xét Để tìm dạng lượng giác z r cos + sin  i  của số phức

r

  số  đó cũng là số đo một góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM.

CHÚ Ý

1. Z  1 khi và chỉ khi Z c os + sin ;  i   �R.

2. Khi z 0 thì z  r 0 nhưng acgumen của z không xác định (đôi khi coi acgumen của 0 là số thực tùy ý và vẫn viết 0 0 os + sin  c  i .

3. Cần để ý đòi hỏi r  0 trong dạng lượng giác r c os + sin  i  của số

phức z� 0.

7 Nhân và chia số phức lượng giác

Ta đã có công thức nhân và chia số phức dưới dạng đại số Sau đây là định lý nêu lên công thức nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác; chúng giúp cho các quy tắc tính toán đơn giản về nhân và chia số phức

Chứng minh

   

' os + sin ' os '+ sin ' lim

' os os ' sin sin ' sin os '+cos sin '

8 Công thức Moa-vrơ (Moivre)

Từ công thức nhân số phức dưới dạng lượng giác, bằng quy nạp toán học

dễ dàng suy ra rằng với mọi số nguyên dương n.

 os + sin  n n osn + sin 

r c  i  r c  i n

Và khi r 1, ta có

cos + sin  i n cosn + sin  i n

Cả hai công thức đó đều được gọi là công thức Moa – vrơ

9 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác

Từ công thức Moa – vrơ, dễ thấy số phức z r c  os + sin  i ,r  0 có căn bậc hai là

II MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO VỀ SỐ PHỨC

1 CÁC BÀI TÍNH TOÁN SỐ PHỨC.

Bài 1: Cho hai số phức z z1 , 2 thảo mãn z1  z2  1;z1 z2  3. Tính z1z2

Nhận xét: Bài này nhìn vào có vẻ khá khó, nhưng các em cần phải bình tĩnh, chỉ

cần gọi z1  a1 b i z1 ; 2  a2 b i a a b b2  1 , , , 2 1 2�R sau đó viết hết các giả thiết đề bài cho:

Cách 2 Thử lần lượt các kết quả A, B, C, D suy ra đáp số đúng là C.

Bài 4: Trong các số phức z thỏa mãn z  1. Tìm số phức z để 1  z 3 1 z đạt

2 2 Vậy tổng giá trị lớn nhất và giátrị nhỏ nhất của biểu thức P là 2.

Cách 2 Dễ thấy điểm M biểu diễn số phức z thuộc đường tròn tâm I(3, -4), bán

z i

i z



 

Tính mô đun của số phức     1 z z2

2 CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨC.

Bài 1: Tìm các số thực a b c, , sao cho hai phương trình

Bài2: Gọi z z1 , 2 là 2 nghiệm của phương trình z2  2z  2 0 trên tập số phức Tìm

mô đun của số phức  2015  2016

z z



�  �

� � có bao nhiêu nghiệm

4 nghiệm

Lời giải

 

 

2 4

2

1

1, 1 1

1

1

1, 2 1

z z z

1 0

m m

m m

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z

thỏa mãn điều kiện log 2 z 3 4i  1.

A.Đường thẳng qua gốc tọa độ B Đường tròn bán kính 1.

C Đường tròn tâm I3; 4   bán kính 2 D Đường tròn tâm I3; 4   bán

A.Đường thẳng qua gốc tọa độ B Đường tròn bán kính 1.

C Đường tròn tâm I 5;0 bán kính 5 D Đường tròn tâm I 5;0 bán kính3

Lời giải

Đặt z x yi  , ta có z x yi.

Bài 3: Trên mặt phẳng tạo độ Oxy,tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z

thỏa mãn điều kiện zi  2 i 2.

A.Đường thẳng qua gốc tọa độ B Đường tròn bán kính 1.

C Đường tròn tâm I 5;0 bán kính 5 D Đường tròn tâm I1; 2   bánkính 2

Bài 4: Trên mặt phẳng tạo độ Oxy,tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z

thỏa mãn điều kiện z   1 z i.

A.Đường thẳng qua gốc tọa độ B Đường tròn bán kính 1.

C Đường tròn tâm I 5;0 bán kính 5 D Đường tròn tâm I1; 2   bán

Bài 5: Trên mặt phẳng tạo độ Oxy,tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z

thỏa mãn điều kiện 2   z 2 z.

A Đường thẳng đi qau gốc tọa độ.

B Đường tròn bán kính bằng 1.

C Nửa trái của mặt phẳng tọa độ không kể trục Oy.

D Đường tròn tâm I1; 2   bán kính 2

Các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn z   2 3i 3 nằm trên đường tròn

(Bài hình học giải tích quen thuộc ) C

Ta có: OM OI-IM=OI-R= 13 3 � 

Dấu " "  xảy ra khi M là giao

điểm của  C và đoạn thẳng OI.

A. Đường tròn tâm I  1; 1 , bán kính bằng 5, khuyết 2 điểm  0;1 và

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I  1; 1 , bán kính

Chọn B.

Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy có A  1;7 ,B  5;5 lần lượt biểu diễn 2 số phức z1

và z2 C biểu diễn số phức z1 z2 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

biểu diễn cho z OB1 , uuur

biểu diễn cho z2 nên OA OB BAuuur uuur uuur  biểu diễn cho

Bài 15: Trong mặt phẳng phức A 4;1 ,   B 1;3 ,C  6;0 lần lượt biểu diễn các số

phức z z z1 , , 2 3 Trọng tâm G của tam giác ABC biểu diễn số phức nào sau đây?

Bài 17: Trong mặt phẳng phức, các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình

iz 1 z 3i z   2 3i  0 là các điểm nào sau đây?

B. Đường tròn tâm I 0;1 , bán kính R 1 ngoại trừ các điểm  1;0 và 1; 1  

C. Đường thẳng y 1 ngoại trừ các điểm  1;0 và 1; 1  

D. Đường thẳng x 1 ngoại trừ các điểm  1;0 và 1; 1  

B. Đường tròn tâm I 0;1 , bán kính R 1 ngoại trừ các điểm  1;0 và 1; 1  

C. Đường thẳng y 1 ngoại trừ các điểm  1;0 và 1; 1  

D. Đường thẳng x 1 ngoại trừ các điểm  1;0 và 1; 1  

     2  2    

2 2

Chọn C

Bài 23: Gọi M và A là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các

số phức z x yi a  ;   10 6 i Tìm tập hợp E1 các điểm M sao cho tích z z a   là

Bài 24 : Gọi M và A là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z x yi a;   10 6 i Tìm tập hợp E2 các điểm M sao cho tích

z z a là một số thuần ảo

A Đường tròn tâm I2  2;0 , bán kính R 5 4 2

B Đường tròn tâm I 0;1 , bán kính R 1

C Là một hyperbol vuông góc có tâm đối xứng I  5; 3 , có trục thực nằm

trên trục Ox, độ dài các trục đều bằng 8

D Là một hyperbol có tâm đối xứng I 5;3 , có trục thực nằm trên trục Ox,

x x