VD24: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có chiều cao bằng h và góc của hai đường chéo của hai mặt bên kề nhau phát xuất từ một đỉnh là α. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắ[r]
Trang 1THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
VD1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a Hai mặt (ABC)và (ACS)cùng vuông góc với (SBC) Tính thể tích hình chóp
VD2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 600
1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông
2) Tính thể tích hình chóp
VD3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với đáy ABC và (SBC)
hợp với đáy (ABC) một góc 600 Tính thể tích hình chóp
VD4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 600
1) Tính thể tích hình chóp SABCD
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)
VD5: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a 2, AC = a 3, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = a 3.Tính thể tích khối chóp S.ABC
VD6: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AC = a 2, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = a 3.Tính thể tích khối chóp S.ABC
VD7: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
SB = a 5.Tính thể tích khối chóp S.ABC
VD8: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân tại A, BC = 2a 3, BAC 120 0,cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC
VD9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC = a 5.Tính thể tích khối chóp S.ABCD
VD10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
SA = AC = a 2.Tính thể tích khối chóp S.ABCD
VD11: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc đáy Góc giữa SC và đáy bằng 600 và M là trung điểm của SB
1) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
2) Tính thể tích của khối chóp MBCD
VD12: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,SA(ABCD)và SA a Tính thể
tích khối chóp S BCD theo a.
VD13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a AD , 2a; SAABCD
Cạnh bên SB bằng a 3 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
VD14: Cho hình chóp S.ABC có ABC vuông cân tại B, AC = 2a, SA(ABC), góc giữa SB và mặt đáy
bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC
Trang 2THỂ TÍCH ĐA DIỆN TOÁN 12
VD15: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC là tam giác vuông tại B,
AB=a 3,AC=2a, góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy (ABC) bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC
VD16:Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC là tam giác vuông tại B,
AB=a 3,AC=2a, góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABC) bằng 600 Gọi M là trung điểm của AC Tính thể tích khối chóp S.BCM và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC)
VD17: Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với BC = 2a , biết SA (ABC) và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 60o Tính thể tích khối chóp SABC
VD18: Cho hình chóp S.ABC có SB = a 2,AB=AC = a, BAC 600, Hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC) Tính thể tích khối chóp S.ABC
VD19: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = a 2 , cạnh bên SA vuông
góc với mặt phẳng (ABC) Mặt bên (SBC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC
VD20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy
và SA= b Cắt khối chóp bằng mặt phẳng (SBD) ta được hai khối chóp đỉnh S
a) Kể tên và so sánh thể tích của hai khối chóp đó
b) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp S.ABCD
c) Tính thể tích của hai khối chóp S.ABC và S.ABCD
VD21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD
1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB
2) Tính thể tích khối chóp SABCD
VD22: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D , (ABC) (BCD)
và AD hợp với (BCD) một góc 600 Tính thể tích tứ diện ABCD
VD23:Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450
1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC
2) Tính thể tích khối chóp SABC.
VD24: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a, ACB 600, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 450 Tính thể tích khối chóp S.ABC
VD25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD
VD26: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a 3 , BC = a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC
VD27: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 450 Tính thể tích khối chóp S.ABC
VD28:Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC.Tính thể tích chóp đều SABC
Trang 31) Chứng minh rằng SABCD là chĩp tứ giác đều.
2) Tính thể tích khối chĩp SABCD
VD30: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC
1) Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD
2) Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy ra thể tích hình chĩp MABC
VD31: Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ cạnh đáy bằng a 3, cạnh bên bằng 2a.Tính thể tích khối chĩp S.ABC
VD32: Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng a 3 Tính thể tích khối chĩp S.ABCD
VD331: Cho hình chĩp tam giác S.ABC cĩ AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một gĩc 600 Tính thể tích khối chĩp
VD34: Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ cạnh đáy là a; gĩc giữa cạnh bên và đáy là 0
60 Tính thể tích khối chĩp theo a
VD35 Cho khối chĩp tam giác đều S.ABC cĩ AB = a , gĩc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 Tính thể tích khối chĩp theo a
VD36:.Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a 2, các cạnh bên bằng 3
a Tính thể tích khối chĩp S.ABCD theo a.
VD37: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại C, AB = 2a, SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC), cạnh SB tạo với đáy một gĩc 300 Gọi M là trung điểm SB Tính thể tích khối chĩp M.ABC
VD38: Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC, gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA Tính tỷ số thể tích của hai khối chĩp SMNK và SABC
VD39: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, SA=SB=SC=SD Biết AB = 3a, BC
= 4a và SAO 450 Tính thể tích khối chĩp S.ABCD theo a.
VD40: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2x
2
0 < x <
2
và AC = AD = BC = BD = 1 Gọi I và J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD.
1 Chứng minh AB CD và IJ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD.
2 Tính thể tích tứ diện ABCD theo x Tìm x để thể tích này lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó
VD41 : Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a, có tâm là O Trên các nửa đường thẳng
Ax, Cy vuông góc với (P) và ở về cùng một phía đối với (P) lấy lần lượt hai điểm M, N đặt AM = x,
CN = y.
1 Tính độ dài MN Từ đó chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để OMN vuông tại O là:
xy =
2
a
2
2 Giả sử M, N thay đổi sao cho OMN vuông tại O Tính thể tích tứ diện BDMN Xác định x,
y để thể tích tứ diện này bằng
3
a
4
Trang 4THỂ TÍCH ĐA DIỆN TỐN 12
VD42: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a I là trung điểm AB Qua I dựng đường vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và trên đó lấy điểm S sao cho 2IS = a 3.
1 Chứng minh rằng tam giác SAD là tam giác vuông.
2 Tính thể tích hình chóp S.ACD rồi suy ra khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD).
THỂ TÍCH LĂNG TRỤ VD1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuơng cân tại A cĩ BC=a√2 và biết A ' B=3 a Tính thể tích khối lăng trụ
VD2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cĩ cạnh bên bằng 4a và đường chéo AC’=5a Tính thể tích
lăng trụ
VD3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác
A’BC bằng 8 Tính thể tích lăng trụ
VD4: Cho hình hộp đứng cĩ đáy là hình thoi cạnh a và cĩ gĩc nhọn của hình thoi bằng 600 Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ Tính thể tích lăng trụ
VD4:.Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, AB=a, AC=a 3, cạnh A/B = 2a Tính thể tích khối lăng trụ
VD5:.Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cĩ đáy ABC là tam giác cân với AB=AC=a và BAC 1200, cạnh AA’= a Gọi I là trung điểm của CC’
a) Chứng minh rằng Tam giác AB’I vuơng tại A
b) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
VD6: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác
vuơng cân tại B với BA = BC = a, biết A’B hợp với đáy (ABC) một gĩc 600 Tính thể tích lăng trụ
VD7: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A với AC = a,
∠ACB=600 biết BC' hợp với (AA'C'C) một gĩc 300 Tính AC’ và thể tích lăng trụ
VD8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a và đường chéo BD' của lăng
trụ hợp với đáy ABCD một gĩc 300 Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ
VD9: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' cĩ đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ∠BAD=600 biết AB’ hợp với đáy (ABCD) một gĩc 300 Tính thể tích của hình hộp
VD10: Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a 3 , hình chiếu vuơng gĩc của A/ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, cạnh A/A hợp với mặt đáy (ABC) một gĩc 300 Tính thể tích khối lăng trụ
VD11: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cĩ AB = a √3 , AD = a, AA’ = a, O là giao điểm của AC
và BD
a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chĩp OA’B’C’D’
b) Tính thể tích khối OBB’C’
c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’
VD12: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’cĩ cạnh bằng a.
Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’
VD13: Cho hình lăng trụ đứng tam giác cĩ các cạnh bằng a.
a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC
b) E là trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC tại F.Tính thể tích khối CA’B’FE
VD14: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B với BA = BC = a,
biết (A’BC) hợp với đáy (ABC) mọt gĩc 600 Tính thể tích lăng trụ
VD15: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' cĩ cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD)
một gĩc 600 Tính thể tích khối hộp chữ nhật
Trang 5gĩc 600 và A’C hợp với đáy (ABCD) một gĩc 300 Tính thể tích hình hộp chữ nhật.
VD17: Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, AB=a, BC = a 2 , mặt bên (A/BC) hợp với mặt đáy (ABC) một gĩc 300 Tính thể tích khối lăng trụ
VD18: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết cạnh bên là a √3
và hợp với đáy ABC một gĩc 600 Thể tích lăng trụ
VD19: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu của A' xuống
(ABC) là tâm O đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một gĩc 600
1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật
2) Tính thể tích lăng trụ
VD20: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ cĩ đáy là hình chữ nhật với AB = √3 AD = √7 Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy 450 và 600 Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng
VD21: Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A, A/A=A/B=A/C , AB = a, AC = a 3, cạnh A/A tạo với mặt đáy gĩc 300 Tính thể tích khối lăng trụ
VD22:Cho lăng trụ đứng ABC, A'B'C', đáy ABC là tam giác đều Góc giữa AA' và BC' là 6
và khoảng cách giữa chúng là a Tính thể tích lăng trụ
VD23:
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có chiều cao bằng h và hai đường thẳng AB', BC' vuông góc với nhau Tính thể tích lăng trụ theo h
VD24: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cĩ chiều cao bằng h và gĩc của hai đường chéo của
hai mặt bên kề nhau phát xuất từ một đỉnh là α Tính thể tích của lăng trụ
VD25:Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ cĩ đáy là hình chữ nhật với AB = √3 , AD = √7 Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những gĩc 450 và 600 Tính thể tích khối lăng trụ đĩ nếu biết cạnh bên bằng 1
TỈ SỐ KHOẢNG CÁCH
VD1: Cho hình chĩp S.ABC cĩ tam giác ABC vuơng cân ở B, AC = a √2 , SA vuơng gĩc với đáy ABC,
SA = a
1) Tính thể tích của khối chĩp S.ABC
2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng ( α ) qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N Tính thể tích của khối chĩp S.AMN
VD2: Cho tam giác ABC vuơng cân ở A và AB = a Trên đường thẳng qua C và vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a Mặt phẳng qua C vuơng gĩc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E.
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD
b) Chứng minh CE (ABD)
c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF.
VD3: Cho khối chĩp tứ giác đều SABCD Một mặt phẳng ( α ) qua A, B và trung điểm M của SC Tính
tỉ số thể tích của hai phần khối chĩp bị phân chia bởi mặt phẳng đĩ
VD4: Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuơng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy gĩc 600 Gọi M
là trung điểm SC Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F
VD5: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SA vuơng gĩc đáy, SA = a √2 Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’
Trang 6THỂ TÍCH ĐA DIỆN TOÁN 12 a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Chứng minh SC (AB 'D')
c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
VD6: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
SA = a 3 Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC Tính thể tích khối chóp S.AMN
VD7:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3
a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC Tính thể tích khối chóp S.AMN và A.BCNM
VD8:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
SA = 2a Gọi I là trung điểm SC Tính thể tích khối chóp I.ABCD
VD9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại B; AB = a, BC = 2a.Cạnh SA(ABC) và SA = 2a Gọi M là trung điểm của SC.Tính thể tích khối chóp S.AMB, và khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AMB)
VD10:: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, các cạnh bên SA, SB, SC đều tạo với đáy
một góc 60o
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC
b) Tính khỏang cách từ điểm A đến mp(SBC)
VD11: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo
với đáy một góc 60o Tính thể tích khối chóp SABC
VD12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450
a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC
b) Tính thể tích khối chóp SABC
VD13 : Cho hình chóp SABC, đáy ABC là tam giác cân tại A có trung tuyến AD = a, hai mặt bên SAB và SAC cùng vuông góc với đáy Cạnh bên SB hợp với đáy một góc α và hợp với mặt phẳng SAD một góc
β Tính thể tích khối chóp SABC theo a, α , β
VD14:Cho khối chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a.Gọi B’, D’lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’ Tính thể tích khối chóp SAB’C’D’
VD15: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi B’, C’ lần lượt là trung điểm của SB
và SD Mặt phẳng AB’D’cắt SC tại C’.Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp SAB’C’D’ và SABCD
VD16: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD Một mặt phẳng (α) qua A, B và trung điểm M của SC Tính
tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó
ÔN TẬP THỂ TÍCH ĐA DIỆN Bài 1 Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC
= a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA', B'C'
ĐS:
;cos
a
( Trích đề thi ĐH 2008 – A)
Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA a, SB a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC Tính theo a thể
Trang 7ĐS:
;cos
a
.( Trích đề thi ĐH 2008 – B)
Bài 3 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' a 2 Gọi M là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C
ĐS:
3
;
.( Trích đề thi ĐH 2008 – D)
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, ABBCa,
AD 2a, SA vuông góc với đáy và SA 2a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a
ĐS:
3 3
a
.( Trích đề thi CĐ 2008)
Bài 5 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2 Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và CD Chứng minh rằng đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP Tính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP
ĐS:
3 6 48
a
.( Trích đề thi CĐ 2009)
Bài 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, BA = BC = a, AD = 2a Cạnh SA vuông góc với đáy và SA a 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến (SCD) ĐS: 3
a
( Trích đề thi ĐH 2007 – D)
Bài 7 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC Chứng minh MN BD và tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC ĐS:
2 4
a
( Trích đề thi ĐH 2007 – B)
Bài 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAD) là tam giác đều và nằm trong
mp vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD Chứng minh
AM BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP ĐS:
3 3 96
a
( Trích đề thi ĐH 2007 – A)
Bài 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a; CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI)
và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
ĐS:
3
3 15 5
a
( Trích đề thi ĐH 2009 – A)
Bài 10. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và BAC = 600 Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a
Trang 8THỂ TÍCH ĐA DIỆN TOÁN 12
ĐS:
3 9 208
a
(Trích đề thi ĐH 2009 – B)
Bài 11 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C
= 3a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).ĐS:
3 4 9
IABC
a
; d(A,IBC)
2 5 5
a
.( ĐH 09 D)