Giáo trình Giải tích 3 - Tạ Lê Lợi (chủ biên)

Tích phaân suy roäng phuï thuoäc tham soá.. Caùc tích phaân Euler.[r]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT KHOA TOÁN - TIN HỌC

Y Z

TẠ LÊ LỢI - ĐỖ NGUYÊN SƠN

GIẢI TÍCH 3

(Giáo Trình)

Lưu hành nội bộ

Y Đà Lạt 2008 Z

Giải Tích 3

Tạ Lê Lợi - Đỗ Nguyên Sơn Mục lục

Chương I Tích phân phụ thuộc tham số

1 Tích phân phụ thuộc tham số 4

2 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 9

3 Các tích phân Euler 14

Chương II Tích phân hàm số trên đa tạp 1 Đa tạp khả vi trong Rn 19

2 Tích phân hàm số trên đa tạp 24

Chương III Dạng vi phân 1 Dạng k-tuyến tính phản đối xứng 31

2 Dạng vi phân 33

3 Bổ đề Poincaré 37

Chương IV Tích phân dạng vi phân 1 Định hướng 41

2 Tích phân dạng vi phân 44

3 Công thức Stokes 47

Bài tập 53

I Tích phân phụ thuộc tham số

Định nghĩa 1 Xét hàm f (x, t) = f (x1 , , x n , t 1 , , t m ) xác định trên miền

X ì T ⊂ Rnì Rm Giả sử X đo đ-ợc (Jordan) và với mỗi giá trị của t ∈ T cố

định, hàm f (x, t) khả tích theo x trên X Khi đó tích phân

I(t) =

Z

X

là hàm theo biến t = (t1 , , t m ), gọi là tích phân phụ thuộc tham số với m

tham số t1 , , t m.

Định lý 1 Nếu f (x, t) liên tục trên X ì T ⊂ Rnì Rm, ở đây X, T là các tập compact, thì tích phân

I(t) =

Z

X

f (x, t)dx

liên tục trên T

Chứng minh Cố định t0 ∈ T Ta sẽ chứng minh với mọi  > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi t ∈ T , d(t, t 0 ) < δ ta có | I(t) − I(t 0 ) |< .

Từ định nghĩa suy ra

| I(t) − I(t 0 ) |=

Z

X

(f (x, t) − f (x, t 0 ))dx

≤ Z

X

| f (x, t) − f (x, t 0 ) | dx.

Do f liên tục trên compact nên liên tục đều trên đó, tức là tồn tại δ > 0 sao cho

| f (x0, t0) − f (x, t) |< 

v(X) với mọi (x, t), (x 0 , t 0 ) ∈ X ì T , d((x 0 , t 0 ), (x, t)) < δ.

Từ đó, với d(t, t 0 ) < δ ta có

| I(t) − I(t 0 ) |< v(X) 

v(X) = .

2

Ví dụ 1) Ta có lim

t→0

1

R

−1

√

x 2 + t 2 dx =

1

R

−1

|x|dx = 1 vì hàm √x 2 + t 2 liên tục trên [−1, 1] ì [−, ].

2) Khảo sát tính liên tục tại điểm (0, 0) của hàm f (x, t) =

(

xt−2e−x2t−2 nếu t 6= 0

Nếu f (x, t) liên tục tại (0, 0), thì f (x, t) liên tục trên [0, 1] ì [−, ] Khi đó, tích phân I(t) =

1

R

0

f (x, t)dx liên tục trên [−, ] Nh-ng ta có

lim

t→0 I(t) = lim

t→0

1

R

0

xt−2e−x2t−2 = −1

2limt→0

1

R

0

e−x2t−2d(−x2t−2)

= −1

2limt→0 (e −t −2

− 1) = 1

2 6= 0 = I(0).

Vậy, hàm f (x, t) không liên tục tại (0, 0).

Sau đây chúng ta sẽ khảo sát một tổng quát hóa của Định lý 1 trong tr-ờng hợp

X = [a, b].

Định lý 2 Cho f (x, t) liên tục trên [a, b] ì T , với T là tập compact và a(t), b(t)

là hai hàm liên tục trên T sao cho a(t), b(t) ∈ [a, b] với mọi t ∈ T Khi đó, tích phân

I(t) =

b(t)

Z

a(t)

f (x, t)dx

liên tục trên T

Chứng minh Do f liên tục trên tập compact nên giới nội, tức là tồn tại M > 0

sao cho | f (x, y) |≤ M với mọi (x, t) ∈ [a, b] ì T Cố định t 0 ∈ T ta có:

| I(t) − I(t 0 ) |=

a(t R0) a(t)

f (x, t)dx +

b(t) R

b(t0)

f (x, t)dx +

b(t R0) a(t0)

[f (x, t) − f (x, t 0 )]dx

≤

a(t R0) a(t)

f (x, t)dx

+

b(t) R

b(t0)

f (x, t)dx

+

b(t R0) a(t0)

(f (x, t) − f (x, t 0 ))dx

≤ M | a(t) − a(t 0 ) | +M | b(t) − b(t 0 ) | +

b(t R0) a(t )

| f (x, t) − f (x, t 0 ) | dx.

Bài tập 63

21 Tính tích phân Gauss 

S

cos(N, r)

r2 dS, trong đó r = (x, y, z), S là mặt trơn, kín trong R3, 0∈ S, vàN là trường pháp, đơn vị, hướng ngoài

22 ChoV ⊂ R3 là khối giới hạn bởi mặt tr7n, kín S, và N = (cos α, cos β, cos γ)

là trường pháp vector đơn vị định hướng mặt S Chứng minh:

a)

Scos(N, v)dS = 0, với mọi hướng v ∈ R n b) Thể tích của V cho bởi công thức

V = 1

3

S(x cos α + y cos β + z cos γ)dS

c) NếuF (x, y, z) = (ax, by, cz), thì 

S < F, N > dS = (a + b + c)V

23 Tính F (t) =



S fdS, với S : x + y + z = t, và f(x, y) = x2 +y2, nếu

x2+y2+z2 ≤ 1; vàf(x, y) = 0trong trường hợp ngược lại

24 Tính 

S((cosz − cos y) cos α + (cos x − cos z) cos β + (cos y − cos x) cos γ) dS, vớiS là phía trên mặt cầux2+y2+z2 = 1, vàα, β, γ là các góc tạo bởi trường pháp vector củaS với các trục tọa độ

25 Tính 

S(x2cosα + y2cosβ + z2cosγ)dS, vớiSlà mặt nón giới hạn miền: x2+y2 ≤ z2, 0 ≤ z ≤ h,định hướng bởi trường pháp vectorN = (cos α, cos β, cos γ) hướng ra ngoài

26 Cho trường vectorF (x, y, z) = (x2z, −2y3z2, xy2z) Tính divF =< ∇, F >và rotF = ∇ × F

27 Chứng minh rot(grad )f = 0, và div(rot F)= 0 (f là hàm, F là trường vector lơp C2)

28 Trường vector F = (F1, · · · , F n) trên U ⊂ R n, gọi là trường thế nếuu hàm f

khả vi trênU, sao cho F = grad f (gọi làhàm thế) a)F là trường thế khi và chỉ khi ω F =F1dx1 +· · · + F n dx n là dạng khớp b) Trường hấp dẫn F (x, y, z) = −m (x, y, z)

(x2+y2+z2)3 có là trường thế? Nếu có tìm hàm thế của nó

29 TrongR3, cho trường vectorF Thử giải thích tại sao trong vật lý người ta gọi a)

C < F, T > ds là công của trườngF dọc theo đường congC b) 

S < F, N > dS làthông lượng dòng F qua mặt cong cong S

30 TrongR3 cho trường vector khả vi F Chứng minh

divF (x0) = lim

r→0

1

V r



Sr < F, N > dS,

VớiV rlà thể tích hình cầu tâmx0 bán kínhr, vớiS r là bờ vàN là trường pháp vector đơn vị trênS r

31 ChoS là mặt giới hạn khối V vàN trường pháp vector đơn vị trên S Chứng

V divNdV = diện tích(S) × thể tích (V )

32 Cho ϕ, ψ là các hàm lớp C2 trên miền giới nội V ⊂ R3, có bờ là mặt kín S, định hướng bởi trường pháp vector đơn vịN hướng ra phía ngoài Chứng minh a)Công thức Green thứ nhất:



V(ϕ∆ψ+ < ∇ϕ, ∇ψ > dV =

S < ϕ∇ψ, N > dS

b)Công thức Green thứ hai:



V(ϕ∆ψ − ψ∆ϕ > dV =



S < ϕ∇ψ − ψ∇ϕ, N > dS

trong đó ∆ =< ∇, ∇ >= ∂x ∂22 + ∂2

∂y2 +

∂2

∂z2, là toán tử Laplace

Bài tập 63< /p>

21 Tính tích phân Gauss 

S

cos(N,...

(x2+y2+z2)3< /sup> có trường thế? Nếu có tìm hàm

29 TrongR3< /small>, cho trường vectorF Thử giải thích vật lý người ta... divNdV = diện tích< small>(S) × thể tích (V )

32 Cho ϕ, ψ hàm lớp C2