Bài giảng Toán 1: Chương 4 - Nguyễn Anh Thi

PHEÙP TÍNH TÍCH PHAÂN HAØM MOÄT BIEÁN.. Baøi toaùn tìm dieän tích.[r]

Bài giảng Toán 1

Giảng viên Nguyễn Anh Thi

2016

Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM

MỘT BIẾN

Bài toán tìm diện tích

Ta có tổng Rieman: R n=f(x1)∆(x) + f(x2)∆(x) + · · · + f(x n)∆(x).

Khi đó ta có diện tích

A = lim

n→+∞[f(x1)∆(x) + f(x2)∆(x) + · · · + f(x n)∆(x)]

Thay vì lấy giá trị của f tại các đầu mút x i như trên, ta có thể chọn

tại điểm bất kỳ x∗i ∈ [x i−1,x i] Ta có diện tích

A = lim

n→+∞[f(x∗1)∆(x) + f(x∗2)∆(x) + · · · + f(x∗n)∆(x)]

Định nghĩa tích phân

Định nghĩa

Cho f là hàm xác định trên đoạn [a, b], ta chia đoạn [a, b] thành n khoảng con với độ rộng ∆(x) = (b − a)/n Gọi

a = x0<x1 <x2< · · · <x n=b là các đầu mút của các khoảng

con đó Trên mỗi khoảng con ta lấy x∗i ∈ [x i−1,x i] Thìtích phân

(xác định) của f từ a đến bđược định nghĩa là:

Z b

a

f(x)dx = lim

n→∞

n

X

i=1

f(x∗i)∆(x)

nếu nó tồn tại

Nếu tích phân của f tồn tại ta nói fkhả tích

Các tính chất cơ bản của tích phân

Mệnh đề

Cho f, g khả tích trên [a, b], k ∈ R khi đó:

1 Rb

a[f(x) + kg(x)]dx =Rb

a f(x)dx + kRb

a g(x)dx

2 Nếu c ∈ (a, b) thì f cũng khả tích trên các khoảng [a, c] và

[c, b], và khi đó:

Z b

a

f(x)dx =

Z c

a

f(x)dx +

Z b

c

f(x)dx

3 Nếu f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] thìRb

a f(x)dx ≥ 0 Suy ra nếu f(x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a, b] thì

Z b

a

f(x)dx ≥

Z b

a

g(x)dx

4 Hàm |f| khả tích và Rb

a |f(x)|dx ≥ |Rb

a f(x)dx|

Định lý

Nếu f liên tục trên [a, b] hoặc chỉ gián đoạn tại một số hữu hạn các điểm, thì f khả tích trên [a, b].

Các tính chất cơ bản của tích phân

Định lý (Định lý cơ bản của vi tích phân 1)

Cho f liên tục trên đoạn [a, b], đặt: F(x) =Rx

a f(t)dt, (a ≤ x ≤ b) Thì F liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) và F0(x) = f(x).

Định lý (Định lý cơ bản của vi tích phân 2, Công thức

Newton-Leibnitz)

Cho f liên tục trên [a, b], thì:

Z b

a

f(x)dx = F(b) − F(a) Trong đó F là một nguyên hàm bất kỳ của f, nghĩa là F0(x) = f(x).

Ví dụ

TínhRπ

4

0 sin xdx.

Nguyên hàm

I F được gọi lànguyên hàm của f nếu F0 =f.

I Định lý cơ bản của phép tính vi tích phân khẳng định sự tồn tại nguyên hàm của các hàm liên tục

I Nếu F là một nguyên hàm của f thì khi đó mọi nguyên hàm G của f đều có dạng G(x) = F(x) + C.

I Tập các nguyên hàm của f được ký hiệu là:

Z

f(x)dx

I Nguyên hàm còn được gọi là tích phân bất định

Một số nguyên hàm

1 R x a dx = x a+1 a+1 +C, với a 6= −1

2 R dx

x = ln |x| + C

3 R e x dx = e x+C

4 R a x dx = ln a a x +C

5 R sin xdx = − cos x + C

6 R cos xdx = sin x + C

7 R dx

cos 2x = tanx + C

8 R dx

sin 2x = − cotx + C

9 R √dx

1−x2 = arcsinx + C

10 R √dx

a2−x2 = arcsin(x a) +C, a > 0

11 R dx

1+x2 = arctanx + C

12 R dx

a2 +x2 = 1aarctan(x a) +C, a > 0.