Một số bài toán biên liên kết đối với phương trình điều hòa và song điều hòa

Mục đích của công trình này là xét một số bài toán biên liên kết đối với phương trình điều hòa và song điều hòa trong miền hình dải bằng phương pháp sử dụng biến đổi tích phân Fourier.. [r]

Trang 1

1 Mở đầu

Bài toán biên liên kết (coupling, transmission, interface problems) đối với các phương trình đạo hàm riêng được hình thành khi nghiên cứu những vấn đề nào đó được mô tả bởi các phương trình đạo hàm riêng trong từng miền riêng biệt, tiếp giáp nhau Đại lượng cần tìm trong một miền nào

đó có ảnh hưởng đến các đại lượng cần tìm khác trong những miền khác và ngược lại thông qua các mặt phân cách giữa các miền ([1]-[4], [6] ,[7], v.v )

So với các bài toán biên thông thường của phương trình vật lý toán, các bài toán biên liên kết

ít được nghiên cứu hơn Tuy nhiên, trong vài thập niên gần đây các bài toán liên kết được quan tâm nhiều hơn, chủ yếu là các bài toán liên quan đến âm học, cơ học và tĩnh điện Một số vấn đề thuiicj lĩnh vực này thường được mô tả bởi các phương trình đạo hàm riêng cấp hai ([1], [2], v.v ) Một số vấn đề về nước ngầm có thể được đưa đến bài toán biên liên kết đối với phương trình điều hòa (mô tả nước ngầm) và phương trình song điều hòa (mô tả nền móng) ([3, [4], [6], [7], v.v )

Bài toán liên kết đối với các phương trình đạo hàm riêng đã và đang được nhiều người quan tâm và có nhiều ứng dụng trong kỹ thuât Tuy nhiện, theo như chúng tôi biết, thì các bài toán trên đây phần nhiều mới chỉ được xét trong miền giới nội

Ở đây, chúng tôi xét bài toán biên liên kết kiểu Dirichlet và kiểu Neumann đối với các phương trình điều hòa và song điều hòa trong miền hình dải bằng phương pháp biến đổi tích phân Fourier Các bài toán này là hoàn toàn mới cả về cách đặt vấn đề cũng như phương pháp giải Đã chứng minh định lý tồn tại duy nhất nghiệm và tính trơn của nghiệm trong các không gian Sobolev thích hợp

2 Bài toán biên kiểu Dirichlet

2.1 Phát biểu bài toán

Chúng ta xét phương trình điều hòa:

∆Φ1(x, y) = 0, |x| < ∞, −h < y < 0, (2.1)

Nguyễn Văn Ngọc, Tạ Quang Đông

Tóm tắt:

Mục đích của công trình này là xét một số bài toán biên liên kết đối với phương trình điều hòa và song điều hòa trong miền hình dải bằng phương pháp sử dụng biến đổi tích phân Fourier Đã thiết lập được các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm, cũng như tính trơn của nghiệm các bài toán trong các không gian Sobolev thích hợp

Từ khóa: Phương trình điều hoà, phương trình song điều hòa, bài toán biên liên kết, biến đổi tích phân Fourier

MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN LIÊN KẾT ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU HÒA VÀ SONG ĐIỀU HÒA

Đại học Thăng Long, Đại học Hàng Hải Việt Nam

Trang 2

với các điều kiện biên:

∂Φ2(x, h)

và các điều kiện liên kết trên đường thẳng y = 0 :

∂Φ1(x, 0)

∂Φ2(x, 0)

∂2Φ1(x, 0)

2Φ2(x, 0)

Ở đây, Φ1(x, y), Φ2(x, y) là các hàm cần tìm, còn u(x), r1(x), r2(x) là các hàm đã cho

2.2 Lời giải hình thức của bài toán

Chúng ta sẽ tìm công thức nghiệm của bài toán bằng phương pháp biến đổi Fourier và quy nó

về một hệ phương trình cặp liên quan đến phép biến đổi Fourier ngược Nó được biết đến như một hàm hình thức f (x), x ∈ R (ví dụ, f (x) ∈ L1(R)), phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Fourier ngược được xác định bởi công thức sau:

ˆ

f (ξ) = F [f ](ξ) =

Z ∞

−∞

˘

f (ξ) = F−1[f ](ξ) = 1

2π

Z ∞

−∞

Phép biến đổi Fourier của hàm suy rộng đã được cho, ví dụ như trong [5,??] Thực hiện biến đổi Fourier tương ứng với biến x cho các phương trình (2.1), (2.2) cùng với các điều kiện (2.4)-(2.8) chúng ta có các điều kiện sau:

∂2Φˆ1(ξ, y)

∂4Φˆ2(ξ, y)

∂y4 − 2ξ2∂

2Φˆ1(ξ, y)

ˆ

Φ2(ξ, h) = ˆr1(ξ), ∂ ˆΦ2(ξ, h)

ˆ

Φ1(ξ, 0) = ˆΦ2(ξ, 0), ∂Φ1(ξ, 0)

∂Φ2(ξ, 0)

∂2Φ1(ξ, 0)

2Φ2(ξ, 0)

Công thức nghiệm tổng quát của các phương trình vi phân (2.1) và (2.2) được cho dưới dạng:

ˆ

Φ1(ξ, y) = A1(ξ) cosh(|ξ|y) + B1(ξ) sinh(|ξ|y), (2.15)

Trang 3

Φ2(ξ, y) = A2(ξ) cosh(|ξ|y) + B2(ξ)y cosh(|ξ|y) + C2(ξ) sinh(|ξ|y)

+D2(ξ)y sinh(|ξ|y), (2.16) trong đó A1, B1, A2, B2, C2, D2 là các hàm số tùy ý của biến ξ ∈ R Từ (2.15) và (2.16), bằng cách

sử dụng phép biến đổi ngược F−1 , chúng ta có:

Rõ ràng là: các hàm Φ1(x, y), Φ2(x, y) xác định bởi các công thức (2.17) và (2.18) đều thỏa mãn

các phương trình (2.1), (2.2) và các điều kiện biên hỗn hợp với mọi hệ số A1(ξ), B1(ξ), A2(ξ), B2(ξ), C2(ξ), D2(ξ)

Để thuận tiện, chúng ta đặt:

u(x) := Φ1(x, −h), 0 < x < l

Khi đó ta có:

b

A1(ξ) =u(ξ).b sinh(|ξ|h) cosh(|ξ|h) − |ξ|h

sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h) − |ξ|h cosh(|ξ|h) +br1(ξ) |ξ|h sinh

2(|ξ|h) sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h) − |ξ|h cosh(|ξ|h) +br2(ξ) sinh

2(|ξ|h) − |ξ|h sinh(|ξ|h) cosh(|ξ|h)

|ξ| sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h) − |ξ|h cosh(|ξ|h), (2.20)

2(|ξ|h) sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h) − |ξ|h cosh(|ξ|h) +rb1(ξ) |ξ|h cosh(|ξ|h) sinh(|ξ|h)

sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h) − |ξ|h cosh(|ξ|h) +rb2(ξ) sinh(|ξ|h) cosh(|ξ|h) − |ξ|h cosh

2(|ξ|h)

[sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h) − |ξ|h cosh(|ξ|h)]

+br1(ξ) −|ξ| cosh(2|ξ|h)

sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h) − |ξ|h cosh(|ξ|h), (2.22)

2(|ξ|h) sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h) − |ξ|h cosh(|ξ|h) +br1(ξ)cosh(2|ξ|h) + |ξ|h cosh(|ξ|h) sinh(|ξ|h)

sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h) − |ξ|h cosh(|ξ|h)

−br2(ξ) sinh(|ξ|h) cosh(|ξ|h) + |ξ|h cosh

2(|ξ|h)

|ξ|[sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h) − |ξ|h cosh(|ξ|h)]. (2.23)

Trang 4

A2(ξ) = A1(ξ), D2(ξ) = 0 (2.24) Thế các hệ số A1(ξ), B1(ξ), A2(ξ), B2(ξ), C2(ξ), D2(ξ) vào biểu thức của ˆΦ1(ξ, y), ˆΦ2(ξ, y) ta có:

b

Φ1(ξ, y) =u(ξ)b sinh(|ξ|h) cosh |ξ|(h − y) − |ξ|h cosh(|ξ|y)

sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h) − |ξ|h cosh(|ξ|h) +rb1(ξ) |ξ|h sinh(|ξ|h) sinh |ξ|(h + y)

sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h) − |ξ|h cosh(|ξ|h) +rb2(ξ)[sinh(|ξ|h) − |ξ|h) cosh(|ξ|h)] sinh |ξ|(h + y)

b

Φ2(ξ, y) =bu(ξ)sinh |ξ|(h − y) cosh(|ξ|h) − |ξ|(h − y) cosh(|ξ|y)

sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h) − |ξ|h cosh(|ξ|h) +br1(ξ)n |ξ|h sinh |ξ|(h + y) sinh(|ξ|h)

− cosh(2|ξ|h)[|ξ|y cosh(|ξ|y) − sinh(|ξ|y) sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h) − |ξ|h cosh(|ξ|h)

o

+br2(ξ)nsinh |ξ|(h − y) sinh(|ξ|h) − |ξ|h cosh(|ξ|h) sinh |ξ|(h + y)

|ξ| sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h) − |ξ|h cosh(|ξ|h)

+ |ξ|y sinh(2|ξ|h) cosh(|ξ|y)

o

Nghiệm của bài toán bên trong miền được cho bởi các công thức

Φj(x, y) = F−1[bΦj(ξ, y)](x), (x, y) ∈ Πj, (j = 1, 2)

3 Tính giải được và tính trơn của nghiệm bài toán biên kiểu Dirichlet

3.1 Tính giải được của bài toán

Định lý 1 Giả sử u(x) ∈ H1/2(R), r1(x) ∈ H3/2(R) và r2(x) ∈ H1/2(R) Khi đó, trong lớp các hàm tăng chậm, tồn tại duy nhất nghiệm {Φ1, Φ2} của bài toán (2.1)-(2.8) Nghiệm của bài toán được cho bởi các công thức (2.17), (2.18), trong đó các bΦ1(ξ, y) và bΦ2(ξ, y) tương ứng được cho bởi các công thức (2.25) và (2.26)

Chứng minh Đặt:

Π1 := {(x, y) : −∞ < x < ∞, −h < y < 0},

Π2 := {(x, y) : −∞ < x < ∞, 0 < y < h}

Trang 5

Vì bΦ1(ξ, y) và bΦ2(ξ, y) tương ứng là nghiệm của các phương trình vi phân (2.11) và (2.12), ngoài

ra theo biến ξ các hàm này giảm theo quy luật hàm mũ khi −h < y < h, nên ta có:

∆Φ1(x, y) = F−1

h∂2Φb1(ξ, y)

∂y2 − ξ2Φb1(ξ, y)

i

= 0 trong Π1,

∆2Φ(x, y) = F−1h∂

4

b Φ(ξ, y)

∂y4 − 2ξ2∂

2

b Φ(ξ, y)

∂y2 + ξ4Φ(ξ, y)b i(x) = 0 trong Π2

Như vậy, các phương trình đạo hàm riêng (2.1) và (2.2) được thỏa mãn Bằng cách chuyển qua giới hạn cũng có thể dễ dàng được được kiểm tra Như vậy sự tồn tạo nghiệm của bài toán đã được chứng minh

Tính duy nhất nghiệm của bài toán trong lớp các hàm tăng chậm (các không gian Sobolev) được suy ra từ tính duy nhất của biến đổi Fourier trong lớp các hàm tăng chậm

3.2 Tính trơn của nghiệm bài toán

Xét các không gian Sobolev H1(Πj), Hm(Πj,ε), (∀m ≥ 2, ∀ε > 0, j = 1, 2), trong đó:

Π1,ε := {(x, y) : −∞ < x < ∞, −h + ε < y < 0},

Π2,ε:= {(x, y) : −∞ < x < ∞, 0 < y < h − ε}

Định lý 2 Giả sử các điều kiện của Định lý 1 được thỏa mãn Khi đó ta có Φj(x, y) ∈ H1(Πj), Φj(x, y) ∈

Hm(Πj, ε), j = 1, 2.m ≥ 2

4 Bài toán biên kiểu Neumann

4.1 Phát biểu bài toán

Trong bài toán này, điều kiện Dirichlet (2.3) được thay bởi điều kiện Neumann sau đây

∂Φ1(x, −h)

4.2 Lời giải hình thức của bài toán

Chúng ta cũng sẽ tìm công thức nghiệm của bài toán này bằng phương pháp biến đổi Fourier Thực hiện biến đổi Fourier tương ứng với biến x cho các phương trình (2.1), (2.2) cùng với các điều kiện (2.4)-(2.8), ta được các công thức (2.11)-(2.16)

Tác động biến đổi Fourier lên điều kiện (4.1), ta có

b

v (ξ) = −iξ bΦ1(ξ, −h)

Suy ra

b

v (ξ) = −iξ (A1cosh |ξ| h − B1sinh |ξ| h) = −iξ.u (ξ) ,b trong đó bu (ξ) = F [u(x)](ξ) = F [Φ(x, −h)](ξ) đã được biết đến trong mục trước Vì vậy:u =b ξibv Thay biểu thức này vào các công thức của Aj(ξ), Bj(ξ), Cj(ξ), Dj(ξ), (j = 1, 2) trong bài toán Dirichlet, tức là các công thức (2.20)-(2.24), ta được:

Trang 6

A1(ξ) =bv(ξ).i

ξ.

sinh(|ξ|h) cosh(|ξ|h) − |ξ|h sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h) − |ξ|h cosh(|ξ|h) +br1(ξ) |ξ|h sinh

2(|ξ|h) sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h) − |ξ|h cosh(|ξ|h) +br2(ξ) sinh

2(|ξ|h) − |ξ|h sinh(|ξ|h) cosh(|ξ|h)

B1(ξ) = −bv(ξ).i

ξ.

sinh2(|ξ|h) sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h) − |ξ|h cosh(|ξ|h) +rb1(ξ) |ξ|h cosh(|ξ|h) sinh(|ξ|h)

sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h) − |ξ|h cosh(|ξ|h) +rb2(ξ) sinh(|ξ|h) cosh(|ξ|h) − |ξ|h cosh

2(|ξ|h)

B2(ξ) =v(ξ).b i

ξ.

|ξ|

+br1(ξ) −|ξ| cosh(2|ξ|h)

sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h) − |ξ|h cosh(|ξ|h), (4.4)

C2(ξ) =bv(ξ).i

ξ.

− cosh2(|ξ|h) sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h) − |ξ|h cosh(|ξ|h) +br1(ξ)cosh(2|ξ|h) + |ξ|h cosh(|ξ|h) sinh(|ξ|h)

−br2(ξ) sinh(|ξ|h) cosh(|ξ|h) + |ξ|h cosh

2(|ξ|h)

|ξ|[sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h) − |ξ|h cosh(|ξ|h)], (4.5)

Thế các hệ số A1(ξ), B1(ξ), A2(ξ), B2(ξ), C2(ξ), D2(ξ) vào biểu thức của ˆΦ1(ξ, y), ˆΦ2(ξ, y) ta có:

b

Φ1(ξ, y) =bv(ξ).i

ξ.

sinh(|ξ|h) cosh |ξ|(h − y) − |ξ|h cosh(|ξ|y) sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h) − |ξ|h cosh(|ξ|h) +rb1(ξ) |ξ|h sinh(|ξ|h) sinh |ξ|(h + y)

sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h) − |ξ|h cosh(|ξ|h) +rb2(ξ)[sinh(|ξ|h) − |ξ|h) cosh(|ξ|h)] sinh |ξ|(h + y)

Trang 7

Φ2(ξ, y) =bv(ξ).i

ξ.

sinh |ξ|(h − y) cosh(|ξ|h) − |ξ|(h − y) cosh(|ξ|y) sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h) − |ξ|h cosh(|ξ|h) +br1(ξ) |ξ|h sinh |ξ|(h + y) sinh(|ξ|h)

− cosh(2|ξ|h)[|ξ|y cosh(|ξ|y) − sinh(|ξ|y)]

sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h) − |ξ|h cosh(|ξ|h) +br2(ξ)nsinh |ξ|(h − y) sinh(|ξ|h) − |ξ|h cosh(|ξ|h) sinh |ξ|(h + y)

+ |ξ|y sinh(2|ξ|h) cosh(|ξ|y)

o

Nghiệm của bài toán bên trong miền được cho bởi các công thức

Φj(x, y) = F [bΦj(ξ, y)](x), (x, y) ∈ Πj, (j = 1, 2)

5 Tính giải được và tính trơn của nghiệm bài toán biên kiểu Neu-mann.

Có các kết quả sau đây

Định lý 3 Giả sử v(x) ∈ H−1/2(R), r1(x) ∈ H3/2(R) và r2(x) ∈ H1/2(R) Khi đó, trong lớp các hàm tăng chậm, tồn tại duy nhất nghiệm {Φ1, Φ2} của bài toán (2.1)-(2.8) (trong đó điều kiện (2.3) được thay bởi điều kiện (4.1)) Nghiệm của bài toán được cho bởi các công thức (2.17), (2.18), trong đó các bΦ1(ξ, y) và bΦ2(ξ, y) tương ứng được cho bởi các công thức (4.7) và (4.8)

Định lý 4 Giả sử các điều kiện của Định lý 3 được thỏa mãn Khi đó ta có Φj(x, y) ∈ H1(Πj), Φj(x, y) ∈

Hm(Πj, ε), j = 1, 2.m ≥ 2

Các định lý này được chứng minh hoàn toàn tương tự như các định lý 1 và 2

Tài liệu

[1] A.S.Bonnet-Ben Dhia, J.F.Mercier, F.Millot, S.Perner and E.Peynaud, Time-Harmonic Acous-tic Scattering in a complex Flow: A full coupling between AcousAcous-tics and Hydrodynamics Com-mun.comput.Phys Vol 11, No 2, 555-572, 2012

[2] I.L Chem and Y.C Shu, A coupling interface method for elliptic interface problems, Journal

ò Computational Physics, 225 (2), 2138-2174, 2007

[3] Igor Mozolevski, Endrei Suli , Discontinuous Galerkin Method for Interface problems of cou-pling different elliptic equations, 5th European Finite Element Fair Methods, Marseille, 17-19 May 2007

[4] Paolo Gervasio ,Homogeneous and heterogeneous domain decomposition methods for plate bend-ing problems, Comput Methods Appl Mech Engrg, 194 (2005), 4321-4343

Định dạng
Số trang	7
Dung lượng	513,7 KB