Đề thi và Đáp án Vào lớp 10 Môn Toán Hà Nội Năm 2017

tích khối nón và diện tích xung quanh của hình nón đã cho. Tính diện tích xung quanh hình nón và thể tích khối nón đó. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân c[r]

-MỤC LỤC -

Ôn tập 1: Kiến thức cơ bản lớp 9 – 10 trang 2 Ôn tập 2: Kiến thức cơ bản lớp 11 trang 3 - 6 Ôn tập 3: Kiến thức cơ bản lớp 12 trang 7 Các dạng bài tập trang 8 Loại 1: thể tích lăng trụ trang 8 – 16 Dạng 1: khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy

Dạng 2: lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Dạng 3: lăng trụ đứng có góc giữa hai mặt phẳng

Dạng 4: khối lăng trụ xiên

Loại 2: thể tích khối chóp trang 16 – 27 Dạng 1: khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

Dạng 2: khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy

Dạng 3: khối chóp đều

Dạng 4: khối chóp và phương pháp tỉ số thể tích

Dạng 5: tổng hợp khối chóp và lăng trụ

Loại 3: thể tích khối tròn trang 27 – 37 Dạng 1: hình trụ

Dạng 2: hình nón

Dạng 3: hình cầu

Dạng 4: tổ hợp khối tròn

Bài tập ôn tập trang 37 – 41 Đề thi cao đẳng các năm trang 41 Đề thi đại học các năm trang 42 – 43 Phụ lục trang 44 – 48 -o0o -

ÔN TẬP 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 – 10

Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là , , ; độ dài các đường trung tuyến là , , ; bán kính đường tròn ngoại tiếp ; bán kính đường tròn nội tiếp ; nữa chu vi

1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho ∆ vuông ở , ta có:

d) = 2

e) sin = ; cos = ; tan = ; cot =

f) = sin = cos ; = sin = cos ;

c) Diện tích hình chữ nhật: = dài rộng

d) Diện tích hình thoi: = (chéo dài chéo ngắn)

e) Diện tích hình thang: = (đáy lớn đáy nhỏ) chiều cao

f) Diện tích hình bình hành: = đáy chiều cao =

g) Diện tích hình tròn: =

h) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: =

ÔN TẬP 2: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11

A QUAN HỆ SONG SONG:

§1 – ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

ĐL1: Nếu đường thẳng không nằm

trên mp ( ) và song song với đường

ĐL2: Nếu đường thẳng song song

với mp ( ) thì mọi mp ( ) chứa mà

cắt mp ( ) thì theo giao tuyến song

song với

∥( )

⊂ ( ) ( ) ∩ ( ) =

ĐL3: Nếu hai mp cắt nhau cùng song

song với một đường thẳng thì giao

tuyến của chúng song song với đường

Hai mặt phẳng được gọi là song song,

nếu chúng không có điểm nào chung ( ) ∥ ( ) ⇔ ( ) ∩ ( ) = ∅

2 Các định lý:

ĐL1: Nếu mp ( ) chứa 2 đường thẳng

, cắt nhau và cùng song song với

mp ( ) thì ( ) và ( ) song song với

ĐL2: Nếu một đường thẳng thuộc một

trong hai mặt phẳng song song thì

song song với mặt phẳng kia

a

(P)

a d

(P)

d

a (Q)

(P)

a d

(Q) (P)

(Q) (P)

I a b

(Q) (P)

a

(Q) (P)

R

b a

(Q) (P)

CHỨNG MINH QUAN HỆ SONG SONG

1 Chứng minh hai đường thẳng song song: ta sử dụng một trong các cách sau:

 Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song như trong hình học phẳng (tính chất đường trung bình, định lý Talets đảo,…)

 Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba

 Áp dụng các định lý về giao tuyến song song

2 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng:

để chứng minh ( ) ∥ ( ), ta chứng minh ( ) ∉ ( )

( ) ∥ ( ′) với ( ′) ∈ ( )

3 Chứng minh hai mặt phẳng song song:

Ta chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau, lần lượt song song với hai đường thẳng trong mặt phẳng kia

B QUAN HỆ VUÔNG GÓC:

§1 – ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

1 Định nghĩa:

Một đường thẳng được gọi là vuông

góc với một mặt phẳng nếu nó vuông

góc với mọi đường thẳng nằm trên

mặt phẳng đó

⊥ ( ) ⇔ ⊥ ; ∀ ⊂ ( )

2 Các định lý:

ĐL1: Nếu đường thẳng vuông góc

với hai đường thẳng cắt nhau và

ĐL2: (ba đường vuông góc) Cho

đường thẳng không vuông góc với

mp ( ) và đường thẳng nằm trong

( ) Khi đó, điều kiện cần và đủ để

vuông góc với là vuông góc với

hình chiếu ’ của trên ( )

b

d

a (P)

b a' a

(P)

a

(Q) (P)

ĐL2: Nếu hai mặt phẳng ( ) và ( )

vuông góc với nhau thì bất đường

thẳng nào nằm trong ( ), vuông góc

với giao tuyến của ( ) và ( ) đều

vuông góc với mặt phẳng ( )

( ) ⊥ ( ) ( ) ∩ ( ) =

⊂ ( ); ⊥

⇒ ⊥ ( )

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng ( ) và ( )

vuông góc với nhau và là một điểm

trong ( ) thì đường thẳng đi qua

điểm và vuông góc với ( ) sẽ nằm

⇒ ⊥ ( )

CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC

1 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc: để chứng minh ⊥ ta sử dụng một trong các cách

 Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như định lý pi-ta-go,…)

2 Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng: để chứng minh ⊥ ( ) ta sử dụng một trong các cách sau:

 Chứng minh vuông góc với hai đường thẳng và cắt nhau nằm trong ( )

đường thẳng (hoặc đến mp ( )) là khoảng cách

giữa hai điểm và , trong đó là hình chiếu

của trên đường thẳng (hoặc trên mp ( ))

( , )= ; ( ) =

d

a

(Q) (P)

A a

(Q) (P)

a

(R)

(Q) (P)

O

H (P)

O

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng

song song: khoảng cách giữa đường thẳng a và mp

( ) song song với là khoảng cách từ một điểm

nào đó của a đến mp ( )

, ( ) =

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: là

khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng

này đến mặt phẳng kia

( ), ( ) =

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường

thẳng đó

( , ) =

§4 – GÓC

Góc giữa hai đường thẳng và : là góc giữa hai

đường thẳng ’ và ’ cùng đi qua một điểm và lần

lượt cùng phương với hai đường thẳng và

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ( ): là

góc giữa và hình chiếu ’ của nó lên mp ( )

Góc giữa hai mặt phẳng: là góc giữa hai đường

thẳng lần lượt vuông góc với hai mp đó

Hoặc là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai

mp cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm

Diện tích hình chiếu: gọi là diện tích của đa

giác ( ) trong mp ( ) và ’ là diện tích hình chiếu

( ’) của ( ) lên mp ( ’) thì

=Trong đó là góc giữa hai mp ( ) và ( ’)

a

H (P)

O

(Q)

O

H (P)

b a

B A

b'

a'

b a

a' a

(P)

b

(Q) (P)

a b

a

(Q) (P)

φ

C

B A

S

ÔN TẬP 3: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12

Với: là diện tích đáy, ℎ là chiều cao

Tỉ số thể tích tứ diện: cho tứ diện và

’, ’, ’ là các điểm tùy ý lần lượt thuộc

Với: , ’ là diện tích hai đáy, ℎ là chiều cao

 Đường chéo của hình vuông cạnh a là = √2

 Đường chéo của hình lập phương cạnh a là = √3

 Đường chéo hình chữ nhật có 3 cạnh là a, b, c là = √ + +

 Đường cao của tam giác đều là ℎ = √

 Hình chóp đều là hình chóp là đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau (hoặc đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy)

 Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều

 Diện tích xung quanh của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích các mặt bên

 Diện tích toàn phần của hình lăng trụ (hình chóp) bằng diện tích xung quanh cộng với diện tích

đáy

D

C B

A S

C' B' A'

D

B A S

C'

B'

A' C

LOẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ

Dạng 1: khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy

Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ′ ′ ′ là tam giác vuông cân tại , có cạnh = √2

và ′ = 3 Tính thể tích khối lăng trụ

Giải:

Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ′ ′ ′ ′ có cạnh bên bằng 4 và đường chéo bằng 5 Tính thể tích khối lăng trụ này Giải:

Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ′ ′ ′ là tam giác đều cạnh = 4, và biết diện tích tam giác ′ bằng 8 Tính thể tích khối lăng trụ này Giải:

Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng, có đáy là hình thoi cạnh và có góc nhọn bằng 60 Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ Tính thể tích lăng trụ

Giải:

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1 Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều, biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ Đáp số: = √ ; = 3

2 Cho lăng trụ đứng ′ ′ ′ ′ có đáy là tứ giác đều cạnh , biết rằng = √6 Tính thể tích

3 Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6 và 8 , biết rằng chu vi hai đáy bằng hai lần chiều dài hình trụ Tính thể tích và tổng diện tích các mặt của lăng trụ

Đáp số: = 240 ; = 248

4 Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37 , 13 , 30 và biết tổng diện tích các mặt

5 Cho lăng trụ đứng tam giác ′ ′ ′ có đáy là tam giác vuông cân tại , biết rằng chiều cao lăng trụ là 3 và mặt bên ′ ′ có đường chéo là 5 Tính thể tích lăng trụ Đáp số: = 24

6 Cho lăng trụ đứng tứ giác đều, có tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổng diện tích các mặt của lăng trụ

7 Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 19 , 20 , 37 và chiều cao khối lăng trụ bằng trung bình cộng các cạnh đáy Tính thể tích lăng trụ Đáp số: = 2888

8 Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt là 24 Tính thể tích khối lập phương

Đáp số: = 8

9 Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước tỉ lệ thuận với 3, 4, 5 Biết rằng độ dài một đường chéo của hình

10 Cho hình hộp chữ nhật biết rằng các đường chéo của các mặt có độ dài lần lượt là √5; √10; √13 Tính

Dạng 2: lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ′ ′ ′ có đáy là ∆ vuông cân tại , với = = và hợp với ( ) một góc 60 Tính thể tích khối lăng trụ

Giải:

Ví dụ 2: cho lăng trụ đứng tam giác ′ ′ ′ là tam giác vuông tại , với = , = 60 và ′ hợp với ( ) một góc 30 Tính ′ và thể tích khối lăng trụ Giải:

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ′ ′ ′ ′ có đáy là hình vuông cạnh và đường chéo ′ của lăng trụ hợp với đáy ( ) một góc 30 Tính thể tích và tổng diện tích của các mặt bên của lăng trụ Giải:

Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ′ ′ ′ ′ có đáy là hình thoi cạnh và = 60 , ′ hợp với đáy ( ) một góc 30 Tính thể tích khối hộp

Giải:

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1 Cho lăng trụ đứng ′ ′ ′ có đáy vuông cân tại , biết = và hợp với mặt bên

2 Cho lăng trụ đứng ′ ′ ′ có đáy vuông tại , biết = = và ′ hợp với đáy ( )

3 Cho lăng trụ đứng ′ ′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh biết ′ hợp với mặt bên ( ′ ′) một góc 30 Tính độ dài ′ và thể tích khối lăng trụ này Đáp số: ′ = √3; = √

4 Cho lăng trụ đứng ′ ′ ′ có đáy vuông tại , biết = và = 60 , ′ hợp với mặt bên ( ′ ′ ) một góc 30 Tính thể tích lăng trụ và diện tích Đáp số: = √6; = √

5 Cho lăng trụ tam giác đều ′ ′ ′ có khoảng cách từ đến mặt phẳng ( ′ ) bằng a và ′ hợp với mặt phẳng ( ′ ) một góc 30 Tính thể tích lăng trụ Đáp số: =

6 Cho hình hộp chữ nhật ′ ′ ′ ′ có đường chéo = và ′ hợp với mặt phẳng ( ) một góc 30 và ( ′ ′) một góc 45 Tính thể tích khối hộp chữ nhật Đáp số: = √

7 Cho hình hộp đứng ′ ′ ′ ′ có đáy là hình vuông Gọi là tâm và = Tính thể tích khối hộp khi

a) ′ ′ ′ ′ là khối lập phương b) hợp với đáy ( ) một góc 60 c) hợp với ( ′ ′) một góc 30 Đáp số: ) = √

; ) = √ ; ) = √

8 Cho lăng trụ đứng ′ ′ ′ ′ có đáy là hình vuông và = Tính thể tích lăng trụ khi a) hợp với đáy một góc 60

b) hợp với mặt bên ( ′ ′ ) một góc 30 Đáp số: ) = √ ; ) = √

9 Chiều cao của lăng trụ tứ giác đều bằng a và góc giữa hai đường chéo xuất phát từ một đỉnh của hai mặt bên kề nhau là 60 Tính thể tích lăng trụ và tổng diện tích các mặt của lăng trụ

Đáp số: = ; = 6

10 Cho hình hộp chữ nhật ′ ′ ′ ′ có = ; = ; ′ = và = = =

a) Chứng minh ′ ′ ′ ′ là hộp chữ nhật

b) Gọi ; ; là góc hợp bởi một đường chéo và ba mặt cùng đi qua một đỉnh thuộc đường chéo Chứng minh rằng: sin + sin + sin = 1

Dạng 3: lăng trụ đứng có góc giữa hai mặt phẳng

Ví dụ 1: cho lăng trụ đứng tam giác ′ ′ ′ có đáy là tam giác vuông cân tại , với = =

và ( ) hợp với ( ) một góc 60 Tính thể tích khối lăng trụ

Giải:

Ví dụ 2: cho lăng trụ đứng tam giác ′ ′ ′ có đáy là tam giác đều , mặt phẳng ( ′ ) hợp với đáy một góc 30 và diện tích tam giác ′ bằng 8 Tính thể tích khối lăng trụ Giải:

Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác đều ′ ′ ′ ′ có cạnh đáy bằng và mặt phẳng ( ′) hợp với đáy ( ) một góc 60 Tính thể tích khối hộp chữ nhật Giải:

Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ′ ′ ′ ′ có cạnh ′ = 2 , mặt phẳng ( ) hợp với đáy ( ) một góc 60 , hợp với đáy ( ) một góc 30 Tính thể tích khối hộp chữ nhật

Giải:

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1 Cho hình hộp chữ nhật ′ ′ ′ ′ có cạnh ′ = , biết đường chéo hợp với đáy ( ) một góc 30 , và mặt phẳng ( ) hợp với đáy ( ) một góc 60 Tính thể tích khối hộp chữ nhật

Đáp số: = 2 √

2 Cho lăng trụ đứng ′ ′ ′ ′ có đáy là hình vuông và cạnh bên bằng , mặt phẳng ( ′ ′) hợp với đáy một góc 30 Tính thể tích khối lăng trụ Đáp số: = 3

3 Cho lăng trụ đứng ′ ′ ′ có đáy là tam giác vuông cân tại , và = 2 mặt phẳng ( ′ ) hợp với đáy một góc 45 Tính thể tích khối lăng trụ Đáp số: = √2

4 Cho lăng trụ đứng ′ ′ ′ có đáy vuông cân tại , biết = = và = 120 , mặt phẳng ( ) hợp với đáy một góc 45 Tính thể tích lăng trụ Đáp số: = √

5 Cho lăng trụ đứng ′ ′ ′ có đáy là tam giác vuông tại , và ′ = = ℎ biết rằng mặt phẳng ( ) hợp với đáy một góc 60 Tính thể tích lăng trụ Đáp số: = √

6 Cho lăng trụ đứng ′ ′ ′ có đáy là tam giác đều, cạnh bên = Tính thể tích lăng trụ khi:

a) Mặt phẳng ( ′ ) hợp với đáy một góc 60

b) hợp với đáy một góc 45 Đáp số: ) = √3; ) = √ ; ) = √3 c) Chiều cao kẻ từ của tam giác ′ bằng độ dài cạnh đáy của hình trụ

7 Cho lăng trụ tứ giác đều ′ ′ ′ ′ có cạnh bên = 2 Tính thể tích lăng trụ khi:

a) mp ( ′) hợp với đáy một góc 45

b) ′ hợp với đáy một góc 60

c) Khoảng cách từ đến mp ( ′) bằng Đáp số: ) = 16 ; ) = 12 ; ) =

8 Cho lăng trụ đứng ′ ′ ′ ′ có đáy là hình vuông cạnh Tính thể tích lăng trụ khi:

a) Mặt phẳng ( ′) hợp với đáy ( ) một góc 60

b) Tam giác ′ đều

c) ′ hợp với đáy ( ) một góc 45

Đáp số: ) = √ ; ) = ; ) = √2

9 Cho lăng trụ đứng ′ ′ ′ ′ có đáy là hình thoi cạnh và = 60 Tính thể tích lăng trụ khi: a) Mặt phẳng ( ′) hợp với đáy ( ) một góc 60

b) Khoảng cách từ đến ( ′) bằng

c) ′ hợp với đáy ( ) một góc 45

Đáp số: ) = √ ; ) = √ ; ) =

10 Cho hình hộp chữ nhật ′ ′ ′ ′ có = 5 ; = 3 Tính thể tích lăng trụ khi:

a) =

b) hợp với mặt phẳng ( ′ ′ ) một góc 30

c) Mặt phẳng ( ) hợp với đáy ( ) một góc 30

Đáp số: ) = 8 √2; ) = 5 √11; ) = 16

Dạng 4: khối lăng trụ xiên

Ví dụ 1: cho lăng trụ xiên tam giác ′ ′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh biết cạnh bên là √3

và hợp với đáy ( ) một góc 60 Tính thể tích khối lăng trụ

Giải:

Ví dụ 2: cho lăng trụ xiên tam giác ′ ′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh hình chiếu ′ xuống mặt phẳng ( ) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác và ′ hợp với đáy một góc 60 Chứng minh ′ ′ là hình chữ nhật và tính thể tích lăng trụ Giải:

Ví dụ 3: Cho hình hộp ′ ′ ′ ′ có đáy là hình chữ nhật với = √3; = √7, hai mặt bên ( ′ ′) và ( ′ ′) lần lượt tạo với đáy góc 45 và 60 Tính thể tích hình hộp nếu cạnh bên bằng 1

Giải:

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1 Cho lăng trụ ′ ′ ′ có các cạnh đáy là 13; 14; 15 biết cạnh bên bằng 2 và hợp với đáy ( )

2 Cho lăng trụ ′ ′ ′ ′ có đáy là hình vuông cạnh , và cạnh bên bằng 8, hợp với đáy một

3 Cho hình hộp ′ ′ ′ ′ có = ; = ; ′ = và = 30 Cạnh bên ′ hợp với đáy

4 Cho lăng trụ tam giác ′ ′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh , và điểm ′ cách đều , , và

5 Cho lăng trụ ′ ′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh , đỉnh ′ có hình chiếu lên mặt phẳng ( ) nằm trên đường cao của tam giác mặt bên ( ′ ) hợp với đáy một góc 60

a) Chứng minh ′ ′ là hình chữ nhật

6 Cho lăng trụ ′ ′ ′ có đáy là tam giác đều tâm , cạnh bên = và hợp với đáy một góc

60 và ′ có hình chiếu lên trùng với

a) Chứng minh ′ ′ là hình chữ nhật, tính diện tích

7 Cho lăng trụ ′ ′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh , biết chân đường vuông góc hạ từ ′ trên

trùng với trung điểm của và =

a) Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ

8 Cho hình hộp ′ ′ ′ ′ có 6 mặt là hình thoi cạnh , hình chiếu vuông góc của ′ trên ( ) nằm trong hình thoi, các cạnh xuất phát từ hợp đôi một tạo với nhau một góc 60

a) Chứng minh nằm trên đường chéo của ( )

b) Tính diện tích các mặt chéo ( ′ ′) và ( ′ ′)

9 Cho lăng trụ xiên ′ ′ ′ có đáy là tam giác đều tâm hình chiếu của trên ( ) là Tính thể tích lăng trụ biết khoảng cách từ đến ′ là a và hai mặt bên ′ ′ và ′ ′ vuông góc

Đáp số: =

√

10 Cho hình hộp ′ ′ ′ ′ có đáy là hình thoi cạnh và = 60 , chân đường vuông góc hạ

từ ′ xuống trùng với giao điểm hai đường chéo đáy, biết =

a) Tìm góc hợp bởi cạnh bên và đáy

b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình hộp Đáp số: ) = 60 ; ) = ; = √15

LOẠI 2: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

Dạng 1: khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

Ví dụ 1: Cho hình chóp có = = = = hai mặt ( ) và ( ) cùng vuông góc với ( ) Tính thể tích hình chóp

Giải:

Ví dụ 2: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại , với = Biết vuông góc với đáy và hợp với đáy một góc 45 a) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông b) Tính thể tích hình chóp Giải:

Ví dụ 3: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , biết vuông góc với đáy và ( ) hợp với đáy một góc 60 Tính thể tích hình chóp

Giải:

Ví dụ 4: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , vuông góc với đáy và mặt bên ( ) hợp với đáy một góc 60 Tính thể tích hình chóp và khoảng cách từ đến mặt phẳng ( ) Giải:

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại với = = , biết vuông góc với đáy và hợp với ( ) một góc 30 Tính thể tích hình chóp Đáp số: = √

2 Cho khối chóp có vuông góc với đáy và = ℎ, biết tam giác đều và mặt ( ) hợp với đáy một góc 30 Tính thể tích khối chóp Đáp số: = √

3 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại và vuông góc với đáy , = hợp với ( ) một góc 30 và ( ) hợp với ( ) một góc 60 Chứng minh rằng = +

4 Cho tứ diện có ⊥ ( ), biết = = 4 ; = 3 ; = 5

a) Tính thể tích tứ diện

b) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng ( ) Đáp số: ) = 8 ; ) =

√

5 Cho hình chóp có đáy là tam giác cân tại với = 2 và = 120 ; biết ⊥ ( ), và mặt ( ) hợp với đáy một góc 45 Tính thể tích hình chóp Đáp số: =

6 Cho hình chóp có đáy là hình vuông, biết ⊥ ( ), và = và hợp với đáy

7 Cho khối chóp có đáy là hình chữ nhật, biết ⊥ ( ), hợp với đáy một góc

8 Cho khối chóp có đáy là hình thoi cạnh và = 60 Biết ⊥ ( ) và khoảng cách từ đến bằng Tính thể tích khối chóp Đáp số: = √

9 Cho khối chóp có đáy là hình thang vuông tại và , Biết = = , = 2 và

⊥ ( ) và ( ) hợp với đáy một góc 60 Tính thể tích Đáp số: = √

10 Cho khối chóp có đáy là nữa lục giác đều nội tiếp trong nữa đường tròn đường kính

= 2 , biết mặt phẳng ( ) hợp với đáy một góc 45 Tính thể tích Đáp số: =

Dạng 2: khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy

Ví dụ 1: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và mặt bên ( ) hợp với đáy một góc 60 Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh và tính thể tích hình chóp

Giải:

Ví dụ 2: Cho tứ diện có đáy là tam giác đều, là tam giác vuông cân tại Biết ( ) ⊥ ( ) và hợp với ( ) một góc 60 Tính thể tích tứ diện Giải:

Ví dụ 3: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại và = Mặt bên ( ) vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với đáy một góc 45 Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh và tính thể tích hình chóp

Giải:

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1 Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh Tam giác cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh

2 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại và = = Tam giác cân tại

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Mặt phẳng ( ) hợp với ( ) một góc 45

3 Cho hình chóp có = 90 ; = 30 là tam giác đều cạnh , và ( ) ⊥ ( )

4 Cho hình chóp có đáy là tam giác đều, tam giác có đường cao = ℎ và ( ) ⊥ ( ), biết hợp với mặt ( ) hợp một góc 30 tính thể tích Đáp số: = √

5 Cho tứ diện có và là hai tam giác đều nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau,

6 Cho hình chóp có đáy là hình vuông, mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao SH=h, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh

7 Cho khối chóp có đáy là hình chữ nhật, biết ∆ đều cạnh và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy Biết ( ) hợp với đáy một góc 30 Tính thể tích Đáp số: = √

8 Cho khối chóp có đáy là hình chữ nhật có = 2 , = 4 Biết ( ) ⊥ ( )

và hai mặt bên ( ) và ( ) cùng hợp với đáy một góc 30 Tính thể tích khối chóp

Đáp số: = √

9 Cho khối chóp có đáy là hình thoi, Biết = 2 = 2 và tam giác vuông cân tại , nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy Tính thể tích Đáp số: = √

10 Cho khối chóp có đáy là hình thang vuông tại và , = = ; = 2 Biết

∆ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy Tính thể tích Đáp số: = √

Dạng 3: khối chóp đều

Ví dụ 1: Cho khối chóp đều có cạnh đáy bằng , và cạnh bên bằng 2 Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ của hình chóp là tâm tam giác đều Tính thể tích khối chóp đều

Giải:

Ví dụ 2: Cho khối chóp tứ giác có tất cả các cạnh độ dài bằng a a) Chứng minh rằng S.ABCD là khối chóp tứ giác đều b) Tính thể tích tứ diện Giải:

Ví dụ 3: Cho tứ diện đều có cạnh bằng , là trung điểm

a) Tính thể tích tứ diện đều

b) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng ( ) Suy ra thể tích hình chóp

Giải:

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1 Cho hình chóp đều có cạnh bên bằng và hợp với đáy một góc 60 Tính thể tích hình chóp

Đáp số: =

2 Cho hình chóp đều có cạnh bên là , góc ở đáy của mặt bên là 45

a) Tính độ dài chiều cao của hình chóp

√ ; ) =

3 Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy là , mặt bên hợp với đáy một góc 60 Tính thể tích

4 Cho hình chóp tam giác đều có đường cao ℎ, và hợp với một mặt bên góc 30 Tính thể tích hình chóp

Đáp số: = √

5 Cho hình chóp tam giác đều có đường cao ℎ, và mặt bên có góc ở đỉnh là 60 Tính thể tích hình chóp

Đáp số: = √

6 Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là và = 60

a) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều

7 Cho hình chóp tứ giác đều có đường cao ℎ, và mặt bên có góc ở đỉnh là 60 Tính thể tích hình chóp

Đáp số: =

8 Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45 , và khoảng cách từ chân đường cao của hình chóp đến mặt bên bằng Tính thể tích hình chóp

Đáp số: = √

9 Cho hình chóp tứ giác đều cạnh bên bằng và hợp với đáy góc 60 Tính thể tích hình chóp

Đáp số: = √

10 Cho hình chóp có tất cả các cạnh bằng nhau

a) Chứng minh rằng, là khối chóp tứ giác đều

b) Tính cạnh của hình chóp biết thể tích khối chóp là = √ Đáp số: 3

Ví dụ 2: Cho tam giác vuông cân ở , và = trên đường thẳng qua và vuông góc với mặt phẳng ( ) lấy điểm sao cho = Mặt phẳng qua vuông góc với , cắt tại và tại

c) Tính thể tích tứ diện

Giải:

Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác đều Một mặt phẳng ( ) qua , và trung điểm của Tính tỉ

số thể tích của hai phần khối chóp được phân chia bởi mặt phẳng đó

Giải:

Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều , đáy là hình vuông cạnh , cạnh bên tạo với đáy góc 60 Gọi

là trung điểm , mặt phẳng đi qua và song song với , cắt tại và tại

a) Hãy xác định mặt phẳng b) Tính thể tích khối chóp

c) Tính thể tích khối chóp

Giải:

Ví dụ 5: Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh và ⊥ và = √2 gọi

′, ′ là hình chiếu của lần lượt lên , Mặt phẳng ( ′ ′) cắt tại ′

a) Tính thể tích khối chóp

b) Chứng minh ⊥ ( ′ ′)

c) Tính thể tích khối chóp ′ ′ ′

Giải:

3 Cho tứ diện đều có thể tích 12 , gọi ; lần lượt là trung điểm của ; Lấy trên

4 Cho tứ diện đều có cạnh , Lấy ′; ′ trên ; sao cho = ; = Tính thể tích tứ

8 Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , chiều cao = ℎ Gọi là trung điểm ,

mp chứa song song với lần lượt cắt , tại và Tính thể tích hình chóp

Đáp số: =

9 Cho hình chóp có đáy ABCD là hình bình hành và I là trung điểm SC Mặt phẳng qua AI và song song với BD chia hình chóp thành 2 phần Tính tỉ số thể tích của hai hình này Đáp số: =

10 Cho hình chóp có đáy ABCD là hình bình hành, Lấy điểm M trên SA sao cho = Tìm X

để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau Đáp số: = √