Bài giảng Toán 1: Chương 2 - Nguyễn Anh Thi

trong Y laø moät quy taéc cho töông öùng moãi soá x thuoäc X vôùi moät soá. y duy nhaát thuoäc Y.[r]

Bài giảng Toán 1

Giảng viên Nguyễn Anh Thi

2016

Chương 2

HÀM SỐ VÀ LIÊN TỤC

Hàm số

Định nghĩa

Cho hai tập hợp X, Y ⊂ R. Hàm sốf xác định trên X, nhận giá trị

trong Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi số x thuộc X với một số

y duy nhất thuộc Y Ta viết

f : X −→ Y

x 7−→ y = f(x) Nghĩa là với mỗi x ∈ X, tồn tại duy nhất y ∈ Y sao cho y = f(x).

Ví dụ

f : R −→ R

x 7−→ f(x) = x2

Định nghĩa

Số L được gọi làgiới hạn của hàm sốf(x) tại điểm a và viết

lim

x→a f(x) = L, nếu với mọi  > 0 cho trước, ta có thể tìm được

δ() > 0 sao cho |x − a| < δ() thì |f(x) − L| <  Dùng ký hiệu

toán, ta có thể viết

∀ > 0, ∃δ() > 0, ∀x ∈ D, |x − a| < δ() ⇒ |f(x) − L| < 

Định nghĩa

Giới hạn của f(x) khi x tiến về bên trái a là bằng L nếu

∀ > 0, ∃δ() > 0 : a − δ() < x < a ⇒ |f(x) − L| < 

Giới hạn của f(x) khi x tiến về bên phải a là bằng L nếu

∀ > 0, ∃δ() > 0 : a < x < a + δ() ⇒ |f(x) − L| < 

Ñònh lyù

lim

Ví duï

Tính

1 lim

x→0+

|x|

x ;

2 lim

x→0−

|x|

x ;

3 lim

x→0

|x|

x;

Định nghĩa

I lim

x→a f(x) = ∞ nếu: ∀M ∈ R, ∃δ > 0 :

0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) > M.

I lim

x→a f(x) = −∞ nếu: ∀N ∈ R, ∃δ > 0 :

0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) < N.

I lim

x→∞ f(x) = L nếu: ∀ > 0, ∃M ∈ R :

x > M ⇒ |f(x) − L| < .

I lim

x→−∞ f(x) = L nếu: ∀ > 0, ∃N ∈ R :

x < N ⇒ |f(x) − L| < .

Tương tự cho các giới hạn

limx→±∞ f(x) = ±∞và limx→a±f(x) = ±∞

Tính chất

Nếu tồn tại lim

1 lim

2 lim

x→a g(x)

3 lim

x→a g(x)

4 lim

x→a

f(x)

g(x) = x→alimf(x)

lim

x→a g(x)

5 lim

6 lim

7 lim

x→a

n

pf(x) = q limn

định của nó thì

lim