Trong số này còn có các đê thi trong chương trình CUSPEA và các để thi do nhà vật lý đoạt giái N obel người Mỹ gôc Trung Quôc c.. Đây là nội dung của định lý Bloch.[r]
Trang 1^ _ a - r n ơ c '
Bài tập và lời giái cúa các
Trường Đại học nối tiếng Hoa Kỳ
Major American Universities Ph.D Qualifying Questions and Solutions
LỜI GĨẢI
VẬT LÝ CHÁT RẨN,
THUYẾT TƯƠNG ĐOI VÀ CÁC VẤN ĐÈ LIÊN QUAN
SOLUTIONS o
SOLID STATE PHYSICS,
RELATIVITY AND
M ISCELLANEO US TOPICS
Biên soạn:
Trường Đại học Khoa học
và Công nghệ Trung Hoa
Chủ biên:
Yung-Kuo Lim
m
NHÀ XU ẤT BẢN GIÁO DỤC
Trang 3BÀI TẬP & LỜI GIẢI
VẬT LÝ CHẤT RẮN THUỸỂT T ự ơ N G ĐỐI VÀ CÁC VẤN ĐÈ LIÊN QUAN
N gư ờ i dịch:
NGUYÊN PHÚC DUƠNG
DẠI HỌC THÁI NGUYÊN
t ị ị u n g t â m h ọ c l ỉ ẽ ư
NHÀ XUÁT BẢN GIÁO DỤC
Trang 4Problems and Solutions on
Solid state physics, relativity and miscellaneous topics
C om piled by
The Physics C oaching Class
U niversity o f Science and T echnology o f C hina
Edited by
Lim Y ung-kuo
N ational U niversity o f Singapore
© W orld Scientific P ublishing Co Pte Ltd
N ew Jersey.L ondon.S ingapore.H ong K.ong
First published 1995
Reprinted 2 0 0 1 ,2 0 0 5
A ll rig h ts reserved This book, or p a rts ¡hereof, m ay not be re p r o d u c e d in any
fo r m or by an y means, electronic or m echanical, in clu d in g photocopying, reco rd in g or an y inform ation storage a n d retrieval system now kn o w n or to be invented, w ithout w ritten p e rm issio n fr o m the Publisher Vietnamese translation
a rra n g ed w ith W orld Scien tific P u b lish in g Co Pte Ltd., Singapore.
C u ố n sách đ ư ợ c x u ất bàn th eo hợ p đ ồ n g c h u y ển n h ư ợ n g b ả n q u y ền giữa
N h à x u ấ t b ản G iáo dục v à N h à x u ất bản W o rld S c ie n tific M ọi hình thức sao chép m ột phần hay toàn bộ cuốn sách dưới dạng in ấn hoặc bán điện tư mà không có sự cho phép bằng văn bản của Công ty Cô phần Sách dịch và Từ điên - Nhủ xuất ban G iáo dục dều là vi phạm pháp luật
Ban quyền tiến g Việt © C ô n g ty c ố phần Sách dịch và T ừ diên G iáo dục
2 3 4 -2 0 0 8 /C X B /109-492/G D M ã số: 8Z 078K 8
Trang 5L Ờ I N H À X U Ấ T B Ả N
Bộ sách B ài tập vù lời giái vật lý gom bay cuốn:
1 Quang học
2 Vật lý chất rắn, Thuvết tương đói & Các vấn để liên quan
3 Diện từ học
4 Cơ học
5 Vật lý Nguyên tu, Hạt nhân và Các hạt cơ bán
6 C ơ học Lượng tử
7 Nhiệt động lực học & Vật lý ¡hống kê Đây là tuyển tập gồm 2550 bài tập được lựa chọn k ĩ lưỡng từ 3100 đế thi vào đại học và thi tuyển nghiên cím sinh chuyên ngành vật lý của 7 tncàmg đại học nôi liêng ờ M ỹ (Dại học California ớ Berkeley, Đ ại học Columbia, Đ ại học Chicago, Viện Công nghệ Massachusetts (MIT), Đ ại học Bang New York ơ Buffalo, Đại học Princeton, Đại học Wiscosin) Trong số này còn có các đê thi trong chương trình CUSPEA và các để thi do nhà vật lý đoạt giái N obel người
Mỹ gôc Trung Quôc c c Ting (CCT) soạn đê tuyên chọn sinh viên Trung Quốc đi du học ơ Hoa Kỳ Những để thi này được xuất bản kèm theo lời giải của hơn 70 nhà vật lý có uy tín của Trung Quòc và 20 nhà vật lý nôi tiếng kiêm tra, hiệu đính Tát cà các cuôn sách trên đã được tái bủn, riêng cuốn Điện từ học đã được tái bán 6 lán.
Điểm đáng lưu ỷ về bộ sách này là nó bao quát được mọi vấn đề cùa vật lý học, từ cô điẽn đên hiện đại Bên cạnh những bài lập đơn gián nhằm khắc sâu những khái niệm cơ bàn cùa Vật lý học, không cần những công cụ toán học phức tạp cũng giải được, bộ sách còn có những bài tập khó và hay đòi hỏi ph á i có kiến thức và tư duy vật lý sâu sắc với các phương pháp và kĩ thuật toán học phứ c tạp hơn mới giới được Có thê nói đây là mộI tài liệu bố sung vô giá cho sách giáo khoa và giáo trình đại học ngành vật lý, phục vụ môt phạm vi đối lượng rất rộng, từ các giáo viên vật lý pho thông, giàng viên các trường đại học cho đên học sinh các lớp chuyên lý, sinh viên khoa vật lý và sinh viên các lớp tài năng cùa các trường đại học khoa học tự nhiên đăc biêt
là cho những ai muôn du học ờ Mỹ.
N hà xuất bùn Giáo dục trân trọng giới thiệu bộ sách lới độc giả
Hà Nội, ngày 25 tháng 6 năm 2008
NHÀ XUÁT BẢN GIÁO DỤC
Trang 7L Ờ I N Ó I Đ Â U
Làm bài tập là một việc tất yếu và quan trọng trong quá trình học Vật lý nham cung co lý thuyết đã học và trau dồi k ĩ năng thực hành Trong cuốn Vật lý chất rán, Thuyết lư ơng đối
& Các vấn để liên quan có 165 bài tập và lời
giải: vật lý chạt rắn (81 bài), thuyết tương đối (28 bài) và các van đề liên quan (56 bài) Hâu hết các bài chọn đưa vào cuôn sách này đêu
p hù hợp với chương trình vật lý bậc đại học và sau đại học cùa chuyên ngành vật lý chất ran
và lý thuyết lưcmg đối Các bài lập ớ phần ba (các vân đê liên quan) nhăm đê kiêm tra trình
độ cùa sinh viên về các nguyên lý cơ ban, khá năng đánh giá các sai sô thực nghiệm cũng như các k ĩ năng toán học đông thời giúp họ làm quen với các đại lượng và thang đo trong vật lý cũng như các kiên thức vê lịch s ù môn học này Một so bài tập Hèn quan đến sự phát triên gân đây nhất cua vật lý học, sự lĩnh hội chắc chắn các kiến thức để kiểm tra mức độ học của sinh viên N goài ra cuốn sách có chọn một số bài lập liên quan đến các nghiên cứu đang được tiến hành tại m ột sổ trường, những bài này không được giải mà chi đưa ra để học viên tham khào.
V
Trang 9M Ụ C L Ụ C
1.1 Các cấu trúc tinh thế và các tính chất (1001-1027) 3 1.2 Thuyết điện tứ, các vùng năng lượng
1.3 Các tính chất điện từ, các tính chất quang
3.1 Lịch sứ Vật lý và các câu hỏi đại cương (3001-3025) 233 3.2 Các phép đo, các phép gần đúng và sai số (3026-3048) 273
vii
Trang 11PHẦN I VẬT LÝ CHẤT r ắ n
Trang 13Vật lý chất rắn 3
1.1 CÁC CẨU TRÚC TINH THỂ VÀ CÁC TÍNH CHAT
(1 0 0 1 1027)
1001 Hình 1.1 mô tả m ột m ạng tinh th ể giả thuyết hai chiều cấu th àn h từ các nguyên tử sắp xếp trên m ột lưới hình vuông
(a) H ãy chỉ ra m ột ví dụ về ô đơn vị cơ sở
(b) Định nghĩa “m ạng đ ảo ” và giải thích mối liên hệ của nó vỏi p h ản xạ Bragg
(c) Chỉ ra m ạng đảo và vùng Brillouin thứ nhất, vù n g Brillouin này liên hệ vối phản xạ Bragg n h ư thế nào?
(d) Phát biểu và giải thích định lý Bloch nói rằng m ột electro n chuyển động trong trường th ế của m ạng tinh th ể này có các hàm sóng đối xứng tịnh tiến Các điều kiện biên nào cần dược dù n g với định lý này?
cSUNY, B u ffa lo )
H ình 1.1
Lời giải:
(a) M ột ô đơn vị cơ sỏ là m ộ t ô đơn vị chứa các n ú t m ạng chỉ tạo ỏ đỉnh góc của nó n h ư chỉ ra trên hình 1.2 Các vectơ cơ sỏ của ô dơn vị này là
a i = a (i - j ) ,
a2 = a(i + j) ,
vối a là cạnh của hìn h vuông.
Trang 144 Bài tập & lời giải Vật lý chác răn
(b) Nấu a, (i = 1,2) là các vectơ cơ sỏ của m ạn g th u ậ n thì các vecto
b j ( j = 1,2) th o ả m ãn hệ thức
í 27T, i = j ,
a, ' b 7 — 27ro,, — \
là các vectơ cơ sỏ của m ạng đảo Trong không gian đ ảo điều kiện phản xạ Bragg là hiệu vectơ sóng p h ản xạ k và vectơ sóng tới ko là m ộ t bội số nguyên
Tì củ a v e c tơ m ạ n g đ ả o k*
k — ko = nk* (c) Từ các vectơ cơ sỏ của m ạng th u ận
a i = a (i - j ) , (1.1)
a2 = a ( i + j ) (1.2)
ta n h ận dược các vectơ cơ sỏ của m ạng đ ảo là
b i = - ( i - j ) , a (1.3)
b2 = - ( i + j ) (1.4)
a
M ạng đảo và vùng B rillouin th ứ n h ấ t được m ô tả trê n hìn h 1.3 P hản xạ Bragg xảy ra tại các biên vùng Brillouin
(d) Sóng biểu diễn electro n chuyển động tro n g m ộ t trườ ng th ế tu ầ n hoàn
V (r + R ) = V (r) của m ạng tin h th ể với R là vectơ m ạng, có d ạ n g hàm Bloch
t ’k (r) = e*k'r u k (r) ,
ỏ đây hàm Uk(r) có cùng đối xứng tịn h tiến nh ư m ạng tinh th ể
Uk(r) = u k (r + R )
Trang 15Vật lý chất rắn 5
H àm ỉpkịr) là m ột sóng p hẳng bị biến điệu bởi trườ ng thế tu ần hoàn Đây là
nội dung của định lý Bloch Phần hàm e mũ của sóng Bloch là m ột sóng phang
mô tả dặc tính chung của các êlectron trong m ột m ạng tinh thê trong khi dó hàm tu ần hoàn m ô tả sự chuyên dộng cục bộ của các êlectron này q u an h các
h ạ t nhân Do vậy, các sóng Bloch dặc trư n g cho chuyển động của các diện tử trong m ột tinh thể
Điều kiện biên tu ần hoàn Born-von K árm án cần phải được sử dụ n g cùng với định lý Bloch
1002
Một chùm êlectro n vối động năng 1 keV bị nhiễu xạ khi nó đi qua m ột tấm kim loại m ỏng đa tinh thể Kim loại này có cấu trúc tinh th ể lập phương vỏi
khoảng cách giữa các ô m ạng là 1 Ă Cho trước m , q, h, c,
(a) Tính bước sóng của các êlectron,
(b) Tính góc B ragg dối với cực dại nhiễu xạ bậc 1
(W isconsin)
Lời giải:
(a) Bước sóng của êlectron là
p
vói p dược tính từ
Trang 166 Bài cập & lời giải Vật lý chát răn .
V là hiệu diện thế gia tốc của các électron Do đó
h 12,25 _ 12,25 = 0 ,3 9 Ả
1003 Khi ngồi trưỏc m ột chiếc tivi m àu với điện th ế đ è n hìn h là 25 kv bạn chắc chắn sẽ bị chiếu xạ bỏi các tia X p h át ra
(a) Q uá trình nào đóng vai trò chủ yếu gây ra lu ồ n g tia X dó?
(b) Giả th iết phân bố chùm tia X là liên tục, hãy tính bước sóng tia X
ngắn n h ất (năng lượng dại), (h = 6 ,6 X 10~34 Js, c = 3 X IQ8 m /s , 1 eV
= 1 6X 10 19 J)
(c) Đặt m ột tinh thê m uối q uặng (NaCl) ỏ trướ c m àn hình, hãy tính góc
Bragg đối với cực dại phản xạ bậc m ột tại A = 0, 5 Ẳ (pNaCl = 2.165 g /cm *)
(a) Khi m ộ t điện thế cao d ặ t vào d èn hình, các électro n p h át ra từ âm cực
sẽ được gia tốc bởi điện trư ờ n g rồi đập vào m àn hình N eu n ăn g lượng của các électro n vượt quá m ộ t giá trị n h ấ t định, chúng có th ê bứ t các électro n ỏ lớp bên trong của các nguyên tử trên m àn h ìn h và tạ o ra các lỗ trống tạ i các lớp
vỏ électron b ên trong đó Sau đó các électro n thuộc các lớp ngoài sẽ chuyên đến chiếm các lỗ trống ỏ các lớp bên trong, dồng th ò i p h át ra tia X
(b) N ăng lượng cực đại của các p hoton tia X p h át ra, hu max, đ ú n g bằng năng lượng e V của các électro n tỏi N hư vậy bước sóng tia X n g ắn n h ấ t sẽ là
(yvừconsin)
Lời giải:
Amin e V V 25 X 103
hc 12000 12000
= 0,4 8 Ả
Trang 17vật lý chất rắn 7
(c) Định lu ật Bragg
2rfsinớ = n \ cho biết giá trị góc 8 đối vói cực dại phản xạ bậc m ột (n = 1) :
sin 8 = —
2 d
ỏ dây d là khoảng cách giữa hai ion cạnh n h au trong tinh thê NaCl
Do tinh th ể NaCl có cấu trúc lập phương dơn giản với các ion N a+ và Cl~
sắp xếp xen kẽ nhau n ên có N 0 ion N a+ và No ion c l tro n g m ộ t m ol NaCl,
ở dây No là số Avogadro với khối lượng mol và khối lượng riêng của NaCl là
M = 58,45 g /m o l và p = 2,165 g /c m :i, tinh th ể đó có
d =
í — )1/3 / 5 8 , 4 5 \ 1/3
p 2 , 1 6 5 X 1 0 6
2 No 2 X 6 , 0 2 X 1023
= 2 , 8 2 Ả .
Từ đó dẫn đến
Và do vậy
sin ớ = 0 , 5
2 X 2 , 8 2
e = 5 °
= 0 0 8 8
1004 Đánh giá vỏi độ chính xác 10% bước sóng ứng vối n ăn g lượng lớn nhất trong phổ dặc trư n g của tia X p h át ra từ đồng (Z = 29)
(C olum bia)
Lời giải:
Trạng thái cơ b ản của cấu hình êlectron của đồng (Z = 2 9 ) là
l s22s22 p63 s23 p63 d104 s 1 Bưóc sóng ứng với n ăn g lượng lốn n h ất trong phổ dặc trư n g của tia X tư ơ ng ứ ng với chuyên dời của m ột êlectron từ lớp N (n = 4)
tới m ột lỗ trố n g tro n g lớp K (n = 1) Trong khoảng sai số 10%, bước sóng này
có thê dược xác địn h theo công thức
Trang 188 Bài táp & lời gidi Vật lý chất rắn
ỏ đây R = 1.09678 X 107 m 1 là h ằn g số Rydberg Từ đây suy ra
A = 1 , 2 4 X Ì O “ 10 m = 1 2 4 Ả .
1005 NaCl kết tinh theo m ạng lập phương tâm m ặt vỏi cơ sỏ là m ộ t cặp ion
Na và C1 cách nhau m ột khoảng bằng nửa đư òng chéo của khối lập phương
N guyên tử số của Na và C1 tương ứng là 11 và 17
(a) Xác định những tia X phản xạ nào sẽ dược quan sát th ấy (được đánh chỉ số theo ô đơn vị lập phương thông thư òng)
(b) N hóm tia phản xạ nào cho cường độ m ạnh, nhóm nào cho cưòng đô yếu?
(W ừconsin)
Lời giải:
(a) 0 đơn vị của NaCl gồm tám nguyên tử chiếm các vị trí sau đây: Na+ tại (000), (5 50), (Ậ 0 ị ) , (0 5 ị ) , n h ư được chỉ ra bởi các chấm tròn đặc
trên hình 1.4; c r tại "(ì 0 0), (0 Ị 0), (0 0 i ) , ( i ì i ) , n h ư được chỉ ra bời các chấm tròn rỗng trên hìn h vẽ
Hình 1.4
Trang 19Vật lý chất rắn
Các cường dộ nhiễu xạ được tính bởi
Ihki « \Fhkl\2 = Fhkl ■ F/¡, hkl
f j COS 2n(huj + kVj + lw j)
f j sin 2n(huj + k v j + lw j)
ở đây h, k, l là các số nguyên Thay thế các tọa độ ion vào biểu thứ c trên ta có
h k l = / ¿3 + {[1 + co s + k ) + cos n ( k + l) + COS ir(l + /ỉ)]
+ oỊcos 7ĩ h + c0S7rfc + COS 7rỉ + c o s n ( h + k + /)j} 2
+ / ^ a+ {[sin 7r(/i + k) + sin7r(fc + /) + sin7r(/ + h)}
+ a[sin7r/i + sin7rfc + sin7r/ + sin7r(ft + k + l)]}2 ,
ở đây a = / c , - / / Na 4 = 17/11
Chú ý rằn g các cường dộ I hkỊ Ỷ 0 chỉ khác không khi h ,k và l là to àn chẵn
hoặc toàn lẻ Như vậy ta có thê quan sát được hai nhóm các tia p h ản xạ khác nhau
(b) Khi h ,k và / đều là những số lẻ,
/ a 16(1 - a )2 , cho thấy sự phản xạ là yếu Khi h ,k và i đều là nhữ ng số chẵn,
I tx 16(1 + q ) 2 ,
cho phản xạ m ạnh
1006 Ước tính gần đ ú n g n ăn g lượng tỏi đê m ột tinh th ể có th ể làm m ột cách tử
nhiễu xạ tốt đối vói (a) photon, (b) nơtron (m nc2 = 939 MeV).
(Wisconsin )
Lời giải:
Tính tu ần h o àn của m ột tinh thê cho phép nó hoạt động như m ột cách tử
n hiễu xạ đối với các sóng, v ì h ằn g số m ạng thông thư ò n g trong m ột tinh th ể
Trang 2010 Bài tâp & lời giải Vật lý chất rắn
vào khoảng 10 10 m (1 Ả), nên hiện tượng nhiễu xạ có th ê xảy ra trên m ột tinh th ể khi bước sóng của các hạt tỏi ngắn hơn 10“ 10 m
(a) Nếu m uốn các photon tới có thê bị nhiễu xạ bỏi m ộ t tinh th ê thi bước sóng của chúng phải gần bằng 10~ 10 m Do đó năng lượng của p h o to n tỏi là
h c 6 , 6 2 4 X l ( r 34 X 3 X 1 0 8
E = hư = A - Ĩ F ^
= 1 , 9 8 X 1 0 15 J = 1 2 4 2 0 e V .
(b) Nấu m uốn các nơtron tối có th ể bị nhiễu xạ, bước sóng của chúng phải gần bằng 10-10 m, và động năng tương ứng là
- 5 1 = ( i l ! h 2c2 1
2 m„ 2 m n = 2Ã2" ■m nc2
/4 ,1 3 5 X 10“15 X 3 X 108 \ 2 1
10 -10 ) 2 X 939 X 106
= 8.2 X 10“ 2 eV
1007 Các nghiên cứu về nhiễu xạ liên quan tối các tia X, êlectro n hoặc nơtron cho biết thông tin về các tính chất cấu trúc của các chất rắn Hãy so sánh ba
kỹ th u ậ t này về m ặt năng lượng h ạ t và các loại th ô n g tin có th ể thu được Kỹ
th u ật nào phù hợp n h ất đê nghiên cứu tinh th ể học bề m ặt? Kỹ th u ậ t nào phù hợp n h ât đê xác dịnh các cấu trúc từ?
('yvừconsin)
Lời giải:
N ăng lượng đặc trư n g của các tia X là khoảng vài ngàn e y tương ứng với bước sóng k h o ản g 1 0 ~ 10 m, cùng bậc dộ lốn với khoảng cách giữa các m ặt tinh thê Do vậy tia X th ích hợp đê xác địn h các cấu trú c m ạng tinh thể Đối vói các nghiên cứu nhiêu xạ n ăn g lượng thấp, ngưòi ta thư ờ ng sử dụng các năng lượng 2 0 -5 0 eV Bởi vì các nguyên tử trong tinh th ể có tiết diện lớn dối với quá trình tá n xạ của các êlectro n năng lượng th ấp nên các êlectron tỏi khóng thê xuyên sâu vào tinh th ể dược N hư vậy nhiễu xạ êlectron năng lượng th ấp là
m ột kỹ th u ậ t quan trọng đ ể nghiên cứu các cấu trúc bề m ặt của các chắt rắn Một nơtron có th ể th ấy cả hai khía cạnh của m ột tinh thể: phân bố của các hạt
n hân và phân bố của độ từ hoá êlectron Do dó nhiễu xạ nơ tron bời m ột tinh