Định lí điểm bất động của Banach đối với ánh xạ co trên không gian mêtric đầy đủ là một kết quả nổi bật trong Giải tích, được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu và mở rộng ch[r]
Trang 1ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO DẠNG CO YẾU SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN KIỂU-MÊTRIC
Nguyễn Văn Dũng1, Nguyễn Chí Tâm 2
1
TS Khoa Sư phạm Toán-Tin, Trường Đại học Đồng Tháp
2
ThS Khoa Sư phạm Toán-Tin, Trường Đại học Đồng Tháp
Thông tin chung:
Ngày nhận bài: 25/02/14
Ngày nhận kết quả bình duyệt:
29/04/14
Ngày chấp nhận đăng:
22/10/14
Title:
Fixed point theorems for
generalized - weak
contractions mappings in
metric-type spaces
Từ khóa:
Điểm bất động, kiểu-mêtric,
ánh xạ -co yếu suy rộng
Keywords:
Fixed point, metric-type,
-weak contractions
ABSTRACT
In this paper, we state and prove a fixed point theorem for generalized - weak contractions mappings in metric-type spaces This result generalizes the main result of (Zhang & Song, 2009) to the setting of metric-type spaces
TÓM TẮT
Trong bài báo này, chúng tôi thiết lập và chứng minh một định lí điểm bất động cho dạng -co yếu suy rộng trong không gian kiểu-mêtric Kết quả này là mở rộng kết quả chính của (Zhang & Song, 2009) sang không gian kiểu-mêtric
1 GIỚI THIỆU
Định lí điểm bất động của Banach đối với ánh xạ
co trên không gian mêtric đầy đủ là một kết quả
nổi bật trong Giải tích, được nhiều tác giả quan
tâm nghiên cứu và mở rộng cho nhiều ánh xạ trên
nhiều không gian khác nhau (Agarwal, Meehan &
O’Regan, 2004) Năm 2009, Zhang và Song
(2009), các tác giả đã mở rộng ánh xạ co thành
dạng -co yếu suy rộng trong không gian mêtric
và đã chứng minh định lí điểm bất động cho dạng
-co yếu này
Gần đây, Khamsi (2010) đã giới thiệu một khái
niệm mêtric suy rộng mới gọi là kiểu-mêtric như
sau
Định nghĩa 1.1 Cho X là tập khác rỗng, K 1
là một số thực và D X X : [0, )là một hàm thoả mãn các điều kiện sau
(1) D x y ( , ) 0 khi và chỉ khi x y (2) D x y ( , ) D y x ( , ) với mọi x y , X (3)
( , ) [ ( , ) ( , ) ( , )]n
với mọi x y y , , , , ,1 2 y zn X Khi đó, D được gọi là một kiểu-mêtric trên X và
( , , ) X D K được gọi là một không gian kiểu-mêtric Ta có ( , ) X d là một không gian mêtric khi chỉ khi ( , ,1) X d là một không gian kiểu-mêtric
Chú ý 1.2 Nguyễn Trung Hiếu và Võ Thị Lệ
Trang 2Hằng (2013) đã chứng tỏ rằng kiểu-mêtric như
Định nghĩa 1.1 là ánh xạ không liên tục (Nguyễn
Trung Hiếu & Võ Thị Lệ Hằng, 2013, Example
2.1) Bên cạnh đó, Jovanovic, Kadelburg
và Radenovic (2010) đã xét một không gian kiểu
mêtric khác, trong đó điều kiện (3) của Định
nghĩa 1.1 được thay bởi điều kiện sau
(3’) D x z ( , ) K D x y [ ( , ) D y z ( , )] với mọi
, ,
x y z X
Trong bài báo này, chúng tôi xét không gian
kiểu-mêtric theo Định nghĩa 1.1 Một số khái niệm liên
quan đến không gian kiểu-mêtric này được trích
dẫn từ các bài báo của Khamsi (2010), Zhang và
Song (2009)
Định nghĩa 1.3 Cho ( , , ) X D K là một không gian
kiểu-mêtric Khi đó
(1) Dãy { } xn được gọi là hội tụ đến x X , viết
là lim n
n x x, nếu lim ( , )n 0
n D x x Khi đó
x được gọi là điểm giới hạn của dãy { } xn
(2) Dãy{ } xn được gọi là một dãy Cauchy nếu
n m D x x
(3) Không gian ( , , ) X D K được gọi là đầy đủ
nếu mỗi dãy Cauchy trong ( , , ) X D K là một dãy
hội tụ
Định nghĩa 1.4 Cho X d , là một không gian
mêtric và T X : X là một ánh xạ
(1) T được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại
(0,1)
k sao cho d Tx Ty ( , ) kd x y ( , )với
mọi x y , X
(2) T được gọi là một ánh xạ -co yếu nếu tồn
tại : [0, ) [0, ) sao cho
( ) t 0với mọi t 0, (0) 0 và
Đồng thời, Zhang và Song (2009) đã thiết lập
định lí điểm bất động cho dạng -co yếu trong
không gian mêtric
Trong bài báo này, chúng tôi mở rộng định lí điểm bất động cho ánh xạ -co yếu trên không gian mêtric của Zhang và Song (2009) sang ánh
xạ -co yếu suy rộng trong không gian kiểu-mêtric Đồng thời, chúng tôi xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả thu được
2 KẾT QUẢ CHÍNH
Bổ đề 2.1 Cho ( , , ) X D K là một không gian kiểu-mêtric Nếu dãy { } xn hội tụ thì điểm giới hạn của nó là duy nhất
Chứng minh Giả sử { } xn hội tụ về x và y
trong X Khi đó với mọi n ta có
D x y K D x x D x y
Cho n ta được D x y ( , ) 0 hay x y Vậy điểm giới hạn của { } xn là duy nhất Định lí 2.2 Cho X D K , , là một không gian
kiểu-mêtric đầy đủ và T S X , : Xlà hai ánh
xạ sao cho với mọi x y , X ta có
: [0, ) [0, ) là một hàm số nửa liên tục dưới, không giảm, ( ) t 0 với mọi
1 ( , ) max ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) ( , )
2
M x y D x y D Tx x D Sy y D y Tx D x Sy
K
(1)
Khi đó S và T có duy nhất điểm bất động chung, nghĩa là, tồn tại duy nhất điểm u Xsao cho u Tu Su
Chứng minh Trường hợp 1: Tồn tại x y , sao cho
M x y Khi đó x y là điểm bất động chung của T S , Thật vậy M x y ( , ) 0 và
( , ) ( , ), ( , ) ( , ), ( , ) ( , ).
nênD x y ( , ) D Tx x ( , ) D Sy y ( , ) 0 Điều này có nghĩa là
.
Trường hợp 2: Với mọi x y , ta cóM x y ( , ) 0
Trang 3Bước 1: Xây dựng dãy lặp xn thỏa mãn
1
n D x x
Lấy
0
Tiếp tục quá trình này ta chọn được xn X sao cho x2n 2 Tx2n 1, x2n 1 Sx2n với mọi
0
Giả sử nlẻ, từ (1) ta có
1
( , )
1
2
n n
M x x
K
1
2 = max ( , ), D( , )
K
Nếu tồn tại n lẻ sao cho
max D x ( n , ), D( , xn x xn n ) D x ( n , ) xn
thì M x x ( ,n n 1) D x ( n 1, ) xn 0 Do đó
Điều này là vô lí Vậy với mọi nlẻ , ta có
D x x D x x (2)
Giả sử n chẵn, từ (1) ta có
1
1
2
n n
D Tx Sx D x x
M x x
K
1
2
K
Nếu tồn tại n chẵn sao cho
max D x x ( ,n n ), D( xn , ) xn D x x ( ,n n )
thì M x ( n 1, ) xn D x x ( ,n n 1) 0 Do đó
Điều này vô lí Vậy với mọi n chẵn, ta có
D x x D x x (3)
Như vậy, từ (2) và (3) ta suy ra D x x ( ,n n 1) là
một dãy số thực không tăng và bị chặn dưới bởi 0
Vì thế tồn tại r 0 sao cho
Vì là hàm nửa liên tục dưới nên ta có
1 ( ) liminf ( ( ,n n ))
n
mọi n ta có
( n , )n ( ,n n ) ( ,n n )
Lấy giới hạn dưới khi n trong (5) và sử dụng (4) ta có
1
n
Trang 4Vậy ( ) r 0 hay ( ) r 0 Suy ra r 0
Từ đó ta có
1
Bước 2: Chứng minh dãy lặp xn là một dãy
Cauchy
Đặt cn sup D x x ( , ) : ,j k j k n Khi đó
{ } cn là một dãy không tăng
n c
thì
n D x x j k n Nói cách
khác, với mỗi 0 tồn tại n0 sao cho với mọi
0
n n ta có sup D x x ( , ) : ,j k j k n
Vậy D x x ( , )j k , với mọi j k , n Chọn
0
n n , khi đó với mọi j k , n0 thì
( , )j k
D x x Điều này có nghĩa xn là một
dãy Cauchy
Giả sử rằng lim n 0
6
c
, khi
đó tồn tại N sao cho với mọi n N ta có
1 ( n , )n
Vì
tồn tại m n , N 1 sao cho
1
Điều này kéo theo
(m , n ) ( , )m n ( ,n n ) ( ,m m ) c
D x x D x x D x x D x x
.(8)
Mặc khác, từ (1) ta có
1 1 1 1 1 1
Áp dụng (8) và
6
c
ta suy ra
1
2 ( , )
3
2
K
c K c K
Vì ( 1, 1)
2
c
M x x
K và là một hàm
không giảm nên
2
c
M x x
K
Mặc khác, với m n , N 1 thì
M x x c Do đó theo (9) ta có
( , )
2
c
D x x c
m n N Từ đó suy ra
c
K (10)
Từ (6), (7) và (10) ta có
2
c
K Cho 0 ta suy
ra
2
c
c c
K Điều này là vô lí vì c 0
Vậy c 0, nghĩa là { } xn là một dãy Cauchy Bước 3: Chứng minh dãy Cauchy { } xn hội tụ về điểm bất động chung của S và T
VìX là một không gian kiểu-mêtric đầy đủ nên tồn tại u X sao cho lim n .
n x u Hơn nữa
Trang 5n x u, lim 2n 1 .
Tiếp theo, ta chứng minh u Tu Su Thật
vậy, giả sử u Tu, khi đó D u Tu ( , ) 0 Suy
ra tồn tại N1 sao cho với mọi n N1, ta
có
( , ) ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) ( , ),
1 ( , ) ( , ).
2
n n
D x u D u Tu D u Tu D x u D u Tu D u Tu
D x x D u Tu
Khi đó ta có
2
2
( , ) ( , )
1 max ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) ( , )
2
K ( , ) ( , ) 1
max ( , ), ( , ), ( , ),
+K ( , ) ( 2
n
n
K
( , ) ( , )
max ( , ), ( , ), ( , ), K
1
2 2 2 + ( , ) ( , )
2 ( , )
u Tu
D u Tu
Vậy M u x ( , 2n) D u Tu ( , ) Khi đó
D Tu x D Tu Sx
D u Tu D u Tu
Lấy giới hạn khi n ta được
này là mẫu thuẫn với D u Tu ( , ) 0 Vậy
.
u Tu
Ta lại có
D u Su D Tu Su
M u u M u u
D u Su D u Su
Từ đó D u Su ( , ) 0 hay u Tu Su
Như vậy, từ Trường hợp 1 và Trường hợp 2 ta suy
ra S và T có điểm bất động chung
Cuối cùng, ta chứng minh tính duy nhất của điểm
bất động chung của S và T Giả sử tồn tại v và
v Tv Sv Ta có
D u v D Tu Sv
M u v M u v
D u v D u v
Suy ra D u v ( , ) 0 Vậy u v
Hệ quả 2.3 Cho X D K , , là một không gian kiểu-mêtric đầy đủ và T X : Xlà một ánh xạ sao cho với mọi x y , Xta có
: [0, ) [0, ) là hàm số nửa liên tục dưới, không giảm, ( ) t 0 với mọi
1 ( , ) max ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) ( , )
2
M x y D x y D Tx x D Ty y D y Tx D x Ty
K
Khi đó T có duy nhất điểm bất động, nghĩa là tồn tại duy nhất điểm u Xsao cho u Tu
Chứng minh Hệ quả có được bằng cách thay
S T trong Định lí 2.2
Trong Định lí 2.2, nếu ta chọn K 1 thì ta được
hệ quả như sau
Hệ quả 2.4 Cho ( , ) X d là một không gian mêtric đầy đủ và T S X , : Xlà hai ánh xạ sao cho
: [0, ) [0, ) là hàm số nửa liên tục dưới, không giảm, ( ) t 0 với mọi
Trang 6(0, )
1 ( , ) max ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) ( , )
2
Khi đó S và T có duy nhất điểm bất động
chung
Lưu ý rằng Hệ quả 2.4 tương tự như Định lí 2.1
trong (Zhang & Song, 2009) ngoại trừ giả thiết
không giảm của hàm Tuy nhiên, trong chứng
minh của Định lí 2.1 trong (Zhang & Song, 2009)
ở trang 77, từ ( 1, 1)
2
m n
c
M x x Các tác giả
suy ra ( 1, 1)
2
c
chưa hợp lí
Cuối cùng, chúng tôi giới thiệu ví dụ minh họa
cho kết quả đạt được
Ví dụ 2.5 Xét X {0,1,2} và kiểu-mêtric D
xác định bởi
Khi đó ( , ) X D là một không gian kiểu-mêtric
đầy đủ với K 2 Xét hai ánh xạ
, :
T S X X xác định bởi
Khi đó
khi y
D Tx Sy D Sy
khi y
và
1
4 1
4
M x y D x y D Tx x D Sy y D y Tx D x Sy
D x y D x D Sy y D y D x Sy khi x y
khi y x khi y x X
6
t t t Khi đó ta có
thời, các giả thiết còn lại trong Định lí 2.2 đều thỏa mãn Do đó Định lí 2.2 áp dụng được cho S
và T trên không gian kiểu-mêtric ( , , ) X D K Mặc khác D không là một mêtric trên X Do đó
Hệ quả 2.4 không áp dụng được cho S và T trên
( , ) X D
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Agarwal, R P., Meehan, M., & O’Regan, D (2004)
Fixed point theory and applications Cambridge:
Cambridge University Press
Khamsi, M A (2010) Remarks on cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings
Fixed Point Theory Appl 2010, 1 - 7
Nguyễn Trung Hiếu & Võ Thị Lệ Hằng (2013) Coupled fixed point theorems for generalized contactive mappings in partially ordered
metric-type spaces, J Nonlinear Anal Optim (bài
gửi đăng)
Jovanovic, M., Kadelburg, Z., & Radenovic, S (2010) Common fixed point results in metric-type spaces
Fixed Point Theory Appl 2010, 1 – 15
Zhang, Q., & Song, Y (2009) Fixed point theory for generalized -weak contractions Appl Math
Lett 22, 75 – 78