-Số lần xuất hiện của biến cố A trong khoảng thời gian hay không gian nào đó không ảnh hưởng đến số lần xuất hiện biến cố A trong những khoảng thời gian hay không gian sau đó. Chú ý: Tr[r]
Trang 1LOG O
Chương 3:
MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Giảng viên: Phan Trung Hiếu
2
-Thực hiện phép thử n lần độc lập nhau -Trong mỗi lần thử, ta quan tâm đến 1 biến cố A nào đó (xảy ra hay không xảy ra) với
luôn là hằng số không đổi, không phụ thuộc vào phép thử
I Phân phối nhị thức B(n,p):
( )
pP A
X {0,1, 2, , }. n
X có phân phối nhị thức, ký hiệu: X ~ B n p ( , ) Gọi X: số lần biến cố A xảy ra Khi đó:
trong đó
3
P(X ) k k n k ,
n
k C p q
2
E(X) Var(X)
n p
n p q
1
q p
Nếu X ~ B(n, p) thì ta có:
0,1, 2, ,
4
Ví dụ 1: Gieo 10 hạt đậu Xác suất nảy mầm của
mỗi hạt là 0,8.Tính xác suất để trong 10 hạt:
a) có đúng 8 hạt nảy mầm
b) có từ 8 đến 10 hạt nảy mầm
c) có ít nhất 9 hạt nảy mầm
d) có ít nhất 1 hạt nảy mầm
e) có nhiều nhất 9 hạt nảy mầm
f) có 9 hạt không nảy mầm
5
Gọi X là số hạt nảy mầm trong 10 hạt
X ~ B(10; 0,8)
Giải
Phép thử: Gieo 1 hạt đậu
A: “Hạt nảy mầm” P( )A 0,8
Gieo 10 hạt đậu nghĩa là thực hiện phép thử 10
lần độc lập nhau
a) Xác suất có đúng 8 hạt nảy mầm:
P(X8) 8 8 10 8
10.(0,8) (0, 2)
10.(0,8) (0, 2) 0,3019
C
với n=10; p=P(A)=0,8; q=0,2.
6
b) Xác suất có từ 8 đến 10 hạt nảy mầm:
( 8 10 )
P X
0, 3019
C109.(0,8) (0, 2)9 1
P(X 8) P(X 9) P(X 10)
10.(0,8) (0, 2)
C
0, 3019
c) Xác suất có ít nhất 9 hạt nảy mầm:
d) Xác suất có ít nhất 1 hạt nảy mầm:
8 X 10
Trang 2e) Xác suất cĩ nhiều nhất 9 hạt nảy mầm:
f) Xác suất cĩ 9 hạt khơng nảy mầm
8
Ví dụ 2: Xác suất để một máy sản xuất được
sản phẩm loại tốt là 0,8 Cho máy sản xuất 5 sản phẩm Gọi X là số sản phẩm loại tốt có trong 5 sản phẩm do máy sản xuất
Chọn câu đúng:
a) X khơng cĩ phân phối nhị thức
b) X ~ B(5; 0,8)
c) X ~ B(0,8; 5)
d) X ~ B(1; 5)
9
Ví dụ 3: Một xạ thủ bắn 3 viên đạn vào một
mục tiêu với xác suất bắn trúng mục tiêu của
mỗi lần bắn là 0,5 Gọi X là số đạn trúng mục
tiêu của xạ thủ này
Chọn câu đúng:
a) X khơng cĩ phân phối nhị thức
b) X ~ B(1; 0,5)
c) X ~ B(3; 0,5)
d) X ~ B(0,5; 3)
10
Ví dụ 4: Có 3 cầu thủ ném bóng vào rổ (mỗi
người ném một quả) Xác suất ném trúng rổ của cầu thủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba tương ứng là: 0,9; 0,8; 0,6 Gọi X là số lần ném trúng rổ của 3 cầu thủ này X có phân phối nhị thức hay không?
Ví dụ 5: Một người mỗi ngày đi bán hàng ở 5
chỗ khác nhau Xác suất bán được hàng ở mỗi
chỗ là 0,3
a) Tìm xác suất người đĩ bán được hàng trong
một ngày
b) Mỗi năm người đĩ đi bán hàng 300 ngày,
tìm số ngày bán được hàng nhiều khả năng
nhất trong một năm
Ví dụ 6: Một nhà máy cĩ 2 dây chuyền cùng
sản xuất một loại sản phẩm Xác suất để mỗi sản phẩm được sản xuất từ các dây chuyền là phế phẩm tương ứng là 0,04 và 0,03 Sản phẩm của mỗi dây chuyền được đĩng hộp (mỗi hộp
10 sản phẩm) Biết năng suất của dây chuyền thứ nhất gấp đơi dây chuyền thứ hai
Lấy ngẫu nhiên một hộp sản phẩm của nhà máy sau ca làm việc để kiểm tra Tính xác suất hộp sản phẩm đĩ cĩ phế phẩm
Trang 3Ví dụ 7: Một hộp chứa 10 bi gồm 6 bixanhvà
4 biđỏ Chọn ngẫu nhiên liên tiếp (có hoàn lại)
3 bi Gọi X là số bixanhnhận được trong 3 lần
lấy ra
a) Tìm Mod(X)
b) Lập bảng phân phối xác suất cho X
c) Tính kỳ vọng và phương sai của X
14
“ Nếu trong ví dụ trên, giả thiết là lấy mẫu
không hoàn lại thì sao? ”
Định lý tổng các phân phối nhị thức độc lập:
Xi~B(n i ,p), i = 1,2,…,m
Xiđộc lập
15
II Phân phối siêu bội H(N,M,n):
N: tổng thể
MA
Tính chất A
Lấy không hoàn lại (Lấy cùng lúc)
n phần tử
Gọi X: số phần tử có tính
chất A trong n phần tử.
X có phân phối siêu bội
X ~ H N M ( , A, ) n
X {0,1, 2, , }. n
trong đó
16
.
k n k
M N M n N
C C k
C
E(X) n p
với M A : tỉ lệ các phần tử có tính chất A.
p N
2 Var(X)
1
n p q N
1
q p
với : tỉ lệ các phần tử không có tính chất A.
Nếu X ~ H(N, M A ,n) thì ta có:
17
Ví dụ 8: Giải lại ví dụ 7 ở trên trong trường
hợp lấy mẫu không hoàn lại
Giải a) X ~ H(10; 6; 3)
X{0,1, 2, 3}
P(X0)
P(X1)
P(X2) P(X3)
3
6 10 6 3 10
P(X )
C C k
C
với N=10; MA=6; n=3
Ta có:
18
b)
X P
Trang 4Nhận xét về ví dụ 7 và ví dụ 8:
P
N=10, M=6,
có hoàn lại, 0,064 0,288 0,432 0,216
P
N=10, M=6,
không hoàn lại, 0,033 0,3 0,5 0,17
P
N=100, M=60,
không hoàn lại, 0,061 0,289 0,438 0,211
X ~B(3; 0, 6)
X ~H 10( ; 6; )3
X ~H 100( ; 60; )3
20
III Liên hệ giữa B(n,p) và H(N,MA,n):
Khi tổng thểN khá lớn , cỡ mẫu n rất nhỏ
so với N thì phân phối nhị thức và phân phối
siêu bội cho kết quả gần bằng nhau Nói cách khác, ta có
X ~ H N M ( , A, ) n X ~ B n p ( , )
nN
/
A
pM N
với
N khá lớn
KhiN khá lớn so với n thì việc lấy ra n phần
tử từ tổng thể N phần tử theo phương thức có hoàn lại hay không hoàn lại, được coi là như nhau.
21
Ví dụ 9: Từ một lô thuốc lớn, có tỉ lệ thuốc
hỏng là 0,2 Lấy ngẫu nhiên 5 lọ Gọi X là số lọ
hỏng trong 5 lọ lấy ra Lập bảng phân phối xác
suất cho X
22
IV Phân phối Poisson P( ):
Trong thực tế, có nhiều mô hình thỏa phân phối Poisson, ví dụ:
-Số cuộc gọi đến tổng đài điện thoại trong 1 phút -Số người truy cập vào trang web www.sgu.edu.vn trong 30 phút
-Số lỗi in sai xuất hiện trong 1 trang sách
Đặc điểm chung: đều đề cập đến “cường độ”
xuất hiện (số lần xuất hiện) của một biến cố nào
đó trong 1 đơn vị thời gian hoặc không gian
Nếu bài toán thỏa các điều kiện:
-Số lần xuất hiện của biến cố A trong khoảng
thời gian hay không gian nào đó không ảnh
hưởng đến số lần xuất hiện biến cố A trong
những khoảng thời gian hay không gian sau đó
-Cường độ xuất hiện biến cố A không đổi, luôn
là một hằng số.
Gọi X: số lần xuất hiện biến cố A trong khoảng
thời gianthay không gianh
X có phân phối Poisson, ký hiệu: X ~ P ( )
X {0,1, 2, , , }. n
trong đó
:
Số lần biến cố A xuất hiện trung bình trong khoảng thời gian t hay không gian h
Chú ý: Trong trường hợp chưa biết trước ,
ta dựa vào thông tin về cường độ xuất hiện (số lần xuất hiện) để xác định
Nếu X ~ P ( ) thì ta có:
P(X )
!
k e k
k
E(X) Var(X)
1 Mod(X)
Trang 5Ví dụ 10: Ở một tổng đài Bưu điện, các cú
điện thoại gọi đến xuất hiện ngẫu nhiên, độc
lập với nhau và tốc độ trung bình 2 cuộc gọi
trong 1 phút Tìm xác suất để:
a) Có đúng 5 cú điện thoại trong 2 phút.
b) Không có cú điện thoại nào trong khoảng
thời gian 30 giây
c) Có ít nhất 1 cú điện thoại trong khoảng thời
gian 10 giây
26
Ví dụ 10: Một trạm bơm xăng trung bình mỗi
giờ có 12 xe máy đến tiếp xăng Tìm xác suất
để trong 1 giờ nào đó có hơn 15 xe đến tiếp
Gọi X là số xe máy đến tiếp xăng trong 1 giờ
~ ( )
Xác suất để trong 1 giờ nào đó có hơn 15 xe đến tiếp xăng:
P(X>15)
với
12 15
0
12
!
k
k
e k
1-P(X 15)
15
0
=1- P(X= )
k
k
Định lý tổng các phân phối Poisson độc lập:
Xi ~P( ), i = 1,2,…,m
Xiđộc lập
i
V Liên hệ giữa B(n,p) và P( ):
n p
với
n p
X P
Ví dụ 12: Trong một lô thuốc, tỉ lệ thuốc hỏng
là 0,003 Kiểm tra 1000 ống
a) Tính xác suất để gặp 4 ống bị hỏng
b) Tính xác suất để gặp 60 ống bị hỏng
n khá lớn và p khá bé
và
Ví dụ 13: Mỗi chuyến xe chở được 1000 chai
bia Xác suất để môt chai bia bị vỡ khi vận chuyển là 0,001
a) Tìm xác suất khi vận chuyển có 2 chai vỡ.
b) Tìm xác suất khi vận chuyển có số chai vỡ
không ít hơn 2
c) Tìm số chai vỡ trung bình khi vận chuyển.
Trang 6VI Phân phối chuẩn N( , ): 2
Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi là có phân phối
chuẩnvới kỳ vọng và phương sai , kí
hiệu , nếu hàm mật độ của nó có
dạng:
2 2 ( ) 2
1
2
x
2
X ~N ( , )
32
6.1 Hàm Gauss: Hàm Gauss f(x) là hàm mật
độ của biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn tắc X ~ N(0,1).
2
2
1
2
x
Đặc biệt, khi ta nói X cóphân phối chuẩn tắc (phân phối Gauss) Khi đó, ta có
X ~ N(0,1)
Tính chất: Hàm Gauss là hàm chẵn
( ) ( )
f x f x
36
Ví dụ 14: Tìm
a) f (1,09) b) f (-2,8) c) f (6,12)
Cách tìm giá trị của hàm Gauss tại 1 điểm xo :
-Cách 1: Tính trực tiếp bằng cách thay x xo
trong công thức (*)
-Cách 2: Tra bảng giá trị hàm Gauss.
Chú ý:Nếu x > 4,09 thì lấy f (x) 0,0001
= 0,2203
= 0,0079
= 0,0001
Trang 76.2 Hàm Laplace: Hàm Laplace là hàm
số xác định bởi
( )x
2
2 0
1
2
x t
38
Tính chất: Hàm Laplace là hàm lẻ
( x) ( ).x
39
Ví dụ 15: Tìm
a)
b)
c)
d)
e)
Cách tìm giá trị của hàm Laplace tại 1 điểm xo :
-Cách 1: Tính trực tiếp bằng cách thay x xo
trong công thức (**)
-Cách 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace.
Chú ý:Nếu x > 4,09 thì lấy ( )x 0,5
(0,40)
( 2,58)
(6,12)
= 0,1554
= -0,4951
= 0,5
( )
( )
=0,5
=-0,5
(2,58)
( )
40
6.3 Các công thức tính xác suất của phân phối chuẩn:
Nếu thì X ~ N ( , 2)
P( a X b ) b a
P(| X | ) 2 , 0
41
Quy tắc k – sigma:
P(| X | k ) 2 k
Nếu k = 3 thì ta có quy tắc 3 - sigma:
P(| X | 3 ) 2 3 0,9974
nghĩa là: sai số giữa X và không quá là
gần chắc chắn (xác suất gần bằng 1)
Ví dụ 16: Khối lượng của một con bò trưởng
thành là một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình là 300kg và độ lệch chuẩn
là 50kg Tính tỉ lệ bò có khối lượng:
a) Nằm trong khoảng từ 275kg đến 425kg.
b) Nhẹ hơn 200kg.
c) Nặng hơn 375kg.
Giải
Gọi X(kg): khối lượng của một con bò trưởng thành
Ta cóX ~ N ( ; 2)với 300 và 50