Hàm số trong ví dụ sau được xác định bởi các công thức khác nhau trong từng khúc khác nhau của tập xác định của nó. Ví dụ 2.5: Một hãng cho thuê xe ô tô với giá[r]
Trang 1LOG O
GIẢI TÍCH
GV Phan Trung Hiếu
60 tiết
2
Kiểm tra, đánh giá kết quả:
-Điểm chuyên cần (hệ số 0.1):
Dự lớp đầy đủ: 10 điểm
Vắng 1 ngày hoặc đi trễ 2 ngày: trừ 1 điểm
Chỉ được vắng 1 ngày có phép
-Bài kiểm tra giữa kì (hệ số 0.3):
Tự luận, không được sử dụng tài liệu.
-Bài kiểm tra cuối kì (hệ số 0.6):
Tự luận, không được sử dụng tài liệu.
2
Điểm cộng, trừ giờ bài tập:
3
-Điểm cộng vào bài kiểm giữa kỳ:
1 lần xung phong lên bảng làm đúng 1
câu:+0,5 điểm (nếu làm sai thì không
trừ điểm).
Chỉ được cộng tối đa 2 điểm.
Điểm cộng, trừ giờ bài tập:
4
-Điểm trừ vào bài kiểm giữa kỳ:
Khi SV đã được +2 điểm mà vẫn tự ý lên làm
bài: -0,5 điểm/lần
Khi không có SV xung phong lên làm thì GV
sẽ gọi 1 SV lên làm theo danh sách thứ tự từ trên xuống:
-Nếu SV làm đúng thì +0,5 điểm/lần, -Nếu làm sai hoặc không biết làm thì -0,5 điểm/lần
Tải bài giảng và xem thông tin môn học:
sites.google.com/site/sgupth
Nội dung:
Chương 1: Giới hạn.
Chương 2: Hàm liên tục.
Chương 3: Hàm khả vi.
Chương 4: Tích phân.
Chương 5: Ứng dụng của tích phân.
Chương 6: Tích phân suy rộng.
Chương 7: Lý thuyết chuỗi.
Trang 2Tài liệu học tập:
[1] Bài giảng trên lớp
[2] Nguyễn Đình Trí, Toán cao cấp tập 2
Phép tính giải tích hàm một biến, NXB Giáo
dục
[3] Nguyễn Đình Trí, Bài tập Toán cao cấp
(tập 2), NXB Giáo dục
Các tài liệu tham khảo khác
Dụng cụ hỗ trợ học tập:
Máy tính FX 500MS, FX 570MS,
FX 570ES, FX 570ES Plus.
8
LOG O
Chương 1:
Giới hạn
GV Phan Trung Hiếu
§1 Giới hạn của dãy số
§2 Giới hạn của hàm số
§3 Phương pháp tính giới hạn của hàm số
10
§1 Giới hạn của dãy số
I Các định nghĩa về dãy số thực:
Định nghĩa 1.1 Dãy số thực (dãy số) là ánh xạ
* :
( ) n.
f
n f n x
Kí hiệu: { } { , xn x x1 2, , xn, }, trong đó:
Ví dụ 1.1: Dãy số , với { } xn 1 .
1
n x n
Khi đó
1
1 , 2
x 2 1 ,
3
x 3 1 ,
4
x
Ví dụ 1.2: Dãy số , với { } x x 1
Trang 3Ví dụ 1.3: Dãy số , với { } xn
1 2 3
n
x n
Tính
1 1,
x
x
3 1 2 3 6,
x
1, 2, 3.
x x x
Giải
14
Ví dụ 1.4: Dãy số , với { } xn
n x
n
x
Tính x3.
Giải
15
Ví dụ 1.5: Dãy số , với { } xn
1
2
1
x
Khi đó x3 x2 x1 2,
(Dãy Fibonacci)
4 3 2 2 1 3,
x x x
5 4 3 3 2 5,
x x x
6 5 4 5 3 8,
x x x
{ } xn 1,1, 2,3,5,8,13, 21,
16
Chú ý: Một dãy số có thể được minh họa bằng cách vẽ các số hạng của nó trên một trục số, hoặc
vẽ đồ thị của nó.
Ví dụ, xét dãy số , với { } xn
1
n
n x n
Định nghĩa 1.6
Số a được gọi là giới hạn của dãy số {xn} nếu
0, n : xn a , n n
Ký hiệu lim n hay
n x a
Trang 4Chú ý 1.7:
-Nếu a là một con số hữu hạn thì ta nói dãy {xn}
hội tụ đến a.
-Nếu a không tồn tại hoặc thì ta nói dãy
{xn} phân kỳ.
a
20
Một số kết quả giới hạn cần nhớ:
n k k k
1 2) lim 0, 0;
n n
1 lim 0, 1.
n
4) lim
n n
a a
a
3) lim 0, ( 0);
!
n
n
p
p n
n
n
p p
21
5) limn 1, 0.
n a n
a
e a n
6) limn 1.
n n
8) lim n lim( n ) 0.
n x a n x a
9) lim n 0 lim n 0.
22
II Các phép toán về giới hạn của dãy số:
Định lý 2.1
▪Nếu một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
▪Nếu một dãy số hội tụ thì nó bị chặn.
▪Nếu một dãy số tăng và bị chặn trên thì nó hội
tụ.
▪ Nếu một dãy số giảm và bị chặn dưới thì nó hội
tụ.
Định lý 2.2 Nếu các dãy số {xn} và {yn} đều
có giới hạn thì
) lim( n n) lim n lim n
) lim( )n n lim n.lim n
Định lý 2.3 (Định lý kẹp):
Cho 3 dãy số {xn}, {yn}, {zn} Nếu
*
thì
Trang 5Chú ý 2.4: Một vài quy tắc với :
a a
a a
.( ) ( ).
a
a
.( ) ( ).
a
a
26
( ) ( ) ,
( ).( ) ( ).( ) , ( ) ( ) ,
( ).( ) ( ).( )
n *, ta có ( )n ,
neáu chaün,
neáu leû.
n
27
: 0
a
a > 0 và mẫu > 0
a < 0 và mẫu < 0
a > 0 và mẫu < 0
a < 0 và mẫu > 0
,
,
,
.
28
§2 Giới hạn của hàm số
I Hàm số:
1.1 Định nghĩa:
một quy tắc đặt tương ứng mỗi số với một số
thực y xác định duy nhất
D: tập xác định (TXĐ) của hàm số f.
x: biến độc lập (biến số).
y: biến phụ thuộc (hàm).
f(x): giá trị của hàm số f tại x.
:
( )
f D
D
( ) { ( ), }:
f D y y f x x D Tập giá trị (TGT)
của hàm số f.
( , ( )) :
G x f x x D Đồ thị của hàm số f.
Trang 6Ví dụ 2.1: Đồ thị dưới đây cho thấy mức tiêu thụ điện
trong một ngày vào tháng 9 ở San Francisco (P được
tính bằng MW, t được tính bằng giờ, bắt đầu vào lúc nửa
đêm)
a) Mức tiêu thụ điện
vào lúc 6h sáng và
6h tối là bao nhiêu?
b) Hãy cho biết tập
xác định và tập giá
trị của hàm số P(t).
c) Mức tiêu thụ điện
khi nào là thấp nhất?
Cao nhất? Thời gian
đó có hợp lý không?
32
1.2 Các phương pháp biểu diễn hàm số:
Biểu diễn hàm số bằng biểu thức:
Ví dụ 2.2: Diện tích S của một hình tròn phụ
thuộc vào bán kính R của hình tròn đó Ta có
2
( 0)
Biểu diễn hàm số dưới dạng bảng số liệu:
Ví dụ 2.3: Dân số thế giới P phụ thuộc vào
thời gian t
33
a) Tìm dân số thế giới vào năm 1950?
P(1950) = 2560 (triệu) b) Tìm t sao cho P(t) = 4450?
34
Biểu diễn hàm số bằng lời, bằng đồ thị:
Ví dụ 2.4: Khi bật bình đun nước nóng lên, nhiệt độ
nước (T) trong bình phụ thuộc vào thời gian đun (t).
Ta có đồ thị nhiệt độ nước trong bình như sau
Đồ thị cho biết: Nhiệt độ ban đầu của nước gần với nhiệt độ trong phòng Khi ta bật công tắc điện, nhiệt độ bình tăng lên nhanh chóng Khi ta ngắt công tắc điện, nhiệt độ bình giảm không đáng kể Khi ta tháo nước ra khỏi bình, nhiệt độ nước lại giảm nhanh đến nhiệt độ của nước ban đầu
Hàm số xác định từng khúc:
Hàm số trong ví dụ sau được xác định bởi các
công thức khác nhau trong từng khúc khác
nhau của tập xác định của nó.
Ví dụ 2.5: Một hãng cho thuê xe ô tô với giá
3ngàn/km nếu quãng đường chạy xe không quá 100
km Nếu quãng đường chạy xe vượt quá 100 km thì
ngoài số tiền phải trả cho 100 km đầu còn phải trả thêm 1,5 ngàn/km Gọi x là số km xe thuê đã chạy và
C(x) là chi phí thuê xe Viết hàm số C(x).
Trang 7II Các hàm số cơ bản:
37
Hàm lũy thừa: y x ( ).
Hàm mũ: y ax(0 a 1).
Hàm logarit: y logax (0 a 1).
Hàm lượng giác:
sin , cos , tan , cot
Hàm lượng giác ngược:
arcsin , arccos , arctan , arccot
Hàm hằng: y C
2.1 Các hàm số sơ cấp cơ bản:
38
Chú ý:
sin(arcsin ) x x ( 1 x 1).
arcsin(sin ) x x
2 x 2
cos(arccos ) x x ( 1 x 1).
arccos(cos ) x x (0x)
tan(arctan ) x x ( x ).
arctan(tan ) x x
2 x 2
cot(arc cot ) x x ( x ).
arc cot(cot ) x x (0x)
39
2.2 Các hàm số sơ cấp:là những hàm số được tạo
thành bởi một số hữu hạn các phép toán cộng, trừ,
nhân, chia các hàm số sơ cấp cơ bản
Ví dụ 2.6: Ta thường gặp các dạng hàm số sơ cấp
sau
1
y a x a x a
Hàm đa thức (hàm nguyên):
Hàm phân thức (hàm hữu tỷ):
P(x) và Q(x) là các đa thức.
( ) ( )
P x
y
Q x
40
Định nghĩa 2.3:
▪Hàm số y=f(x) được gọi là hàm chẵn nếu
▪Hàm số y=f(x) được gọi là hàm lẻ nếu
f x f x x D
f x f x x D
Định nghĩa 2.4. Giả sử y=f(u) là hàm số của
biến số u, đồng thời u=g(x) là hàm số của biến
số x Khi đó, y=f(u)=f(g(x)) là hàm số hợp của
biến số x thông qua biến số trung gian u Ký
hiệu
( f g x )( ) f g x ( )
Ví dụ 2.7: Cho hàm số
Tìm và
2
( ) , ( ) 3.
f x x g x x
f g g f
III Định nghĩa về giới hạn của hàm số:
Ví dụ 2.8: Xét hàm số khi các giá trị
của x gần 2 Bảng dưới đây, cho thấy giá trị của hàm f(x) khi x tiến dần về 2 nhưng không bằng 2
2
( ) 2