Tiêu chuẩn căn số Cauchy:. 22[r]
Trang 1LOG O
Chương 7:
Lý thuyết chuỗi
GV Phan Trung Hiếu
§1 Chuỗi số
§2 Chuỗi hàm
2
§1 Chuỗi số
3
I Các định nghĩa:
Định nghĩa 1.1 Cho dãy số {a n} trong
Biểu thức:
được gọi là một chuỗi số (gọi tắt là chuỗi).
Các số a1, a2,…,a n ,… được gọi là các số hạng của chuỗi
(*); a n là số hạng tổng quát.
là tổng riêng phần (thứ n) của chuỗi (*).
1
n
a a a a
1
n
k
s a a a a
4
Định nghĩa 1.2 (Sự hội tụ của chuỗi số)
và
chuỗi (*) phân kỳ và nó không có tổng.
n s s
1
n n
a s
lim n
n s
n s
Ví dụ 7.1 Chứng minh hội tụ
và tính
1
1
n n n
1
1
n n n
Ví dụ 7.2 Chứng minh phân kỳ.
1
1
ln 1
II Các mệnh đề:
Mệnh đề 2.1 Nếu và là các chuỗi
hội tụ thì
là các chuỗi hội tụ, hơn nữa
1
n n a
1
n n b
1
( n n)
n
a b
1
( )n
n
k a
( )n . n.
k a k a
Trang 2Mệnh đề 2.2 (Chuỗi hình học)
n n
x
0
Ví dụ 7.3 Xét tính hội tụ của các chuỗi
0
2 )
3
n
n
a
0
n
b
8
Mệnh đề 2.3 (Chuỗi điều hòa)
1
p
n n
1
Ví dụ 7.4 Xét tính hội tụ của các chuỗi
1 )
n
a n
1
3
1 )
n
b n
1
1/3
1 )
n
c n
1
9
Mệnh đề 2.4
( )
n n n
a
a phan ky
1
n n
a
Ví dụ 7.5 Xét tính hội tụ của các chuỗi
)
n
n a
n
1
được gì
n a
2 2
)
1
n
n b
n n
1
10
§2 Chuỗi số dương
I Định nghĩa:
1
n n
a
n
a n
Ví dụ 7.6 Chuỗi nào sau đây là chuỗi số dương?
)
n
n a
n
1
( 1) )
n
n
b
n
1
hoặc từ một số hạng nào đó trở đi
0
n
a n n
II Các tiêu chuẩn so sánh:
Tiêu chuẩn so sánh 1:Xét hai chuỗi số
Khi đó
,
a b
n n
a c b
0 c :
1
n n
a
1
n n
b
hoặc cùng phân kỳ
Trang 30 :
c
1
n n
1
n n
1
n n
1
n n
:
c
1
n n
1
n n
1
n n
1
n n
14
Chú ý: Thường chuỗi được chọn từ một
n n b
1
n
x hội tụ | |x 1
1
1
p
n n
Hệ quả: Nếu là hai dãy số dương và a n,b n
n n
a b n
thì
1
n n
a
1
n n
b
phân kỳ
15
Ví dụ 7.7 Xét tính hội tụ của các chuỗi
1 )
2n 1
n
d
1
2 5
)
5
n
n n
a
n
1
2
n
b
1
2 2
1 )
n
c
n
1
1
n
e
n
16
Tiêu chuẩn so sánh 2: Xét hai chuỗi số dương
và thỏa
Khi đó
hội tụ hội tụ.
phân kỳ phân kỳ.
1
n n
a
1
n n
b
0
n n
a b n n
1
n n
b
1
n n
a
1
n n
b
1
n n
a
Ví dụ 7.8 Xét tính hội tụ của các chuỗi
2
1 )
ln
n
a
n n
ln )
n
n b
n
Tiêu chuẩn so sánh 3: Giả sử f(x) là một hàm
liên tục, dương và giảm trên Đặt
Khi đó
hội tụ hội tụ.
phân kỳ phân kỳ.
1
( )
f x dx
1
n n
a
1;
( ).
n
a f n
1
( )
f x dx
n
a
Trang 4Ví dụ 7.9 Xét tính hội tụ của chuỗi
2
1 ln
n n n
III Tiêu chuẩn tỷ số D’Alembert:
20
1
n n
a
1
n n
a a
1
1
n n
a
1
1
n n
a
1
Thường dùng tiêu chuẩn D' Alembert khi chuỗi có số hạng sau rút gọn được cho số hạng trước nó.
21
Ví dụ 7.10 Xét tính hội tụ của các chuỗi
)
2n
n
n a
1
)
!
n
n
n b n
1
3 )
3
n
n
c n
1
2 2
7 ! )
n n n
n d
n
1
3 ! )
!.3n n
n e n
1
IV Tiêu chuẩn căn số Cauchy:
22
1
n n
a
Thường dùng tiêu chuẩn Cauchy khi chuỗi có số hạng tổng quát có dạng của số mũ có chứa n.
limn n
1
1
n n
a
1
1
n n
a
1
Ví dụ 7.11 Xét tính hội tụ của các chuỗi
1
n
a
n
1
2
)
2
n
n n
n c
n
1
1
)
n
n
n b n
§3 Chuỗi đan dấu
Trang 5I Định nghĩa:
25
Cho là một dãy số dương, các chuỗi sốa n
1
1 2 3 4 ( 1)
n n
a a a a a
1
và
1 2 3 4 ( 1)
n n
a a a a a
1
là các chuỗi đan dấu.
II Định lý Leibnitz:
26
thì chuỗi đan dấu hội tụ
n
n
n a
1
( 1)
n n
a
1
Ví dụ 7.12 Xét tính hội tụ của chuỗi
1 1
( 1) )
n
n
a
n
1
( 1) )
2
n
n
n b
n
1
2 ( 1)
n n
n
c
n
III Hội tụ tuyệt đối:
27
Định lý: hội tụ hội tụ
n n
a
1
n n
a
1
Ví dụ 7.13 Xét tính hội tụ của chuỗi
3 1
sin
)
n
n a
n
1
( 1) )
1
n
n
b n
2 1
1
( 5) )
n n n
c
n
2 2 1
( 1) )
n
n
n d
n
28
Chú ý: Nếu dùng tiêu chuẩn D’Alembert hay Cauchy mà biết được chuỗi phân kỳ thì cũng phân kỳ
n n
a
1
n n
a
1
Ví dụ 7.14 Xét tính hội tụ của chuỗi
1
( 1) 4 )
n n
n
a
n
n
n
n b
n
1
§4 Chuỗi lũy thừa
I Định nghĩa:
Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm số có dạng
0
(1)
n n
a x
trong đó x là biến, hằng số là hệ số của a n n
x
Tổng quát, cho trước chuỗi hàm số x0,a n
0 0
n n
a x x
được gọi là chuỗi lũy thừa của xx0
Trang 6Chú ý:
Chuỗi (1) luôn hội tụ tại x = 0.
R: bán kính hội tụ
: khoảng hội tụ
0
X x x
0
n n
a X
0
R
0
n n
a x
( ;R )
(R R; )
II Tìm bán kính hội tụ và tìm miền hội tụ:
32
Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa có một trong 4
dạng (R R; ),R R; , R R; ,R R;
Định lý: Nếu
thì
1
lim
n
n n
a
n
1 , 0 0, , 0
R
33
Các bước tìm miền hội tụ:
Bước 1: Tìm bán kính hội tụ theo định lý trên.
Bước 2: Xét tính hội tụ của chuỗi tại –R và R.
Bước 3: Kết luận.
Ví dụ 7.15 Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của các
chuỗi sau
1
n
a n x
n
n
nx c
n
1
( 1)
.2
n n n n
x d
n
1
3
n n
n
x e
n
1
!
n
n
n x b
n
1
2
n n
n n
n x f
Trang 71)
1
2
3n
n
1
4 9n n
n
1
1
n
n n
n n
1
1 2 2
n n
e
Bài 2: Xét tính hội tụ của các chuỗi sau
1)
1
1
1
1 2
n
n
n n
1
1 sin
1
1
1
ln 1
5)
1
1
1 cos
1
1
1
sin
1
1
1
1
n n
e n
9)
1
1
n
n n
n
1
n n n
2
2
3
3n 1
n
n
1
( 1)n
n n
n n
1
n n
n e
Bài 3: Xét tính hội tụ của các chuỗi sau
1)
1
1
.3n
3 1
1
7
1
n
Bài 4: Xét tính hội tụ của các chuỗi sau
2
1
.ln
1
1 ln ln(ln )
1
.ln
n
n n
1
arctan 1
n
n n
Bài 5: Xét tính hội tụ của các chuỗi sau
1)
3
13n
n
n
1
3 !n
n n
n n
2
1
( !) (2 )!
n
n n
1
3 4
n n n
n
5)
2
1
2
!
n
n
n
n
1
2n
1
n
2
12n 2
n
n n
9)
1
sin
3n
n
1
4.7.10 (3 1) 2.6.10 (4 2)
n
n n
1
1 (3 1).3 n
1
(2 )n
n n
n n
1
. n
n
n e
Bài 6: Xét tính hội tụ của các chuỗi sau
1)
2
2 1
n
n
n
n
1
n
n
n n
3)
2
n
n
n n
1
2 1
n n
n
1
(2 )n
n
n
n
n
2
1
ln n
( 1)
1
1
1
n n
n
n n