Rẽ nhánh hopf và định lý tâm lyapunov

4 1.2 Các ví dụ rẽ nhánh của phương trình vi phân một chiều.. 8 1.3 Các ví dụ rẽ nhánh của phương trình vi phân hai chiều... Lý thuyết rẽ nhánh là nghiên cứu toán học về những thay đổi t

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thanh Hải

RẼ NHÁNH HOPF

VÀ ĐỊNH LÝ TÂM LYAPUNOV

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thanh Hải

RẼ NHÁNH HOPF

VÀ ĐỊNH LÝ TÂM LYAPUNOV

Chuyên ngành: Toán giải tích

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS LÊ HUY TIỄN

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc nhất tới TS Lê Huy Tiễn - người đã định hướng chọn đề tài vàtận tình hướng dẫn để em hoàn thành luận văn này

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Khoa Toán - Cơ - Tin học,Phòng Đào tạo, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Cảm

ơn các thầy cô giáo đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quátrình học tập và hoàn thành luận văn cao học

Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân

đã luôn động viên, cổ vũ em trong quá trình học tập

Hà Nội, ngày 23 tháng 05 năm 2020

Học viên

Nguyễn Thanh Hải

Mục lục

1.1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.2 Các ví dụ rẽ nhánh của phương trình vi phân một chiều 8

1.3 Các ví dụ rẽ nhánh của phương trình vi phân hai chiều 14

2 SỰ TỒN TẠI RẼ NHÁNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 18 2.1 Rẽ nhánh nút-yên ngựa 18

2.2 Rẽ nhánh xuyên tới hạn 21

2.3 Rẽ nhánh dĩa 24

2.4 Rẽ nhánh Hopf 27

3 SỰ BẢO TOÀN TÂM LYAPUNOV 33 3.1 Tâm Lyapunov 33

3.2 Hệ vi phân Hamilton 35

3.3 Tâm Lyapunov và sự bảo toàn 36

LỜI NÓI ĐẦU

Trong hệ động lực, rẽ nhánh là khái niệm ngược với ổn định

Khái niệm rẽ nhánh lần đầu tiên được giới thiệu bởi Henri Poincaré vàonăm 1885, sau đó được các nhà toán học nghiên cứu sâu rộng, chẳng hạn[1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], Lý thuyết rẽ nhánh

là nghiên cứu toán học về những thay đổi trong bức tranh pha của nghiệmphương trình sai phân, nghiệm phương trình vi phân và hệ phương trình viphân Rẽ nhánh xảy ra khi thay đổi nhỏ giá trị tham số của một hệ động lựcgây ra sự thay đổi đột ngột trong bức tranh pha Rẽ nhánh được chia ra làmhai loại

• Rẽ nhánh địa phương xảy ra khi thay đổi tham số làm cho bức tranh phaxung quanh điểm cân bằng hoặc điểm tuần hoàn thay đổi

• Rẽ nhánh toàn cục xảy ra nếu bức tranh pha toàn cục thay đổi khi giátrị tham số thay đổi

Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu rẽ nhánh Hopf và định lý tâmLyapunov

Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục tàiliệu tham khảo

Chương 1 Các ví dụ rẽ nhánh của phương trình vi phân

Trong chương này, đầu tiên ta sẽ trình bày lại những kiến thức liên quanphục vụ cho việc tìm hiểu rẽ nhánh trong phương trình vi phân Sau đó, tatính toán chi tiết và minh họa hình học một số loại rẽ nhánh trong khônggian một chiều và không gian hai chiều

Chương 2 Sự tồn tại rẽ nhánh của phương trình vi phân

Mục đích của chương này là trình bày các định lý tồn tại các rẽ nhánhnút-yên ngựa, rẽ nhánh xuyên tới hạn, rẽ nhánh dĩa, rẽ nhánh Hopf

Trong chương này ta sẽ tìm hiểu định nghĩa và định lý sự tồn tại tâmLyapunov.

Nội dung luận văn chủ yếu tham khảo từ cuốn sách [2] Luận văn chỉ xét

rẽ nhánh của hệ liên tục, tức là các phương trình vi phân

Hà Nội, ngày 23 tháng 05 năm 2020

Học viên

Nguyễn Thanh Hải

Danh sách hình

1.1 Điểm yên ngựa 71.2 (a) a < 0, (b) a = 0, (c) a > 0 81.3 Lược đồ rẽ nhánh nút-yên ngựa trong không gian một chiều 91.4 (a) a < 0, (b) a = 0, (c) a > 0 111.5 Lược đồ rẽ nhánh dĩa trong không gian một chiều 111.6 (a) a > 0, (b) a = 0, (c) a < 0 121.7 Lược đồ rẽ nhánh xuyên tới hạn trong không gian một chiều 131.8 Bức tranh pha rẽ nhánh nút-yên ngựa trong không gian haichiều 141.9 Lược đồ rẽ nhánh Hopf 151.10 (a) a = −0.5, (b) a = 0.5 162.1 (a) −

Xét phương trình vi phân phụ thuộc tham số

y0= f (a, y) = fa(y). (1.1)Trong toàn luận văn, ta giả sử vế phải thỏa mãn các điều kiện của sự tồn tạiduy nhất nghiệm toàn cục Ta ký hiệu ϕa,t là dòng sinh bởi phương trình viphân trên; nói cách khác

là nghiệm duy nhất của (1.1) thỏa mãn x(0) = x0.

Việc thay đổi giá trị tham số a từ a0 đến giá trị a1 gần a0 sẽ làm thay đổibức tranh pha của nghiệm phương trình vi phân Có hai trường hợp xảy ra.Trường hợp 1: bức tranh pha với a = a1 đồng phôi với bức tranh pha với

a = a0 Tình huống này ta nói a0 là điểm ổn định (stability)

Trường hợp 2: bức tranh pha với a = a1 không đồng phôi với bức tranhpha với a = a0 Ta nói a0 là điểm phân nhánh hay rẽ nhánh (bifurcation).Với phương trình sai phân, ta chỉ xét khái niệm điểm bất động, điểm tuầnhoàn Điểm tuần hoàn của ánh xạ chính là điểm bất động của một lũy thừanào đó của nó Điểm tuần hoàn chu kỳ 1 chính là điểm bất động

Tuy nhiên đối với phương trình vi phân, điểm cân bằng (nghiệm hằng) vàđiểm nằm trên quỹ đạo đóng (nghiệm tuần hoàn) có đặc tính rất khác nhau

Định nghĩa 1.1.1 Xét phương trình vi phân

y0 = f (y) (1.2)

với f : Rm →Rm là ánh xạ trơn Điểm p được gọi là điểm cân bằng, hay điểm

kỳ dị của hệ (1.2) nếu f (p) = 0 Dễ thấy điểm cân bằng của hệ là điểm bấtđộng của ánh xạ ϕt, hay nói cách khác

x(t) ≡ p

là nghiệm hằng của phương trình vi phân

Nghiệm x(t) gọi là nghiệm tuần hoàn nếu tồn tại số T > 0 sao cho

x(t + T ) = x(t)

với mọi t Số T nhỏ nhất gọi là chu kỳ của nghiệm tuần hoàn x(t)

Điểm p được gọi là điểm tuần hoàn của hệ (1.2) nếu nó nằm trên quỹ đạotuần hoàn γ = x(t) nào đó, tức là tồn tại t0 sao cho p = x(t0)

Với ε > 0, ký hiệu Nε(p) là ε-lân cận của điểm p, tức là

Nε(p) = {x ∈Rm: kx − pk < ε}.

Định nghĩa 1.1.2 Cho p là điểm cân bằng Nếu tồn tại  > 0 sao cho vớimọi x ∈ N (p) mà

thì p gọi là điểm hút.

Nếu tồn tại  > 0 sao cho với mọi x ∈ N(p) mà

lim

t→−∞ ϕt(x) = p,

thì p gọi là điểm đẩy

Nói cách khác, điểm cân bằng p gọi là hút nếu mọi điểm gần p đều hút về

p dưới tác động của dòng ϕt; điểm cân bằng p gọi là đẩy nếu mọi điểm gần

p đều ra xa p dưới tác động của ánh xạ dòng ϕt Do dòng ϕt là khả ngược,nên điểm cân bằng p là hút đối với dòng ϕt nếu và chỉ nếu p là đẩy đối vớidòng ϕ−t Ta có tiêu chuẩn phổ để xác định một điểm cân bằng là hút hayđẩy, dựa vào các giá trị riêng của ma trận Jacobi

Định nghĩa 1.1.3 Cho f = (f 1 , f 2 , , f m ) là một ánh xạ trong Rm và cho

p ∈Rm Ma trận Jacobi của f tại p, ký hiệu bởi Dpf, hay Df (p) là ma trận

của đạo hàm thành phần tại p

Định lý 1.1.4 Cho p là một điểm cân bằng của phương trình vi phân (1.2)trong đó hàm f trơn Khi đó, các phát biểu sau đây là đúng

(i) Nếu ma trận Dpf có mọi giá trị riêng với phần thực âm

Reλ < 0

với mọi λ ∈ σ(Dpf ) thì p là hút (cũng gọi là ổn định tiệm cận)

(ii) Nếu ma trận Dpf có mọi giá trị riêng với phần thực dương

Reλ > 0

với mọi λ ∈ σ(Dpf ) thì p là đẩy

Trong không gian hai chiều và không gian có số chiều lớn hơn, tồn tại điểm

Hình 1.1: Điểm yên ngựa

Định nghĩa 1.1.5 Điểm cân bằng p gọi là hyperbolic nếu

Reλ 6= 0 với mọi λ ∈ σ(Df (p)).

Định nghĩa 1.1.6 Điểm cân bằng p gọi là điểm yên ngựa (saddle) nếu tồntại λ, µ ∈ σ(Df (p)) sao cho

Reλ > 0 và Reµ < 0.

Định nghĩa 1.1.7 Điểm cân bằng p gọi là elliptic nếu

Reλ = 0 với mọi λ ∈ σ(Df (p)).

1.2 Các ví dụ rẽ nhánh của phương trình vi

phân một chiều

Trong mục này chúng ta sẽ tính toán và minh họa hình học rẽ nhánh nút-yênngựa, rẽ nhánh dĩa và rẽ nhánh xuyên tới hạn thông qua các họ ánh xạ đơngiản

Khi đó, phụ thuộc vào dấu của tham số a, xảy ra ba trường hợp sau

• Với a < 0, f có hai điểm cân bằng x1= − √

−a và x2 = √

−a

• Với a = 0, f có một điểm cân bằng x = 0

• Với a > 0, f không có điểm cân bằng nào

Hình 1.2: (a) a < 0, (b) a = 0, (c) a > 0

Khi a < 0, có hai điểm cân bằng của hệ như Hình 1.2a, điểm cân bằng tại

x2 = √

−a không ổn định, trái lại điểm cân bằng tại x1 = − √

−a là ổn định

Từ hình vẽ, chúng ta cũng thấy rằng khi a tiến dần về0 từ bên dưới, parabol

di chuyển lên và hai điểm cân bằng di chuyển về điểm khác, chúng trùng nhautại tại x = 0 khi a = 0 như Hình 1.2b và biến mất khi a > 0 như Hình 1.2c

Sự rẽ nhánh của hệ động lực xảy ra tại a = 0, vì tính chất bức tranh pha khi

a < 0 và a > 0 khác nhau, cụ thể là số điểm cân bằng thay đổi Sự rẽ nhánhnày được biểu diễn trong Hình 1.3

Hình 1.3: Lược đồ rẽ nhánh nút-yên ngựa trong không gian một chiều

Đây là một ví dụ về rẽ nhánh Chúng ta coi(x, a) = (0, 0) là điểm rẽ nhánh

và giá trị tham sốa = 0 là giá trị rẽ nhánh

Hình 1.3 là lược đồ rẽ nhánh Loại rẽ nhánh này (cụ thể là, trên một miềncủa giá trị tham số f không có điểm cân bằng và trên miền khác f có haiđiểm cân bằng) được gọi là rẽ nhánh nút-yên ngựa

Khi đó, phụ thuộc vào dấu của tham số a, xảy ra ba trường hợp sau

• Với a = 0, f có một điểm cân bằng x = 0 và nó là một điểm cân bằng tựnhiên, vì ∂f

∂x(0, 0) = 0

• Với a > 0, f có ba điểm cân bằng x = {0, ± √

a}, trong đó điểm cân bằnggốc (x = 0) là điểm không ổn định và hai điểm cân bằng còn lại là ổnđịnh

• Với a < 0, f chỉ có một điểm cân bằng ổn định tại gốc x = 0

Các trường hợp này được thể hiện chi tiết trên mặt phẳng (x, x0) trongHình 1.4

Hình 1.4: (a) a < 0, (b) a = 0, (c) a > 0.

Từ hình vẽ trên ta cũng thấy khi a tăng dần từ phần âm về gốc tọa độ,điểm cân bằng gốc vẫn ổn định nhưng yếu hơn, vì nó không hyperbolic tựnhiên Khi a > 0, điểm gốc trở thành điểm cân bằng không ổn định và haiđiểm cân bằng ổn định mới xuất hiện ở cả hai phía của gốc tại x = − √

a và

x = √

a Lược đồ rẽ nhánh của hệ được biểu diễn ở Hình 1.5 Khi hệ động lựcchuyển từ có một điểm cân bằng sang có ba điểm cân bằng, ta gọi rẽ nhánhnày là rẽ nhánh "dĩa" Lý do ta gọi rẽ nhánh này là rẽ nhánh "dĩa" vì khiquan sát lược đồ rẽ nhánh (Hình 1.5), ta sẽ thấy hình dáng đồ thị giống cáidĩa

Hình 1.5: Lược đồ rẽ nhánh dĩa trong không gian một chiều

Hình 1.6: (a) a > 0, (b) a = 0, (c) a < 0.

Loại rẽ nhánh này được gọi là rẽ nhánh xuyên tới hạn Ở rẽ nhánh này,

sự thay đổi tính ổn định xảy ra tại a = 0 Rẽ nhánh này được biểu diễn trênHình 1.7

Hình 1.7: Lược đồ rẽ nhánh xuyên tới hạn trong không gian một chiều

1.3 Các ví dụ rẽ nhánh của phương trình vi

phân hai chiều

Ví dụ 1.3.1 (Rẽ nhánh nút-yên ngựa) Xét hệ phương trình vi phân

rẽ nhánh nút-yên ngựa

Hình 1.8: Bức tranh pha rẽ nhánh nút-yên ngựa trong không gian hai chiều

Ví dụ 1.3.2 (Rẽ nhánh Hopf) Xét hệ phương trình vi phân

(b) Sơ đồ lược đồ đường của rẽ nhánh Đường nét liền là quỹ đạo ổn định,đường nét đứt là không ổn định

Thật vậy, với a > 0, hệ có nghiệm tuần hoàn dưới dạng



x(t) = √

a cos t y(t) = √

a sin t.

Trong tọa độ cực, hệ có nghiệm dạng

ốc ổn định thay vào một xoắn ốc không ổn định xung quanh một vòng tròngiới hạn.

Chương 2

SỰ TỒN TẠI RẼ

NHÁNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Trong chương này, chúng ta nghiên cứu các điều kiện để xuất hiện rẽ nhánh

Định lý 2.1.1 Giả sử hệ x0= f (x, µ), x, µ ∈R có điểm cân bằng x = x0 tại

µ = µ0 thỏa mãn những điều kiện sau

Theo định lý hàm ẩn, tồn tại duy nhất một hàm trơn µ = µ(x) với µ(x0) =

µ0, trong lân cận của (x0, µ0) sao cho f (x, µ(x)) = 0 Lấy đạo hàm phươngtrình f (x, µ(x)) = 0 theo biến x, ta có

∂µ(x, µ(x))

d2µ

dx 2 (x)).

Quay lại Ví dụ 1.2.1, đối chiếu với lược đồ rẽ nhánh nút-yên ngựa của hệ

x0(t) = f (x, a) = a + x2, x ∈R.

Ở lược đồ này, đường cong duy nhất x = a2 của điểm cân bằng, xuyên quađiểm(0, 0), nằm toàn bộ trên chỉ một mặt của điểm rẽ nhánh a = 0 Điều nàychỉ xảy ra nếu

có điểm cân bằng x = x0 tại µ = µ0 thỏa mãn những điều kiện sau

thì hệ có rẽ nhánh xuyên tới hạn tại (x0, µ0)

Chứng minh Hệ x0 = f (x, µ) được viết lại dưới dạng

Rõ ràng, µ(x) là một đường cong của điểm cố định của hệ x0 = f (x, µ) =

xF (x, µ) Để cho µ(x) không trùng nhau với x = x0 và tồn tại trên cả hai mặtcủaµ = µ 0, ta phải cần

Theo Định lý hàm ẩn, tồn tại duy nhất một hàm trơn µ = µ(x) với µ(x 0 ) =

µ0, trong lân cận của (x0, µ0) sao cho F (x, µ(x)) = 0

Lấy đạo hàm phương trình F (x, µ(x)) = 0 theo biến x, ta có

Điểm cân bằng của f (x, a) = ax − x3 tại a = 0 là x = 0.

Hình 2.4: Điểm cân bằng(a, 0, 0): từ ổn định tiệm cận sang ổn định, rồi không

ổn định

Khi đó, mọi lân cận U của gốc O(0, 0) trong R2 và mọi λ0 > 0, tồn tại λ với

|λ| < λ0 sao cho phương trình vi phân

x0 = A(λ)x + F (λ, x)

có quỹ đạo tuần hoàn không tầm thường trong U

Trước hết ta thay đổi cách phát biểu cho đơn giản hơn Để các tính toántiếp theo đơn giản, thuận tiện, ta đưa phần tuyến tính của trường véctơ vềdạng đơn giản hơn Sử dụng thay đổi tuyến tính của các biến, chúng ta cóthể thay đổi ma trận tuyến tính của trường véctơ ở dạng gốc thành ma trận

α(λ) β(λ)

−β(λ) α(λ)

!

.

Từ giả thiết β(0) 6= 0, chúng ta có thể thay đổi biến thời gian sao cho

β(λ) = 1 với |λ| nhỏ Ngoài ra, từ giả thiết dα

dλ(0) 6= 0 và định lý hàm ngược,

ta có tương ứng một-một giữaα(λ) và λ Điều này cho phép chúng ta sử dụng

α(λ) như là tham số thay vì α Vậy ta có thể giả sử rằng phần tuyến tính củatrường véctơ tại điểm cân bằng có dạng

!

Tính toán trực tiếp, ta có

r0 = x01cos θ + x02sin θ

= (λx1+ x2+ F1(λ, x1, x2)) cos θ + (−x1+ λx2+ F2(λ, x1, x2)) sin θ

= (λr cos θ + r sin θ + F1(λ, x1, x2)) cos θ

+ (−r cos θ + λr sin θ + F 2 (λ, x 1 , x 2 ) sin θ

= λr + F1(λ, x1, x2) cos θ + F2(λ, x1, x2) sin θ.

Từ đó,

r0 = λr + P (λ, r, θ). (2.2)với

P (λ, 0, θ) = 0, DrP (λ, 0, θ) = 0. (2.3)Nếu r(λ, θ, a) là nghiệm của (2.2) với giá trị ban đầu r(λ, 0, a) = a, thì

r(λ, θ + 2π, a) = r(λ, θ, a) với mọi θ khi và chỉ khi r(λ, 2π, a) = a (Đây lànghiệm 2π-tuần hoàn của (2.1).)

Theo Công thức biến thiên hằng số, nghiệm của (2.1) thỏa mãnr(λ, 0, a) = a

được cho bởi

r(λ, θ, a) = eλθa +

Z θ 0

eλ(θ−s)P (λ, r(λ, s, a), s)ds. (2.4)

và như vậy r(λ, 0, a) = r(λ, 2π, a) = a khi và chỉ khi λ và a thỏa mãn

(1 − e−2πλ)a +

Z 2π 0

e−λsP (λ, r(λ, s, a), s)ds = 0. (2.5)

Sử dụng Định lý hàm ẩn, chúng ta sẽ chỉ ra rằng các giá trị củaa và λthỏamãn phương trình này là một đường cong trên mặt phẳng (a, λ) và đườngcong này là đồ thị trên trục a được biểu thị bởi λ như một hàm số của a Từ(2.3), a = 0 thỏa mãn (2.5) vì hàm lấy tích phân bị triệt tiêu Nghiệm tầmthường này tương ứng với nghiệm cân bằng Để tìm nghiệm tuần hoàn khôngtầm thường, chúng ta sẽ xét hàm h(a, λ) được cho bởi

h(a, λ) ≡ 1 − e−2πλ+ 1

a

Z 2π 0

e−λsP (λ, r(λ, s, a), s)ds,

γ(x0(a)) = {(x1, x2) : x1 = r∗(θ, a) cos θ, x2 = −r∗(θ, a) sin θ; 0 ≤ θ ≤ 2π}

là một quỹ đạo tuần hoàn của (2.1)

Để thu được nghiệm tương ứng của (2.1), lấy θ∗(t, a) là nghiệm của

θ0 = 1 + Θ(λ∗(a), r∗(θ, a), θ),

thỏa mãn θ∗(0, a) = 0 Do đó chu kì nhỏ nhất của γ(x0(a)) được xác định bởigiá trị T∗(a) đầu tiên của

θ(T∗(a), a) = 2π.

Đặc biệt, chúng ta có T∗(0) = 2π Nếu bây giờ ta định nghĩa

x∗(t, a) ≡ (r∗(θ∗(t, a), a) cos θ∗(t, a), −r∗(θ∗(t, a), a) sin θ∗(t, a)).

Khi đó, x∗(t, a) thỏa mãn điều kiện của định lý

Quay lại Ví dụ 1.3.2: Xét hệ phương trình vi phân

Dễ tính được phổ (tập giá trị riêng) của ma trận A = a −1

dα

da (0) = 1 6= 0.

Theo Định lý 2.4.2, điểm xảy ra rẽ nhánh Hopf là điểm (0, 0) tương ứng vớigiá trị a = 0

với điểm cân bằng x0, tức là F (x0) = 0.

Chúng ta đã thấy rằng sự ổn định của điểm cân bằngx0 của hệ trên thườngđược xác định bởi ma trận Jacobi Dx0F của trường véctơ trơn F Khi mọigiá trị riêng của ma trận Jacobi đều có phần thực âm, vị trí cân bằng x0 là

ổn định tiệm cận Khi có một giá trị riêng có phần thực dương, thì vị trí cânbằng là không ổn định

Vấn đề: Điều gì sẽ xảy ra khi các giá trị riêng thuần ảo (có phần thực bằngkhông)?

Định nghĩa 3.1.1 Điểm cân bằng x0 được gọi là điểm tâm (hay gọn hơn,tâm) của hệ x0 = F (x) nếu ma trận Jacobi A = Dx0F của trường véctơ F chỉ

có các giá trị riêng thuần ảo

σ(A) ⊂ iR.

Ví dụ 3.1.2 Xét hệ tuyến tính



x0 = y