Phương pháp phiếm hàm lyapunov và ứng dụng để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân có chậm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNLƯU THỊ THU HUYỀN PHƯƠNG PHÁP PHIẾM HÀM LYAPUNOV VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ CHẬM LU

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LƯU THỊ THU HUYỀN

PHƯƠNG PHÁP PHIẾM HÀM LYAPUNOV VÀ ỨNG DỤNG

ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ CHẬM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LƯU THỊ THU HUYỀN

PHƯƠNG PHÁP PHIẾM HÀM LYAPUNOV VÀ ỨNG DỤNG

ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM

CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ CHẬM

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU

Hà Nội - Năm 2014

có nhiễu 191.4 Phương pháp phiếm hàm Lyapunov trong Rn 201.4.1 Các hàm xác định dấu 201.4.2 Đạo hàm của phiếm hàm Lyapunov dọc theo nghiệm của

một hệ phương trình vi phân 221.4.3 Định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định 221.4.4 Định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định tiệm cận 231.4.5 Định lý thứ ba của Lyapunov về sự không ổn định 24

1.5 Sự ổn định mũ 25

1.6 Phương pháp chọn hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng 28

2 Phương pháp phiếm hàm Lyapunov nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân hàm 35 2.1 Khái niệm về phương trình vi phân hàm 35

2.1.1 Định nghĩa và ký hiệu 35

2.1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 36

2.2 Phương pháp tìm nghiệm của phương trình vi phân hàm 37

2.2.1 Phương pháp từng bước 37

2.2.2 Phương pháp toán tử Laplace 38

2.3 Lý thuyết ổn định theo Lyapunov 41

2.3.1 Các khái niệm về ổn định 41

2.3.2 Phương pháp hàm Lyapunov 42

2.4 Định lý Razumikhin 50

3 Một số mô hình ứng dụng 55 3.1 Mô hình ứng dụng trong các quần thể sinh học 55

3.1.1 Mô hình thú - mồi Lotka - Volterra dạng đơn giản 56

3.1.2 Mô hình cạnh tranh Lotka - Volterra 61

3.1.3 Mô hình cộng sinh Lotka-Volterra 66

3.1.4 Mô hình Lotka-Volterra cho ba loài 69

3.1.5 Một số nhận xét chung về các mô hình quần thể đa loài 71 3.2 Mô hình Lotka-Volterra có chậm 73

3.2.1 Tính ổn định tiệm cận địa phương 74

3.2.2 Tính ổn định tiệm cận toàn cục 79

3.3 Sự ổn định của quá trình chuyển động quay của một vật thể rắn 83 3.4 Sự ổn định của phi cơ đang chuyển động 84

Để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân, chúng tathường sử dụng các phương pháp của nhà toán học người Nga A.E.Lyapunov.Ngày nay, do yêu cầu của ứng dụng thực tế và sự phát triển vượt bậc của toánhọc, việc nghiên cứu các bài toán ổn định đã được mở rộng theo nhiều hướng,một trong số đó là nghiên cứu trên các phương trình vi phân có chậm Trongbản luận văn này chúng tôi sẽ đề cập đến một số vấn đề sau đây:

- Trình bày lại các kết quả cơ bản về tính ổn định nghiệm của các phươngtrình vi phân trong không gian Banach, trong không gian Rn và phương pháphàm Lyapunov đối với phương trình vi phân hàm

- Phần cuối của bản luận văn dành cho việc trình bày chi tiết một số ứngdụng của phương pháp hàm Lyapunov và phương pháp xấp xỉ thứ nhất cho các

mô hình ứng dụng

Bố cục luận văn gồm ba chương:

Chương 1: Trình bày một số tính chất nghiệm của phương trình vi phântrong không gian Banach và trong không gian Rn

Chương 2: Trình bày tính chất nghiệm của phương trình vi phân có chậm

Chương 3: Trình bày một số ứng dụng về tính ổn định nghiệm của phươngtrình vi phân.

Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS TS.Đặng Đình Châu Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy -người đã dành nhiều thời gian và công sức để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôitrong việc hoàn thành bản luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin học,trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội về kiến thức và những điềutốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian tôi học tập tại trường Tôi xin cảm ơnphòng Sau đại học về những điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ tụchọc tập và bảo vệ luận văn

Cuối cùng tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân là chỗ dựa vềtinh thần và vật chất cho tôi trong cuộc sống và học tập

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những thiếusót Tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để bản luậnvăn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 10 năm 2014

Lưu Thị Thu Huyền

Chương 1

Sự ổn định nghiệm của phương

trình vi phân trong không gian

Banach

1.1 Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1.1 Hàm x = x(t), (x : I → B; I ⊂ R+) xác định trên I, khả viliên tục theot ∈ I được gọi là nghiệm của(1.1) nếu khi thay vào (1.1)ta thu đượcmột đồng nhất thức trên I Tức là

dx(t)

dt = f (t, x(t)); ∀t ∈ I.

Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm x = x(t) của phương trình (1.1) thỏa mãnđiều kiện ban đầu x(t 0 ) = x 0 với (t 0 , x 0 ) ∈ I ×B cho trước.

Tương ứng với phương trình (1.1) ta thường xét phương trình tích phân sau:

x(t) = x0+

Z t

t 0

f (τ, x(τ ))dτ (1.2)Nhận xét: Nếu hàm f liên tục theo chuẩn trong B thì ta có thể chỉ ra rằngnghiệm của (1.2) là nghiệm của bài toán Cauchy và ngược lại

Ký hiệu

S(ε,µ) =(t, x) ∈R+×B: |t − t0| ≤ ε, ||x − x0|| ≤ µ , với ε > 0, µ > 0

là lân cận đóng của điểm (t0, x0) Khi đó ta có định lý tồn tại duy nhất nghiệmcủa bài toán Cauchy như sau:

Định lý 1.1.1 (Tính duy nhất nghiệm địa phương)

Giả sử tồn tại một lân cận đóng của(t0, x0) sao cho trong lân cận đó hàmf (t, x)liên tục theo t, ||f (t, x0)|| ≤ M0 < +∞ và thỏa mãn điều kiện Lipschitz:

Bη (x 0 ) = {x ∈ Cδ(B) : |||x − x 0 ||| ≤ η} Xét toán tử

Ta thấy toán tử S là ánh xạ đi từ Bη vào Bη

Hơn nữa, với x1, x2 ∈Bη, từ điều kiện Lipschitz ta có đánh giá

Do [δM ]n!n → 0 khi n → +∞ nên với n đủ lớn thì Sn là toán tử co trong Bη Do

đó sẽ tồn tại duy nhất nghiệm x(t) ∈Bη của phương trình tích phân:

x(t) = x0+

Z t

t 0

f (τ, x(τ ))dτ

Định lý 1.1.2 (Tính duy nhất nghiệm toàn cục)

Giả sử tồn tại miền [a, b] ×B mà trên đó hàm f (t, x) liên tục theo biến t và thỏamãn điều kiện Lipschitz (1.3) Khi đó với mọi(t0, x0) ∈ [a, b] ×B, bài toán Cauchy

có nghiệm duy nhất x = x(t) xác định trên [a, b]

Chứng minh tương tự định lý (1.1.1) với chú ý:

(i) Từ giả thiết của định lý ta suy ra hàm f (t, x) giới nội trên [a, b] × D với D làtập compact trong không gian Banach B

(ii) Bη ở định lý trước được thay bởi C(B)gồm tất cả các hàm x(t)xác định liêntục trên [a, b], lấy giá trị trong không gian Banach B và có chuẩn được xác địnhbởi

|||x||| = sup

[a,b]

||x(t)||.

Định lý 1.1.3 (Sự kéo dài nghiệm của bài toán Cauchy)

Giả sử ||x|| < ∞, t ≥ t0, hàm f (t, x) thỏa mãn điều kiện ||f (t, x(t))|| ≤ L(||x||),trong đó L(r) là hàm liên tục có tính chất

Z r

r 0

dr L(r) → ∞ khi r → +∞

Khi đó mọi nghiệm của phương trình (1.2) có thể kéo dài trên khoảng thời gian

||x(t2)|| − ||x(t1)||

t2− t1

⇒ ||dx

dt || ≥

d||x||

dt

... 2

Phương pháp phiếm hàm Lyapunov nghiên cứu tính ổn định nghiệm< /h2>

của phương trình vi phân hàm< /h2>

2.1 Khái niệm phương trình vi phân hàm< /h3>

•... theo nghiệm hệ phương trình vi phân cho

và đồng hệ số, ta thu hệ phương trình tuyến tính sau:

Suy hệ cho khơng ổn định

Ví dụ 1.6.2 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính