Mô phỏng bài toán vận chuyển neutron

Tuy nhiên, để giải được phương trình này rất phức tạp vì vấn đề ở đây là chúng ta phải giải quyết bài toán 7 chiều: 3 không gian, 2 hướng, và năng lượng với thời gian Phương pháp Monte C

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

Vũ Thị Linh

MÔ PHỎNG BÀI TOÁN VẬN CHUYỂN NEUTRON

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và vật lí toán

Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Nguyễn Hoàng Oanh

Hà Nội – Năm 2015

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, em xin được gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo TS Nguyễn Hoàng Oanh Cảm ơn thầy đã truyền đạt cho em những kiến thức chuyên ngành hết sức cần thiết, đã chỉ bảo em nhiệt tình trong quá trình học tập môn học và quá trình thực hiện luận văn này

Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban chủ nhiệm khoa Vật lý, các thầy cô trong khoa Vật lý, các thầy cô trong tổ Vật lý trường Đại học Khoa học tự nhiên đã quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ em trong suốt thời gian làm luận văn cũng như trong suốt quá trình học tập, rèn luyện tại trường.

Em xin được gửi lời cảm ơn đến các anh chị nghiên cứu sinh, các bạn học viên cao học khóa 2011-2013 đang học tập và nghiên cứu tại bộ môn Vật lý lý thuyết và Vật lý toán- Khoa Vật lý - Trường ĐH KHTN - ĐHQGHN đã nhiệt tình giúp đỡ và hướng dẫn em trong quá trình học tập

Cuối cùng em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn quan tâm động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện luận văn này

Em xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, ngày 25 tháng 12 năm 2015 Học viên

Vũ Thị Linh

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chon đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Cấu trúc luận văn 2

PHẦN NỘI DUNG 3

Chương I Giới thiệu về cơ bản về bài toán vận chuyển neutron 3

1.1 Cơ sở Vật lý 3

1.1.1 Tương tác của neutron với vật chất 3

1.1.2 Lò phản ứng hạt nhân 11

1.2 Lý thuyết vận chuyển netron 13

1.2.1 Những khái niệm cơ bản 13

1.2.2 Lý thuyết vận chuyển tổng quát 15

Chương II Giới thiệu về phương pháp Monte Carlo 17

2.1 Giới thiệu 17

2.2 Tích phân Monte Carlo 18

2.3 Ước lượng sai số 19

2.4 Số ngẫu nhiên 20

2.5 Lấy mẫu điển hình 24

2.6 Chuỗi Markov 25

Chương III Mô phỏng bài toán vận chuyển neutron 26

3.1 Bài toán vận chuyển neutron qua lớp vật liệu 26

3.2 Thuật toán đơn giản và thảo luận cho bài toán vận chuyển neutron 2D 28

3.2.1 Bài toán vận chuyển với tán xạ đàn hồi 28

3.2.2 Bài toán vận chuyển với tán xạ phi đàn hồi 34

KẾT LUẬN 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1.1 Tiết diện phản ứng (n, γ) của 238 U và tiết diện phân hạch của 235 U, 238 U

và 239 Pu (Dữ liệu của thí nghiệm ENDF/B-VI, 300K) 4

Hình 1.2 Số lượng trung bình các neutron phân hạch tức thời của 235 U, 238 U, 239 Pu và 241 Am (Dữ liệu của thí nghiệm ENDF/B-VI) 7

Hình 1.3 Tỉ lệ neutron trễ với các đồng vị 235 U, 238 U, 239 Pu và 241 Am 7

Hình 1.4 Phổ của phân bố phân hạch tức thời của 235 U, 238 U, 239 Pu, 241 Am 8

(Dữ liệu của thí nghiệm ENDF/B-V) 8

Hình 1.5 Tiết diện tán xạ đàn hồi của 1 H, 16 O, 238 U và tiết diện tán xạ phi đàn hồi toàn phần của 238 U (Dữ liệu của thí nghiệm ENDF/B-VI, 300K) 10

Hình 1.6 Thể tích vô cùng nhỏ trong không gian 3 chiều 15

Hình 2.1 Minh họa thuật toán loại trừ 23

Hình 3.1 Mô tả vùng tương tác của neutron 26

Hình 3.1: Đồ thị sự phụ thuộc của tỉ lệ hạt bị hấp thụ theo quãng đường tự do trung bình 29

Hình 3.2: Đồ thị sự phụ thuộc của tỉ lệ hạt phản xạ theo quãng đường tự do trung bình 30

Hình 3.3: Đồ thị sự phụ thuộc của tỉ lệ hạt truyền qua theo quãng đường tự do trung bình 31

Hình 3.4: Đồ thị sự phụ thuộc của tỉ lệ hạt bị hấp thụ theo quãng đường tự do trung bình xác xuất hấp thụ neutron trong mỗi lần tương tác là p c = 0.5, bề dày của tấm vật liệu là 1 đơn vị độ dài 32

Hình 3.5: Đồ thị sự phụ thuộc của tỉ lệ hạt phản xạ theo quãng đường tự do trung bình xác xuất hấp thụ neutron trong mỗi lần tương tác là p c = 0.5, bề dày của tấm vật liệu là 1 đơn vị độ dài 33

Hình 3.6: Đồ thị sự phụ thuộc của tỉ lệ hạt truyền qua theo quãng đường tự do trung bình, xác xuất hấp thụ neutron trong mỗi lần tương tác là p c = 0.5, bề dày của tấm vật liệu là 1 đơn vị độ dài 34

Hình 3.7: Đồ thị sự phụ thuộc của tỉ lệ hạt hấp thụ theo phần trăm mất mát năng lượng sau mỗi lần tán xạ 36 Hình 3.8: Đồ thị sự phụ thuộc của tỉ lệ hạt phản xạ theo phần trăm mất mát năng lượng sau mỗi lần tán xạ 37 Hình 3.9: Đồ thị sự phụ thuộc của tỉ lệ hạt truyền qua theo phần trăm mất mát năng lượng sau mỗi lần tán xạ 38

DANH MỤC BẢNG

Bảng 3.1 Sự phụ thuộc của tỉ lệ số hạt hấp thụ, phản xạ và truyền qua vào quãng đường dịch chuyển trung bình, xác xuất hấp thụ neutron trong mỗi lần tương tác là p c = 0.3333, bề dày của tấm vật liệu là 1 đơn vị độ dài 29 Bảng 3.2 Sự phụ thuộc của tỉ lệ số hạt hấp thụ, phản xạ và truyền qua vào quãng đường dịch chuyển trung bình, xác xuất hấp thụ neutron trong mỗi lần tương tác là p c = 0.3333, bề dày của tấm vật liệu là 1 đơn vị độ dài 32 Bảng 3.3: Sự phụ thuộc của tỉ lệ số hạt hấp thụ, phản xạ và truyền qua vào phần % mất mát năng lượng sau mỗi lần tán xạ, xác xuất hấp thụ neutron trong mỗi lần tương tác là p c = 0.3333, bề dày của tấm vật liệu là 1 đơn vị độ dài 35

Phương pháp tất định đóng vai trò chủ đạo trong việc mô phỏng và mô hình hóa lò phản ứng hạt nhân Điều đầu tiên mà chúng ta cần giải quyết đó là giải được phương trình chuyển động Boltzmann Tuy nhiên, để giải được phương trình này rất phức tạp vì vấn đề ở đây là chúng ta phải giải quyết bài toán 7 chiều: 3 không gian,

2 hướng, và năng lượng với thời gian

Phương pháp Monte Carlo tận dụng sức mạnh của máy tính hiện đại để giải các bài toán phức tạp, khó hoặc không thể giải bằng phương pháp giải tích [4] Hiệu quả của phương pháp này so với các phương pháp khác tăng lên khi số chiều của bài toán tăng Đối với bài toán vận chuyển hạt, thế mạch của phương pháp Monte Carlo nằm ở khả năng ước lượng thống kê cho các tích phân tốc độ phản ứng mà không cần phải tính đến thông lượng vô hướng Khả năng xử lý đối với những biến đổi phức tạp trong biến số không gian và năng lượng của phương pháp Monte Carlo khiến cho nó trở thành một sự thay thế hấp dẫn cho các phương pháp vận chuyển tất định

Trên thế giới đã có nhiều chương trình và thuật toán mô phỏng bài toán vận chuyển neutron bằng phương pháp Monte Carlo, với việc sử dụng những công cụ phần mềm tính toán số khác nhau như ngôn ngữ lập trình C++, matlab Tuy nhiên, đối với nhiều người thì những chương trình mô phỏng này hoặc là đắt tiền, khó sử dụng cũng như khó sửa đổi Vì vây trong luận văn này, tôi bước đầu xây dựng một chương trình mô phỏng bài toán vận chuyển neutron bằng phương pháp Monte Carlo dựa trên phần mềm tính toán số Scilab đơn giản hơn và dễ tiếp cận với người học hơn rất nhiều

2

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu xây dựng chương trình mô phỏng bài toán vận chuyển neutron bằng phương pháp Monte Carlo, dựa trên phần mềm tính toán Scilab

3 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm 3 chương:

Chương I Giới thiệu về cơ bản về bài toán vận chuyển neutron

Chương II Giới thiệu về phương pháp Monte Carlo

Chương III Mô phỏng bài toán vận chuyển neutron

3

PHẦN NỘI DUNG Chương I Giới thiệu về cơ bản về bài toán vận chuyển neutron 1.1 Cơ sở Vật lý

1.1.1 Tương tác của neutron với vật chất

Các phản ứng phân hạch dựa trên chuỗi phản ứng tự duy trì bởi các neutron Các neutron không mang điện và chúng dễ dàng xuyên qua các đám mây electron

và hàng rào thế Coulomb của các hạt nhân nguyên tử Các tương tác neutron là tương tác mạnh trong giới hạn khoảng 10-15 m, cỡ bán kính của hạt nhân [2] Trong chương mở đầu này chúng tôi tìm hiểu cơ sở vật lý của các tương tác neutron, những kiến thức cần thiết để nghiên cứu mô phỏng Monte Carlo bài toán vận chuyển neutron

Tương tác vật lý của neutron được mô tả cả bằng cơ học cổ điển và cơ học lượng tử Các phản ứng tán xạ đàn hồi ở mức năng lượng thấp thuộc phạm vi ứng dụng của cơ học cổ điển Cơ học lượng tử đóng vai trò quan trọng trong các hiện tượng như: quá trình neutron đâm xuyên sâu vào trong hạt nhân bia và tương tác với các cấu phần của hạt nhân; một vài hiện tượng thể hiện tính sóng của neutron như nhiễu xạ neutron xuất hiện khi các neutron có năng lượng thấp tương tác với cấu trúc tinh thể của vật liệu,v.v

Ngoài tán xạ đàn hồi, các tương tác neutron khác thường gặp trong các quá trình phân hạch không quá khác nhau Chúng đều tạo ra các hạt nhân hợp phần ở trang thái kích thích với thời gian tồn tại ngắn và nhanh chóng phân rã để trở lại trạng thái cơ bản (ground state) Mode phân rã sẽ quy định loại phản ứng, trong quá trình tính toán bài toán vận chuyển neutron, chúng có thể được chia ra thành 3 loại phản ứng: hấp thụ, phân hạch và tán xạ Mỗi loại phản ứng xảy ra với một giá trị cận dưới của động năng của neutron tới, nếu động năng nhỏ hơn giá trị này thì phản ứng không xảy ra

Khi hấp thụ neutron hạt nhân trở thành hạt nhân hợp phần với năng lượng kích thích tối thiểu bằng năng lượng liên kết của neutron trong hạt nhân đó Nếu năng lượng liên kết này lớn hơn một giá trị ngưỡng nào đó (phụ thuộc vào mỗi đồng vị) thì hạt nhân ban đầu có thể bị phân hạch khi hấp thụ neutron với năng lượng bất kỳ Nếu năng lượng liên kết nhỏ hơn giá trị tới hạn này thì quá trình phân hạch chỉ xảy

Sự phụ thuộc của các tiết diện phóng xạ vào các đại lượng vật lý trở nên phức tạp hơn khi năng lượng tăng và các tương tác ở cấp độ vi mô cần đến sự vận dụng của cơ học lượng tử xuất hiện, dẫn đến sự thay đổi phức tạp trong tiết diện phản ứng Nếu năng lượng toàn phần của neutron xấp xỉ bằng năng lượng của trạng thái hợp phần kích thích, xác suất tương tác có thể tăng lên vài bậc Điều này có thể được quan sát với các đỉnh cộng hưởng trên đồ thị sự phụ thuộc của tiết diện tương tác vào năng lượng Khoảng cách giữa các đỉnh cộng hưởng thu hẹp lại khi năng lượng tăng Đến một lúc nào đó, không thể quan sát được các đỉnh riêng rẽ Vùng này là miền cộng hưởng không thể phân giải Ở mức năng lượng cao hơn nữa, sự cộng hưởng trở nên trùng lặp và chúng ta quan sát được dạng đường cong trơn

5

Sự hấp thụ đề cập đến tất cả các phản ứng mà không có neutron thứ cấp được phát ra Hiện tượng hấp thụ đơn giản nhất là hiện tượng bắt neutron bức xạ hay phản ứng (n,γ) Neutron tới được giữ lại trong các hạt nhân bia và năng lượng dự thừa được giải phóng bằng sự phát xạ photon năng lượng cao Một ví dụ cho phản ứng bắt bức xạ neutron của 238U :

Trong thực tế phản ứng (n,γ) là phương thức hấp thụ duy nhất với các đồng vị actini giàu neutron Các phản ứng phân hạch và tán xạ chiếm ưu thế ở vùng năng lượng cao Tiết diện tương tác phản ứng (n, γ) của 238U được biểu diễn trong hình 1.1

Các phản ứng bắt quan trọng khác gồm (n,p), (n,α) và (n,3He) Chúng là các phản ứng điển hình chỉ xảy ra khi với một ngưỡng năng lượng của neutron đến Một

ví dụ là phản ứng (n,α) của 10B:

10B + n  11B*  7Li + 4He (1.2) Urani và các actini là những đồng vị nặng với hơn 90 proton và 140–160 neutron trong hạt nhân Các phản ứng hợp phần rất phức tạp và các tiết diện tương tác của actini được đặc trưng bởi số lượng lớn các vùng cộng hưởng Đỉnh cộng hưởng đầu tiên được phân tách khá rõ ràng trong miền năng lượng tương đối thấp Dải cộng hưởng không phân giải được bắt đầu từ khoảng 10 KeV Miền liên tục này được thể hiện trong hình là một đường trơn liên tục

6

Phản ứng phân hạch có thể xảy ra đối với tất cả các nguyên tốt thuộc họ actini

và chiếm ưu thế trong vùng năng lượng cao cỡ MeV Trong thực tế, phản ứng cần năng lượng khoảng 6 MeV để có thể xảy ra trong khi năng lượng sinh ra trong quá trình tạo thành hạt nhân hợp phần là khoảng 5 MeV Sự chênh lệch năng lượng này làm cho phản ứng phụ thuộc lớn vào hiệu ứng chẵn lẽ: sự thay đổi số lượng neutron

từ lẻ sang chẵn giải phóng thêm vài MeV, đủ để nâng năng lượng lên trên ngưỡng phân hạch Các đồng vị có số neutron lẻ (235U, 239Pu, 241Pu, 242Am,…) là những đồng vị phân hạch, chúng có thể bị phân hạch bởi sự hấp thụ các neutron có năng lượng thấp Các đồng vị phân hạch có số neutron chẵn (238U, 237Np, 241Am…) chỉ phân hạch khi hấp thụ các neutron có động năng lớn hơn giá trị ngưỡng, khoảng 1 MeV Các tiết diện phân hạch của 235U, 238U, và 239Pu cũng được vẽ trong hình 1.1 Phản ứng phân hạch tạo ra 1 đến 6 neutron mới Số neutron trung bình sinh ra là hàm tuyến tính của năng lượng neutron tới và nó cũng phụ thuộc vào số khối của đồng vị Ngoài các neutron tức thời phát ra trong sự kiện phân hạch, còn có nhiều neutron được tạo ra từ các chuỗi phân hạch của các đồng vị sản phẩm có số lượng neutron dư Sự phóng xạ neutron dư hầu như là tức thời nhưng nó cũng có thể xảy

ra sau sự phân rã của đồng vị phóng xạ khác có thời gian sống dài hơn Một ví dụ của chuỗi phản ứng là sự phân rã của sản phẩm phân hạch 87Br:

87Br  87Kr*  86Kr + n (1.4) Hạt nhân 87Br ở trạng thái kích thích với chu kì bán rã 56 s và phân rã tạo nên hạt nhân 87Kr Hạt nhân 87Kr được tạo nên ở trạng thái kích thích cao với năng lượng 6 MeV đủ để phóng ra tức thời một neutron và chuyển thành hạt nhân 86Kr bền Thời gian sống của chuỗi phân rã được chi phối bởi phản ứng đầu tiên với chu

kì bán rã là 56s Phản ứng này quyết định thời gian mà neutron có thể được phát ra sau sự kiện phân hạch Các neutron trễ này có vai trò quan trọng đối với hằng số thời gian trong các lò phản ứng hạt nhân

7

Hình 1.2 Số lượng trung bình các neutron phân hạch tức thời của 235U, 238U,

239Pu và 241Am (Dữ liệu của thí nghiệm ENDF/B-VI)

Hình 1.2 cho thấy số lượng neutron phát ra tăng lên theo số khối của đồng vị và năng lượng neutron tới

Một đại lượng quan trọng trong vật lý lò là tỉ lệ của số neutron trễ được vẽ trên hình 1.3 với 4 đồng vị Tỉ lệ này với các đồng vị urani cao khiến cho những những nhiên liệu làm từ urani tốt hơn nhiều so với các dạng nhiên liệu khác

Hình 1.3 Tỉ lệ neutron trễ với các đồng vị 235U, 238U, 239Pu và 241Am

8

Neutron phân hạch được phát ra đẳng hướng do có rất nhiều hạt được sinh ra trong phản ứng mà các định luật bảo toàn năng lượng, động lượng không chi phối hướng tới và phát Hơn nữa thời gian sống của trạng thái trung gian đủ dài để các hạt neutron tới “quên” đi hướng cũ của nó

Phân bố năng lượng của neutron phân hạch tức thời có dạng hàm phân bố Maxwell, có đỉnh ở quanh giá trị 1 MeV Đoạn cuối của đường phân bố kéo dài tới khoảng năng lượng cao nhất là 10 MeV và kết thúc ở khoảng năng lượng thấp nhất

là 100 eV Phổ của phân bố phân hạch tức thời của 235U, 238U, 239Pu, 241Am được vẽ trong hình 1.4

Các phân bố hơi khác nhau đối với các đồng vị khác nhau, nhưng hầu như không phụ thuộc vào năng lượng neutron tới Các neutron phân rã được sinh ra ở các mức năng lượng thấp, có vai trò quan trọng trong tính toán lò phản ứng

Năng lượng toàn phần sinh ra trong phản ứng phân hạch (Q) khoảng 200 MeV

và nó có sự phụ thuộc nhỏ vào đồng vị sử dụng làm bia Phần lớn năng lượng, khoảng 80% được giải phóng dưới dạng động năng của các mảnh phân hạch Năng lượng này được sinh ra ngay tại vị trí phân hạch Tuy nhiên ta không thể thu được toàn bộ 200 MeV năng lượng phân hạch do các neutron và photon bị rò ra bên ngoài lõi lò Khoảng 4% năng lượng bị mất do các hạt neutrino không tương tác với vật chất Không phải tất cả năng lượng được giải phóng ngay Các phân rã phóng

xạ của các sản phẩm phân hạch chiếm khoảng 6% tổng năng lượng phân hạch với hằng số phóng xạ biến thiên từ vài phần nghìn giây cho đến hàng nghìn năm

Hình 1.4 Phổ của phân bố phân hạch tức thời của 235U, 238U, 239Pu, 241Am

(Dữ liệu của thí nghiệm ENDF/B-V)

9

Phản ứng phân hạch được mô tả trên đây chủ yếu áp dụng cho phân hạch first chance trong đó hạt nhân ở trạng thái kích thích phân rã trực tiếp thành 2 mảnh Khi các neutron đến có năng lượng cao hơn, một phần năng lượng sẽ được giải phóng bởi phóng xa neutron trước khi hạt nhân bị phân hạch Những phản ứng đó được gọi

là second-chance, third-chance,… tùy thuộc vào số neutron bị phân rã trước khi đạt đến trạng thái cuối cùng Vật lý của phản ứng phân hạch trở nên phức tạp khi năng lượng của neutron đến tăng từ vài chục đến vài trăm MeV Các quá trình vật lý phức tạp này có thể được mô phỏng bằng phương pháp Monte Carlo Với ứng dụng trong lò phản ứng hạt nhân, chỉ cần xem xét một vài kênh phản ứng là đủ, ở vùng năng lượng thấp chỉ có kênh phân hạch first-chance, các ngưỡng 5MeV và 10 MeV lần lượt tương ứng với vùng xuất hiện sự đóng góp của kênh phân hạch second-chance và third-chance

Sự tán xạ

Các va chạm tán xạ có thể phân chia thành 2 loại tương tác: tán xạ đàn hồi và tán xạ phi đàn hồi Sự khác nhau giữa hai loại tương tác này là tán xạ đàn hồi thì bảo toàn động năng của các hạt tương tác Kết quả trực tiếp sự thay đổi năng lượng liên quan trực tiếp đến góc giữa neutron tới và neutron tán xạ Trong tán xạ phi đàn hồi, một phần động năng chuyển thành năng lượng kích thích của hạt nhân sau va chạm

Trường hợp đơn giản nhất của tán xạ trong trường thế là neutron tương tác với hạt nhân bia nhưng không xuyên vào bên trong Loại tán xạ đàn hồi này thường gặp với các neutron có năng lượng thấp và nó có thể xảy ra đối với tất cả loại các đồng

vị Tiết điện tán xạ thế đàn hồi hầu như không thay đổi ở năng lượng thấp và ở nhiệt

độ 0K Chuyển động nhiệt của các nguyên tử bia làm tăng tần số va chạm kết quả dẫn đến sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ vào đại lượng 1/v giống như tiết diện tương tác của phản ứng hợp phần

Ở năng lượng cao, neutron bắt đầu tương tác với các nucleon nằm trong bia và tạo thành hạt nhân phản ứng hợp phần Trạng thái hợp phần kích thích có thể phân

Nếu năng lượng của neutron tới đủ lớn (cỡ khoảng MeV) thì tán xạ phi đàn hồi

có thể dẫn đến sự phát xạ nhiều neutron, hay một neutron và hạt nhân khác như proton, α, 3

He

Hình 1.5 Tiết diện tán xạ đàn hồi của 1H, 16O, 238U và tiết diện tán xạ phi đàn hồi toàn phần của 238U (Dữ liệu của thí nghiệm ENDF/B-VI, 300K)

11

Các tiết điện tán xạ đàn hồi của 1H, 16O, 238U và tiết diện tán xạ phi đàn hồi toàn phần của 238U được vẽ trong hình 1.5 Góc tán xạ đàn hồi thế của 16O kéo dài tới khoảng 0.5 MeV sau đó xuất hiện các đỉnh cộng hưởng Miền bắt đầu xuất hiện cộng hưởng của 238U bắt đầu ở năng lượng thấp hơn nhiều và đối với 1H thì các mode tán xạ chỉ là tán xạ trong trường thế Năng lượng ngưỡng để xuất hiện tán xạ phi đàn hồi ở cỡ vài chục KeV So sánh các tiết diện phản ứng phân rã của cùng đồng vị phóng xạ 238

U trong hình 1.1 chúng ta thấy sự giống nhau rõ ràng trong cấu trúc cộng hưởng Đây là điều có thể dự đoán được, từ đó tất cả các phản ứng hợp phần xuất phát từ sự phân rã của cùng các trạng thái trung gian

Trong thực tế, các phản ứng tán xạ thế đàn hồi là đẳng hướng trong hệ quy chiếu khối tâm ở năng lượng thấp Các phản ứng không đẳng hướng xuất hiện ở năng lượng cao, đặc biệt là gần miền cộng hưởng Các phản ứng phi đàn hồi thường

là đẳng hướng ở gần năng lượng ngưỡng, nhưng tính không đẳng hướng tăng dần theo giá trị năng lượng của neutron tới

Quan sát hình 1.2 ta thấy hiệu suất trung bình của neutron phân hạch nằm trong khoảng từ 2 đến 6 neutron Điều kiện để duy trì trạng thái bền vững là các neutron thừa cần được loại bỏ khỏi chuỗi phản ứng trước khi gây ra sự phân hạch mới Một phần các neutron bị rò ra khỏi lõi lò Một vài neutron được hấp thụ trong chất tải nhiệt, các vật liệu làm lò (nhôm, thép ) hoặc trong nhiên liệu mà không xảy ra sự phân hạch mới Phần neutron còn lại được dùng để điều khiển lò phản ứng Ta cũng

12

phải tính đến một số neutron dự trữ cho việc khởi động lò phản ứng, điều chỉnh năng lượng lò và bù cho các hiệu ứng dẫn đến giảm số neutron xảy ra trong suốt quá trình vận hành

Lò phản ứng nhiệt và lò phản ứng nhanh

Quan sát hình 1.4, các neutron phân hạch được sinh ra có năng lượng cao cỡ khoảng 1 MeV Hình 1.1 cho thấy tiết diện phân hạch của 235U là khoảng 1 barn ở tại khoảng giá trị năng lượng đó Các tiết diện tương tác ở năng lượng thấp cao hơn khoảng 100 dến 1000 lần Giá trị của tiết diện tương tác lớn nghĩa là xác suất tương tác cao, dẫn đến chỉ cần lượng nhỏ vật liệu phân hạch để đạt tới chuỗi phản ứng tự duy trì Vật liệu phân hạch có nhiều neutron trong miền năng lượng thấp sẽ chỉ cần một lượng nhỏ so với các vật liệu phân hạch khác

Đây là nguyên lý của các lò phản ứng nhiệt Các neutron phân hạch nhanh được làm chậm bởi các tán xạ đàn hồi trong chất làm chậm, là một vật liệu bao gồm các đồng vị nhẹ Các vật liệu làm nhẹ thông thường nhất là nước nhẹ, nước nặng và than chì Cần phải hiểu rõ vai trò của tán xạ đàn hồi đối với thời gian sống của một neutron trong lò phản ứng nhiệt Thời gian sống trung bình của neutron trong một lò hạt nhân loại LWR cỡ 0,1 ms Quá trình làm chậm mất khoảng 0,01 ms, trong khoảng thời gian neutron bị tán xạ trong chất làm chậm Theo mô phỏng bằng máy tính, có trên 90% các phản ứng là tán xạ đàn hồi với các nguyên tử hydro trong nước Trong đó có trên 30% phản ứng xảy ra dưới năng lượng 1 eV Khoảng 80% các phân hạch được xảy ra bởi các neutron được làm chậm

Các lò phản ứng nhanh hoạt động dựa trên một nguyên lý khác Hình 1.1 chỉ ra rằng giữa dải năng lượng cao (nơi các neutron được sinh ra) và miền năng lượng thấp (nơi mà các neutron này trở thành neutron nhiệt), có một miền cộng hưởng mà

ở đó tiết diện phản ứng bắt bức xạ của 238U là cao Một tỉ lệ đáng kể các neutron trong các lò phản ứng nhiệt bị mất trong các quá trình hấp thụ cộng hưởng này Neutron trong các lò phản ứng nhanh được giữ trong trạng thái có động năng cao bằng việc tránh sử dụng những vật liệu làm chậm tốt Hiện nay, các chất tải nhiệt được chọn trong các lò phản ứng nhanh là natri lỏng (các thiết kế lò dùng chì, chì –

13

bitmut và khí lạnh He cũng được đề xuất) Neutron nhanh làm tăng xác suất phân hạch của tất cả các đồng vị trong họ actini (bao gồm cả 238U), từ đó có nhiều hơn các neutron có năng lượng trên năng lượng ngưỡng Hiệu suất trung bình của neutron phân hạch (hình 1.2) cũng lớn trong vùng năng lượng cao dẫn đến các lò phản ứng nhanh có thể tận dụng neutron tốt hơn hơn so với các lò phản ứng nhiệt

1.2 Lý thuyết vận chuyển netron

1.2.1 Những khái niệm cơ bản

Mục đích của tính toán vận chuyển neutron là giải quyết sự phân bố tỉ lệ phản ứng hạt nhân trong phạm vi các điều kiện biên của một hệ vật lý, ví dụ lõi của một

lò phản ứng hạt nhân Tất cả các phương pháp giải tất định được rút ra từ lý thuyết vận chuyển Cơ sở chung của lý thuyết không phức tạp vì nó dựa trên các định luật bảo toàn đơn giản và một số định nghĩa toán học Ở nhiều phương diện, lý thuyết vận chuyển neutron rất giống với các bài toán vận chuyển khác gặp phải trong nhiều lĩnh vực của vật lý học, ví dụ sự chuyển động của các phân tử trong chất lỏng hoặc

sự di chuyển của các ion và điện tử trong plasma

So với các bài toán khác, bài toán vận chuyển neutron có một số sự khác biệt rất

rõ ràng Một trong những điểm đặc trưng của bài toán vận chuyển neutron là sự phụ thuộc phức tạp vào năng lượng của các tiết diện tương tác giữa neutron và hạt nhân trong môi trường tương tác Sở dĩ có điều này là do các phản ứng hạt nhân hợp phần

có chịu ảnh hưởng mạnh của các hiệu ứng vi mô dẫn đến phải vận dụng cơ học lượng tử Một điểm đáng chú ý khác là neutron không chịu tác dụng của thế Coulomb của các nguyên tử lân cận mà có thể đâm xuyên vào tương tác với hạt nhân Lực tác dụng có phạm vị tương tác giới hạn cỡ kích thước hạt nhân và các quỹ đạo neutron giữa các va chạm tán xạ là các đường thẳng Hơn nữa, các tương tác neutron với nhau có thể được bỏ qua dẫn dến sự tuyến tính của các điều kiện va chạm trong phương trình vận chuyển Dưới đây chúng ta tìm hiểu khái quát về bài toán vận chuyển và các nguyên lý cơ bản để giải quyết bài toán

Ý nghĩa vật lý của tiết diện tán xạ

14

Như đã đề cập trên đây, xác suất để một neutron đơn lẻ tương tác với các hạt nhân bia được mô tả bằng tiết diện tương tác vi mô Để làm rõ ý nghĩa của nó, ta xét trường hợp một chùm neutron được bắn vào một mẫu mỏng đặt vuông góc với phương chuyển động Cường độ của chùm neutron là I (theo đơn vị neutron/cm2

s)

và tất cả neutron có cùng tốc độ, cùng hướng Để đơn giản, mẫu bia được coi như chỉ có một lớp nguyên tử và các neutron tới chỉ có một cơ hội để tương tác trong khi xuyên qua lớp bia Bia có diện tích tiết diện tương tác A và nó được làm từ vật liệu đồng nhất với mật độ nguyên tử bề mặt NA (số nguyên tử trên một cm2)

Tốc độ phản ứng toàn phần trong mẫu bia tỉ lệ với cường độ của chùm tới, mật

độ nguyên tử của vật liệu bia và diện tích tiết diện tương tác của bia:

Hệ số tỉ lệ σt là tiết diện tương tác toàn phần vi mô của vật liệu bia Tốc độ mà các neutron bắn vào bia là I.A Do NA là số nguyên tử trên một đơn vị diện tích, có thể coi σt về cơ bản là xác suất tương tác với một hạt nhân và được mô tả bằng tham

số tiết diện tương tác hiệu dụng của hạt nhân

Xác suất phản ứng trung bình trên thang vĩ mô được đặc trưng bởi tiết diện tương tác vĩ mô, được xác định bằng tích của tiết diện tương tác vi mô và mật độ hạt nhân:

15

Trong đó: σi(E) mô tả xác suất tương tác của neutron với một hạt nhân bia; Σi(r, E) là đại lượng liên quan đến các tính chất tương tác của môi trường gồm nhiều hạt nhân thuộc một hoặc một số loại nguyên tố

1.2.2 Lý thuyết vận chuyển tổng quát

Các lý thuyết vận chuyển tổng quát về cơ bản dựa trên các phương pháp tính toán tất định, bao gồm thuyết nhiễu xạ Trong tính toán vận chuyển neutron ta giả thiết rằng các neutron được coi như một chất điểm chuyển động theo đường thẳng giữa các sự kiện va chạm và tương tác giữa các neutron có thể bỏ qua Các giả thuyết bổ sung thường được thêm vào với các vật liệu cấu phần là đẳng hướng và không phụ thuộc thời gian

Phương trình vận chuyển

Hình 1.6 Thể tích vô cùng nhỏ trong không gian 3 chiều Những điểm cơ bản nhất của lý thuyết vận chuyển có thể dẫn ra từ sự cân bằng mật độ hạt trong một yếu tố vô cùng nhỏ của không gian pha 6 chiều Trong hệ tọa

độ không gian Đề-các, các hạt được xét đặt trong yếu tố thể tích d3

r=dxdydz tại vị trí r Yếu tố vô cùng nhỏ trong không gian góc là vi phân theo góc chuyển động

16

d Năng lượng của các hạt được phân bố đơn giản trong khoảng dE xung quanh

E Một minh họa được mô tả trong hình 1.6

Sự cân bằng neutron bên trong yếu tố không gian pha 6 chiều đưọc miêu tả bằng phương trình vận chuyển [7]:

q(r,,E,t )là số hạng nguồn nói chung Số hạng đầu tiên bên vế trái là tốc độ thay

đổi theo thời gian của mật độ góc neutron Số hạng thứ hai mô tả tốc độ mà các neutron di chuyển theo hướng  và đi vào yếu tố thể tích d3r Số hạng thứ ba bao gồm tất cả các tương tác loại bỏ neutron ra khỏi dòng bởi tán xạ hoặc hấp thụ từ các năng lượng và góc khác nhau Nếu các số hạng nguồn và thất thoát cân bằng cũng như không có sự xuất hiện của thời gian trong phương trình, chúng ta sẽ thu được phương trình vận chuyển trạng thái dừng

17

Chương II Giới thiệu về phương pháp Monte Carlo

2.1 Giới thiệu

Các phương pháp Monte Carlo sử dụng việc lấy mẫu thống kê thông qua các bộ

số ngẫu nhiên để tính toán nghiệm xấp xỉ của một lớp rộng các bài toán Các phương pháp Monte Carlo là các phương pháp sử dụng các giải thuật đơn giản, tận dụng sức mạnh của máy tính hiện đại để giải các bài toán phức tạp khó hoặc không thể giải được bằng các phương pháp giải tích Phương pháp này được đặt tên là Monte Carlo, tên một sòng bạc nổi tiếng ở Monaco, do sự tương đồng về việc sử dụng số ngẫu nhiên trong đánh bạc và nghiên cứu khoa học Bàn quay rô – lét chính là một máy tạo số ngẫu nhiên đơn giản Theo nghĩa rộng nhất, bất cứ phương pháp nào sử dụng số ngẫu nhiên đều có thể được quy vào lớp phương pháp Monte Carlo

Quá trình lấy mẫu thống kê có thể tiến hành trên máy tính bằng việc lặp lại một

số lượng rất lớn các bước đơn giản, song song với nhau Các thuật toán Monte Carlo cũng là phương pháp tính bằng số hiệu quả cho nhiều bài toán liên quan đến nhiều biến

số mà không dễ dàng giải được bằng các phương pháp tất định khác, chẳng hạn bài toán tính tích phân nhiều lớp Hiệu quả của phương pháp này so với các phương pháp tất định khác tăng lên khi số chiều của bài toán tăng Phương pháp Monte Carlo cũng được ứng dụng trong nhiều bài toán tối ưu hóa như trong các ngành tài chính, bảo hiểm Thông thường phương pháp Monte Carlo được thực hiện với số giả ngẫu nhiên do không thể tạo ra số ngẫu nhiên thực sự trên máy tính mà chỉ có thể thu thập từ các quá trình ngẫu nhiên xảy ra trong thực tế Các số giả ngẫu nhiên có tính tất định, được tạo

ra từ các thuật toán có quy luật có thể lặp lại được khi sử dụng trong cùng điều kiện

Để tìm hiểu phương pháp này, trước tiên ta xét bài toán tính số π do nhà toán

học Buffon đưa ra vào thế kỉ XVIII Xét điểm M(x,y) trong đó hai tọa độ x,y được gieo một cách ngẫu nhiên trong khoảng 0<x<1 và 0<y<1 Điểm M nằm trong hình tròn có tâm tại gốc tọa độ O(0,0) khi và chỉ khi x2

+y2<1 Diện tích hình tròn có bán kính R=1

18

là S = R2 = còn hình vuông có cạnh a = 2 là a2 = 4, do đó xác xuất để tìm M nằm

trong hình tròn là Bằng cách tính tỉ số giữa tổng điểm nằm trong đường tròn và tổng

điểm được gieo ngẫu nhiên ta có thể tính toán xấp xỉ số π Phương pháp đơn giản này

hoạt động theo nguyên tắc thử và sai

2.2 Tích phân Monte Carlo

Trên đây, chúng ta đã nêu ra một ví dụ đơn giản về tính số π bằng phương pháp thử và sai Trong phần này, chúng ta tìm hiểu một phương pháp chính xác và hệ thống hơn Phương pháp này đưa bài toán tính số π về bài toán tính tích phân rồi tích tích phân đó bằng cách ước lượng giá trị trung bình của hàm trong vùng lấy tính phân

Diện tích của hình tròn có thể tính được bằng tích phân:

với a là bán kính của hình tròn Như vậy diện tích này có thể ước lượng được bằng

phương pháp số truyền thống như phương pháp hình thang, phương pháp Simpson hay các phương pháp tất định khác có độ chính xác cao hơn Ngoài các phương pháp kể trên, tích phân còn có thể lấy bằng tích của giá trị trung bình của hàm số trong khoảng

lấy tích phân và độ lớn (chiều dài) của khoảng lấy tích phân

Giá trị trung bình của hàm số f(x) trong khoảng từ a đến b có thể ước lượng bằng việc sử dụng một tập số ngẫu nhiên {xi} phân bố đều trong khoảng [a, b] Từ tập

hợp đó chúng ta có thể ước lượng giá trị trung bình:

Giá trị tích phân khi đó ước lượng bằng:

19

với N là tổng số điểm ngẫu nhiên được sử dụng

Diện tích của đường tròn được ước lượng theo công thức:

Và như vậy ta có thể ước lượng giá trị của số pi là

Phương pháp Monte Carlo có thể dễ dàng mở rộng cho tích phân nhiều lớp Giá trị của tích phân nhiều lớp được ước lượng bằng tích của 2 số hạng:

- Giá trị trung bình của hàm số trong vùng cần tính

- Kích thước của vùng cần tính tích phân (độ dài đoạn thẳng trong tích phân 1 lớp, diện tích trong tích phân 2 lớp, thể tích trong tích phân 3 lớp và tương tự cho tích phân nhiều lớp hơn)

20

Từ công thức tính sai số ở trên ta thấy rằng sai số trong tính tích phân ước lượng tỉ lệ thuận với , độc lập với số lớp tích phân, vì thế phương pháp Monte Carlo sẽ ưu việt hơn các phương pháp tính tích phân truyền thống khi số lớp tích phân càng lớn Trên đây là ước lượng độ lệch chuẩn khi N giá trị số liệu là độc lập với nhau, khi N giá trị này phụ thuộc vào nhau, chúng ta phải sử dụng các phương pháp khác để tính đến sự tương quan của dữ liệu vào ước lượng của độ lệch chuẩn như kết hợp dữ liệu, Jackknife, Bootstrap

2.4 Số ngẫu nhiên

Tạo số giả ngẫu nhiên

Ta có thể tạo được các tập hợp nhỏ số ngẫu nhiên từ các quá trình ngẫu nhiên trong tự nhiên (như quá trình bức xạ hạt nhân) hay đời sống hàng ngày (như tập hợp kết quả xổ số mở thưởng hàng ngày) Tuy nhiên các tập hợp số ngẫu nhiên này thường quá nhỏ để sử dụng trong một bài toán Monte Carlo điển hình với yêu cầu hàng tỉ số ngẫu nhiên

Có một chương trình tạo số ngẫu nhiên chất lượng cao là việc quan trọng bậc nhất để đảm bảo một chương trình mô phỏng Monte Carlo hoạt động tốt Số ngẫu nhiên được tạo ra từ một thuật toán nào đó không đảm bảo hoàn toàn được tính ngẫu nhiên vì thuật toán là xác định và có thể lặp lại được Vì thế các số ngẫu nhiên tạo ra trên máy tính được gọi là các số giả ngẫu nhiên Một chương trình tạo số giả ngẫu nhiên điển hình thường tạo ra các số ngẫu nhiên nguyên nhận giá trị từ 0 cho đến giá trị lớn nhất có thể được lưu trong máy tính Mỗi chương trình tạo số ngẫu nhiên đều phải được khởi tạo với một hoặc một tập hợp giá trị bắt đầu, với mỗi tập hợp giá trị khởi tạo

ta có một tập hợp số ngẫu nhiên riêng biệt Một chương trình tạo số ngẫu nhiên phải thỏa mãn các tính chất quan trọng sau đây:

- Tính lặp lại: sử dụng cùng một giá trị khởi tạo có thể thu được cùng một chuỗi

số ngẫu nhiên với mỗi lần sử dụng chương trình

21

- Tính ngẫu nhiên: các số ngẫu nhiên trong tập hợp phân bố đồng nhất và không phụ thuộc vào nhau

- Có chu kì dài: các chương trình tạo số ngẫu nhiên phải có chu kì đủ lớn để phục

vụ các nghiên cứu sử dụng nhiều số ngẫu nhiên

- Chất lượng chuỗi số ngẫu nhiên không phụ thuộc nhiều vào giá trị khởi tạo

- Đủ nhanh để tạo ra một tập hợp số ngẫu nhiên trong thời gian nhất định

Trong các thư viện chuẩn, chúng ta thường dùng thuật toán đồng dư tuyến tính

để tạo ra chuỗi số ngẫu nhiên tuân theo phân bố đều Chương trình này sử dụng các

hằng số a, c, m để tạo chuỗi ngẫu nhiên là số nguyên phân bố đều trong khoảng từ 0 đến m-1:

i 1 i

X   aX c mod m

Một tập hợp số ngẫu nhiên thực có thể tạo được bằng cách chia cả tập hợp số nguyên

trên cho một hằng số phù hợp Ví dụ chia cho m ta được tập số thực nằm trong khoảng [0,1) Chu kỳ lớn nhất của chuỗi ngẫu nhiên là m, vì vậy các hằng số a, c phải được

chọn cẩn thận để đảm bảo chuỗi số có chu kỳ lớn nhất

Thuật toán tuyến tính đồng dư tuyến tính là thuật toán đơn giản nhất để tạo số ngẫu nhiên với chất lượng vừa phải sử dụng ít tài nguyên máy tính Khi cần có các tập hợp số ngẫu nhiên có chất lượng cao, chúng ta phải sử dụng các phương pháp tốt hơn với nhiều tài nguyên tính toán hơn như thuật toán Fibonacci, thuật toán Mersenne Twister, các thuật toán kết hợp

Phân bố xác suất

Gọi P(x)dx là xác xuất tìm thấy số ngẫu nhiên nằm trong khoảng (x, x+dx), P(x) được gọi là hàm mật độ xác suất P(x)=0 tương ứng với không có khả năng tìm thấy x,

và P(x)=1 tương ứng với khả năng chắc chắn tìm thấy x Hàm mật độ xác suất P(x)

thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa sau:

22

Vậy xác suất tìm thấy số ngẫu nhiên nằm trong khoảng [a, b] là

Cho một tập hợp số ngẫu nhiên tuân theo phân bố đều trong một khoảng nào đó,

có hai cách cơ bản để tạo một tập hợp số ngẫu nhiên tuân theo phân bố bất kỳ là phương pháp đổi biến và phương pháp loại trừ

Phương pháp đổi biến

Nếu ta có một tập hợp số ngẫu nhiên {x} có hàm mật độ xác suất là p1(x) xác định thì hàm mật độ xác suất p2(y) của tập hợp số ngẫu nghiên {y} được tạo ra bằng cách tác dụng hàm y = y(x) lên tập hợp {x} được xác định theo quy tắc bảo toàn xác suất: |p1(x)dx| = |p2(y)dy| => p2(y) = p1(x)| |

Khi cả hai mật độ hàm mật độ p1(x) và p2(x) là đã biết, chúng ta có thể xác định hàm chuyển đổi y(x) bằng cách tích phân phương trình bảo toàn xác suất:

=  P1(x)=P2(y)  y=P2-1(y)[P1(x)]

Đối với hàm p1(x) ban đầu là hàm phân bố đều trong khoảng [0,1), p1(x)=1 thì

= P1(x)=x y được tính ngược từ hàm sau x =

Ví dụ: Lấy mẫu biến ngẫu nhiên x có hàm mật độ xác suất f(x)=ae -ax trong khoảng [0,∞) ta có:

| |=f(x)= ae-ax nên t= e-ax hay x=

-Khi x = 0 thì t = 1 và x = ∞ thì t = 0,do đó ta có thể thu được biến x bằng cách gieo ngẫu nhiên biến t trong khoảng (0,1) và áp dụng công thức:

x= -

để thu được một tập hợp số ngẫu nhiên {x} tuân theo phân bố f(x)=ae -ax trong khoảng [0,∞)

Phương pháp loại trừ

23

Phương pháp đổi biến ở trên là một phương pháp tính toán hiệu quả cho phép thu thập các số ngẫu nhiên ở phân bố không đều, tuy nhiên phương pháp này có một nhược điểm là khó có thể áp dụng cho những hàm giải tích phức tạp Không phải hàm nào cũng tính ra được hàm ngược một cách dễ dàng, do đó cần thiết phải có một phương pháp khác để giải quyết vấn đề này

Phương pháp loại trừ Von Neuman là một phương pháp rất đơn giản trong việc tạo ra số ngẫu nhiên tuân theo mọi phân bố mong muốn Xét một hàm mật độ xác suất

f(x) khác 0 trong khoảng [xmin, xmax] và bằng 0 ở ngoài khoảng này Gọi C là một hằng

số lớn hơn hoặc bằng giá trị cực đại Fmax của hàm f(x) Phương pháp bao gồm gieo N cặp số ngẫu nhiên, tuân theo phân bố đều trong khoảng [xmin, xmax] và [0,C] và chỉ thu nhận những số nằm dưới đường cong f(x)

Gọi M là tổng số những cặp số được thu nhận và vm(x)dx là số những cặp số có hoành độ nằm trong khoảng (x, x+dx) Khi mà số lần gieo tiến tới vô cùng tỉ số vm(x)

Hình 2.1 Minh họa thuật toán loại trừ

Thuật toán chi tiết:

- Tạo một tập hợp số ngẫu nhiên {x} tuân theo phân bố đều trong khoảng [xmin,

xmax]

24

- Với mỗi giá trị x, gieo một số ngẫu nhiên n theo phân bố đều trong khoảng [0,1] Giá trị x được chấp nhận giữ lại trong tập hợp nếu > n, nếu không nó sẽ bị

loại bỏ khỏi tập hợp

Thuật toán trên cho thấy rằng phương pháp này cho phép tạo ra một mật độ xác suất

f(x) bất kì, ngay cả khi hàm này chưa được chuẩn hóa

Phương pháp loại trừ đòi hỏi cần nhiều số ngẫu nhiên của máu hơn phương pháp biến đổi bởi vì một phần số ngẫu nhiên đã gieo bị loại bỏ Khi đã tính toán được

giá trị Fmax thì chúng ta có thể làm tăng hiệu suất tính toán bằng cách đặt C= Fmax Phương pháp này còn một nhược điểm khác là không phải lúc nào ta cũng xác định

được Fmax một cách dễ dàng, việc lựa chọn C theo Fmax sẽ quyết định tỉ lệ loại bỏ cao hay thấp

2.5 Lấy mẫu điển hình

Phương pháp Monte Carlo hoạt động dựa trên việc lấy mẫu không gian nghiệm của bài toán Khi trong không gian nghiệm có các vùng có đóng góp lớn hơn đáng kể so với các vùng khác, quá trình lấy mẫu đều trong toàn bộ không gian nghiệm sẽ không hiệu quả, nhất là khi yêu cầu đạt được kết quả chính xác với một khối lượng tính toán không quá lớn

Ví dụ như khi ước lượng giá trị trung bình của hàm số một biến f(x) nào đó trong khoảng [a, b] với N số ngẫu nhiên phân bố đều trong [a, b], độ chính xác của kết quả thu được sẽ phụ thuộc cả vào hình dạng của hàm số f(x) và giá trị N Trọng số đóng góp của mỗi giá trị f(xi) trong giá trị trung bình tỉ lệ với độ lớn của f(xi) Với cùng giá

trị N, hàm số f(x) càng ít biến đổi trong [a, b] thì giá trị trung bình ước lượng được sẽ càng chính xác Nếu vẽ một đường thẳng song song với trục x và cắt trục y tại giá trị trung bình chính xác, giao điểm này sẽ nằm gần các vùng có giá trị f(x) lớn Mục đích của chúng ta là tìm giao điểm một cách chính xác nhất có thể với N nhỏ nhất Để đạt

25

được điều này ta nên sử dụng tập hợp số ngẫu nhiên tuân theo phân bố có dáng điệu

gần với dáng điệu của f(x) nhất thay vì dùng tập hợp số ngẫu nhiên tuân theo phân bố

đều Đây là kỹ thuật lấy mẫu điển hình

2.6 Chuỗi Markov

Trong các phần trên đây chúng ta đã tìm hiểu các tính chất và ứng dụng đơn giản của các tập hợp số ngẫu nhiên Trong các nghiên cứu khoa học, chúng ta sẽ mở rộng nghiên cứu giải các bài toán bằng việc sử dụng các quá trình ngẫu nhiên Chuỗi các quá trình ngẫu nhiên được sử dụng nhiều nhất là các chuỗi có tính chất Markov: sự xuất hiện của một sự kiện nào đó chỉ phụ thuộc trực tiếp vào sự kiện xuất hiện ngay trước nó Ví dụ đơn giản chính là các chuỗi số ngẫu nhiên được tạo ra bởi thuật toán tuyến tính đồng dư được kể trên đây Trong chương 3 chúng ta sẽ sử dụng các chuỗi cấu hình Markov, số ngẫu nhiên để tính toán sự vận chuyển của neutron trong lò phản ứng hạt nhân

26

Chương III Mô phỏng bài toán vận chuyển neutron

3.1 Bài toán vận chuyển neutron qua lớp vật liệu

Một trong các bài toán thực tế phải giải quyết khi tính toán sự vận chuyển của neutron trong lò phản ứng hạt nhân là bài toán vận chuyển neutron qua nhiều lớp vật liệu theo các cấu hình khác nhau Sự tương tác của neutron với các detector đa lớp cũng là vấn đề nhân được sự quan tâm đặc biệt của các nhà thực nghiệm Vật lý hạt nhân Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi bước đầu xây dựng các thuật toán, chương trình mô phỏng để tìm hiểu dạng bài toán này

Hình 3.1 Mô tả vùng tương tác của neutron

Xét sự va chạm của một neutron với một đĩa có chiều dày t theo chiều z và kích thước vô hạn theo 2 chiều x, y (Hình 3.1) Tại mỗi điểm trong lòng đĩa, neutron có thể

bị hấp thụ với xác xuất p c hoặc tán xạ với xác xuất p s Các xác xuất này lần lượt tỉ lệ với tiết diện hấp thụ và tiết diện tán xạ Nếu neutron bị tán xạ, phương hướng mới của

nó sẽ được xác định bằng góc cực Trong bài toán này chúng ta không xét đến sự

, p

Phân bố xác xuất theo điểmp , là tích của các xác xuất thành phầnp  vàp  với

vàlà các biến độc lập Vì xác xuấtp  là hằng số,có thể thu được từ công thức,

Theo công thức (3.4)phân bố đều trong đoạn 0 đến2 vàcosphân bố đều trong đoạn -1 đến +1 theo công thức (3.6) Lấy nghịch đảo hàm công thức (3.6) ta có thể thu được Tuy nhiên để tìm thành phần z của quãng đường dịch chuyển của neutron trong đĩa, chúng ta cần nhân quãng đường l vớicos nên chỉ cần giá trịcosthay vì

28

Quãng đường dịch chuyển, khoảng cách dịch chuyển được trong mỗi lần tán

xạ, thu được hàm mật độ xác xuất   / 

e l

p   Từ công thức (3.36) ta có

r ln

vớilà quãng đường dịch chuyển trung bình

Với những thảo luận trên đây, chúng ta đã có đủ thông tin để tính toán các xuất cho 1 neutron truyền qua đĩa, phản xạ ngược lại hoặc bị hấp thụ trong lòng đĩa Các

tham số cần thiết là độ dày t theo phương z của đĩa, xác xuất hấp thụ p c và quãng đường dịch chuyển trung bình Xác xuất tán xạ nhận giá trị p s = 1 – p c

3.2 Thuật toán đơn giản và thảo luận cho bài toán vận chuyển neutron 2D

3.2.1 Bài toán vận chuyển với tán xạ đàn hồi

Quá trình mô phỏng bắt đầu với z = 0 và tiến triển theo các bước sau:

1 Xác định xem neutron sẽ bị hấp thu hay tán xạ Nếu nó bị hấp thụ, cộng thêm 1 giá trị vào tổng số neutron bị hấp thụ và nhảy đến bước 5

2 Nếu neutron bị tán xạ, tínhcos từ công thức (3.6) và l từ công thức (3.7) Thay đổi tọa độ theo phương z một lượng lcos

3 Nếu z < 0, cộng thêm 1 giá trị vào tổng số neutron bị phản xạ ngược lại khi tương tác với đĩa Nếu z > t, cộng thêm 1 giá trị vào tổng số neutron truyền

qua đĩa Trong cả 2 trường hợp, nhảy đến bước 5

4 Lặp lại các bước từ 1 đến 3 cho đến khi neutron đạt đến 1 trong 3 trạng thái: bị hấp thụ, bị phản xạ, truyền qua

5 Lặp lại các bước từ 1 đến 4 với neutron khác cho đến khi có đủ dữ liệu

* Tính toán với số hạt neutron đến là 10000 hạt với giá trị năng lượng thay đổi (thể hiện qua sự thay đổi của quãng đường tự do trung bình tỉ lệ thuận với căn bặc 2 của năng lượng neutron) được bắn vào 1 bia dày 1 đơn vị độ dài làm bằng loại vật liệu có xác xuất hấp thụ neutron trong mỗi lần tương tác là pc = 0.3333, ta thu được bảng số liệu liệt kê trong bảng 3.1

Từ bảng số liệu, ta có các đồ thị sự phụ thuộc của tỉ lệ số hạt hấp thụ, phản xạ và truyền

qua vào quãng đường dịch chuyển trung bình như sau:

Hình 3.1: Đồ thị sự phụ thuộc của tỉ lệ hạt bị hấp thụ theo quãng đường tự do trung bình

30

- Tỉ lệ neutron bị hấp thụ giảm dần khi năng lượng tăng, điều này là phù hợp với nhận định tiết diện tán xạ tỉ lệ khoảng thời gian neutron nằm trong vùng tương tác với hạt nhân thể hiện ở sự tỉ lệ thuận của tiết diện tán xạ vào nghịch đảo của vận tốc Trong trường hợp này chúng ta chưa xem xét đến sự tương tác của neutron với các cấu trúc nội tại của hạt nhân bia nên các hiệu ứng lượng tử như các đỉnh cộng hưởng chưa xuất hiện Vì vậy chúng ta không cần khảo sát trên lưới số liệu đủ mau

Hình 3.2: Đồ thị sự phụ thuộc của tỉ lệ hạt phản xạ theo quãng đường tự do trung bình

- Tỉ lệ neutron bị phản xạ ngược lại phía nguồn phát (nguồn phát là đẳng hướng nên tỉ lệ này lớn hơn 0.5) giảm dần theo năng lượng phù hợp với thực tế là độ đâm xuyên tỉ lệ thuận với năng lượng của neutron Trước khi tỉ lệ này giảm theo năng lượng, nó tăng đến cực đại do có một số neutron đi vào lớp mỏng bề mặt vật liệu rồi phản xạ ngược lại phía nguồn phát