Kết thúc và ứng dụng trong bài toán phân loại và sắp xếp các đường cong conic

của mặt phẳng xạ ạnh, trả lời câu hỏi "Có bao nhiêu đường conic trong mặtphẳng đi qua p điểm và tiếp xúc với 5 − p đường thẳng".Chương 3: Trong chương này chúng tôi nghiên cứu sâu hơn vấ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRẦN QUANG TRUNG

KẾT THỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN PHÂN LOẠI SẮP XẾP CÁC ĐƯỜNG CONIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm 2014

,,

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRẦN QUANG TRUNG

KẾT THỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN PHÂN LOẠI SẮP XẾP CÁC ĐƯỜNG CONIC

Mã số : 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS PHÓ ĐỨC TÀI

Hà Nội - Năm 2014

Mục lục

1.1 Đường cong đại số 5

1.1.1 Đường cong affine 5

1.1.2 Đường cong xạ ảnh 6

1.2 Kết thức, biệt thức 7

1.2.1 Kết thức 7

1.2.2 Các tính chất của kết thức 9

1.2.3 Biệt thức 15

1.3 Định lý Bézout 16

1.4 Đối ngẫu trong P2 22

2 Các đường conic với cấu hình điểm - đường thẳng 24 2.1 Một số định nghĩa và ví dụ 24

2.2 Cấu hình năm điểm 27

2.3 Cấu hình bốn điểm và một đường thẳng 30

2.4 Cấu hình ba điểm và hai đường thẳng 31

2.5 Cấu hình p điểm (p < 3) và 5 − p đường thẳng 34

3 Các đường conic với cấu hình điểm - đường thẳng - đường conic 41 3.1 Mặt Veronese 41

3.2 Phép nổ của mặt Veronese 433.3 Vành Chow 453.4 Cấu hình p điểm, l đường thẳng và 5 − p − l đường conic 50

Lời nói đầu

Điểm, đường thẳng và đường conic là các đối tượng cơ bản trong mặt phẳng.Bài toán cổ điển do Jakob Steiner đưa ra vào năm 1848 : "Trong mặt phẳngcho năm đường conic, có bao nhiêu đường conic tiếp xúc với tất cả năm đườngconic đã cho" Một bài toán tổng quát hơn: "Có bao nhiêu đường conic trongmặt phẳng đi qua p điểm, tiếp xúc với l đường thẳng và tiếp xúc với 5 − p − lđường conic" Các vấn đề đó yêu cầu về mặt số lượng của các đối tượng hìnhhọc có chung các tính chất nhất định, hình học đại số gọi đó là vấn đề đếm.Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu vấn đề đếm liên quan đến cácđường conic trong mặt phẳng Luận văn đọc hiểu và trình bày lại bài toán trêndựa theo tài liệu tham khảo [1] Các kết quả được trình bày và các kỹ thuậtkhông phải là mới, nhưng chúng tôi cố gắng trình bày một cách chi tiết để hiểuhơn về một vấn đề cổ điển của hình học đại số, cụ thể chúng tôi dùng đến kếtthức, biệt thức, định lý Bézout, vành Chow Trong luận văn này, chúng tôi sửdụng phần mềm Maple, cụ thể dùng tính kết thức, biệt thức và cơ sở Gr¨obnerđưa ra nhiều ví dụ minh họa và bổ sung chi tiết các chứng minh không đượctrình bày trong [1]

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành

của mặt phẳng xạ ạnh, trả lời câu hỏi "Có bao nhiêu đường conic trong mặtphẳng đi qua p điểm và tiếp xúc với 5 − p đường thẳng".

Chương 3: Trong chương này chúng tôi nghiên cứu sâu hơn vấn đề đếm củacác siêu mặt, từ đó đưa ra kết qua tổng quát cho trường hợp "Có bao nhiêuđường conic trong mặt phẳng đi qua p điểm, tiếp xúc với l đường thẳng và tiếpxúc với 5 − p − l đường conic"

Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS Phó Đức Tài - TrườngĐHKHTN-ĐHQGHN Thầy đã tận tình hướng dẫn tôi liên tục trong thời giantôi là học viên cao học, để tôi có thể hoàn thành bản luận văn này và có thêmnhững hiểu biết mới

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy - cô trong Khoa Toán - Cơ - Tin họcTrường ĐHKHTN-ĐHQGHN đã có những ý kiến đóng góp quý báu, sự giúp đỡtận tình, tôi cũng xin cảm ơn tới tất cả các quý Phòng, Ban, Trung tâm TrườngĐHKHTN-ĐHQGHN đã giúp tôi hoàn thiện các thủ tục trong suốt thời giantôi theo học tại trường

Hà Nội, năm 2014Tác giả

Trần Quang Trung

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày lại các kiến thức cơ bản về đường congđại số, kết thức, biệt thức, định lí Bézout, đối ngẫu của P2 Tài liệu tham khảochính là [4] và [5]

1.1 Đường cong đại số

Trong phần này chúng ta sẽ phát biểu các định nghĩa trên trường K tổngquát

1.1.1 Đường cong affine

Giả sử P (x, y) là một đa thức hai biến, khác hằng số, với các hệ số thuộc K

Ta nói P (x, y) không có thành phần bội nếu không tồn tại khai triển

P (x, y) = (Q(x, y))2R(x, y),trong đó Q(x, y), R(x, y) là các đa thức và Q(x, y) khác hằng số

Định nghĩa 1.1 (Đường cong affine) Giả sử P (x, y) là một đa thức hai biến,khác hằng số, với các hệ số thuộc K và không có thành phần bội Khi đó đườngcong affine trong K2 định nghĩa bởi P (x, y) là

C = {(x, y) ∈K2: P (x, y) = 0}.

Bậc d của đường cong C định nghĩa bởi P (x, y)là bậc của đa thức P

Định nghĩa 1.2 Một điểm (a, b) ∈ C được gọi là một điểm kỳ dị của C nếu

∂P

∂x(a, b) = 0 =

∂P

∂y(a, b).

Nếu C không có điểm kì dị thì C được gọi là trơn

Định nghĩa 1.3 Một đường cong C định nghĩa bởi đa thứcP (x, y)được gọi làbất khả qui nếu P là bất khả qui, tức là P chỉ có các nhân tử là hằng số và vôhướng nhân với nó

Định nghĩa 1.5 (Đường cong xạ ảnh) Giả sử P (x, y, z) là một đa thức thuầnnhất ba biến, khác hằng số, với các hệ số trên K Khi đó đường cong xạ ảnh C˜định nghĩa bởi P (x, y, z) là

˜

C = {[x, y, z] ∈KP2 : P (x, y, z) = 0}

Bậc của đường cong xạ ảnh C˜ định nghĩa bởi P (x, y, z) là bậc của đa thức P.Định nghĩa 1.6 Điểm [a, b, c]của đường cong xạ ảnh C˜ trong KP2 định nghĩabởi một đa thức thuần nhất P (x, y, z) được gọi là điểm kì dị nếu

Nếu C˜ không có điểm kì dị thì C˜ được gọi là trơn

Nhận xét 1.1 Đường cong affine và đường cong xạ ảnh mặc dù khác nhau,nhưng chúng có quan hệ gắn bó với nhau Từ đường cong affine C chúng ta có

thể thu được đường cong xạ ảnh C˜ bằng cách thêm các điểm ở vô cùng, thậtvậy ta có thể đồng nhất KP2 với tập con mở

U = {[x, y, z] ∈KP2 : z 6= 0},trong KP2 thông qua đồng phôi φ : U →K2 xác định bởi

φ([x, y, z]) = (x

z,

y

z),với ánh xạ ngược

(x, y) 7→ [x, y, 1].

Phần bù của U trong KP2 là đường thẳng xạ ảnh định nghĩa bởi z = 0 mà

ta có thể đồng nhất với KP1 qua ánh xạ

[x, y, 0] 7→ (x, y).

Như vậy KP2 là hợp rời của một bản sao của K2 và một bản sao của KP1

mà được xem như tại vô cùng

Khi đó kết thức của f và g theo biến x, được ký hiệu là Res x (f, g) là địnhthức của ma trận (n + m) × (n + m) :

ở đó các chỗ trống được lấp đầy bởi các số không.

Nếu

P (x, y, z) = a 0 (y, z)xn+ a 1 (y, z)xn−1+ + a n (y, z),và

Q(x, y, z) = b 0 (y, z)xm+ b 1 (y, z)xm−1+ + b m (y, z),

là các đa thức ba biến x, y, z thì kết thức Res x (P, Q) được định nghĩa giống nhưRes x (f, g) nhưng thay a i (y, z) và b i (y, z) cho a i và b j với 0 ≤ i ≤ n và 0 ≤ j ≤ m.Chú ý Res x (P, Q) là đa thức với biến y và z, khi cho y = b và z = c nó nhậngiá trị bằng kết thức của hai đa thức P (x, b, c) và Q(x, b, c) theo x, với giả thiết

a 0 (y, z) và b 0 (y, z) khác không

Nhận xét 1.2 Res x (f, g) là một đa thức nguyên theo các hệ số của f và g cónghĩa là có đa thức Res n,m ∈Z[a 0 , , a n , b 0 , , b m ] sao cho:

1.2.2 Các tính chất của kết thức.

Dưới đây là một vài tính chất cơ bản của kết thức

Mệnh đề 1.1 (Các tính chất cơ bản) Chof, g là các đa thức khác hằng số trong

K[x], n = degf, m = degg Khi đó ta có các tính chất sau:

(i) Res x (f, g) = (−1) nm Res x (g, f ).

(ii) Nếu a ∈K thì Res x (x − a, f(x)) = f(a).

(iii) Nếu a là một phần tử khác không của K thì Res x (a, f ) = an.

(iv) Có các đa thức A, B ∈ K[x] thoả mãn: Res x (f, g) = Af + Bg Trường hợpđặc biệtf và g có nghiệm chung trong K khi và chỉ khi Res x (f, g) = 0, trong

đó K là trường đóng đại số của K

Chứng minh Các tính chất (i), (ii), (iii) là hiển nhiên Chúng ta đi chứng minhtính chất (iv) Để chứng minh được tính chất này ta sẽ chuyển nó thành bàitoán tương đương: Đó là tìm các đa thức eA,B ∈e K[t] thỏa mãn:

e

Trước tiên mệnh đề là đúng nếu Res x (f, g) = 0 Khi đó ta chọn A = B = 0.Giả sử rằng: Res x (f, g) 6= 0.

f = a 0 xn+ a 1 xn−1+ + a n , a 0 6= 0, n > 0,

g = b 0 xm+ b 1 xm−1+ + b m , b 0 6= 0, m > 0,e

A = c 0 xm−1+ + c m−1 ,e

B = d0xn−1+ + dn−1,

ở đó các hệ số c 0 , , c m−1 , d 0 , , d n−1 là chưa biết trong K

Thế các đa thức f, g, A,e Be vào trong phương trình (1.1) và so sánh các hệ sốtheo các lũy thừa của x, khi đó chúng ta nhận được một hệ các phương trìnhtuyến tính với các ẩn chưa biết c i , d j (i = 1, m − 1, j = 1, n − 1), và các hệ số

Vậy hệ phương trình (1.2) có nghiệm duy nhất trong K[x] Chúng ta có thể

sử dụng quy tắc Cramer để tìm công thức nghiệm duy nhất Quy tắc Cramercho chúng ta nghiệm chưa biết thứ i là tỉ lệ của hai định thức, trong đó mẫu số

là định thức của ma trận hệ số và tử số là định thức của ma trận mà ma trận

đó được tạo ra bằng cách thay cột thứ i của ma trận hệ số bởi cột của các hệ

số tự do ở vế phải của hệ phương trình Từ đó ta suy ra được công thức của c i

và d j, i = 0, m − 1, j = 0, n − 1 Ví dụ: c 0 là được cho bởi

Do định thức là đa thức nguyên theo các số hạng của nó, suy ra

c 0 = đa thức nguyên theo a i , b j

(iii) Res x (f ◦ h, g ◦ h) = cRes x (f, g)w, c ∈K∗ nào đó

Chứng minh (i) Trước tiên chúng ta cần chứng minh công thức:

Để chứng minh được công thức này chúng ta sử dụng bổ đề sau:

Bổ đề 1.1 Giả sử h(x 1 , x 2 , , x n ) là một đa thức n biến trên vành số nguyên

Z, bằng 0 nếu thay x 1 cho x 2 và giữ nguyên tất cả các x i khác (i 6= 2) Khi đóh(x1, x2, , x n ) chia hết cho x1− x 2 trong Z[x1, x2, , x n ]

Quay lại bài toán của chúng ta, viết f (x) vàg(x) dưới dạng:

m

Y

j=1

(x − β j ) = b 0 xm+ b 1 xm−1+ + b m Đặt S = am0 bn0Qn

i=1

Qm j=1 (α i − β j ) Và viết Res x (f, g) = R(a, b) với (a) = (a 0 , a 1 , , a n ), (b) = (b 0 , b 1 , , b m )

Vì R(a, b) đẳng cấp bậc m theo các biến thứ nhất của nó và đẳng cấp bậc

n theo các biến thứ hai, nên R(a, b) = a m

0 b n

0 h(α, β),trong đó h(α, β) ∈ Z(α, β)

Do (iv) của mệnh đề 1.1 ta có R(a, b) = 0 khi thay α i cho β j (i = 1, , n và

j = 1, , m), từ đó theo bổ đề 1.1 suy ra rằng R(a, b) như là một phần tử của

Z[a 0 , α, b 0 , β], chia hết cho α i − β j đối với mỗi cặp (i,j) Do đó R(a,b) chia hếtcho S trong Z[a 0 , α, b 0 , β], vì hiệu α i − β j là phần tử nguyên tố trong vành đó vàcác cặp (i, j) khác nhau đưa tới các phần tử nguyên tố khác nhau

Từ (1.7) ta thấy rằng S đẳng cấp bậcn theo (a), từ (1.8) ta thấy S đẳng cấp

bậc m theo (b) Vì R(a, b) có các tính chất là đẳng cấp bậc n theo (a) và đẳng

cấp bậc m theo (b), đồng thời R(a, b) là chia hết cho S, nên R(a, b) = cS với c

nguyên nào đó Vì cả R(a, b) và S đều chứa đơn thức am0bn0 gặp trong chúng với

hệ số 1 nên c = 1 Vậy Res x (f, g) = R(a, b) = S Vậy ta có điều phải chứng minh

(ii) Được suy ra dễ dàng từ (i)

(iii) Giả sử h(x) = c 0 xw+ c 1 xw−1+ + c w Viết f (x), g(x)như trong (i), giả sử

Qm j=1

Qw k=1

Qw l=1 (α ik − β jl ) (Qn

i=1

Qm j=1 (α i − β j )) w Đặt c = c

(mnw)2 0

Q n i=1

Q m j=1

Q w k=1

Q w l=1 (α ik −β jl ) ( Q n

i=1

Q m j=1 (α i −β j )) w , suy ra c ∈K∗ Vậy ta có:

Res x (f ◦ h(x), g ◦ h(x)) = c(Res x (f, g)w).

Vậy ta có điều phải chứng minh

Mệnh đề 1.3 Giả sửP (x, y, z) vàQ(x, y, z) là các đa thức thuần nhất khác hằng

số với biến x, y, z, ngoài ra

f (y, z) g(y, z),trong đó f (y, z) vàg(y, z) là các đa thức và g(y, z) không đồng nhất bằng không

Do K(y, z) là một trường, chứng minh ở mệnh đề (1.1) chứng tỏ kết thứcRes x (P, Q) đồng nhất không khi và chỉ khi P (x, y, z) vàQ(x, y, z) có một nhân tửchung khác hằng số khi coi chúng như là các đa thức theo x với các hệ số trong

K(y, z) Từ đó ta có điều phải chứng minh

Mệnh đề 1.4 Giả sử P (x, y, z) và Q(x, y, z) là các đa thức thuần nhất bậc n và

m với các biến x, y, z Khi đó kết thức Res x (P, Q) là một đa thức thuần nhất bậc

nm theo các biến y, z

Chứng minh Theo định nghĩa, kết thức Res x (P, Q) của các đa thức thuần nhất

P (x, y, z) và Q(x, y, z) bậcn và m là định thức của ma trận cỡ (n + m) × (n + m)với phần tử hàng i cột j là một đa thức thuần nhất r ij theo biến y, z có bậc d ij

Định nghĩa 1.8 Cho đa thức f (x) = a 0 xn+ a 1 xn−1+ + a n , a 0 6= 0, n > 0 trên

K[x] Giả sử α 1 , α 2 , , α n ∈K là các nghiệm của f (x) Khi đó, hệ thức

D(f ) = a2n−20 Y

i<j

(α i − α j )2,được gọi là biệt thức của đa thức f (x)

Định lí 1.1 Cho đa thức f (x) = a 0 xn+ a 1 xn−1+ + a n , a 0 6= 0, n > 0 trên K[x],

ta luôn có

Res x (f, f′) = (−1)n(n−1)2 a 0 D(f ).

Chứng minh Theo mệnh đề 1.2 Res x (f, f′) = an−10 Qn

i=1 f′(α i ), do vậyRes x (f, f′) = an−10

1.3 Định lý Bézout

Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu hai đường cong xạ ảnh C vàD trong

P2 giao với nhau như thế nào Chúng ta sẽ thấy C và D giao nhau ít nhất tạimột điểm, và nếu C và D không có thành phần chung thì chúng sẽ giao nhaunhiều nhất tại nm điểm, trong đó n là bậc của C và m là bậc của D Chúng ta

sẽ thấyC vàD giao nhau chính xác tạinm điểm nếu mọi điểm củaC ∩ D khôngphải là điểm kì dị của cả C và D và các tiếp tuyến của C và D tại các điểm đó

là phân biệt Các kết quả này là các trường hợp của định lý mang tên nhà toánhọc Bézout, nhà toán học người Pháp Để có thể chứng minh kết quả tổng quát

về số giao điểm củaC và D trước hết ta đưa vào khái niệm số giao I p (C, D)của

C vàD tại điểm pcủa hai đường cong Chúng ta sẽ định nghĩa bội giao qua kếtthức của hai đa thức P (x, y, z) và Q(x, y, z) xác định C và D

Định lí 1.2 Tồn tại duy nhất bội giao I p (C, D)định nghĩa cho tất cả các đườngcong xạ ảnh C và D trong P2 thỏa mãn các tính chất (i) − (vi) sau đây:

(i) I p (C, D) = I p (D, C)

(ii) I p (C, D) = ∞ nếupnằm trên một thành phần chung của C vàD, còn ngượclại thì nó là một số nguyên không âm

(iii) I p (C, D) = 0 khi và chỉ khi p / ∈ C ∩ D

(iv) Hai đường thẳng phân biệt cắt nhau tại một điểm duy nhất, tại đó có bộigiao bằng 1

(v) Nếu C 1 vàC 2 định nghĩa bởi các đa thức thuần nhấtP 1 (x, y, z) vàP 2 (x, y, z)

và C xác định bởi

P (x, y, z) = P 1 (x, y, z)P 2 (x, y, z)thì

I p (C, D) = I p (C 1 , D) + I p (C 2 , D).

(vi) Nếu C và D định nghĩa bởi các đa thức thuần nhất P (x, y, z) và Q(x, y, z)bậc n và m, và E định nghĩa bởi P R + Q trong đó R(x, y, z) là đa thức thuầnnhất bậc m − n thì

I p (C, D) = I p (C, E).

Hơn nữa nếu C và D không có thành phần chung, khi đó ta có thể chọn hệtọa độ xạ ảnh sao cho các điều kiện sau thỏa mãn:

(a) [1, 0, 0] không thuộc C ∪ D;

(b) [1, 0, 0]không nằm trên đường thẳng nào nối hai điểm phân biệt bất kỳ của

Đầu tiên chúng ta sẽ chứng minh bội giaoI p (P, Q) có thể tính chỉ cần sử dụngcác điều kiện (i) − (vi) , như thế các điều kiện này hoàn toàn xác định I p (P, Q)

Do các điều kiện không phụ thuộc vào việc chọn hê tọa độ, chúng ta có thể giả

sử p = [0, 0, 1] Hơn nữa do các điều kiện (i)và (iv) có thể giả sửP và Qbất khảqui, với điều kiện (ii)có thể giả sửI p (P, Q) hữu hạn, và I p (P, Q) = k > 0 do (iii).Cuối cùng bằng quy nạp theo k, giả sử mỗi bội giao bé hơn k có thể tính đượcqua các điều kiện (i) − (vi)

Xét đa thức P (x, 0, 1) và Q(x, 0, 1) theo x; chúng có bậc tương ứng bằng r và

s Do (i) có thể coi r ≤ s Có hai trường hợp cần xét:

Trường hợp 1: r = 0 Trường hợp này P (x, 0, 1) là hằng số và do đó nó bằngkhông vìP (0, 0, 1) = 0 Do P (x, y, z)là đa thức thuần nhất, suy ra P (x, 0, z) đồng

nhất không, do đó

P (x, y, z) = yR(x, y, z),

với R(x, y, z) là một đa thức thuần nhất Hơn nữa ta có thể viết

Q(x, y, z) = Q(x, 0, z) + yS(x, y, z) = xqT (x, z) + yS(x, y, z),

với các đa thức thuần nhất T (x, z) và S(x, y, z) sao cho T (0, 1) khác không, và q

là một số nguyên doQ(0, 0, 1) = 0 VìT (0, 1) 6= 0 nghĩa là điểm p = [0, 0, 1] khôngnằm trên đường cong xác định bởi T (x, z) = 0, vì vậy theo (iii) ta có

I p (y, T (x, z)) = 0.

Từ (iv) ta có

I p (y, x) = 1.

Kết hợp lại, ta thu được I p (P, Q) = I p (R, Q) + I p (y, Q).

Từ (vi) ta nhận được I p (y, Q) = I p (y, xqT (x, z)), sử dụng lần lượt (v) và (ii),

đa thức

S(x, y, z) = zn+s−rQ(x, y, z) − xs−rzmP (x, y, z),đây là đa thức thuần nhất theo x, y, z sao cho đa thức

S(x, 0, 1) = Q(x, 0, 1) − xs−rzmP (x, 0, 1)

theo x có bậc t nhỏ hơn hẳn s Do S(x, y, z) không đồng nhất không vì P và Q

là các đa thức bất khả qui và phân biệt Hơn nữa theo (i), (v) và (vi) ta có

• Nếu p nằm trên một thành phần chung của C và D thì I p (C, D) = ∞.

• Nếu p không nằm trênC ∩ D thì I p (C, D) = 0

• Nếu p nằm trên C ∩ D nhưng không nằm trên một thành phần chung nàocủa C và D, trước hết ta bỏ đi những thành phần chung của C và D rồichọn hệ tọa độ xạ ảnh sao cho các điều kiện(a) −(c)thỏa mãn Nếup[a, b, c]trong hệ tọa độ này thì I p (C, D) là số nguyên lớn nhất k sao cho sao chokết thức Res x (P, Q) của P và Q đối với x chia hết cho (bz − cy)k

Phần còn lại ta sẽ chứng minh các điều kiện (i) − (vi)

(i) Là hệ quả trực tiếp của tính chất định thức của một ma trận đổi dấu khichuyển chỗ hai hàng cho nhau, do đó

Res x (P, Q) = Res x (Q, P ).

(ii) Được suy ra từ định nghĩa của bội giao và mệnh đề (1.3)

(iii) Hiển nhiên

(iv) Giả sử hai đường thẳng phân biệt đó là:

(d 1 ) : a 1 x + b 1 y + c 1 z = 0, (d 2 ) : a 2 x + b 2 y + c 2 z = 0,thỏa mãn [a 1 , b 1 , c1] 6= [a 2 , b 2 , c 2 ] Do vậy hai đường thẳng này luôn cắt nhau tại

(v) Suy ra trực tiếp từ mệnh đề (1.2)

(vi) Vì định thức của một ma trận không thay đổi nếu ta cộng vào một hàngbởi tích của một vô hướng với một hàng khác Kết thức củaP vàP R + Q là địnhthức của một ma trận (s j ) thu được từ ma trận (r ij ) xác định Res x (P, Q), bằngcách nhân các vô hướng thích hợp với n hàng đầu tiên rồi cộng vào m hàng cuốicùng Cụ thể, nếu

R(x, y, z) = c 0 (y, z) + c 1 (y, z)x + + cm−nxm−n,thì

Res x (P, P R + Q) = det(s ij ) = det(r ij ) = Res x (P, Q).

Suy ra điều phải chứng minh

Định lí 1.3 (Định lí Bézout) Giả sử C và D là hai đường cong xạ ảnh trong

P2 có bậc bằng n và m Nếu C và D không có thành phần chung thì chúng cóchính xác nm điểm giao tính cả bội, tức là

X

p∈C∩D

I p (C, D) = nm.

Chứng minh Để chứng minh định lý này ta sử dụng bổ đề sau:

Bổ đề 1.2 Giả sử P (x, y) là một đa thức khác không thuần nhất bậc d hai biếnvới hệ số phức thì nó có phân tích thành tích các đa thức tuyến tính

trong đó a 0 , , a d ∈ C không đồng thời bằng không Giả sử e là số lớn nhấttrong {0, , d} sao cho a e 6= 0 Khi đó

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bây giờ chúng ta sẽ đi chứng minh định lý Bézout Chọn hệ tọa độ để cácđiều kiện (a) − (c) trong định lý (1.2) thỏa mãn Giả sử C và D định nghĩa bởicác đa thức thuần nhất P (x, y, z) và Q(x, y, z) trong hệ tọa độ này Theo cácmệnh đề (1.3) và (1.4), suy ra kết thức Res x (P, Q) là một đa thức thuần nhấtbậcnm với hai biếny vàz, không đồng nhất bằng không, vì vậy theo bổ đề trênRes x (P, Q) có thể phân tích thành tích của nm thừa số tuyến tính, chẳng hạn

C ∩ D = {p i : 1 ≤ i ≤ k},trong đó p i = [a i , b i , c i ], và I p i (C, D) = e i Từ đó ta có điều phải chứng minh

Xét tập hợp của tất cả các đường thẳng trong P2 Chúng ta sẽ sử dụngphương trình tuyến tính L : AX + BY + CZ = 0, ở đó A, B, C không đồng thờibằng không để mô tả một đường thẳng trong P2 Mỗi đường thẳng L như vậychúng ta cho tương ứng bởi một điểm [A, B, C] trong P2 Do vậy, tập hợp củatất cả các đường thẳng trong P2 được gọi là mặt phẳng xạ ảnh đối ngẫu Mặtphẳng xạ ảnh đối ngẫu chính là một bản sao của P2 , nhưng nó được phân biệt

là không gian hai chiều Chúng ta biểu thị mặt phẳng xạ ảnh đối ngẫu bởi P˘2

và sử dụng ký hiệu A, B, vàC để chỉ các tọa độ của P˘2

Định nghĩa 1.9 Một đường thẳng L trong P2 tương ứng với một điểm trong

˘

P2, ký hiệu là L˘ (gọi là L đối ngẫu)

Chúng ta cũng có thể định nghĩa đối ngẫu của một điểm p trong P2 là tậphợp của tất cả các đường thẳng đi qua p Nếu p = [X 0 , Y 0 , Z 0 ] thì đối ngẫu của

nó là tập hợp {[A, B, C] ∈P2 : X 0 A + Y 0 B + Z 0 C = 0} Đó là phương trình tuyếntính, vì vậy ta thấy rằng điểm p tương ứng một cách tự nhiên với một đườngthẳng trong P˘2, ký hiệu là ˘.

Nhận xét 1.4 Về mặt hình học chúng ta thấy sự liên kết của một đường thẳngtrong P˘2 với một điểm trong P2 và ngược lại Chúng ta sẽ thấy rằng nếu p làmột điểm của P2 nằm trên đường thẳng L trong P2, thì ˘là một đường thẳngtrong P˘2 chứa điểm L˘

Định nghĩa 2.1 (Đường conic trong R2) Đường conic trong mặt phẳng thực

là tập hợp của tất cả các điểm (x, y) ∈R2 thỏa mãn phương trình bậc hai

a 2 +yb22 = 1.

Trong các ví dụ về đường conic trên, đa thức định nghĩa các đường conic

là bất khả qui Khi đó đường conic được gọi là không suy biến Nếu đa thứcđịnh nghĩa đường conic có nhân tử là tích của hai đa thức tuyến tính, thì đườngconic là hợp của hai đường thẳng Khi đó đường conic được gọi là suy biến Khi

mà hai đường thẳng là giống nhau hoặc đa thức định nghĩa đường conic là bình

phương của một đa thức tuyến tính, thì đường conic được gọi là một cặp đườngthẳng trùng nhau.

Nhận xét 2.1 Một đường conic hoàn toàn được xác định bởi các hệ sốa, b, c, d, e

và f của đa thức có phương trình (2.1) định nghĩa nó, nhưng nó không là duynhất Thật vậy, phương trình x2+ y = 0 và 2x2+ 2y = 0 mô tả cùng một đườngcong trong R2 Nếu chúng ta xét điểm (a, b, c, d, e, f ) ∈R6 biểu diễn đường conic

ax2+ bxy + cy2+ dx + ey + f = 0, chúng ta sẽ thấy vớiλ là hằng số khác không thìđiểm (λa, λb, λc, λd, λe, λf ) cũng sẽ biểu diễn một đường cong tương tự Vì vậychúng ta sẽ sử dụng tọa độ thuần nhất [a, b, c, d, e, f ] để mô tả một đường conictrong R2 Vì các hệ số không đồng thời bằng không, chúng ta giả sử rằng f 6= 0,khi đó [a, b, c, d, e, f ] = [af,fb,fc,fd,fe, 1], do vậy ta có thể coi [a, b, c, d, e, f ] là mộtđiểm trong RP5

Định nghĩa 2.2 Với mỗi điểm p ∈ R2, tập hợp các đường conic trong R2 điqua điểm p tương ứng một tập con H p ⊂RP5 Mỗi đường thẳng l ∈R2, tập hợpcác đường conic trong R2 tiếp xúc với l tương ứng một tập conH l ⊂RP5, và vớimỗi đường conic không suy biến Q, tập hợp các đường conic trong R2 tiếp xúcvới Q tương ứng một tập con H Q ⊂RP5

Ví dụ 2.2

(i) Cho điểmp(1, 2) ∈R2 Một đường conic định nghĩa bởi phương trình(2.1)

đi qua p, nó xác định H p = {[a, b, c, d, e, f] ∈ RP5 : a + 2b + 4c + d + 2e + f = 0}.Đây là một phương trình tuyến tính do vậy H p là một siêu phẳng trong RP5.Nếu chúng ta chọn một điểm q khác p trong R2 ta sẽ có một siêu phẳng khác là

H q

(ii) Cho đường thẳng l ∈ R2 có phương trình x = 0 Một đường conic địnhnghĩa bởi phương trình(2.1)tiếp xúc vớil thì phương trìnhcy2+ey+f = 0phải cónghiệm kép, tức là e2− 4cf = 0, khi đó H l = {[a, b, c, d, e, f] ∈RP5 : d2− 4af = 0}.Đây là phương trình của một siêu mặt trong RP5

Trong trường hợp tổng quát, với một đường thẳng bất kì trong R2 ta đều cóthể chọn một mục tiêu afin để đường thẳng đó có phương trình là x = 0 Do dó,

nghĩa bởi phương trình có bậc bằng 2.

(iii) Cho đường conic Q : y = x2 Để xác định phương trình của H Q, ta thay

y = x2 vào phương trình (2.1) ta được phương trình bậc bốn cx4 + bx3 + (a + e)x2+ dx + f = 0 Để đường conic định nghĩa bởi phương trình (2.1) tiếp xúc Qthì phương trình bậc bốn này phải có nghiệm bội, hay biệt thức của nó bị triệttiêu Sử dụng Maple ta có phương trình của biệt thức là:

16 a4cf − 4 a3b2f − 4 a3cd2+ 64 a3cef + a2b2d2− 12 a2b2ef − 80 a2bcdf − 128 a2c2f2−

12 a2cd2e+96 a2ce2f +18 ab3df +144 ab2cf2+2 ab2d2e−12 ab2e2f +18 abcd3−160 abcdef+

144 ac2d2f −256 ac2ef2−12 acd2e2+ 64 ace3f −27 b4f2−4 b3d3+ 18 b3def −6 b2cd2f +

144 b2cef2+ b2d2e2− 4 b2e3f − 192 bc2df2+ 18 bcd3e − 80 bcde2f + 256 c3f3− 27 c2d4+

144 c2d2ef − 128 c2e2f2− 4 cd2e3+ 16 ce4f = 0.

Đây là một siêu mặt trong RP5 có phương trình bậc 6 Sử dụng định nghĩa

về kết thức, biệt thức và định lí 1.1 ta có thể chứng minh được biệt thức của

nó là một phương trình có bậc bằng 6 Do vậy H Q được mô tả bởi phương trìnhbậc 6

Tổng quát hơn ví dụ trên, chúng ta có kết quả dưới đây

Mệnh đề 2.1 Trong R2 cho điểm p, đường thẳng l và đường conic không suybiến Q Khi đó ta có các khẳng định sau

(i) H p là một siêu phẳng trong RP5 được định nghĩa bởi phương trình có bậcbằng 1

(ii) H l là một siêu mặt trong RP5 được định nghĩa bởi phương trình có bậcbằng 2

(iii) H Q là một siêu mặt trong RP5 được định nghĩa bởi phương trình có bậcbằng 6

Nhận xét 2.2 Để xác định xem có bao nhiêu đường conic không suy biến điqua p điểm và tiếp xúc với l đường thẳng (p + l = 5) ta sẽ đi xác định xem sốgiao điểm của các siêu phẳng H p và các siêu mặt H l, với mỗi một điểm giao sẽcho tương ứng với một đường conic ta cần tìm

Trong các mục tiếp theo của chương này chúng tôi sẽ đi đếm số đường conic

đi qua p điểm và tiếp xúc với 5 − p đường thẳng cho trước