Hệ boussinesq boussinesq trong cơ học chất lỏng

Gần đây, kết quảnày đã được mở rộng trong trường hợp đáy không phẳng bởi Chazel [12].Song song với lí thuyết sóng nước bề mặt, lí thuyết toán học về sóng trênmặt phân cách giữa hai lớp c

Trang 1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN ĐỨC LỘC

HỆ BOUSSINESQ/BOUSSINESQ TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm 2013

Trang 2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN ĐỨC LỘC

HỆ BOUSSINESQ/BOUSSINESQ TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG

Chuyên ngành: TOÁN HỌC TÍNH TOÁN

Mã số : 60 46 30

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS CUNG THẾ ANH

Hà Nội - Năm 2013

Trang 3

2 Tính đặt đúng và xấp xỉ số của một hệ Boussinesq/Boussinesq 112.1 Tính đặt đúng của bài toán giá trị biên ban đầu trong trường hợp

a2, a4 > 0, a1 = a3= 0 112.2 Xấp xỉ số của bài toán giá trị biên ban đầu trong trường hợp

a2, a4 > 0, a1 = a3= 0 14

Trang 4

Lời nói đầu

Sự lan truyền của sóng biên độ nhỏ trên bề mặt chất lỏng lí tưởng (trênđáy nằm ngang) dưới tác dụng của trọng lực được mô tả bởi họ các hệ Boussinesq[8],







(1 − εa2∆)∂tζ + ∇ · V + ε(∇ · (ζV ) + a1∆∇ · V ) = 0, (1 − εa4∆)∂tV + ∇ζ + ε(1

trong đó 0 ≤ θ ≤ 1 và λ, µ ∈R là ba tham số Đại lượng ζ(X, t) + h0, X ∈Rd(d =

1, 2) là độ sâu toàn phần của chất lỏng tại điểm X tại thời điểm t, h0 là độ sâunước không xoáy Biến V (X, t) là vận tốc ngang tại điểm (X, z) = (X, θh0) tạithời điểm t Xấp xỉ Boussinesq có hiệu lực khi ε = a/h 0 1, λ/h 0 1, trong đó

a là cao độ lớn nhất trên mức h 0, và λ là bước sóng điển hình

Các hệ Boussinesq mô tả chuyển động của sóng dài có biên độ nhỏ trên bềmặt chất lỏng lí tưởng Hơn nữa, như được đề cập trong [8], từ hệ (1), ta có thểthu được rất nhiều hệ quen thuộc trong vật lí toán như: hệ Boussinesq cổ điển,

hệ Kaup, hệ Bona-Smith, hệ cặp BBM, hệ cặp KdV, hệ cặp KdV-BBM, hệ cặpBBM-KdV, Tính đặt đúng địa phương của bài toán Cauchy và bài toán giátrị biên ban đầu cho các hệ dạng Boussinesq đã được nghiên cứu bởi nhiều nhàtoán học (xem [5, 7, 9, 13, 14, 15, 16, 19]) Trong đó, Bona, Colin và Lannes [10]

đã chứng minh được nghiệm của các hệ đã đề cập đến đều cho xấp xỉ tốt nghiệmcủa các phương trình Euler trên khoảng thời gian dài cỡ 1/ε Gần đây, kết quảnày đã được mở rộng trong trường hợp đáy không phẳng bởi Chazel [12].Song song với lí thuyết sóng nước bề mặt, lí thuyết toán học về sóng trênmặt phân cách giữa hai lớp chất lỏng không trộn lẫn với mật độ khác nhau cũng

có sức hút thú vị vì đây là sự lí tưởng đơn giản nhất của sự lan truyền sóng

Trang 5

Lời nói đầu

trong và vì sự phức tạp và những thách thức của việc mô hình hóa, các vấn đềđịnh tính và xấp xỉ số nghiệm xuất hiện khi nghiên cứu hệ này Vì vậy, trongvài thập kỉ gần đây, lí thuyết sóng trong đã được rất nhiều nhà toán học và nhàvật lí nghiên cứu, đặc biệt là tính đặt đúng và mô hình tiệm cận Một bước tiếnquan trọng trong lí thuyết sóng trong đạt được vào năm 2008 bởi Bona, Lannes

và Saut [11] Họ đã đề xuất một phương pháp tổng quát thiết lập một cách hệthống và cho một lớp lớn các chỉnh thể, các mô hình tiệm cận cho sự lan truyềnsóng trong tại mặt phân cách giữa hai lớp chất lỏng không trộn lẫn với mật độkhác nhau, dưới ảnh hưởng của trọng lực, mặt trên là cứng, đáy phẳng và khôngxuất hiện sức căng bề mặt Họ đã thiết lập một vài mô hình cổ điển và một số

mô hình mới Họ cũng chứng minh rằng các mô hình tiệm cận là tương thíchvới hệ phương trình Euler đầy đủ Các kết quả này sau đó được mở rộng sangtrường hợp đáy không phẳng và có sức căng bề mặt [1]

Trong luận văn này, tác giả sẽ tìm hiểu bài toán sóng trong với đáy phẳng

và không xuất hiện sức căng bề mặt khi dòng có cấu trúc Boussinesq ở cả miềnchất lỏng trên và dưới Hệ thống bao gồm một chất lỏng thuần nhất có độ sâu

d1 với mật độ %1 nằm trên một lớp chất lỏng thuần nhất khác có độ sâu d2 vớimật độ %2 > %1 Đặt a là biên độ điển hình của sự biến dạng mặt phân cách và

λ là bước sóng điển hình Ta đưa ra các tham số sau:

2

δ2− γ (γ + δ)2∇|vα|2+ µa3(1 − γ)∆∇ζ = 0,

(2)

trong đó ζ là độ lệch so với mặt phân cách ở trạng thái tĩnh,v α = (1 − µα∆)−1v

với v là "biến vận tốc" và các hằng số a1, a2, a3, a4 cho bởi:

a1= (1 − α1)(1 + γδ) − 3δα(γ + δ)

γα13(γ + δ),

a3= αα2, a4 = α(1 − α2).

Quan hệ phân tán liên kết với hệ (2) là

ω2 = |k|2 (

1 γ+δ − µa1|k|2)(1 − γ)(1 − µa3|k|2) (1 + µa 2 |k|2)(1 + µa 4 |k|2) .

Trang 6

Lời nói đầu

Do đó, hệ (2) là đặt đúng tuyến tính khia2, a4≥ 0và a1, a3≤ 0 Khiγ = 0, δ = 1,

ta khôi phục lại hệ Boussinesq (1) cho sóng bề mặt

Hệ Boussinesq/Boussinesq được thiết lập lần đầu tiên trong [11] khi đáyphẳng, và sau đó trong [2] trong hoàn cảnh tổng quát hơn khi đáy không phẳng

và có sức căng bề mặt Tính đặt đúng địa phương của bài toán Cauchy đốivới các hệ Boussinesq/Boussinesq được nghiên cứu khá trọn vẹn trong các côngtrình [2, 3]

Trong luận văn này, tác giả sẽ nghiên cứu tính đặt đúng và xấp xỉ số nghiệmcủa bài toán giá trị biên ban đầu đối với hệ Boussinesq/Boussinesq (2) trongmột trường hợp đặc biệt: a2, a4 > 0, a1 = a3 = 0 Ngoài lời cảm ơn, lời nói đầu,bảng kí hiệu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành hai chương:

Chương 1: Thiết lập hệ Boussinesq/Boussinesq

Dựa vào hai bài báo [2] và [11] trong mục Tài liệu tham khảo, chương 1 sẽthiết lập hệ Boussinesq/Boussinesq cho bài toán sóng trong với đáy phẳng vàkhông xuất hiện sức căng bề mặt khi dòng có cấu trúc Boussinesq ở cả miềnchất lỏng trên và dưới

Chương 2: Tính đặt đúng và xấp xỉ số của một hệ Boussinesq/BoussinesqChương 2 sẽ chứng minh tính đặt đúng (sự tồn tại và duy nhất nghiệm) vàđưa ra phương pháp xấp xỉ số nghiệm của bài toán giá trị biên ban đầu của

hệ Boussinesq/Boussinesq đã được thiết lập trong Chương 1 trong trường hợp

a2, a4 > 0, a1 = a3 = 0 Các kết quả của chương này là mới và đang được hoànthiện trước khi công bố (xem [4])

Các kí hiệu: Kí hiệu X là biến d-chiều theo chiều ngang (d = 1, 2) Vì vậy,

X = x khi d = 1 và X = (x, y) khi d = 2, z là biến theo chiều dọc

Kí hiệu ∇ và ∆ lần lượt là toán tử gradient và toán tử Laplace, ∇X,z và

∆X,z là phiên bản (d + 1)-biến Với µ > 0, ta kí hiệu ∇µX,z = ( √

µ∇T, ∂z)T và

∆µX,z = ∇µX,z · ∇µX,z = µ∆X + ∂z2

Nếu f và u là hai hàm xác định trên Rd, ta dùng kí hiệu nhân tử Fourier

f (D)u xác định bởi biến đổi Fourier:

\

f (D)u = fbu.

Phép chiếu trực giao trên trường véc tơ gradient trong L2(Rd)d được kí hiệu

Trang 7

Lời nói đầu

bởi Π và xác định bởi công thức

Trang 8

Bảng kí hiệu

Lp(Ω) không gian Lebesgue, 1 ≤ p ≤ ∞

Wk,p(Ω) không gian Sobolev

Hk(Ω) không gian Sobolev Wk,2(Ω)

Hk(Ω) không gian tích Hk(Ω) × Hk(Ω)

H−k(Ω) không gian đối ngẫu của Hk(Ω)

H0k(Ω) không gian các hàm trong Hk(Ω) mà "bằng không trên biên ∂Ω"

Hk0(Ω) không gian tích H0k(Ω) × H0k(Ω)

(., ) tích vô hướng trong L2

.· · · bất đẳng thức ≤ C · · ·, trong đó C là hằng số dương độc lập với ε

Trang 9

Chương 1

Thiết lập các hệ

Boussinesq/Boussinesq

1.1 Các phương trình Euler và mô hình đầy đủ

Ta nghiên cứu bài toán sóng trong trong trường hợp đáy phẳng và khôngxuất hiện sức căng bề mặt Mô hình bài toán (hình 1) bao gồm một lớp chấtlỏng thuần nhất có độ sâu d1 và mật độ %1 nằm trên một lớp chất lỏng thuầnnhất khác có độ sâu d2 và mật độ %2 > %1 Đặt Ωit là miền chiếm bởi chất lỏng

i (i = 1, 2) tại thời điểm t, Γ1 := {z = 0} , Γ2 := {z = −d1− d2} là hai biên cứng

và Γt:= {z = −d1+ ζ(t, X)} là mặt phân cách giữa hai lớp chất lỏng Theo [11],

Trang 10

Chương 1 Thiết lập các hệ Boussinesq/Boussinesq

chuyển động của sóng trong, với hai hàm thế vận tốc φ1, φ2 được mô tả bởi hệphương trình:

2

= −P

% i

− gz trongΩit, (1.2)trong đó g là gia tốc trọng trường và P là áp suất bên trong lớp chất lỏng Cácphương trình trong (1.2) được bổ sung thêm hai điều kiện biên dưới đây để đảmbảo vận tốc phải theo phương nằm ngang tại hai biên cứngΓ1 := {z = 0} , Γ2:= {z = −d1− d2},

∂zφi= 0 trênΓi, (i = 1, 2). (1.3)Giả thiết mặt phân cách được mô tả bởi đồ thị của hàm ζ(t, X), (ζ(t, X) là độlệnh so với mặt phân cách ở trạng thái tĩnh (X, −d1) tại tọa độ X tại thời điểm

t) và tại mặt phân cách Γt := {z = −d1+ ζ(t, X)} không có sự xáo trộn của haichất lỏng Điều kiện này, với chất lỏng thứ i (i = 1, 2) được mô tả bởi quan hệ

∂ n := n · ∇X,z và n := p 1

1 + |∇ζ| 2 (−∇ζ, 1)T.

Điều kiện cuối cùng liên quan tới áp suất bên trong lớp chất lỏng,

Một họ các phương trình mới được rút ra từ các phương trình sóng trong (1.6) Ta định nghĩa vết của hai hàm thế φ1, φ2 tại mặt phân cách,

Trang 11

%i ∂tψi+ gζ + 1

2 |∇ψi|2− (

p

1 + |∇ζ| 2 (∂nφi) + ∇ζ · ∇ψi)22(1 + |∇ζ| 2 ) 2

!

trong đó ∂nφi và P được ước lượng tại mặt phân cách z = −d1+ ζ(t, X) Bằngviệc đưa ra hai toán tử: toán tử Dirichlet-Neumann G[ζ] và toán tử mặt phâncách H[ζ], xác định bởi:

Trang 12

Để tránh mặt phân cách chạm vào biên ngang, ta giả sử tồn tại các hằng sốdương H 1 và H 2 sao cho

Để viết (1.9) theo các biến không thứ nguyên, theo [11], ta đưa ra định nghĩacủa toán tử Dirichlet-Neumann không thứ nguyên Gµ[εζ] và toán tử mặt phâncách không thứ nguyên Hµ,δ[εζ]

Định nghĩa 1.1.1 Cho ζ ∈ W2,∞(Rd) sao cho (1.10) được thỏa mãn và cho

ψ1 ∈ H3/2(Rd) Nếu φ1 là nghiệm duy nhất trongH2(Ω1)của bài toán giá trị biên

(

µ∆φ1+ ∂z2φ1 = 0 trong Ω1,

∂zφ1|z=0= 0, φ1|z=−1+εζ(X) = ψ1, (1.12)thì Gµ[εζ]ψ1∈ H1/2(Rd) được xác định bởi

Định nghĩa 1.1.2 Cho ζ ∈ W2,∞(Rd) sao cho (1.10) và (1.11) được thỏa mãn

và cho ψ1 ∈ H 3/2 (Rd) Nếu φ2 là nghiệm duy nhất trong H2(Ω2) (sai khác hằngsố) của bài toán giá trị biên

(1.14)

Trang 13

Boussi-phương trình theo biến ζ và "biến vận tốc" v xác định bởi

(Với bài toán sóng nước bề mặt thông thường được khôi phục bằng việc cho

γ = 0 và δ = 1, v là vận tốc ngang tại bề mặt thoáng) Ta thiết lập các phươngtrình sóng trong (1.14) là tương thích với mô hình tiệm cận cho (ζ, v)

Định nghĩa 1.1.3 Các phương trình sóng trong (1.14) là tương thích với hệ

S của (d + 1) phương trình cho ζ và v nếu với mọi nghiệm đủ trơn (ζ, ψ1) của(1.14) sao cho (1.10) và (1.11) được thỏa mãn, cặp (ζ, v = Hµ,δ[εζ]ψ1− γ∇ψ1) làlời giải của S với số dư nhỏ được gọi là độ chính xác của mô hình tiệm cận

1.2 Khai triển tiệm cận của các toán tử

Từ Bổ đề 1 và Chú ý 11 trong [11], ta có khai triển tiệm cận của toán tử

Trang 14

app của (1.16) và dùng quan hệ tương đương Hµ,δ[εζ]ψ1 ∼

∇(φ

app |z=0) (Mệnh đề 3 trong [11])

Đầu tiên, ta tìm nghiệm xấp xỉ φ

app của (1.16) Ta phân tích ma trận Qµ2 [ε2ζ]

,

trong đó h 1 = 1 − εζ, điều này suy ra φ

app là nghiệm xấp xỉ của (1.16) có cấp

Trang 15

chính xác O(ε22+ µ3/δ) doφ(0) và φ(1) là nghiệm của các bài toán giá trị biên sau:

Trang 16

Mệnh đề 1.2.2 [3] Cho t0 > d/2, s ≥ t0+ 1/2, và ζ ∈ Hs+3/2(Rd) sao cho (1.10)

và (1.11) được thỏa mãn Khi đó, với mọi ψ 1 sao cho ∇ψ 1 ∈ Hs+5/2(Rd), ta có

Boussi-"thủ thuật BBM", cùng sự thay đổi các biến

Ta chứng minh trong chỉnh thể hiện tại, các phương trình sóng trong (1.14)

là tương thích với hệ Boussinesq/Boussinesq dưới đây:

2

δ2− γ (γ + δ) 2 ∇ |vα|2+ µa3(1 − γ)∆∇ζ = 0,

(1.17)trong đó vα = (1 − µα∆)−1v và các hằng số a1, a2, a3 và a4 được xác định ở bêndưới

Định lí 1.3.1 Cho 0 < cmin < cmax, 0 < µmin2 < µmax2 , và đặt

a1=(1 − α1)(1 + γδ) − 3δα(γ + δ)

3δ(γ + δ) 2 , a2 = γα1

3(γ + δ),

a3=αα2, a4 = α(1 − α2),

Trang 17

với α 1 , α ≥ 0 và α 2 ≤ 1 Với cách chọn các tham số như trên, các phương trìnhsóng trong (1.14) là tương thích với các phương trình Boussinesq/Boussinesq(1.17), với độ chính xác O(ε2) và đều theo ε ∈ [0, 1], µ, δ ∈ (0, 1) thỏa mãn điềukiện

2 ∇ |v|2+ µαα2∆∇ζ = 0.

Đây chính là hệ Boussinesq của sóng bề mặt thiết lập trong [8]

Chú ý 1.3.2 Quan hệ phân tán liên kết với (1.17) là

ω2 = |k|2 (

1 γ+δ − µa 1 |k|2)(1 − γ)(1 − µa 3 |k|2) (1 + µa2|k|2)(1 + µa4|k|2) .

Do đó, (1.17) là đặt đúng tuyến tính khi a2, a4 ≥ 0 và a1, a3≤ 0

Chứng minh Việc chứng minh sẽ qua một vài bước, tương ứng với các giá trịcủa các tham sốα1, α2, α.Trong chỉnh thể này, ta có ε ∼ µ ∼ ε2 ∼ µ2 khi ε → 0.Bước 1: α1= α = α2 = 0.Từ khai triển của toán tử Dirichlet-Neumann, ta có

1 − δ2(γ + δ)∆ + ε2

1 + δ

γ + δΠ[ζ.]

v + O(ε2).

Thay biểu thức này vào hệ trên, ta có kết quả cần chứng minh

Bước 2: α 1 ≥ 0, α = α 2 = 0 Ta dùng thủ thuật BBM cổ điển Từ phương trìnhđầu, ta có

∇ · v = (1 − α1)∇ · v − α1(γ + δ)∂tζ + O(ε).

Tiếp theo, ta thay biểu thức của ∇ · v vào số hạng thứ ba của phương trình đầutiên của hệ được thiết lập ở Bước 1, ta có kết quả cần chứng minh

Bước 3: α1, α ≥ 0, α2 = 0

Trang 18

Thay vbằng (1 − µα∆)v α ở hệ được thiết lập ở Bước 2 và bỏ qua số hạng O(ε2),

Trang 19

δ2− γ (γ + δ) 2 ∇ |V |2+ µa3(1 − γ)∆∇ζ = 0.

(2.1)

Theo Chú ý 1.3.2 ở Chương 1, hệ (2.1) là đặt đúng tuyến tính khi a2, a4 ≥

0, a 1 , a 3 ≤ 0 Trong chương này ta xét tính đặt đúng và đưa ra phương pháp xấp

xỉ số nghiệm của bài toán giá trị biên ban đầu đối với hệ (2.1) trong trường hợpđặc biệt: khi a2, a4 > 0, a1 = a3= 0

2.1 Tính đặt đúng của bài toán giá trị biên ban đầu trong

trường hợp a2, a4 > 0, a1 = a3 = 0

Do µ ∼ ε 1, không giảm tổng quát, ta coi µ = ε, và do a2, a4 > 0 nên cáctoán tử (I − εa2∆), (I − εa4∆) có nghịch đảo Khi đó, hệ (2.1) có thể viết dướidạng

Trang 20

Chương 2 Tính đặt đúng và xấp xỉ số của một hệ Boussinesq/Boussinesq

và điều kiện biên

ζ(x, t) = 0, V (x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t ≥ 0.

Bổ đề 2.1.1 [13] Cho s1, s2, s3∈R sao cho s1 ≥ s3, s2≥ s3, s1+ s2 ≥ 0, s1+ s2−

s3 > d/2 Khi đó,(f, g) 7→ f g là dạng song tuyến tính liên tục từHs1 (Rd)×Hs2 (Rd)

Chứng minh Kí hiệu(I − εa2∆)−1và (I − εa4∆)−1 lần lượt là toán tử nghịch đảocủa (I − εa2∆) và (I − εa4∆) với miền xác định H2∩ H 1

0, H2∩ H 1

0.Bài toán (2.2) với điều kiên biên và điều kiên ban đầu được viết dưới dạng:

0, với đạo hàm F0(ζ∗, V∗) xác định bởi

F0(ζ∗, V∗)(ζ, V ) =

ε δ

2 − γ (γ + δ) 2 (I − εa 2 ∆)−1∇ · (ζV∗+ ζ∗V ) + 1

γ + δ(I − εa2∆)

−1 ∇ · V, (1 − γ)(I − εa4∆)−1∇ζ + ε δ

2 − γ (γ + δ)2(I − εa4∆)

(ζ, V ) ∈ C1([0, Tε]; H01) × C1([0, Tε]; H10)

Trang 21

của hệ (2.2) với ζ| t=0 = ζ 0 và V | t=0 = V 0 Tác động (I − εa 2 ∆) vào phương trìnhđầu, (I − εa 4 ∆) vào phương trình hai của hệ (2.2), ta suy ra rằng (ζ, V ) thỏamãn hệ (2.2) trong H−1× H−1 với 0 < t < Tε

Để chứng minhTε có thể chọn độc lập vớiε, ta dùng phương pháp năng lượng.Đầu tiên, ta viết lại hệ (2.1) như sau

Vt+ (1 − γ)∇ζ + ε( δ

2 − γ 2(γ + δ) 2 ∇|V | 2 − a4∆Vt) = 0.

(2.3)

Trong hệ (2.3), nhân (γ + δ)ζ vào phương trình đầu, 1

1 − γV vào phương trìnhhai và dùng tích phân từng phần với các điều kiện biên Dirichlet thuần nhất, ta có

ZΩ

ζV · ∇ζ + 1

1 − γ

ε 2

δ2− γ (γ + δ) 2

ZΩ

|V |2∇ · V,

(2.4)

trong đó |∇V |2 := |∇u|2+ |∇v|2 Kí hiệu k.kp là chuẩn trong không gian Lp

Ta ước lượng vế phải của (2.4) như sau: Theo bất đẳng thức H¨older

|Iε| =

εδ

2 − γ (γ + δ)

ZΩ

ζV · ∇ζ + 1

1 − γ

ε 2

δ2− γ (γ + δ) 2

ZΩ

|V |2∇ · V

.εk∇ζk2kV k4kζk4+ εkV k24k∇V k2.

Trang 22

Yε(0) :=

ZΩ

Ta cần tìm ζ và V là hai hàm của biến (x, t) ∈ Ω × [0, T ] thỏa mãn

Trang 23

với điều kiện ban đầu

ζ(x, y, 0) = ζ 0 (x, y), u(x, y, 0) = u 0 (x, y), v(x, y, 0) = v 0 (x, y), (x, y) ∈ Ω,

và điều kiện biên

ζ(x, y, t) = u(x, y, t) = v(x, y, t) = 0, (x, y, t) ∈ ∂Ω × [0, T ].

Giả thiết Ω là miền phẳng, lồi và bài toán trên có nghiệm duy nhất (ζ, u, v)

đủ trơn cho việc xấp xỉ số; Th là phép tam giác phân tựa đều, chính qui của Ω

với cạnh lớn nhất của các tam giác h < 1; Sh là không gian con hữu hạn chiềucủa H01 = H01(Ω) và các phần tử của Sh là các hàm đa thức từng khúc xác địnhtrên Th, có bậc tới r − 1 với mỗi τ ∈ Th Do đó, nếu Sh là không gian chứa cáchàm liên tục trên Ω, tuyến tính với mỗi tam giácτ củaTh, triệt tiêu trên ∂Ω thì

inf

χ∈S h

{kω − χk + hkω − χk1} ≤ Chskωks, ∀ω ∈ Hs∩ H01, 1 ≤ s ≤ r. (2.10)Xét dạng song tuyến tính đối xứng aD : H01× H 1

0 →R xác định bởi

aD(u, v) := (u, v) + c(∇u, ∇v), ∀u, v ∈ H01.

Rõ ràng, aD bị chặn và có tính cưỡng trên H01× H01 Ta định nghĩa toán tử chiếuelliptic Rh: H01 → Sh như sau

Do giả thiết phép tam giác phân là tựa đều nên giả thiết khả nghịch đúngtrên Sh

kχk1≤ Ch−1kχk và kχk∞ ≤ Ch−1kχk, ∀χ ∈ Sh. (2.13)Bài toán (2.9) được bán rời rạc hóa theo biến không gian bằng phương phápphần tử hữu hạn Galerkin như sau Ta xác định ζh, uh, vh : [0, T ] → Sh, lần lượt

Chương Tính đặt xấp xỉ số hệ Boussinesq/ Boussinesq

Yε(0) :=

ZΩ... 23

Chương Tính đặt xấp xỉ số hệ Boussinesq/ Boussinesq

với điều kiện ban đầu

ζ(x, y, 0) = ζ (x, y), u(x,

Định dạng
Số trang	30
Dung lượng	579,84 KB