Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được chọn làm phần dành riêng cho chương trình đó (phần 1 hoặc phần 2).. Theo chương trình Chuẩn: Câu IVa1[r]
Trang 1ĐỀ 1
Câu I (3,0 điểm)
Cho hàm số
3 2x y
x 1
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho
2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt
Câu II (3,0 điểm)
1 Giải bất phương trình: 12
2x 1
x 1
2 Tính tích phân:
2 0
x
2
3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x – e2x trên đoạn [1 ; 0]
Câu III (1,0 điểm)
Cho khối chóp đều S.ABCD có AB = a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a
Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được chọn làm phần dành riêng cho chương trình đó (phần 1 hoặc phần 2)
1 Theo chương trình Chuẩn:
Câu IVa (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1 ; 4 ; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình : x + 2y + z – 1 = 0
1 Hãy tìm tọa độ của hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P)
2 Viết phương trình của mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P)
Câu Va (1,0 điểm)
Tìm môđun của số phức : z = 4 – 3i + (1 – i)3
2 Theo chương trình Nâng cao
Câu IVb (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1 ; 2 ; 3) và đường thẳng d có phương trình :
1 Hãy tìm tọa độ của hình chiếu vuông góc của A trên d.
2 Viết phương trình của mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d.
Trang 2Câu Vb (1,0 điểm) Viết dạng lượng giác của số phức: z = 1 – 3 i
ĐÁP ÁN
m I
(3,0
điểm
)
(2,0 điểm)
Sự biến thiên:
1
(x 1)
Suy ra, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ; 1) và (1 ; +)
Cực trị: Hàm số không có cực trị
0,50
Suy ra, đồ thị có một tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1, và một
tiệm cận ngang là đường thẳng y = – 2
0,50
Bảng biến thiên:
+
2
0,25
- Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0 ; 3) và cắt trục hoành tại điểm
3
; 0 2
- Đồ thị nhận điểm I(1 ; 2) (là giao điểm của hai đường tiệm cận)
làm tâm đối xứng
0,50
(1,0 điểm)
2
O 1
3
I
3 2
x y
Trang 3 Phương trình (ẩn x)
3 2x
= mx+ 2
x 1
Phương trình (ẩn x) mx2 – (m – 4)x – 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt,
khác 1
2
2 2
m 0
m 0
m 0
0,50
m II
(3,0
điểm
)
1 (1,0 điểm)
Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình:
2x 1
1
x 1
0,50
x 2 0
x 2
0
x 2
x 1 0
0,50
2 (1,0 điểm)
x
2
3 (1,0 điểm)
Do đó: f’(x) = 0 x = ln 2 (1 ; 0)
f’(x) > 0 x [1 ; ln 2 );
f’(x) < 0 x ( ln 2 ; 0];
0,25
Suy ra: x [ 1;0]
1
2
x [ 1;0]min f (x) min{f ( 1);f (0)} min{ 1 e ; 1} 1 e
0,50
cạnh a Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và gọi I là trung điểm của 0,50
Trang 4điểm
)
cạnh BC Ta có SO là đường cao và SIO là góc giữa mặt bên và mặt đáy
của khối chóp đã cho
Trong tam giác vuông SOI, ta có:
Diện tích đáy : SABCD = a2
0,25
Do đó thể tích khối chóp S.ABCD là:
3 2
S.ABCD3 ABCD
m IV.a
(2,0
điểm
)
1 (1,0 điểm)
Kí hiệu d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P)
Gọi H là giao điểm của d và (P), ta có H là hình chiếu vuông góc của A
trên (P)
0,25
Do v = (1 ; 2 ; 1) là một vectơ pháp tuyến của (P) nên v là một vectơ chỉ
phương của d Suy ra, d có phương trình :
Do đó, tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình:
x 2y z 1 0
Giải hệ trên, ta được : x =
2 3
, y =
2
3 , z =
1
3 Vậy H
0,50
2 (1,0 điểm) Có thể giải theo một trong hai cách:
Cách 1 (dựa vào kết quả phần 1):
Kí hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) Ta
có:
0,50
Do đó, mặt cầu có phương trình là:
3
Hay 3x2 + 3y2 + 3z2 – 6x – 24y – 12z + 13 = 0
0,50
Cách 2 (độc lập với kết quả phần 1): 0,50
B
C
S
D A
Trang 5Kí hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) Ta có R
bằng khoảng cách từ A đến (P) Suy ra :
2 2 2
R
3
Do đó, mặt cầu có phương trình là:
3
Hay 3x2 + 3y2 + 3z2 – 6x – 24y – 12z + 13 = 0
0,50
V.a
(1,0
điểm
)
IV.b
(2,0
điểm
)
1 (1,0 điểm)
Kí hiệu (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d Gọi H là giao
Do v = (1 ; 2 ; 1) là một vectơ chỉ phương của d nên v là một vectơ
pháp tuyến của (P) Suy ra, (P) có phương trình : x + 2y + z – 6 = 0 0,25
m
Do đó, tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình:
x 2y z 6 0
Giải hệ trên, ta được : x =
7
3 , y =
5
3 , z =
1
3 Vậy H
0,50
2 (1,0 điểm) Có thể giải theo một trong hai cách:
Cách 1 (dựa vào kết quả phần 1):
Kí hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A, tiếp xúc với đường thẳng d Ta có:
0,50
Do đó, mặt cầu có phương trình là:
3
Hay 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 12y – 18z 13 = 0
0,50
Cách 2 (độc lập với kết quả phần 1):
Kí hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A, tiếp xúc với đường thẳng d Ta có
R bằng khoảng cách từ A đến d Suy ra :
0,50
Trang 62 2 2
2 2 2
R
3
Do đó, mặt cầu có phương trình là:
3
Hay 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 12y – 18z 13 = 0
0,50
V.b
(1,0
điểm
)
Ta có
z 2