Qua A vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt các canh BC và CD ( hoặc đường thẳng chứa các cạnh đó) tại các điểm E và F.[r]
Trang 1PHÒNG GD-ĐT ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
Môn Toán 9
Thời gian làm bài 180 phút
Bài 1( 1,5 điểm): Cho a, b, c thoả mãn:
a b c b c a c a b
Tính giá trị biểu thức: P = 1 1 1
Bài 2( 1,5 điểm): Chứng minh rằng nếu
1 1 1
2
a b c và a + b + c = abc thì ta có
2
a b c
Bài 3( 1,5 điểm): Cho ba số x, y, z tuỳ ý Chứng minh rằng
2
x y z x y z
Bài 4( 1,5 điểm): Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1
Chứng minh rằng:
a b abc
16 Bài 5( 2 điểm): Cho hình vuông ABCD Qua A vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt các canh BC và
CD ( hoặc đường thẳng chứa các cạnh đó) tại các điểm E và F Chứng minh rằng:
AE AF AD
Bài 6( 2 điểm): Cho ∆ ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác Biết IA =
2 5cm, IB = 3cm Tính độ dài AB
Hướng dẫn giải:
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
Xét hai trường hợp
*/ Nếu a + b + c = 0 a + b = -c b + c = - a c + a = -b
Khi đó P = 1 1 1
a b b c c a
( )c a
( a)
b
( )b c
=
abc abc
= 1 Nếu a + b + c 0 a = b = c P = 2.2.2 = 8
Bài 2: Từ
1 1 1
2
a b c
2
1 1 1
4
a b c
a b c ab bc ca
2 2 2
2 a b c 4
theo giả thiết a + b + c = abc a b c 1
abc
2 4
a b c 2 2 2
2
a b c (đpcm)
Trang 2Bào 3: Áp dụng BĐT Côsi ta có x2 + y2 2xy (1)
y2 + z2 2yz (2)
z2 + x2 2zx (3) Cộng từng vế ba BĐT trên ta được 2( x2 + y2 + z2 ) 2( xy + yz + zx )
2( x2 + y2 + z2 ) + ( x2 + y2 + z2 ) ( x2 + y2 + z2 ) + 2( xy + yz + zx )
3( x2 + y2 + z2 ) ( x + y + z )2 chia hai vế cho 9 ta được
x y z x y z
hay
2
x y z x y z
Bài 4: Áp dụng BĐT Côsi x + y 2 xy ta có ( a + b) + c 2 (a b c )
1 2 (a b c ) 1 4( a + b)c nhân hai vế với a + b > 0 ta được:
A + b 4(a + b)2c mà ta chứng minh được (a + b)2 4ab
Do đó a + b 4(4ab)c hay a + b 16abc từ đây suy ra đpcm
Bài 5:
Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AF cắt DC tại G
Chứng minh được ∆ ABR = ∆ ADG ( g.c.g)
AE = AG
Xét ∆ AGF vuông tại A có AD là đường cao nên ta có
AG AF AD do đó thay AG = AE ta được
AE AF AD (đpcm)
Bài 6:
Kẻ AM AC M thuộc tia CI
Chứng minh được ∆ AMI cân tại M MI = AI = 2 5
Kẻ AH MI HM = HI Đặt HM = HI = x ( x > 0 )
Xét ∆ AMC vuông tại A ta có AM2 = MH.MC
(2 5)2 = x.(2x + 3)
2x2 + 3x – 30 = 0 ( 2x – 5)(x + 4) = 0
x = 2,5 hoặc x = -4 ( loại vì x > 0)
Vậy MC = 8cm
Ta có AC2 = MC2 – AM2 = 82 – (2 5)2 = 64 – 20 = 44
AC = 44 = 2 11cm AB = 2 11cm
F
E
B A
I
H M
C B
A