Bài thi toán quốc gia Việt Nam 1962-2005 P2

RDB là một hằng số không phụ thuộc vào vị trí cua Q, trong dé R’ 1a giao điểm của D2 với mặt phẳng z.. Tính thể tích của hình chóp biết rằng mỗi đường cao theo thứ tự hạ từ các điểm A,

Trang 1

(©) Ha Duy Hung Các bài thi Toán quốc gia Viét Nam bang A 31

cot y tan y

v6i moi y € (0,7)

Cho tam gidc AABC va diém M bat ki nam trong tam gidc d6 Tr M

hạ những đường thẳng vuông góc MA,, MB,, MC, 1an luot dén cdc cạnh BC,CA, AB Hay xac dinh quy tich cdc diém M sao cho số đo diện tích

cua tam gidc AA, B,C; bang sé k cho truéc Bién luan

C6 thé biéu dién mot số nguyên dưới dang một trong các tổng sau hay không

Cho một tứ điện trong đó các cặp cạnh đối diện bang nhau từng đôi một va

theo thit tu bang a, b,c (a < b < c) Một mặt phẳng cắt tứ diện đã cho theo

một tứ giác Hãy tìm vị trí của mặt phẳng sao cho tứ giác thiết điện có chu

vi bé nhất Trong điều kiện nói trên hãy tìm quỹ tích của những trọng tâm của các tứ giác thiết diện

Trang 2

2 Cho dãy số 1,ạ, , như sau: ị = 1,a = 2,U„‡i — Äu„ — tạ ¡ VỚI

n = 2,3, , Day s6 v1, v2, , duoc xac dinh boi quy luật

Tì

Un = ) arccotg u;

k=1 Hãy xác định limy 40 Un

3 Trong mặt phẳng P cho hình vuông 4Œ cạnh bằng ø Trên nửa đường

thang Ax vuông góc với P lấy điểm Š sao cho SA = 2a

(a) M và N là hai điểm tương ứng di động trên BC va DC

1 Xác định vị trí của hai điểm 4, Ñ sao cho

3

BM +DN>>

déng thoi hai mat phang SAM va SMN vuông góc với nhau va tich BM - DN dat giá trị bé nhất?

ii Xác định vi tri cla M,N sao cho NAM = 450 và thể tích của tứ

dién SAM N là lớn nhất, nhỏ nhất Tính các giá trị đó

(b) @ là điểm di động sao cho @ luôn nhìn 1B và 47) dưới các góc vuông Gọi 7 là mặt phẳng vuông góc với P theo giao tuyến AB, DQ cat 7 6

()

i Tim quy tich diém Q’

ii Diém Q 6 trén sé vé nén dudng (K) Goi ?# là giao điểm thứ

hai khác với @ của CQ va (kK) Chứng minh rằng đại lượng

sin? Q'DB + sin? RDB là một hằng số không phụ thuộc vào vị trí

cua Q, trong dé R’ 1a giao điểm của D2 với mặt phẳng z

4 (a) Cho z,+ là các số nguyên không đồng thời bằng không Hãy xác định

giá trị bé nhất của biểu thức 4 = |ðzˆ + 11z+ — 5yỶ|

(b) Tìm tất cả các số dương ¿ để

trong đó |£| là phần nguyên của số í.

Trang 3

5 Cho a, b 1a cdc sé thuc véi ø # 0 Hãy xác định đa thức P(z) thoả mãn điều

kiện

zP{œ — a) = (z — b)P(z)

6 Cho góc tam diện Šzzz đính S trong d6 Sz = Q, zS = 8, ySz = y Goi

A, B,C tương ứng là giá trị của cdc géc nhi dién canh Sy, Sz, Sx cua géc tam điện ấy

(a) Chứng minh rằng

sinœ _ sinØ _ sin+

snA sinÿ? sinC’

ii @+ 6 = 90° khi va chi khi A+ B = 180°

(b) Giả sử rằng œ = đ = + = 900 Gọi Ó là điểm cố định trên Sz

sao cho SO = a M va N la hai diém di dong tr trên Sz, 22, 5W sao chc cho

SM + SN = a Chứng minh rằng đại lượng SOM + SON + MON

là một hằng số không phụ thuộc vao vi trf cha M va N Tim quỹ tích

tâm J cua hình cầu ngoại tiếp tứ giác 2SMN

1

Trang 4

4 Kí hiệu ước chung lớn nhất của hai số tự nhiên ø và ở là gcd(ø, b) Chứng

minh rằng với ba số tự nhiên ø, ö và zn, điều kiện cần và đủ để tồn tại số tự

nhiên n sao cho (a” — 1) - b chia hét cho m 1a gcd(ab, m) = gced(b, m)

5 Hãy tìm tất cả các giá trị thực của tham số a dé phuong trinh

16z° — a# + (2ø + 17)” — a+ + 16 = 0

có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân

6 Một hình chóp tam giác 2.ABC có diện tích đáy là ABC bảng Š Tính

thể tích của hình chóp biết rằng mỗi đường cao theo thứ tự hạ từ các điểm

A, B,C khong thé bé hơn trung bình cộng của hai cạnh bên thuộc bề mặt đối diện với các đỉnh đó

Trang 5

(©) Ha Duy Hung Các bài thi Toán quốc gia Việt Nam bang A 35

đẳng thức trên xảy ra dấu bằng

3 Cho M(y) 1a mot da thttc bac n sao cho M (y) = 2, với y = 1,2, ,n +1 Hay xac dinh M(n + 2)

4 Cho hình vuông ABCD canh 2a Trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông đi qua 4? ta dựng một tam giác đều AM B Mot diém S$

chạy trên 47 cách một khoảng SŠ = z Gọi P là hình chiếu của điểm

M lên đường thẳng SƠ và #, O theo thứ tự là các trung diém ca AB, CM

(a) Hãy xác định quỹ tích của ? khi Š chạy trên 1Ö

(b) Tính các giá trị cực đại và cực tiểu của SỐ

5 Tìm các giá trị tự nhiên của n > 1 để cho bất đẳng thức

2 „1k > 1n t Q ,24

đúng với mọi z, & = ,1

6 Tir day số tự nhiên 1,2,3, , ta lập dãy số sau đây: số hạng thứ nhất là số

lẻ, cụ thể là số 1; hai số hạng tiếp theo là các số chắn 2 và 4; ba số hạng tiếp

theo là các số lẻ 5, 7, 9; bốn số hạng tiếp theo là các số chắn 10, 12, 14, 16; năm số hạng tiếp theo là các số lẻ 17, 19, 21, 23,25, , Hãy xác định số

hạng tổng quát của dãy trên

Trang 6

1.26 Nam 1987

1 Cho cấp số cộng gồm ree so hang dau wu; = 1987 va cong sal d = 3074 ° Hãy xác định giá trị cua tong

S = S-cos( tu; + ua + +++ + uygs7 )

ở đó tổng ` chứa tất cả các số hạng ứng với tất cả các cách khác nhau có

thể được để lấy các dấu -+ hay — trước các s6 uy, U2, ., Uig987-

2 Cho hai dấy số {z„}„' 25 và {„};'®9 theo quy luật sau đây: zạ = 365; #„¡¡ —=

Un (7286 + 1) + 1622 voi n > 0 va yo = 165 Yn41 = „(0ÿ + 1) — 1952 với

n > 0 Chứng minh rằng |z„ — ¿| > 0 với mọi ø, & tự nhiên

3 Trong mặt phẳng cho ø đường thẳng đôi một cắt nhau nhưng không cùng đi

qua một điểm Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một điểm là giao của hai và

chỉ hai trong số đường thẳng đó

4 Cho a; > 0 với mọi ? = 1,n van > 2 Dat S = Ð”;_ ay Ching minh rang

— (S — ag) (n — 1)?-!n v6i moi m,t nguyén thoa man m > ¿ > 0 Dấu bằng xảy ra khi nào ?

5 Hàm số ƒ(z) xác định và có đạo hàm trên |0, +co] Biết rằng với moi x > 0

luôn có

(a) |f(x)| <5

(b) ƒ(z) - ƒ{z) > sinz

Tồn tại hay không lim„_;+„e f(x) ?

6 Trong không gian cho 5 nửa đường thắng Óz„ với k = 1,5 Gọi œ là giá trị

bé nhất trong tất cả các góc hợp bởi các cặp nửa đường thẳng Óz; và Ó2z;

Chứng minh rằng a < 90°

Trang 7

1.27 Nam 1988

1 Có 1988 con gà nhốt vào 994 chuồng có hai con Sau mỗi ngày người ta lại

thay đối vị trí của gà sao cho không có hai con gà nào đã ở chung trước đó lại nằm trong cùng một chuồng lần nữa Hỏi có bao nhiêu ngày làm được

4 Dãy số {z„} bị chặn mà thoả mãn điều kiện z„ + #„¡¡ > 2#„;s với mọi m„ > 1 có nhất thiết hội tụ hay không ?

5 Giả sử rằng có tam giác AABC ba góc nhọn để tan A, tan B, tanC 1a ba

nghiệm của phương trình zỞ + øzŸ + g+ + p = 0 (g # 1) Chứng minh rằng

p< —3V3 và q > 1

6 Trong không gian cho ba đường thẳng a, b va c doi một chéo nhau Chứng

minh rang a, b,c có đường vuông góc chung khi và chỉ khi tích của ba phép đối xứng lần lượt qua ø, b, c cũng là phép đối xứng đối với một đường thang

Trang 8

1.28 Nam 1989

1 Cho hai số tự nhiên N, n Chitng minh rang với mọi số thực không âm œ < Ñ,

với mọi số thực + ta luôn có bất đẳng thức

DI) mncn nan ?ang

Để chứng minh bất đẳng thức còn lại, ta sử dụng công thức biến đổi Abel

Trang 9

(©) Ha Duy Hung Các bài thi Toán quốc gia Việt Nam bang A

b) Tồn tại hay không một số ŒG của dãy trén sao cho f(G) + 2 chia hết cho

19892

Bài giải Đặt g(n) = 4n? + 33n + 29 thì ta có ngay với mọi nguyên

Ƒ(n) = g(n) (mod 1989), do đó bài toán được đưa về tương ứng thay ƒ bởi

g Chú ý rằng ø(—1) = 0 nên ý tưởng ở đây là ta đi chứng minh rằng trong

dãy số FibonacclI có vô số số hạng đồng dư với —1 theo modulo 1989 Kí hiệu #„ là số Fibonaccli thứ n, với Fy = Fo = 1 và r„ là số dư của F„ chia

cho 1989 Xét 1989” + 1 cặp số (z;,r;¡¡) thì hiển nhiên sẽ có ít nhất hai cặp phân biệt trùng nhau, nghĩa là có thể tìm được i,j > 1 mar; = rj; va

f;+i = r¡+;+_1 Nhờ công thức của dãy số Fibonacci ta suy ra rang 1 = r9 = 1;

va 1 =r; = 1541 Thanh thử với moi n nguyén không âm ta có ?„„; = F, =

Tn = 1 (mod 1989) Ti day r,; =r; = 1 (mod 1989), do dé ma ta cé thé

coi 7 > 3 Lai c6 rj_) = 7rj41 — 17; =0 (mod 1989), rj» = 7; — 77-1 = 1 (mod 1989), va rj_3 = rj-1 — rj-2 = —1 (mod 1989) Nhu thé r;_3; = —1 (mod 1989) va r;-2 = 1 (mod 1989) Tit rpz4;-3 = rn—z (mod 1989) ta nhan duoc voi n = 1,2,3, , thi r,;-3 = Tm—1j-3 = + = 1-3 = 1

(mod 1989) Đó là điều phải chứng minh

Trong mặt phẳng cho hình vuông 4Œ? có cạnh bằng 2, các chữ 4, Ð, Œ, D xếp theo thứ tự nào đó trên hình vuông Đoạn thắng 4? được dời chỗ liên tục để đến trùng với đoạn thắng 7 sao cho 4 trùng với Œ và trùng với

D Gọi ®S là diện tích của hình do đoạn thẳng 4 quét ra trong khi dời chỗ Chứng minh rằng có thể tìm được một cách dời chỗ sao cho Š < = (nếu một diện tích nào đó được quét hai lần thì cũng chỉ tính một lần)

Bài giải Trên thực tế cách đời đoạn thắng 4? được chọn khá đơn giản Vẽ các đường tròn nội và ngoại tiếp hình vuông, ta cho điểm 4 chuyển động

theo chiều ngược kim đồng hồ, và do đó Ö Từ đó 4Ø luôn tiếp xúc với

đường tròn nội tiếp của hình vuông Kí hiệu Š; là diện tích giới hạn bởi hai

đường tròn (hình vành khăn) và So là diện tích của phần giới hạn bởi đoạn

thang BC và cung nhỏ B của đường tròn ngoại tiếp (phần gạch chéo)

Trang 10

Bằng cách chọn dịch chuyển như trên ta thấy phần diện tích do 4 vạch ra

không vượt qua S; — Sp = 5 +1< == Đó là điêu phải chứng minh

Tồn tại hay không các số nguyên z, không tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5

thoả mãn điều kiện zÝ -L 197 = 198 - 101 ?

Bài giải Ta sẽ chứng minh rằng phương trinh x? + 19y? = 198 - 10139 luôn

có nghiệm (z, ) thoả mãn (+ — y,5) = 1 Trước hết ta hãy chú ý đến các đẳng thức sau đây

100 =92+ 19-12, 1980=212+19-97

(z7 + 19/2)(øœ + 192) = (wa — 19yb)? + 19(xb + yz)? V x,y, a,b

Ta gọi một s6 n nguyén dương là đẹp nếu nó biểu diễn được dưới dạng

z2 + 19? với (z — ,5) = 1 Bằng quy nạp dễ dàng có được số 10” là số đẹp với mọi ? nguyên dương Đặc biệt số 10158 là số đẹp Ngoài ra do các đẳng thức nói trên nên 1980 - 10188 cũng là số đẹp Điều này kết thúc chứng

minh bài toán

Cho dãy đa thức {„(z)};'® xác định như sau: (+) = 0 và

z— P?(z)

2 với mọi > 0 Chứng minh rằng với mọi + € |0, 1j, và với mọi ? nguyên không âm, ta có

Đối với mỗi z € [0, 1] cố định, dãy số {„(z)}}$ là một dãy không giảm,

bị chặn trên nên dãy hàm đó hội tụ điểm tới hàm ƒ(+) nào đó Nhờ công thức

ta suy ra ƒ(z) = x⁄+z Thành thử bất đẳng thức thứ nhất được kéo theo nhanh

Trang 11

(©) Ha Duy Hung Các bài thi Toán quốc gia Viét Nam bang A 4I

1.29 Nam 1990

1 Cho day số {z„};® thoả mãn |z¡| < 1, được xác định bởi công thức truy

hồi sau đây

—#„ + 3 T— 3z?

(a) Hỏi rằng cần có điều kiện øì đối với z¡ để dãy số nói trên gồm toàn số dương?

(b) Dãy số này có tuần hoàn không? Giải thích câu trả lời của bạn

Bài giải Để dãy số gồm toàn số dương trước hết ta phải có #¡, z2 là các số

` 2 „ —¿y + V 3 —— 347 `

dương Từ đăng thức +¿ = ——— ta suy ra rằng 4/3 — 3#? > #¡

2

ta nhan duoc 0 < x < “a Ta sé chitng minh rang diéu kién 0 < 2, < “3

là đủ để dãy số nói trên gồm toàn số hạng dương Thực vậy, ta có thể tim

được một góc œ € (00, 60) thoả mãn x, = sina Khi đó rất nhanh ta có V3 1

y= J cosa — 5° sin œ = sin(60° — a) Từ đó bằng quy nap dé dang ta

ro <0 < x, thi dé dang suy rang rang x3 = x, và do đó rất nhanh bằng quy

nạp ta nhận được dãy số tuần hoàn Nếu z¡ < 0 thì z¿ > 0 và do đó ta chỉ việc lập lại lí luận cho dãy đối với số hạng bắt đầu là +; thì ta cũng có kết

quả là dãy nói trên tuần hoàn

2 Cho 2n — 1 số tự nhiên liên tiếp 1, 2, 3, , 2z» — 1 Hãy gach đi ít nhất — 1

số theo quy tắc sau đây

+) Nếu đã gạch số ø thì phải gạch số 2ø

+) Nếu đã gạch số a va số ở thì phải gạch số ø + 6b

Hỏi rằng cần phải gạch số nào để tổng các số còn lại lớn nhất? Giải thích

câu trả lời của bạn

Bài giải Ta giả sử rằng các số bị gạch là øi, aa, , ø„ vata xem 1 < a) <

dạ < ' < øy, < 2n — 1 Khi đó p > n — 1 Ta sẽ chứng minh rằng đ; Ƒ đ;„_¡¡¡ > 2n với mọi ¡ = 1,2, ,p Trước hết ta thấy rằng ø¡ > 1 thực

vậy nếu ø¡ = I thì số I1+1 = 2 cũng bị xoá và do đó 3 = 2-+1 cũng bị xoá, cứ

thế thì tất cả các số bi xod va tng con lai bang khong Ta thay a; +a, > 2n vi nếu khong, s6 a; +a, phai bi xod, nhung diéu nay khong thé vi ay +a) > dp

Tiếp theo ø„_; + ơi > ø„_;¿¡ Vi néu khong s6 a,_; + a, sé bị xoá, nhưng

số này lại không thuộc vào dãy nói trên Do đó ø;_; + ø¿ > ap_;¡a Vì nếu

Trang 12

không số này sẽ bị xoá nhưng dé y rang a,_; + do > dp 4 + 1 > Ap_i4t

Tiếp tục ta thu được két qua 1a a,_;41 + a; > dy ttc 1a ay_j4, + a; > 2n Ter đây ta nhận được $7? a; > 5 - 2n = øn 3 (n — 1)n Thành ra tổng các số

còn lại không thể vượt quá ø(2n — 1) — (n — 1)n = n? Dấu bằng xảy ra khi

và chỉ khi ay_;41 + a; = 2n với mọi ¿, do d6 ma véi moi 2, a; = 7 - a Dac

biét p- a, =a, < 2n — 1 Suy ra rang a, < 2 tức là a¡ = 2 Tóm lại các số

cần xoá sẽ là tất cả các số chắn 2, 4, , 2z — 2 Cuối cùng dễ thấy rang nếu

xoá số 2 đầu tiên thì tất cả các số cần xoá chính là tất cả các s6 chan

Người ta muốn cắt một hình tứ diện bằng ba mặt phẳng để được một hình

hộp sao cho ba mặt các đỉnh hình hộp nằm trên các mặt của hình tứ diện a) C6 thé cat dé thể tích hình hộp băng To thể tích hình tứ điện không? Giải

Bài giải Đáp số của bài toán là Ä⁄ trùng với trực tâm tam giác A4 8Œ hoặc

là Ä nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đó

Giả sử rằng ƒ(z) là một đa thức với hệ số thực khác hằng số thoả mãn điều

kiện

ƒ(#) : ƒ(2z”) = ƒ(2z + z) với mọi + € R Chứng minh rằng đa thức ƒ không có nghiệm số thực

Bài giải Giả sử rang f(x) = >), anx*® vai cdc số œo, , a„ là các số thực

và a„ z 0 Theo giả thiết suy ra øZ = ag do dé ma ap = 0 hoặc ay = 1 Nếu

ao = 0 thì ta có thể viết ƒ(z) = 2* - ø(z) với ø là một đa thức không nhận 0

là nghiệm Thế vào đẳng thức đã cho ta nhận được kết quả là ø(0) = 0, mâu thuẫn Vậy thì øo = 1 So sánh hệ số của +” ta nhận được ø2 = a, va do dé

mà a, = 1 Bây giờ ta giả sử rằng ƒ(+) = 0 có nghiệm zo nào đó Khi đó

273 + xo cũng là nghiệm và chú ý rằng nghiệm này có cùng dấu với nghiệm

xo Tat nhiên zo # 0 nên ta sẽ nhận được một dãy vô hạn giảm ngặt hoặc

tăng ngặt các nghiệm cua f(a) Điều này là không thể bởi vì rằng ƒ là một

đa thức và nó chỉ có hữa hạn nghiệm mà thôi

Các em nhỏ ở một lớp học đứng vòng tròn chơi một trò chơi kẹo Cô giáo

cho mỗi em một số chắn chiếc kẹo (em nào cũng có kẹo và số kẹo mỗi em

có được có thể khác nhau) Một em nào đó đưa một nửa số kẹo của mình

Trang 13

cho bạn ở ngay bên cạnh bên tay phải mình Tiếp theo em vừa nhận được kẹo của làm như thế nếu số kẹo mình hiện có là số chăn, còn nếu là số lẻ thì

sẽ nhận được một chiếc kẹo từ cô giáo trước khi chia cho bạn như thế Các

em cứ lần lượt đưa kẹo như thế theo một vòng tròn Chứng minh rằng sẽ dẫn đến trường hợp là có một em nếu đưa một nửa số kẹo của mình không cho

bạn mà cho cô giáo thì tất cả các em có số kẹo bằng nhau

Bài giải Mỗi lần một em đưa kẹo cho bạn ta có thể coi thành hai bước: đầu tiên đưa nửa số kẹo cho cô giáo, sau đó cô giáo sẽ đưa cho bạn kế tiếp Thành thử bài toán quy về là cần chứng minh đến một thời điểm nào đó các em có

số kẹo như nhau Thực vậy giả sử tại thời điểm ¿ số kẹo lớn nhất mà mỗi em

có thể có là Ä⁄, và số kẹo ít nhất một em có thể có là zn; Hiển nhiên ta có

m¡ < Mĩ;, Nhưng vì các số M;, m; đều là các số nguyên dương, dãy số { Ä/,}

là không tăng và {n,} không giảm nên đến một thời điểm ¡o nào đó ta sẽ có M;, = mj, tttc 1a tat ca các em có số kẹo như nhau

Trang 14

Ta lần lượt thực hiện các bước chọn ẩn như sau

(d) Cho y = z = 1 ta nhan duoc f(x) >

(a) Cho z = = z =0 ta nhận được ƒ(0) — ƒ (0) > 1 hay ƒ(0) = 5

1 (b) Cho y = z = 0 ta nhan duoc f(x) < 5 VỚI MỌI #

1 (c) Cho x = y = z = 1 ta nhận được ƒ(1) = 5°

1

2

1 Vay f(x) và dễ thử đó là đáp số của bài toán

2 Cho trước số lẻ & > 1 Với mỗi số nguyên dương ø ta xác định ƒ(n) là số

nguyên không âm lớn nhất sao cho k” — 1 chia hết cho 2ƒ Hãy xác định

công thức tính ƒ(øw) theo & va n

Bài giải Đây là một câu hỏi quen thuộc trong Lý thuyết số, tức là tìm số

mũ của 2 (mà tổng quát là cho một số nguyên tố tuỳ ý) trong phân tích chính tac của các số dạng k” — 1 với k cho trước, tuy vậy câu hỏi này có lẽ không

phù hợp với một bài thi Toán do cách hỏi mang tính chung chung của nó và kết quả chỉ mang tính định tính, có ý nghĩa lý thuyết nhiều hơn

Để xác định công thức của ƒ(n) ta cần xác định một số công thức truy hồi

sau Đầu tiên ta xét ƒ(4n), dễ dàng có &** — 1 = (k”" — 1)(k?“ + 1) Do k?”

là số chính phương lẻ nên &?* + 1 là số nguyên chắn không chia hết cho 4

Vì thế mà ƒ(4n) = ƒ(2n) + 1 với mọi số nguyên dương n

Tiếp theo ta sẽ chứng minh một kết quả: Néu f(1) = a thì với mọi số nguyên dương lẻ m ta có ƒ(m) = a Thực vậy, với mọi số mm lẻ ta có

k””— 1 =(k— 1)(k”*!+ - + 1) và để ý rằng k—! + - - - + ÿ + 1 là tổng

của một số lẻ các số lẻ, do đó là số lẻ Vậy ta có hệ thức ƒ(») = ƒ(1) với

mọi ? lẻ Ngoài ra cần chú ý rằng lập luận trên đúng cho một số nguyên ÿ

lẻ tuỳ ý (tức không nhất thiết phải là số dương)

Bây giờ ta xét đến ƒ(4n»-+2) Ta kí hiệu ø(n) là số nguyên không âm lớn nhất thoa man 29”) |” +1 Nhờ nhận xét cuối cùng ngay phía trên mà ta có ø(n) =

ø(1) với mọi nguyên dương lẻ Lúc này từ &“®†?2—1 = (k?“*!—1)(k?“*!+1)

ta suy ra ƒ(4n + 2) = ƒ(2n + 1) + g(2n + 1) = ƒ(Ù + ø(1).

Trang 15

Đến đây ta đã có thể hoàn thành công thức cần tìm: với mỗi số nguyên dương

n ta viết „ = 2""{ với † là số nguyên dương lẻ Khi đó

f(n) = f() néu m = 0

m—1+ƒ()+ø() — nếum >0 trong đó ƒ(1) là số mũ của 2 trong & — 1 và ø(1) là số mũ của 2 trong & + 1

AH'C' Hỏi rằng khi mặt cầu (#) thay đối thì trung điểm Š của đoạn thẳng

1M M” chạy trên hình nào?

Bài giải Ta sử dụng vector vào bài toán này Ta có hệ thức sau đây

Như vậy quỹ tích của điểm 7# là ảnh vị tự quỹ tích của tam mặt cầu theo tỷ

SỐ 5 với tâm vị tự 2 Dễ dàng thấy rằng quỹ tích điểm # chính là nửa đường thẳng 7í¿ hướng vuông góc với mặt phẳng (1C) tại tâm đường tròn ngoại

tiếp ƒ của tam giác A 4 BC và hướng trong phần nửa không gian không chứa

điểm Ó Từ đó dễ dàng suy ra quỹ tích của điểm 7

Có 1991 học sinh đứng thành một vòng tròn và quay mặt vào trong để chơi một chò trơi đếm số như dưới đây Mỗi học sinh đếm một số lần lượt theo chiều kim đồng hồ, bắt đầu từ học sinh 41 nào đó Các số đếm được là 1, 2, 3

và cứ lặp theo thứ tự như thế Nếu học sinh nào đếm số 2 hoặc số 3 thì phải

rời ngay khỏi vị trí của vòng tròn Học sinh còn lại cuối cùng sẽ được thưởng

Hỏi học sinh muốn được thưởng thì lúc bắt đầu chơi phải chọn vị trí thứ bao

nhiêu theo chiều kim đồng hồ kể từ học sinh 4 đếm số 1 lần đầu tiên ?

Bài giải Đầu tiên ta xét trò chơi trong trường hợp số người tham gia là 3" Khi đó chia số người ra thành các nhóm với mỗi nhóm có 3 người Sau mỗi

Trang 16

vòng đếm thì đương nhiên sẽ chỉ còn lại 3? — 2 - 3*~! = 3°~! người và người

đếm số 1 đầu tiên sẽ đếm số 1 đầu tiên ở các vòng sau Do đó anh ta là người duy nhất được thưởng

Quay trở lại bài toán, đầu tiên ta có 3Š < 1991 < 37 Vì rằng sau một số lần chắc chắn chỉ còn lại đúng 1 người nên để tìm ra người chiến thắng đầu tiên

ta cần có 1991 — 729 = 1262 người cần phải rời khỏi vòng trước khi còn 35 người 1262 người này nằm trong 1262/2 = 631 nhóm ba người, tức là cần

có 631 = 1893 < 1991 người đứng trước đó Vì thế mà muốn chiến thắng bạn cần phải là người đứng thứ 1894 nếu như người đếm đầu tiên được đánh

Bài giải Trước tiên ta đưa vào vài kí hiệu; ø, Ò,c tương ứng là độ dai của

các đoạn thắng ĐƠ, CA, AB và n„ là độ dài đường trung tuyến xuất phát

từ đỉnh 44 Ta cũng kí hiệu giao điểm của các đường trung tuyến xuất phát

Tiêu đề	Bài thi Toán quốc gia Việt Nam 1962-2005 P2
Trường học	Vietnam National University
Chuyên ngành	Mathematics
Thể loại	Thi tuyển sinh
Năm xuất bản	2005
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	33
Dung lượng	1,21 MB