Một số tính chất về nghiệm của hệ phương trình navier stokes không thuần nhất trong rn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM SOULADDA PONGPANYA MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020... ĐẠI HỌC TH

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

SOULADDA PONGPANYA

MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2020

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

SOULADDA PONGPANYA

MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES

Ngành: Toán Giải tích

Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS Phạm Thị Thủy

THÁI NGUYÊN - 2020

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, tháng 11 năm 2020

Người viết luận văn

Souladda PONGPANYA

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Phạm Thị Thủy Do đây là những kiến thức khá mới mẻ và khoảng thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những sai sót Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và mọi người để luận văn được hoàn thiện hơn

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Phạm Thị Thủy đã trực tiếp giao

đề tài, hướng dẫn và giúp đỡ tận tình trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán cùng các quý thầy cô

đã quan tâm, nhiệt tình giảng dạy trong suốt khóa học Tôi cũng xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 11 năm 2020

Người viết luận văn

Souladda PONGPANYA

MỤC LỤC

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Lời nói đầu 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2

1.1 Không gian hàm 2

1.1.1 Không gian hàm trơn 2

1.1.2 Không gian hàm suy rộng 3

1.1.3 Không gian Sobolev 6

1.2 Phương trình Navier – Stokes 15

Chương 2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER – STOKES KHÔNG THUẦN NHẤT TRONG n 20

2.1 Định nghĩa nghiệm yếu 20

2.2 Sự tồn tại và tính chất của nghiệm 21

KẾT LUẬN 32

TÀI LIỆU THAM KHẢO 33

LỜI NÓI ĐẦU

Việc nghiên cứu phương trình Navier – Stokes đã được đặt ra từ khá sớm ở đầu thế kỳ XIX và lần đầu tiên được Claude – Louis Navier thiết lập vào năm 1821 cho các chất lỏng không nén được và năm 1822 cho các chất lỏng nhớt Nhưng Navier đi đến phương trình Navier – Stokes mà chưa hoàn toàn nhận thức rõ tầm quan trọng của các yếu tố xuất hiện trong phương trình Cho đến nay đã có rất nhiều công trình nghiên cứu về loại phương trình Navier – Stokes Tuy nhiên, vấn đề tồn tại nghiệm mạnh toàn cục và tính duy nhất của nghiệm yếu trong trường hợp ba chiều vẫn là thách thức lớn

Vì nhu cầu của Khoa học và Công nghệ mà việc nghiên cứu hệ Navier-Stokes nói riêng

và các phương trình, hệ phương trình trong cơ học chất lỏng nói chung ngày càng trở nên thời sự và cấp thiết Như được đề cập đến trong các cuốn chuyên khảo của R.Temam [16], J Frehse & M R ̊užička [6], [7], [8], [9], G P Galdi [11], [12] và các bài báo tổng quan gần đây của C Bardos & B Nicolaenko [14] và R Farwig, Darmstadt & H Sohr, Paderborn [10] những vấn đề cơ bản đặt ra khi nghiên cứu các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng là: Sự tồn tại, tính duy nhất và tính chính quy của nghiệm Tính chính quy ở đây có thể là tính chính quy theo biến thời gian hoặc tính chính quy theo biến không gian

Mục đích của luận văn “ Một số tính chất về nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes không thuần nhất trong n” là trình bày một số kết quả nghiên cứu về nghiệm của hệ phương trình Navier – Stokes không thuần nhất

Các kết quả nghiên cứu được trình bày trong phạm vi của 34 trang, trong đó gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo

Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị của các không gian hàm: không gian các hàm trơn, không gian các hàm suy rộng, không gian Sobolev và hệ phương trình Navier – Stokes

Chương 2: Là nội dung chính của luận văn Trình bày định nghĩa nghiệm yếu,

sự tồn tại, tính duy nhất, tính chính quy về nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes không thuần nhất trong n

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong Chương 1 trình bày lại một số kiến thức cơ sở làm nền tảng để nghiên cứu Chương 2 Các tài liệu tham khảo được trích dẫn trong [1], [2], [3], [5], [15]

1.1 Không gian hàm

1.1.1 Không gian hàm trơn

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử   n là một miền với n 1. Nếu n=  =1, ( )a b, là một

Giả sử M là bao đóng của tập M  n Ta kí hiệu supp u:=x;u x( )0

Nếu k =  thì ta thay   bởi k   

1.1.2 Không gian hàm suy rộng

Giả sử   n là một miền bất kỳ với n 1.

Trong lý thuyết hàm suy rộng, không gian tuyến tính C0( ) của hàm trơn trên

 gọi là không gian thử và C0 ( ) gọi là hàm thử Cho phiếm hàm tuyến tính

thỏa mãn với mọi C0 ( )

Định nghĩa 1.1.2 Không gian tuyến tính C0( ) của tất cả các phiếm hàm tuyến tính 

liên tục, được gọi là không gian hàm suy rộng trong  Kí hiệu

Df L  với D thỏa mãn (1.1) là chính quy

Ta xét không gian tương ứng cho trường vectơ Giả sử m  và

Xét không gian Hilbert 2( )n

L  với tích vô hướng

1.1.3 Không gian Sobolev

Định nghĩa 1.1.3 Giả sử   n là một miền với n 1, 1    khi đó q , q( )

L  là không gian Banach của tất cả các hàm thực đo được Lebesgue u được định nghĩa trên

L  =L  là không gian Banach thông thường của tất cả

các hàm đo được u với cận trên đúng hữu hạn

q = nếu q = , ta luôn có 1 1

1

q+q =

Nếu uL q( ) ,vL q( ) thì 1( )

loc

uL B  với mỗi hình cầu B  n, B    Ta có thể viết đơn giản u thay vì u hoặc

B

u 

đổi với mọi hình cầu mở B ,B  hoặc B  n, B   .

Giả sử m  , ta định nghĩa không gian q

L của trường vectơ u=(u1, ,u m)

Khi đó không gian 2( )m

L  là không gian Hilbert với tích vô hướng

Bất đẳng thức (1.3), (1.4) và (1.5) vẫn đúng trong trường hợp vectơ có giá trị

Định nghĩa 1.1.4 Giả sử   n là một miền bất kỳ với n1,k  , 1    q

Không gian L − q Sobolev bậc k ,  

Wk q  được định nghĩa là không gian của mọi

 

Wk q Wk q , , , :

q q

Đối với các chứng minh của đồng nhất thức (1.10) dưới đây ta sẽ xấp xỉ k g,

trong (1.7) bằng hàm số trơn k g j, j, j  như vậy

ta nhận được các tính chất mong muốn Cho H jL q( ) là các nghiệm trơn tương ứng của (1.7) Sử dụng (1.8), (1.9) với H g k, , bị thay thế bởi  − H H j,

g−g k−k ta thấy rằng

P là toán tử đối ngẫu

Các toán tử Stokes A q với miền

A u= − P u uD A )

là trù mật xác định toán tử đóng thỏa mãn

,

q q

A u

 là tương đương cho uD A( )q Có ước lượng phép nhúng

trong các toán tử tiêu chuẩn trên L q( ) và J u m → trong u L q( ) như là m →  liên

quan đến các toán tử Stokes

Sử dụng (1.11) ta nhận được cho f =divF, f L q( ) ,FL r( ) và tùy ý

f A v− f v

 =  với mọi vL q'( ) và ước lượng

, ,

r q

Cho wC0,2( ) và v = A w q Khi đó, sử dụng (1.11) và các ước lượng vết,

1 '

và cho u jA f q−1 j Các tính chất tính chính quy cho thấy rằng u jC0,2( ) cho j  và

ta thấy rằng A u q j = f j → trong f L q( ) như j →  Điều này được chứng minh (1.13) Hơn nữa, chứng minh này cho thấy rằng 2

0, ( ) ( q)

C   D A là một lõi của D A ( q)

1.2 Phương trình Navier – Stokes

Giả sử miền    mở,   n Trong phần này, ta giả sử  trơn,  gồm các biến số x=(x1, ,x n) gọi là không gian biến, 0,T) là khoảng thời gian với

0   T , t0,T) gọi là biến thời gian

Trong trường hợp n =2và n =3, ta giả sử miền  được lấp đầy với chất lỏng như nước, không khí, dầu,

( ), ( 1( ), , , n( ), )

u t x = u t x u t x là vận tốc của chất lỏng tại ( ) (t x, = t x, 1, ,x n),

0, ),

t T x 

với t0,T), x  Phương trình này gọi là phương trình Navier – Stokes

Điều kiện đầu tiên có nghĩa là sự cân bằng các lực theo định luật Newton Điều kiện div u = 0 có nghĩa là chất lỏng đồng nhất và không nén được Hằng số v 0 là

độ nhớt của chất lỏng, nó phụ thuộc vào tính chất vật lý và là hằng số cố định

Phương trình (1.14) là hệ n +1 phương trình vi phân từng phần với n +1 biến

(t x, , ,1 x n) và n +1 hàm (p u, 1, ,u n) chưa biết

Ta thêm điều kiện

tức là u t x = với mọi ( ), 0 t0,T), x 

Ta thêm điều kiện ban đầu

Kí hiệu  :=1+ + n với  =(1, ,n) n0 Tuy nhiên nếu

j k n

( ) ( ) ( )

=Giả sử

Chương 2

SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER – STOKES

KHÔNG THUẦN NHẤT TRONG n

Chương này trình bày sự tồn tại, tính duy nhất, tính chính quy về nghiệm của

hệ phương trình Navier – Stokes không thuần nhất trong n Các tài liệu tham khảo

được trích dẫn trong [4], [7], [10], [13], [16]

2.1 Định nghĩa nghiệm yếu

Xét hệ phương trình Navier – Stokes

|

,,

u u u p f div u k

uL  của Bài toán (2.1) với điều kiện (2.2)

Định nghĩa 2.1 Giả sử f k g , , được xác định trong (2.2), uL q( ) được gọi là

nghiệm yếu của hệ (2.1) nếu thỏa mãn

u w  g N w  uu w  ku w  F w 

−  +  −  − = −  , w C 0,2( ) (2.3)

và div u=k trong  N g  trên  (2.4)

Với hệ phương trình tuyến tính

Định nghĩa 2.2 Giả sử f k g, , thoả mãn (2.6). Khi đó uL q( ) được gọi là

nghiệm yếu của (2.5) nếu

2.2 Sự tồn tại và tính chất của nghiệm

Định lý 2.3 Giả sử f = div F k g , , thỏa mãn (2.2) Khi đó, tồn tại một hằng số

Chứng minh Xét trường hợp phi tuyến, ta giả sử f =div F k g, , thỏa mãn điều kiện (2.2) Trước tiên giả thiết q( )

uL  là nghiệm yếu của Bài toán (2.1) Đặt ( )

Tiếp theo ta thấy rằng u= ( )u có nghiệm q( )

uL  sử dụng nguyên lí điểm bất động trong không gian Banach

( ) ( ) ( )

vL  và với C C C1, 2, 3 thuộc trên , , q r Vì q   thỏa mãn r q 1/r+1/q1

và qn, 1/n+1/q1/r Điều này cho thấy rằng

r q

Bằng cách tương tự ta được

( )u − ( )v q, (a u q,+ v q,+ + −b) u v q,, với u v, L q( )

Ở đây u v, L q( ) là nghiệm yếu của Bài tóan (2.1) Để chứng minh sự tồn tại

ta phải giải bài toán điểm bất động u= ( )u Giả sử

K =K Ω q r = C + C − với C từ (2.14) ta thấy (2.8) là đủ cho (2.16)

Vậy Định lý 2.3 được chứng minh

Định lý 2.4 Giả sử f = div F k g , , thỏa mãn (2.2) và uL q( ) là nghiệm yếu của

hệ (2.1) Khi đó, tồn tại một hằng số K=K(, , q r)0 sao cho nếu

u + k K (2.17) thì không tồn tại nghiậm yếu khác vL q( ) của (2.1) với cùng điều kiện của , , f k g

Chứng minh Cho các nghiệm yếu u v, L q( ) , trong đó u thỏa mãn Định lý 2.4, ta

w= − u v L  là nghiệm yếu của hệ tuyến tính

|

ˆ ,

0 trong ,0,

với fˆ= −div vw( + wu) + kw Khi đó, công thức biểu diễn (2.11) xác định mối quan hệ

w= −A P div vw− + wu +A P kw− (2.18) Trước tiên cho q  n Khi đó, ta kết thúc bằng cách sử dụng ước lượng như trong chứng minh trước đó

w D A Khi đó lấy trong (2.18) tích vô hướng với A w2 , viết vw uw ww = −

và sử dụng div ww w =( ), 0 Bây giờ giả thiết nhỏ nhất (2.17) và một lí luận thu hút

cho thấy rằng 1/22

2 0

A w  do đó w = 0 và u = v Nếu q=n ta cần một bước làm trơn bổ sung bằng cách sử dụng toán tử Yosida

Tiếp theo chọn q1 =q n và  0, 1 như vậy (2+)/n+1/q11 và (1+)/n1/ r

Nếu n  , thì có thể là 3  = 1 Trong trường hợp q= =n 3 và do đó 3

2

r   = ta tìm q

Định lý 2.5 Giả sử uL q( ) là nghiệm yếu của (2.1) với f = div F và k g , thỏa mãn (2.2)

(i) Giả sử f k g , , thỏa mãn thêm điều kiện FL q( ), kL q( ) và gW1 1/ ,− q q()

 = đúng theo nghĩa vết

Chứng minh (i) Ta sử dụng giá trị vector của 1( ) 1,q( )

.ˆ

Nếu q=n, ta sử dụng phương pháp làm trơn tương tự như trong chứng minh của Định lý 2.4 Trước tiên viết (2.24) dưới dạng

u= A P div F− + E A P div− u u+E +A P− div k u+E (2.25)

và chọn u jC0( ) , j , thỏa mãn u u− j n →  như j →  Khi đó sử dụng

J A P div u

u

P J

u u

(ii) Ta có từ giả thiết tồn tại q( )

FL  với f =div F Khi đó, ta kết luận (i)

Nếu q n  , các ước lượng tiêu chuẩn trực tiếp cho thấy div uu( )−ku=  u u L q( ).

Do đó các nghiệm u biểu diễn

Nếu q=n , ta tìm thấy một số q  và n FL q( ) với f =div F; số mũ q có n

thể được chọn như vậy mà kL q, gW1 1/− q q, () Từ (i), ta được u W 1, q( ).

Hệ qủa 2.6 Kết quả tính chính quy trong Định lý 2.5 (ii) có thể được mở rộng như

2n  s Khi đó uD A( s)+W2,q( ) , trong đó D A là miền ( )s

của toán tử Stokes, hệ phương trình − +  +  = u u u p f cố định trong L  q( ) mà

KẾT LUẬN

Luận văn “Một số tính chất về nghiệm của hệ phương trình Navier-stokes không thần nhất trong n ” đã trình bày các kiến thức cơ bản sau:

• Trình bày một số tính chất của các không gian hàm: hàm trơn, hàm suy rộng, hàm Sobolev và định nghĩa phương trình Navier – Stokes

• Xây dựng được Bài toán (2.1) với điều kiện (2.2), trình bày định nghĩa nghiệm yếu của Bài toán (2.1)

• Chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu uL q( ) của Bài toán (2.1) với điều kiện (2.2) (Định lí 2.3) Chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu của Bài toán (2.1) với điều kiện (2.2) nếu thỏa mãn (2.17) (Định lí 2.4)

• Chứng minh tính chính quy của nghiệm trong Định lí 2.5 và Hệ quả 2.6

TÀI LIỆU THAM KHẢO

I Tiếng Việt

[1] Trần Đức Vân (2005), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, Nhà xuất

bản Đại học Quốc gia Hà Nội

II Tiếng Anh

[2] Adams R A (1975), Sobolev Spaces, Academic Press, New York

[3] Apostol T M (1974), Mathematical Analysis, Addison – Wesley, Am sterdam [4] C Bardos (2002), Solution of the Stokes problem as an inverse problem

Computional methods in applied mathematics 2 (3), 213-232

[5] Farwig R., Galdi G P., Sohr H (2006), A new class of weak solutions of the Navier

– Stokes equations”, Comptes Rendus Mathematique, Mathematical Problems in

Mechanics (348), 335-339

[6] J.Frehse and M.R ̊užička (1994), On the regularity of the stationary Navier-Stokes

equations, Ann Sc Norm Super Pisa Cl Sci (IV) 21, 63–95

[7] J.Frehse and M R˚užička (1994), Regularity for the stationary Navier-Stokes

equations in bounded domains, Arch Rational Mech Anal 128, 361–380

[8] J.Frehse and M R˚užička (1996), Existence of regular solutions to the steady

Navier-Stokes equations in bounded six-dimensional domains, Ann Sc Norm

Super Pisa Cl Sci (IV) 23, 701–719

[9] J Frehse and M R˚užička (1998), Regularity for steady solutions of the

Navier-Stokes equations, J G Heywood, et al (eds.), Theory of the Navier-Navier-Stokes

equations Proc 3rd Intern Conf Navier-Stokes Equations: theory and numerical methods World Scientific Ser Adv Math Appl Sci., Singapore 47, 159–178

[10] R Farwig, Darmstadt, and H Sohr, Paderborn (2009), Existence uniqueness and

regularity of stationary solutions to inhomogeneous Navier-Stokes equations in

R n , Czechoslovak Mathematical Journal, 59 (134), 61-79