Bài giảng slide phương pháp số _ bài 09_ giải phương trình vi phânx

Bài giảng slide phương pháp số _ bài 09_ giải phương trình vi phân

PHƯƠNG PHÁP SỐ

Bài 9 Giải phương trình vi phân

Bài toán giải phương trình vi phân

Bài toán gi i ph ải phương trình vi phân ương trình vi phân ng trình vi phân

 Phương trình dao động điều hòa

 Phương trình vi phân

 Bài toán Cauchy cấp 1

 Bài toán Cauchy cấp n

Gi i g n đúng ph ải phương trình vi phân ần đúng phương trình vi phân ương trình vi phân ng trình vi phân

 Giá trị đúng của tại điểm :

Giá trị gần đúng của tại điểm :

Ph ương trình vi phân ng pháp Euler

 Bài toán Cauchy cấp 1

Ph ương trình vi phân ng pháp Euler

 Cách giải (Phương pháp Euler)

Ph ương trình vi phân ng pháp Euler

với khoảng chia

Ph ương trình vi phân ng pháp Euler

Ph ương trình vi phân ng pháp Euler

void Euler( double (*f)( double , double ), double a,

double b, double y0, int n,

t_vector x, t_vector y){

Ph ương trình vi phân ng pháp Euler

Bước 0: Giải với n khoảng chia

Ph ương trình vi phân ng pháp Euler

trên đoạn [1, 2] với

Ph ương trình vi phân ng pháp Euler

Ph ương trình vi phân ng pháp Euler

h   

Ph ương trình vi phân ng pháp Euler

Ph ương trình vi phân ng pháp Euler c i ti n ải phương trình vi phân ến

 Sai số của phương pháp Euler

Ph ương trình vi phân ng pháp Euler c i ti n ải phương trình vi phân ến

 Cải tiến phương pháp Euler

Ph ương trình vi phân ng pháp Euler c i ti n ải phương trình vi phân ến

Ph ương trình vi phân ng pháp Euler c i ti n ải phương trình vi phân ến

Ph ương trình vi phân ng pháp Euler c i ti n ải phương trình vi phân ến

Ph ương trình vi phân ng pháp Euler c i ti n ải phương trình vi phân ến

Ph ương trình vi phân ng pháp Euler

z = y[i-1] + h*f(x[i-1], y[i-1]);

y[i] = y[i-1] + 0.5*h*(h*f(x[i-1], y[i-1]) +

h*f(x[i], z))

}

Ph ương trình vi phân ng pháp Euler-Cauchy

 Xét

thấy:

 u = y i+1 tính bằng phương pháp Euler

 v = y i+1 tính bằng phương pháp Euler cải tiến

Ph ương trình vi phân ng pháp Euler-Cauchy

Phương pháp Euler-Cauchy

cũng là một cách cải tiến

phương pháp Euler!

Ph ương trình vi phân ng pháp Runge-Kutta

 Công thức đạo hàm của hàm hợp

 Công thức Taylor cho hàm 2 biến

Ph ương trình vi phân ng pháp Runge-Kutta

Ph ương trình vi phân ng pháp Runge-Kutta

Ph ương trình vi phân ng pháp Runge-Kutta

 Thay vào công thức Runge-Kutta

Ph ương trình vi phân ng pháp Runge-Kutta

Ph ương trình vi phân ng pháp Runge-Kutta

Ph ương trình vi phân ng pháp Runge-Kutta

2

r r   r   r  

Ph ương trình vi phân ng pháp Runge-Kutta

2

r r   r   r  

Ph ương trình vi phân ng pháp Runge-Kutta

Ph ương trình vi phân ng pháp Runge-Kutta

xi 1 1,125 1,25 1,375 1,5 1,625 1,75 1,875 2

yi 2 2,265 2,561 2,888 3,246 3,635 4,055 4,507 4,989 y* 2 2,266 2,563 2,891 3,25 3,641 4,063 4,516 5 Δyy 0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,006 0,007 0,009 0,011 Δyy 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,011 0,014 0,017 0,020 Δyy 0 0,016 0,035 0,058 0,083 0,113 0,146 0,183 0,222

2 1

y x  

Ph ương trình vi phân ng pháp Runge-Kutta

Ph ương trình vi phân ng pháp Runge-Kutta

 Áp dụng khai triển Taylor bậc 3

1

4 6

Ph ương trình vi phân ng pháp Runge-Kutta

 Áp dụng khai triển Taylor bậc 4

1 ,

, 2 1